Bileflen ve bileflik olas›l›klar aras›ndaki fark› aç›klayabileceksiniz.
Ünite 4 - Olas›l›k 79
A M A Ç
N 3
Sayma kural›: E¤er bir deneyde; ilk aflamada m tane, ikinci aflamada n tane ve üçüncü aflamada k tane sonuç olmak üzere üç aflama bulunuyorsa, bu deneyin toplam sonuç say›s›
= m . n . k ’d›r.
Bir firmada çal›flan 100 kifliye, üst düzey yöneticilere çok yüksek ücretler öden-mesini onaylay›p onaylamad›klar› sorulmufl ve afla¤›daki tabloda verilen sonuçlar elde edilmifltir:
Yukar›daki tabloda 100 çal›flan; cinsiyet (erkek ya da kad›n) ve görüfl (onayl›-yor ya da onaylam›(onayl›-yor) özelliklerine (de¤iflken – karakteristik) göre s›n›flanm›flt›r.
Bu s›n›flamaya (da¤›l›m) çapraz tablo (contingency table) ad› verilmekte olup, sa-y›lar›n bulundu¤u kutulara da göze ya da hücre (cell) ad› verilmektedir.
Dikkat edilecek olursa, tabloda dört gözede iki karakteristi¤e ait s›kl›klar bu-lunmaktad›r. Örne¤in; bu gözelerin ilkinde bulunan 15 çal›flan, erkek ve yüksek ücret verilmesini onaylayanlar, olmak üzere iki karakteristi¤i ifade etmektedir.
Yukar›daki tabloya sat›r ve sütun toplamlar›n›n eklenmesi sonucunda tablo, afla¤›daki biçime dönüflmektedir.
Çal›flanlar aras›ndan rasgele bir çal›flan seçildi¤inde, bu çal›flan sadece cinsiyet ya da görüfl karakteristiklerinden birine göre de s›n›flanabilir. E¤er tek karakteris-tik dikkate al›nacak olursa; seçilen çal›flan, erkek olabilir, kad›n olabilir, onayl›yor olabilir ya da onaylam›yor olabilir. ‹flte bu dört karakteristik ya da olay›n olas›l›k-lar›na bileflen (marjinal) olas›l›k ad› verilmektedir. Bu olas›l›klara bileflen ya da ba-sit olas›l›klar denmesinin nedeni, bu olas›l›klar›n sat›r ya da sütun toplamlar›n›n genel toplama bölünmesiyle bulunmas›d›r.
Bileflen Olas›l›k: Basit olas›l›k olarak da bilinen bileflen olas›l›k, herhangi baflka olay dikkate al›nmaks›z›n, sadece bir olaya iliflkin olas›l›kt›r.
Yukar›daki Tablo 4.4’e iliflkin dört bileflen olas›l›k flöyle hesaplan›r:
Yukar›da belirtildi¤i gibi, erkek çal›flanlara iliflkin (sat›r) toplam de¤erlerinin genel toplama bölünmesiyle elde edilen bu de¤er gibi, öteki üç bileflen olas›l›k da kolayl›kla bulunur.
Elde edilen bileflen olas›l›klar›n da eklenmesiyle afla¤›daki tablo oluflturulur:
P Kad›n = 40
Cinsiyet Onayl›yor Onaylam›yor Toplam
Erkek 15 45 60
Kad›n 4 36 40
Toplam 19 81 100
Bileflen olas›l›k:
Basit olas›l›k olarak da bilinen bileflen olas›l›k, herhangi baflka olay dikkate al›nmaks›z›n sadece bir olaya iliflkin olas›l›kt›r.
Bu durumda, seçilen kiflinin, üst düzey yöneticilere yüksek ücret verilmesini onayl›yor olmas› olas›l›¤› nedir? Bu olas›l›k flöyle ifade edilebilir:
P (Onayl›yor | Erkek) biçiminde ifade edilen olas›l›¤a, “onaylaman›n koflullu olas›l›¤›” denmektedir ve bu gösterim “çal›flan›n erkek oldu¤u bilindi¤inde (veril-di¤inde) seçilen çal›flan›n onaylama olas›l›¤›” olarak okunmaktad›r.
Koflullu Olas›l›k: Koflullu olas›l›k bir olay›n olufltu¤unun bilinmesi duru-munda di¤er olay›n olma olas›l›¤›d›r. Örne¤in A ve B iki olay olmak üzere A olay›n›n koflullu olas›l›¤›,
P (A | B)
biçiminde gösterilir ve B olay› oldu¤unda A olay›n›n olmas› olas›l›¤› biçimde okunur.
Yukar›da Tablo 4.4’te verilmifl olan 100 çal›flana iliflkin sonuçlardan P ( Onayl›yor | Erkek ) koflullu olas›l›¤›n› bulunuz.
P (Onayl›yor | Erkek) koflullu olas›l›¤›nda rasgele seçilen bir çal›flan›n erkek ol-du¤u biliniyor ve bu kiflinin onaylama olas›l›¤›n›n bulunmas› isteniyor. Burada ilk olarak Tablo 4.4’ün birinci sat›r› ele al›nm›fl, seçilmifl olan bu kiflinin de, 60 tane erkek çal›flandan biri oldu¤u düflünülerek, bu sat›r tekrar yaz›lm›flt›r.
Cinsiyet Onayl›yor Onaylam›yor Toplam
Erkek 15 45 60
Onaylayan erkekler Çal›flan toplam erkek
Bu bilgiler ›fl›¤›nda aranan koflullu olas›l›k;
olarak bulunur. Bu hesaplamadan da görülece¤i gibi koflullu olas›l›k hesaplan›rken gerçekleflen olay›n de¤eri (erkek çal›flanlar) paydaya, olas›l›¤› bulunmak istenen olay›n de¤eri (onaylayan erkek) paya yaz›lmaktad›r.
P Onayl›yor | Erkek = Onaylayan erkek say›s› olas›l›kl› iki yönlü s›n›flama.
Cinsiyet Onayl›yor ( A ) Onaylam›yor ( B ) Toplam
Erkek ( E ) 15 45 60 P ( E ) = 0.60
Kad›n ( K ) 4 36 40 P ( K ) = 0.40
Toplam 19 81 100
P ( A ) = 0.19 P ( B ) = 0.81
Koflullu olas›l›k bir olay›n olufltu¤unun bilinmesi durumunda di¤er olay›n olma olas›l›¤›d›r. Örne¤in A ve B iki olay olmak üzere A olay›n›n koflullu olas›l›¤›, P ( A | B )
biçiminde gösterilir ve B olay› oldu¤unda A olay›n›n olmas› olas›l›¤› biçimde okunur.
Ö R N E K 1 5
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Afla¤›daki a¤aç diyagram›, koflullu olas›l›¤›n daha kolay anlafl›lmas›n› sa¤lamak amac›yla Örnek 4.15 için haz›rlanm›flt›r:
Tablo 4.4’te verilen sonuçlardan yararlanarak, rasgele seçilen kiflinin üst düzey yöneticilere yüksek ücret verilmesini onaylad›¤› bilindi¤ine göre, bu kiflinin kad›n çal›flan, olma olas›l›¤›n› bulunuz.
Burada aranan olas›l›k, P ( Kad›n | Onayl›yor ) = ?
biçimindedir. Yukar›daki örne¤e benzer olarak, Tablo 4.4’te ilk sütun olan onay-layanlar sütunu dikkate al›nmaktad›r.
Onayl›yor
Erkek 15
Kad›n 4 ← Onaylayan kad›nlar›n say›s›
Toplam 19 ← Toplam onaylayanlar›n say›s›
Bu bilgiler ›fl›¤›nda aranan olas›l›k de¤eri,
olup örne¤e iliflkin a¤aç diyagram› afla¤›dad›r.
P Kad›n | Onayl›yor = Onaylayan kad›n say›s›
Olas›l›¤› aranan olay Onayl›yor | Erkek Verilen (bilinen) olay
15 / 60 Aranan olas›l›k
45 / 60 Kad›n I Onaylam›yor
Olas›l›¤› aranan olay Aranan olas›l›k
1. Olaylar›n bileflen ve koflullu olas›l›klar› aras›ndaki fark› k›saca aç›klay›n›z ve birer örnek veriniz.
2. Bir firmada çal›flan 420 kifliye sigara içip içmedikleri ve üniversite mezunu olup ol-mad›klar› sorularak afla¤›daki iki yönlü tablo oluflturulmufltur.
Sigara Üniversite mezunu Üniversite mezunu de¤il
‹çiyor 35 80
‹çmiyor 130 175
Bu kiflilerden rasgele bir tanesi seçildi¤inde ; a. Üniversite mezunu olma,
b. Sigara içmiyor olma,
c. Sigara içti¤i bilindi¤ine göre üniversite mezunu olmama, d. Üniversite mezunu oldu¤u bilindi¤ine göre sigara içmiyor olma, olas›l›klar›n› bulunuz.
3. Bir araflt›rmada 2000 eriflkine kürtaja karfl› olup olmad›klar› sorulmufl ve elde edilen sonuçlar, cinsiyetlere göre afla¤›da verilmifltir.
Cinsiyet Karfl› de¤il Karfl›
Erkek 495 405
Kad›n 620 480
Bu gruptan rasgele seçilen bir kiflinin;
a. Kürtaja karfl› olmamas›, b. Kürtaja karfl› olmas›,
c. Kürtaja karfl› olmad›¤› bilindi¤ine göre kiflinin kad›n olmas›,
d. Kiflinin erkek oldu¤u bilindi¤ine göre kürtaja karfl› olma olas›l›klar›n› bulunuz.