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A exposi¸c˜ao acima tem motivado a reformula¸c˜ao das equa¸c˜oes da mecˆanica do cont´ınuo para que o comportamento de um s´olido em regi˜oes contendo singularidades e em regi˜oes onde o campo de deslocamento ´e regular possa ser modelado pelas mesmas equa¸c˜oes governantes. Silling (2000), Silling, Zimmermann e Abeyaratne (2003) e Silling e Lehoucq (2008) prop˜oem um modelo cont´ınuo que n˜ao distingue os pontos de um corpo onde uma descontinuidade em deslocamento (ou, em qualquer de suas derivadas) possa ocorrer. A essˆencia da teoria, chamada peridinˆamica por Silling (2000), ´e integrar (ao inv´es de derivar) for¸cas de intera¸c˜ao entre part´ıculas pr´oximas entre si. Estas for¸cas dependem somente do deslocamento relativo e das posi¸c˜oes relativas entre os pontos materiais de um corpo. Uma vez que derivadas espaciais n˜ao s˜ao utilizadas, as equa¸c˜oes governantes s˜ao v´alidas em todos os pontos do corpo, ou seja, dentro e fora de regi˜oes com singularidades. Aplica¸c˜oes da teoria peridinˆamica na engenharia incluem a an´alise de dano e falha em concreto armado sob carregamento quase est´atico por Gerstle, Sau e Silling (2007) e em comp´ositos por Xu et al. (2008), a proposi¸c˜ao de condi¸c˜ao de estabilidade material para a nuclea¸c˜ao de trincas por Silling et al. (2010), a propaga¸c˜ao dinˆamica de trinca por Ha e Bobaru (2010), Ha e Bobaru (2011) e Hu, Ha e Bobaru (2012), a an´alise de dano em laminados de estruturas aeroespaciais sob carregamento de impacto por Askari, Xu e Silling (2006) e a an´alise de membranas e fibras por Silling e Bobaru (2005). Referˆencias adicionais sobre aspectos te´oricos e aplica¸c˜oes da teoria peridinˆamica encontram-se em Silling et al. (2007).

Tadmor, Ortiz e Phillips (1996) e Tadmor, Phillips e Ortiz (1996) apresentam um m´etodo de elementos finitos para analisar problemas que requerem resolu¸c˜ao em m´ultiplas escalas, do atom´ıstico ao cont´ınuo, de uma maneira unificada. O m´etodo fornece a ca- pacidade de refinar a malha de forma adaptativa na vizinhan¸ca de defeitos e em outras regi˜oes de alta energia. Intera¸c˜oes interatˆomicas s˜ao incorporadas no modelo por meio de um c´alculo cristalogr´afico baseado no estado local de deforma¸c˜ao, e isto ´e apontado pelos autores como a principal diferen¸ca entre o m´etodo proposto e metodologias convencionais de elementos finitos. O m´etodo ´e utilizado com sucesso no estudo de deforma¸c˜ao pl´astica causada por nano-indenta¸c˜ao (TADMOR et al., 1999) e de deslocamento na vizinhan¸ca dos v´ertices de trincas (MILLER et al., 1998).

Em suma, estas teorias n˜ao cl´assicas combinam a precis˜ao de modelos atom´ısticos na vizinhan¸ca de um efeito localizado, tal como o comportamento material na vizinhan¸ca do v´ertice de uma trinca, e modelos da mecˆanica do cont´ınuo em regi˜oes onde as de- forma¸c˜oes s˜ao moderadas e suaves. Optei pelo estudo da teoria peridinˆamica, a qual passo a descrever com detalhes a seguir.

A teoria peridinˆamica ´e uma estens˜ao da teoria do cont´ınuo cl´assica na qual um ponto material interage diretamente com outros pontos materiais separados dele por uma distˆancia finita. O conceito de intera¸c˜ao entre part´ıculas a distˆancias finitas ´e uma diferen¸ca fundamental entre a teoria peridinˆamica e a teoria cl´assica, em que esta ´ultima est´a baseada na ideia de for¸cas de contato atuando sobre superf´ıcies que separam partes adjacentes de um corpo – um conceito do cont´ınuo. A principal vantagem da teoria peridinˆamica est´a em aplicar as suas equa¸c˜oes b´asicas diretamente sobre uma superf´ıcie de descontinuidade, tal como uma trinca, ou, um cont´ınuo no qual descontinuidades podem aparecer como resultado de deforma¸c˜ao. Longe destes lugares, a deforma¸c˜ao ´e suave e a teoria peridinˆamica fornece as mesmas equa¸c˜oes governantes da teoria do cont´ınuo cl´assica quando as distˆancias entre os pontos materiais tendem a zero.

Silling (2000) apresenta os elementos da teoria peridinˆamica ao introduzir um modelo de liga¸c˜ao que utiliza uma fun¸c˜ao for¸ca entre duas part´ıculas para descrever a in- tera¸c˜ao entre pontos materiais. Ele ressalta que este modelo ´e similar a modelos anteriores propostos por Kunin (1982) e Rogula (1982) na investiga¸c˜ao de propriedades de cristais baseada em intera¸c˜oes interatˆomicas. Posteriormente, Silling et al. (2007) introduzem uma generaliza¸c˜ao do modelo de liga¸c˜ao, chamado modelo de estado, o qual permite que a resposta de um material em um ponto dependa coletivamente da deforma¸c˜ao de todas as liga¸c˜oes conectadas ao ponto, e n˜ao somente da intera¸c˜ao aos pares com part´ıculas

vizinhas do modelo de liga¸c˜ao. Recentemente, Silling (2010) investigou a resposta de um material peridinˆamico utilizando o modelo de estado para uma pequena deforma¸c˜ao so- breposta a uma grande deforma¸c˜ao e introduziu o conceito de estado tensorial de m´odulo, o qual expressa as propriedades materiais da resposta material linearizada. Se o material ´e el´astico, o estado tensorial de m´odulo ´e obtido da segunda derivada de Fr´echet da fun¸c˜ao energia livre. Este estado tensorial de segunda ordem ´e an´alogo ao tensor de elasticidade de quarta ordem na teoria do cont´ınuo cl´assica. No caso em que a deforma¸c˜ao de um corpo ´e suave e considerando que o comportamento mecˆanico de uma sequˆencia de mate- riais peridinˆamicos el´asticos n˜ao se altera no limite de distˆancias cada vez menores entre pontos materiais, Silling (2010) apresenta express˜oes que relacionam o estado tensorial de m´odulo ao tensor de elasticidade da teoria cl´assica.

Utilizando o modelo de estado, Silling et al. (2007) e Silling (2010) prop˜oem fun¸c˜oes densidade de energia de deforma¸c˜ao para materiais isotr´opicos que dependem do estado de deforma¸c˜ao por meio de suas partes de dilata¸c˜ao e desviat´oria. Ambas as partes est˜ao definidas em termos do estado escalar extensional, que ´e a mudan¸ca de comprimento entre duas part´ıculas devido `a deforma¸c˜ao. Analogamente `a teoria de elasticidade linear cl´assica, suas fun¸c˜oes energia de deforma¸c˜ao contˆem somente duas constantes materiais peridinˆamicas. Um outro aspecto de seus modelos ´e que o estado vetorial de for¸ca cor- respondente agindo sobre uma liga¸c˜ao ´e paralelo `a imagem deformada da liga¸c˜ao, o que significa que o material peridinˆamico linear ´e ordin´ario no sentido de Silling et al. (2007). Aguiar e Fosdick (2014a) prop˜oem uma fun¸c˜ao energia livre para um material peridinˆamico el´astico, linear e isotr´opico que depende do campo de deslocamento rela- tivo entre part´ıculas (ao inv´es do estado escalar extensional) por meio de medidas de deforma¸c˜ao que s˜ao an´alogas `as medidas de deforma¸c˜ao da teoria linear cl´assica. Deta- lhes sobre a fun¸c˜ao energia livre proposta e as implica¸c˜oes desta proposi¸c˜ao s˜ao discutidos neste trabalho.