Lineer Dönü¸sümlerde Görüntü Uzay¬ve Çekirdek

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I)

Hafta 7: Lineer Dönü¸sümlerde Görüntü Uzay¬ve Çekirdek

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI,

Doç.Dr.· Ismail GÖK

Lineer Dönü¸sümlerde Görüntü Uzay¬ve Çekirdek

Teorem 10: V ve W birer reel vektör uzay¬ve A : V ! ^{W bir} lineer dönü¸süm olsun.

1

V vektör uzay¬n¬n herhangi bir altuzay¬E ise A ( E ) = f ^A ( α ) 2 ^W j ^α 2 ^E g cümlesi de W vektör uzay¬n¬n bir altuzay¬d¬r.

2

W vektör uzay¬n¬n herhangi bir altuzay¬F ise A

( F ) = f ^α 2 ^V j ^A ( α ) 2 ^F g cümlesi de V vektör uzay¬n¬n bir altuzay¬d¬r.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Teorem 11: V ve W birer reel vektör uzay¬ve A : V ! ^{W bir} lineer dönü¸süm olsun.

1

A birebirdir , 8 ^α 2 ^{V için A} ( α ) = ! 0 iken α = ! 0

2

A birebir ise f ^a

^{, a}

^{, ..., a}

g cümlesi V vektör uzay¬nda

lineer ba¼ g¬ms¬z iken f ^A ( a

) , A ( a

) , ..., A ( a

)g cümlesi de W

vektör uzay¬nda lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

Tan¬m 21: A : V ! W bir lineer dönü¸sümü alt¬nda resimleri ayr¬

ayr¬ ! 0 olan V vektör uzay¬n¬n bütün vektörlerinin cümlesi S = A

(! 0 ) = ⁿ α 2 ^V j ^A ( a ) = ! 0 2 ^{W o} V vektör uzay¬n¬n bir altuzay¬d¬r. Bu S altuzay¬na A lineer dönü¸ sümünün çekirde¼ gi denir. Çekirdek uzay¬n¬n boyutuna, A lineer dönü¸sümünün s¬f¬rl¬k derecesi denir ve sıf ırl ıkA ile gösterilir.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Tan¬m 22: A : V ! W lineer dönü¸sümünde A ( V ) = f ^A ( α ) 2 ^W j ^α 2 ^V g

cümlesi de W reel vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬d¬r. Bu uzaya A

lineer dönü¸ sümünün görüntü uzay¬ve bu uzay¬n boyutuna da A

n¬n rank¬denir ve r ankA yaz¬l¬r.

V ve W sonlu boyutlu iseler A lineer dönü¸sümünün çekirde¼ gi olan S ve de¼ gerler bölgesi olan A ( V ) de sonlu boyutlu olur.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Teorem 12:

V sonlu boyutlu bir vektör uzay¬ve A : V ! W lineer dönü¸sümü verilsin. Bu durumda

r ankA + s ıf ırl ıkA = boyV ya da

boyA ( V ) + boyS = boyV

olur.

Teorem 13: V ve W vektör uzaylar¬reel ve n-boyutlu olsunlar.

Bir A : V ! W lineer dönü¸sümü için ¸su önermeler denktir:

1

A bir lineer izomor…zmdir,

2

A injektiftir,

3

α 2 ^{V için A} ( α ) = ! 0 ) ^α = ! 0

4

r ankA = n

5

s ıf ırl ıkA = 0

6

A sürjektiftir

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 38: L : R

! ^R

lineer dönü¸sümü L ( 1, 0, 0 ) = ( 1, 1 ) , L ( 0, 1, 0 ) = ( 1, 1 ) , L ( 0, 0, 1 ) = ( 0, 0 ) olarak tan¬mlans¬n. Bu dönü¸sümün rank¬n¬ve s¬f¬l¬k derecelerini bulunuz.

L ( R

) = span f( ^{1, 1} ) , ( 1, 1 ) , ( 0, 0 )g uzay¬n¬üretir ve lineer ba¼ g¬ms¬z oldu¼ gundan

boyL ( _R

) = r ankL = 1

r ankL + sıf ırl ıkL = boy R

oldu¼ gundan sıf ırl ık derecesi = 2 bulunur.

Örnek 39: L : R

! R

, ( x, y , z ) ! ( ^{x y , y} + z ) lineer dönü¸sümü veriliyor.

1

Bu lineer dönü¸sümün çekirdek uzay¬n¬ve bu uzay¬n boyutunu bulunuz.

2

Bu lineer dönü¸sümün rank¬n¬bulunuz.

3

Bu lineer dönü¸süm birebir midir?

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Çözüm:

S = L

(! 0 ) = ⁿ ! _α = ( x, y , z ) 2 ^R

j ^A (! α ) = ! 0 2 ^R

^o

=) ( ^{x y , y} + z ) = ( 0, 0 )

=) ^{x y} = 0 ve y + z = 0

=) ^y = t 2 R denilirse x = t 2 ^{R ve z} = t 2 R olur. Yani;

S = Span ! _α = ( 1, 1, 1 ) 2 R

ve boyS = 1 olur.

boy R

= Rank L + sıf ırl ıkL 3 = Rank L + 1

oldu¼ gundan Rank L = 2 olur. Bu dönü¸süm 1:1 de¼ gildir. Çünkü çekirdek uzay¬nda s¬f¬r vektöründen farkl¬vektör vard¬r.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 40: P

ikinci dereceden polinom ailesi olmak üzere L : P

! R

L ( at

+ bt + c ) =

Z1

0

( at

+ bt + c ) dt lineer dönü¸sümü verilsin.

1

Bu lineer dönü¸sümün çekirdek uzay¬n¬ve bu uzay¬n boyutunu bulunuz.

2

Bu lineer dönü¸sümün rank¬n¬bulunuz.

Çözüm:

S = L

( 0 ) = f ^p ( t ) 2 ^P

j ^L ( p ( t )) = 0 2 ^R g ko¸sulunu sa¼ glayan p ( t ) = at

+ bt + c eleman¬n¬arayal¬m.

L ( p ( t )) = ^at

3

3 + ^bt

2

2 + ct

1 0

j

= ^a 3 + ^b

2 + c c = ^a

3 b 2 O zaman

S = at

+ bt + ( ^a 3

b 2 ) tipindeki polinomlardan olu¸sur.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

at

+ bt + ( ^a 3

b

2 ) = a ( t

1

3 ) + b ( t 1 2 )

¸seklinde yaz¬labilir. O halde

S = Sp ( t

1

3 ) , ( t 1 2 )

Böylece ( t

) , ( t

) çekirdek uzay¬n bir baz¬d¬r. O halde

boyS = 2 olur. boyS = 2 oldu¼ gundan L birebir de¼ gildir.

Örnek 41 : P

ikinci dereceden polinom ailesi ve p

( t ) , p ( t ) polinomunun türevi olmal üzere

L : P

! ^P

L ( p ( t )) = t.p

( t ) dönü¸sümü verilsin.

1

Bu dönü¸sümün lineer oldu¼ gunu gösteriniz.

2

Bu lineer dönü¸sümün çekirdek uzay¬n¬ve bu uzay¬n boyutunu bulunuz.

3

Bu lineer dönü¸sümün rank¬n¬bulunuz.

4

Bu lineer dönü¸süm birebir midir?

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.