Standart Normal Da¤›l›m
STANDART NORMAL DA⁄ILIM
µ = 0 ve σ = 1 olan normal da¤›l›ma, “standart normal da¤›l›m” denir.
Yandaki fiekil 6.15.’den de gö-rülece¤i gibi, standart normal
da-¤›l›mda rassal de¤iflken z ile gös-terilmektedir. Standart normal
da-¤›l›m›n birimi olan z de¤erlerine z skorlar›, standart birimler ya da standart skorlar da denir.
z DE⁄ERLER‹ YA DA z SKORLARI
Standart normal e¤rinin yatay ekseni üzerinde iflaretlenmifl birimlere z de¤er-leri ya da z skorlar› denir. z ‘nin özel bir de¤eri; ortalama ve z ile ifade edilen noktan›n, standart sapma cinsinden uzakl›¤›d›r.
fiekil 6.15’de z de¤erlerini gösteren yatay eksende, ortalaman›n sa¤›ndaki z de¤eri pozitif, solundakilerse negatiftir. Yatay eksen üzerindeki bir noktan›n z
de-¤eri, ortalamayla o nokta aras›ndaki uzakl›¤›n standart sapma cinsinden de¤eridir.
Örne¤in, z = 2 ’nin anlam›, sa¤ tarafta o noktan›n ortalamaya iki standart sapma uzakl›kta oldu¤udur. Ayn› biçimde z = - 2 ‘nin anlam›yla sol tarafta yine iki stan-dart sapma uzakl›kta oldu¤udur.
Ek’te verilmifl olan standart normal da¤›l›m tablosu, standart normal e¤ri alt›n-da; z = 0 ile 0.00 ’dan 3.09’a kadar olan z de¤erleri aras›ndaki alanlar› vermek-tedir. Bu tablonun okunmas›na, standart normal da¤›l›m›n ortalamas› olan z = 0 noktas›ndan bafllanmaktad›r. Daha önce de söz edildi¤i gibi, normal da¤›l›m e¤-risi alt›ndaki toplam alan 1.0 ’dir ve simetriklik nedeniyle ortalaman›n her iki ta-raf›ndaki alan da 0.5 yani % 50 ’dir.
Yukar›da ortalaman›n solundaki z de¤erlerinin negatif oldu¤u söylen-miflti. Ama, burada unutulmamas› ge-reken fley, alan kavram› nedeniyle sol taraftaki e¤ri alt›nda kalan alan›n da pozitif oldu¤udur.
Standart normal e¤ri alt›nda, iki nokta aras›ndaki alan z de¤erinin bu aral›k içerisindeki de¤erleri alabilme olas›l›¤›d›r. Afla¤›daki örnek 6.1 – 6.4 ile Ek’de verilen tablolardan yararlan›larak, standart normal e¤ri alt›ndaki alanlar›n bulunmas› aç›klanmaktad›r.
ÇÖZÜM
Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 143
Ö R N E K 1 Standart normal e¤ri alt›nda; z = 0 ile z = 1.95 aras›ndaki alan› bulunuz.
Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi, burada aranan alan z = 0 ile z = 1.95 nok-talar› aras›ndaki aland›r.
Bu istenen alan›n say›sal de¤eri, Ek’te verilmifl olan Standart Normal Da¤›l›m Tab-losundan yararlan›larak bulunmaktad›r. Tabloda verilen z de¤erinin ondal›k noktan›n solundaki haneyle sa¤›ndaki ilk hane (1.9 ), tablonun ilk sütunu olarak verilen de¤erlerden seçilir. Ondal›k
noktas›n›n sa¤›ndaki ikinci haneyse (0.05) tablonun ilk sat›r›ndan seçilir ve seçilmifl olan sütunla sat›r›n kesi-flim noktas›ndaki de¤er, aranan alan de¤eridir. Bu de¤er 0.4744 olarak bu-lunur. Ayr›ca,
P (0 < z < 1.95) = 0.4744
olarak da gösterilebilir. Unutulmamal›d›r ki, sürekli bir rassal de¤iflkenin tek bir de¤eri alma olas›l›¤› s›f›rd›r. Baflka bir ifadeyle,
P (z = 0) = 0 ve P (z = 1.95) = 0
d›r ve yine yukar›da ayr›nt›lar›yla verilmifl oldu¤u gibi, P (0 < x < 1.95 ) = P (0 ≤ x ≤ 1.95) = 0.4744 dür.
Standart normal e¤ri alt›ndaki z = - 2.17 den z = 0’a kadar olan alan›
bulunuz.
Normal da¤›l›m, ortalamaya göre simetrik oldu¤u için z = - 2.17 ’den z = 0’a ka-dar olan alan, z = 0 ’dan z = 2.17’ye kaka-dar olan alanla eflittir. Bu nedenle sadece z = 0 ile pozitif z de¤erleri aras›ndaki alanlar› veren Ek’deki tablo de¤erlerinden, bu durum için de yararlan›labilmektedir.
Tabloda;2.1 de¤eri ilk sütundan, 0.07 de¤eriyse ilk sat›rdan bulunarak, bu sat›r ve sütunun kesifltikleri yerde bulunan 0.4850 de¤eri, z = - 2.17 ile z = 0 noktala-r› aras›nda kalan aland›r. Aynoktala-r›ca bu
de-¤er, z de¤erinin verilen iki s›n›r de¤e-ri aras›ndaki alanda bulunma olas›l›¤›-d›r.
- 2.17 ’den 0’a kadar olan alan = P (-2.17 ≤ z ≤ 0 ) = 0.4850 olarak elde edilir.
ÇÖZÜM
0 1.95 z
fiekil 6.17 z = 0 ile z = 1.95 aras›ndaki alan.
Ö R N E K 2
z = 0 z
z = -2.17
% 48.50
fiekil 6.18 z = -2.17 ile z = 0 noktalar›
aras›ndaki alan.
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Standart normal e¤ri alt›ndaki alanlar› bulunuz.
a) z = 2.32’nin sa¤›ndaki alan›
b) z = - 1.54’ün solundaki alan›
a) Daha önce de söylendi¤i gibi, normal da¤›l›m tablosundaki de¤erler z = 0 ile bafllamakta ve verilen noktayla ortalama (z = 0 ) aras›ndaki alan› vermektedir. Bu-radaysa verilen noktan›n sa¤›nda kalan alan sorulmaktad›r.
Bu durumda yine verilen noktayla ortalama aras›ndaki alan tablodan bulunup, sa¤ taraf›n toplam de¤eri olan 0.5’den ç›kart›l›rsa, istenen de¤er elde edilir.
‹stenen alan : P ( z ≥ 2.32 ) = 0.500 – 0.4898 = 0.0102 olarak elde edilir.
b) Ayn› biçimde, burada da önce z = 0 ile z = - 1.54 aras›ndaki alan bulunur ve bulunan alan de¤eri 0.5 de¤erinden ç›kart›l›rsa, istenen alan de¤erine ulafl›l›r.
‹stenen alan : P ( z < -1.54 ) = 0.5000 – 0.4382 = 0.0618 olarak hesaplan›r.
Standart normal e¤ri alt›ndaki afla¤›da verilen olas›l›klar› bulunuz.
a) P ( 1.19 < z < 2.12 ) b) P (-1.56 < z < 2.31 ) c) P ( z > -0.75 )
a) Afla¤›daki flekilde de görülebilece¤i gibi, P ( 1.19 < z < 2.12 ) olas›l›k de¤e-ri z = 1.19 ile z = 2.12 noktalar› aras›ndaki aland›r.
‹stenen olas›l›k de¤erini (alan›) bulmak için önce ortalamayla z = 2.12 aras›ndaki alan bulunur: P (z < 2.12 )= 0.4830. Daha sonra ortalamayla z = 1.19 aras›ndaki alan bulunur: P (z < 1.19 ) = 0.3830. Bu de¤er ilk bulunan de¤erden ç›kart›lmak suretiyle istenen (alan) olas›l›k de¤eri elde edilir.
P ( 1.19 < z < 2.12 ) = 0.4830 – 0.3830 = 0.1000
(Dikkat: E¤er verilen her iki nokta da ortalaman›n bir taraf›ndaysa, ilk ola-rak ortalamayla bu noktalar aras›nda-ki alanlar bulunur. Daha sonraysa kü-çük alan büyük alandan ç›kart›l›r.)
‹ s t a t i s t i k
144
Ö R N E K 3
z = 0 z = 2.32 z
% 1.02 0.4898
fiekil 6.19 z = 2.32 de¤erinin sa¤›ndaki alan.
z = 0 z
z = -1.54
% 6.18
0.4332
fiekil 6.20 z = -1.54 de¤erinin solundaki alan
Ö R N E K 4
0 1.19 z
% 10.0
2.12 fiekil 6.21 P ( 1.19
< z < 2.12 ) de¤eri.
b) Burada istenilen olas›l›k de¤eri, standart normal e¤ri alt›nda z = -1.56 ile z = 2.31 noktalar› aras›ndaki aland›r. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi veri-len iki nokta, ortalaman›n iki farkl› taraf›ndad›r. Bu nedenle istenen olas›l›k (alan) de¤erinin bulunabilmesi için önce ortalamaysa z = -1.56 ve z = 2.31 aras›ndaki alanlar bulunur, daha sonraysa bu alanlar toplan›r.
-1.56 ile 0 aras›ndaki alan P ( - 1.56 ≤ z ≤ 0 ) = 0.4406 0 ile 2.31 aras›ndaki alan P (0 ≤ z ≤ 2.31 ) = 0.4896
-1.56 ile 2.31 aras›ndaki alan P (- 1.56 ≤ z ≤ 2.31 )= 0.4406 + 0.4896 = 0.9302 (Dikkat: E¤er verilen iki nokta
ortala-man›n farkl› taraflar›ndaysa ilk olarak ortalamayla bu noktalar aras›ndaki alanlar bulunur. Sonra bu iki alan top-lan›r. )
c) P (z > -0.75 )de¤eri de verilen noktan›n sa¤›ndaki tüm aland›r.
Burada istenen alan iki bölümden oluflmaktad›r. ‹lki, verilen noktayla or-talama aras›nda kalan alan,
P (- 0.75 ≤ z ≤ 0 )= 0.2734 ikincisiyse ortalaman›n sa¤›ndaki (tüm) aland›r.
P (z > 0 ) = 0.50
Bu iki alan de¤erinin toplanmas› sonucunda (0.2734 + 0.5000 = 0.7734) istenen olas›l›k de¤eri % 77.34 olarak bulunur.
Daha önce de de¤inilmifl oldu¤u gibi, standart sapmaya iliflkin üç (ampirik)kura-l›n do¤rulu¤u, simetriklik özelli¤i gösteren normal da¤›l›m için, tablo de¤erinden yararlan›larak gösterilebilir.
1) Ortalaman›n bir standart sapma sa¤›nda ve solunda kalan noktalar aras›ndaki alan, toplam alan›n % 68.26’s› olarak bulunur. Burada söz edilen alan z = -1.0 den z = 1.0 ’e kadar olan aland›r. Yandaki
flekilden de görülece¤i gibi ortalama ile z = 1.0 noktas› aras›ndaki alan % 34.13 ’dür. Simetrik bir da¤›l›m
oldu-¤u için z = -1.0 ile ortalama aras›nda-ki alan da ayn› (%34.13) olaca¤›ndan toplam alan % 68.26 d›r.
2) Ortalaman›n iki standart sapma sa¤›nda ve solunda kalan noktalar aras›ndaki alan, toplam alan›n % 95.44’ü olarak bulunur. Burada da (yukar›dakine benzer bi-çimde), z = -2.0 ile z = 2.0 noktalar› aras›ndaki alan›n bulunmas› için önce orta-lamayla z = 2.0 noktas› aras›nda kalan alan bulunur ve bulunan de¤erin iki kat›
(simetriklik özelli¤i) al›narak istenen alan de¤eri (0.4772 + 0.4772 = 0.9544) elde edilir.
Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 145
0 z
0.3413 + 0.3413 = 0.6826
fiekil 6.24 Bir stan-dart sapma s›n›rlar›
içerisindeki alan.
ÇÖZÜM
3) Ortalaman›n üç standart sapma uzakl›¤›ndaki s›n›rlar aras›ndaki alan›
toplam alan›n % 99.74’ü olarak bulu-nur. Bulunmas› istenen alan z = -3.0 dan z = 3.0’e kadar olan aland›r. Or-talamayla z = 3.0 noktas› aras›ndaki alan % 49.87 oldu¤u için toplam alan
% 99.74 olarak bulunur.
Bu özellik nedeniyle, Ek 1.’de veril-mifl olan standart normal da¤›l›m tab-losunda z = 0 dan z = 3.09’a (ya da z = -3.09’dan z = 0’a)kadar olan de¤erler için olas›l›k (alan) de¤eri bu-lunabilmektedir.
Standart normal e¤ri için afla¤›daki olas›l›klar› bulunuz.
a) P (0 < z < 5.67 ) b) P (z < -5.35 )
a) Standart normal e¤ri için istenen bu olas›l›¤›n bulunmas›nda, standart normal da¤›l›m tablosundan yararlan›rken bir sorunla karfl›lafl›lmaktad›r. Bu sorun tablo-da olas›l›k de¤eri olarak bulunabilecek en son de¤erin z = 3.09 olmas›d›r. Bu durumda ortalaman›n sa¤›nda kalan toplam alan (% 50.0) sorunun cevab› olmak-tad›r.
0 ile 5.67 aras›ndaki alan = P (0 < z < 5.67)= 0.50
b) P (z < -5.35 )de¤eri için de yine standart normal da¤›l›m tablosunun kullan›m›nda benzer sorunla karfl›la-fl›lmaktad›r. Ortalaman›n solundaki toplam alan % 50.0 ’dir. z = -5.35 ile ortalama aras›ndaki alan da yaklafl›k
% 50.0 ’dir. Bu durumda istenen olas›l›k de¤eri s›f›rd›r.
- 5.35 ile 0 aras›ndaki alan = P (z
0.4772 + 0.4772 = 0.9544
fiekil 6.25 ‹ki stan-dart sapma s›n›rlar›
içerisindeki alan.
0 z
-3.0 3.0
0.4987 + 0.4987 = 0.9974
fiekil 6.26 Üç stan-dart sapma s›n›rlar›
ÇÖZÜM
Normal Da¤›l›m›n Standartlaflt›r›lmas›
Yukar›daki alt bölümlerde, Ek 1.’de verilen standart normal da¤›l›m tablosundan yararlan›larak standart normal e¤ri alt›ndaki çeflitli alanlar›n bulunmas› incelendi.
Ancak gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal de¤ifl-ken, s›f›rdan farkl› ortalama ve birden farkl› standart sapma de¤eriyle normal
da-¤›l›m göstermektedir. Böylesi durumlarda Ek 1.’de verilen tablonun kullan›labil-mesi için, normal da¤›l›m gösteren sürekli bir rassal de¤iflkenin, bir dönüfltürme neticesinde standart normal da¤›l›ml› bir de¤iflkene çevrilmesi gerekmektedir. Bu amaçla normal da¤›l›m gösteren x rassal de¤iflkeninin, standart normal da¤›l›m gösteren z rassal de¤iflkenine dönüfltürülmesi yap›lacakt›r ve bu dönüfltürmeye standartlaflt›rma ad› verilmektedir.
x DE⁄ER‹N‹N z DE⁄ER‹NE DÖNÜfiTÜRÜLMES‹
x normal da¤›l›m gösteren rassal bir de¤iflkenin herhangi bir de¤erinin z de¤eri cinsinden ifadesinde
formülünden yararlan›lmaktad›r. Burada µ ve σ, s›ras›yla ilgili normal da¤›l›m›-n›n ortalama ve standart sapmas›d›r.
Standartlaflt›rmada önce x rassal de¤iflkeninin ortalama ve standart sapmas›
hesaplanmakta, daha sonraysa x de¤erinden ortalama ç›kart›larak, fark de¤eri standart sapmaya bölünmektedir.
x, ortalamas› 50 ve standart sapmas› 10 olan bir normal da¤›l›m göster-mektedir. Standartlaflt›rma formülünden yararlanarak afla¤›daki x
de-¤erlerini z de¤erlerine dönüfltürünüz.
a) x = 55 b) x = 35
a) Yukar›da verilmifl olan formül kullan›larak x = 55 de¤erinin z cinsinden de¤eri,
olarak bulunur. Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi x rassal de¤iflkenin da¤›l›-m›yla z rassal de¤iflkenin da¤›l›m› aras›nda, standart sapmalar aç›s›ndan fark yok-tur. Çünkü x da¤›l›m›nda x = 55 noktas› µ = 50 ortalamas›n›n 1 / 2 standart sapma sa¤›nda iken, z = 0.5 de¤eri yine ortalamas› s›f›r ve standart sapmas› bir olan z standart normal da¤›l›m›nda ortalaman›n 1 / 2 standart sapma sa¤›nda-d›r.
z =x -µ
σ = 55-50 10
= 0.50 z =x - µ
σ
Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 147
Ö R N E K 6
ÇÖZÜM
b) x = 35 de¤erine karfl›l›k gelen z de¤eri de yine ayn› biçimde,
olarak bulunur. Bulunan z de¤eri gi-bi, verilmifl olan x = 35 de¤eri de or-talamadan küçük oldu¤u için ortala-man›n solunda bir noktad›r. Ancak x de¤eri negatif olmad›¤› halde z
de-¤eri negatiftir. Bunun nedenide z dö-nüfltürmesinde da¤›l›m ortalamas›n›n s›f›r noktas›na tafl›nm›fl olmas›d›r.
Normal da¤›l›ml› bir x de¤iflkeninin iki de¤eri aras›ndaki alan›n bulun-mas› için önce, her iki x de¤eri de z de¤erine dönüfltürülmekte, daha son-raysa standart normal e¤ri alt›ndaki iki z de¤eri aras›ndaki alan bulun-maktad›r. Bu alan, ayn› zamanda ve-rilmifl olan x ’ler aras›ndaki aland›r.
x sürekli rassal de¤iflkeni 25 ortalama ve 4 standart sapmayla normal da¤›lmaktad›r. Afla¤›da verilen noktalar aras›ndaki alan› bulunuz.
a) x = 25 ve x = 32 aras›
b) x = 18 ve x = 34 aras›
Verilen normal da¤›l›mda µ = 25 ve σ = 4 dür.
a) Burada ilk ad›m, verilmifl olan x = 25 ve x = 32 de¤erlerinin standart nor-mal z de¤erlerine dönüfltürülmesidir.
‹kinci ad›m z = 0.00 ile z = 1.75 noktalar› aras›ndaki alan›n Ek 1.’de verilmifl olan tablodan bulunmas›d›r. Bu de¤er,
P (25 < x < 32) = P ( 0 < z < 1.75 ) = 0.4599
b) x = 18 ve x = 34 de¤erleri de yine standart normal de¤erlere dö-nüfltürülür.
olarak hesaplan›r.
Daha sonraysa afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi z = -1.75 ile z = 2.25 noktalar› aras›ndaki alan bulunur. Burada verilen noktalar, ortalaman›n solunda ve sa¤›nda ol-du¤u için, toplam alan, bulunacak iki alan›n toplam›ndan oluflacakt›r.
P (18 < x < 25) = P (-1.75 < z < 0)
X rassal de¤iflkeni, 40 ortalama ve 5 standart sapmayla normal da¤›l›m göstermektedir. Afla¤›daki olas›l›klar› normal da¤›l›m için bulunuz.
a) P ( x > 55 ) b) P ( x < 49 )
Normal da¤›l›mda µ = 40 ve σ = 5 olarak verilmifltir.
a) x rassal de¤iflkenin 55’den büyük de¤er almas› bu fl›kta istenen olas›l›k, normal da¤›l›m e¤risinden (Ek 1.’de verilmifl standart normal da¤›l›m tablosundan yarar-lan›larak) bulunacakt›r. Bunun için x = 55 de¤erinin z de¤erine dönüfltürülmesi gerekir.
Bu de¤er, yandaki flekilden de gö-rülebilece¤i gibi, e¤rinin sa¤ uç noktas›ndaki küçük bir alan› d›flta b›rakmaktad›r ve buras› istenen olas›l›kt›r.
Sonuç olarak istenen olas›l›k
de-¤eri,
Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 149
x
0.4599 + 0.4878 = 0.9477
fiekil 6.32 x = 18 ve x = 34 aras›ndaki alan.
ÇÖZÜM
P (x > 55) = P (z > 3.00) = 0.5 – 0.4987 = 0.0013 olarak bulunur.
b) Burada da yine x = 49 de¤erinin z de¤erine dönüfltürülmesinden,
elde edilir. Yandaki flekilde de gö-rülebilece¤i gibi burada x de¤eri için üst s›n›r verilmifl, alt s›n›r için hiçbir k›s›t getirilmemifltir.
Bu nedenle, ortalaman›n sol ta-raf›ndaki alan (0.5 ) ve z = 0 ile z = 1.80 aras›nda kalan alan top-lanarak, toplam alan (olas›l›k) elde edilmektedir.
P (x < 49) = P (z < 1.80) = 0.50 + 0.4641 = 0.9641
x sürekli rassal de¤iflkeni µµ = 50 ve σσ = 8 ile normal da¤›l›m göstermek üzere, P (30 ≤ x ≤ 39) de¤erini bulunuz.
µ = 50 ve σ = 8 olmak üzere, verilen x = 30 ve x = 39 de¤erlerinin (her iki-si de ortalaman›n solunda) z ciniki-sinden de¤erleri,
olarak bulunur. Ortalamayla bu iki nokta aras›ndaki alanlar bulu-narak, büyük alandan küçük ala-n›n ç›kart›lmas›yla istenen olas›l›k (alan) de¤eri elde edilir.
P (30 ≤ x ≤ 39 ) = P (-2.50 ≤ z ≤ -1.38) = 0.4938 – 0.4162 = 0.0776 x = 30 için z = 30-50
8
= -2.50 x = 39 için z = 39-50
8
= -1.38 x = 49 için z = 49-40
5
= 1.80
‹ s t a t i s t i k
150
0.5000 + 0.4641 = 0.9641
40 49 x
0.4641 0.5000
0 1.80
fiekil 6.34 P (x < 49) z de¤eri.
Ö R N E K 9
x
0
z 3.0 0.4978
0.5 - 0.4987 = 0.0013
40 55
fiekil 6.35 P (30 ≤ x ≤ 39) de¤eri.
ÇÖZÜM
x sürekli rassal de¤iflkeni µµ = 80 ve σσ = 12 ile normal da¤›l›m›n› göster-mek için, normal da¤›l›m e¤risi alt›nda kalan afla¤›daki alanlar› bulunuz.
a) x = 70 den x = 135’e kadar b) x = 27’nin sol taraf›
Verilen x noktalar›n›n z cinsinden de¤erleri,
olarak bulunur. Bu noktalar or-talaman›n iki taraf›nda yer ald›¤›
için, tablodan elde edilecek alan (olas›l›k) de¤erleri toplan›r.
P (70 ≤ x ≤ 135 )
= P (- 0.83 ≤ z ≤ 4.58)
= 0.2967 + 0.5000
= 0.7967
b) x = 27’nin sol taraf›ndaki ala-n› ya da x ’in 27’den küçük
de-¤er alma olas›l›¤›n› bulmak için z de¤eri bulunarak sonuca gidi-lir.
x = 27 için
P (x < 27) = P (z < – 4.42)
= 0.5 – P (– 4.42 < z < 0)
= 0.5 – 0.5 = 0.0 z = 27-80
12
= -4.42 x = 70 için z = 70-80
12
= -0.83 x = 135 için z = 135-80
12
= 4.58
Ünite 6 - Sürekli Rassal De¤iflkenler ve Normal Da¤›l›m 151
Ö R N E K 1 0
0.2967 + 0.5000 = 0.7967
x
0 70 80
-0.83 4.58
z fiekil 6.36 x = 70 ile x = 135 aras›ndaki alan.
0.5 - 0.5 = 0.0
x
0 80 -4.42
27
z fiekil 6.37 x = 27’
nin solundaki alan.
ÇÖZÜM