A : V !W lineer dönü¸sümü alt¬nda 1 i n için A(αi)vektörlerini W vektör uzay¬n¬n ψ baz¬na göre ifade edelim

(1)

MAT 114 L·INEER CEB·IR ( ·ISTAT·IST·IK, ASTRONOM·I ve UZAY B·IL·IMLER·I)

Hafta 11: Lineer Dönü¸sümler Uzay¬

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC·I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.·Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

(2)

Lineer Dönü¸sümler Uzay¬

n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n bir taban¬

φ= f^α¹^{, α}²^{, ...., α}ⁿg ve W vektör uzay¬n¬n bir baz¬

ψ= f^β1, β₂, ...., β_mg

¸seklinde verilsin. A : V !W lineer dönü¸sümü alt¬nda 1 i n için A(αi)vektörlerini W vektör uzay¬n¬n ψ baz¬na göre ifade edelim. Bu ifade

A(αi) =

∑m j=1

ajiβ_j

(3)

A(α1) =a11β₁+a21β₂+...+am1β_m A(α2) =a12β₁+a22β₂+...+am2β_m A(αn) =a1nβ₁+a2nβ₂+...+amnβ_m olur ki bu da A : V !W lineer dönü¸sümü için

A^φ,ψ= 2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... ... ... am1 am2 amn

3 77 75

¸seklinde bir matris belirtir.

(4)

Tan¬m 31: n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n bir taban¬

φ= f^α¹^{, α}²^{, ...., α}ⁿg ve W vektör uzay¬n¬n bir baz¬

ψ= f^β1, β₂, ...., β_mg

¸seklinde verilsin. Aφ,ψ 2R^mn matrisine A lineer dönü¸sümünün φ ve ψ bazlar¬na göre matrisi denir.

(5)

Örnek 53: A :R²!^R³^{, A}(x, y) = (x y , x+y , x)lineer dönü¸sümü verilsin. R² veR³ reel vektör uzaylar¬n¬n

φ= f^α¹ = (2, 1), α2 = ( 1, 2)g ve

ψ= f^β1 = (0, 1, 1), β₂ = (1, 0, 1), β₃ = (1, 1, 0)g bazlar¬na göre A lineer dönü¸sümüne kar¸s¬l¬k gelenAφ,ψ matrisini bulunuz.

(6)

Örnek 54: A :R³!R², A(x, y , z) = (x y+z, x+y 2z) lineer dönü¸sümü verilsin. R³ veR² reel vektör uzaylar¬n¬n

φ= f^β1= (0, 1, 1), β₂ = (1, 0, 1), β₃ = (1, 1, 0)g ve

ψ= f^α¹ = (2, 1), α2 = ( 1, 2)g

bazlar¬na göre A lineer dönü¸sümüne kar¸s¬l¬k gelenAφ,ψ matrisini bulunuz.

(7)

Örnek 55: L :P² !P², L(p(x)) =x.p⁰(x) lineer dönü¸sümü verilsin. P² ikinci dereceden polinom fonksiyonlar¬n uzay¬n¬n

φ= 1, 1 x, 1+x² ve

ψ= 1, x+1, x²

bazlar¬na göre L lineer dönü¸sümüne kar¸s¬l¬k gelenLφ,ψ matrisini bulunuz.

(8)

Teorem 29: n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n bir taban¬φ= f^α¹^{, α}²^{, ...., α}ⁿg ^{ve W} vektör uzay¬n¬n bir baz¬ψ= f^β1, β₂, ...., β_mg¸seklinde verilsin.

A : V !^{W ve B : V} !W lineer dönü¸sümleri için (A+B)_φ,ψ=A_φ,ψ+B_φ,ψ ve λ2^R

(λA)_φ,ψ=λ.A_φ,ψ d¬r.

Teorem 30: A : V !W lineer dönü¸sümünün V vektör uzay¬n¬n φ= f^α¹^{, α}²^{, ...., α}ⁿgve W vektör uzay¬n¬n ψ = f^β1, β₂, ...., β_mg bazlar¬na göre matrisi A_φ,ψ ise 8^α2^{V için}

A_φ,ψ.[α]_φ= [A(α)]_ψ

(9)

Örnek 55: R³ veR² reel vektör uzaylar¬n¬n iki baz¬, s¬ras¬yla, φ= f^α¹ = (0, 1, 1), α2 = (1, 0, 1), α3 = (1, 1, 0)g ve

ψ= f^β1 = (2, 1), β₂ = ( 1, 2)g

olsun. A = ¹₂ ₃² ³₁ ^oldu¼guna göre A matrisine φ ve ψ tabanlar¬na göre kar¸s¬l¬k gelen lineer dönü¸sümü bulunuz.

(10)

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼glu, Mühendislik ve ·Istatistik Bölümleri ·Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.