De¤erleri ölçüm ya da tart›mla elde edilen, bir baflka anlat›mla say›mla elde edi-lemeyen bir de¤iflkene sürekli rassal de¤iflken denir. Sürekli bir rassal de¤iflkenin de¤erleri aral›klar halinde tan›mlan›r.
Sürekli Rassal De¤iflken: alaca¤› herhangi bir de¤erle, bir ya da daha fazla aral›kta tan›mlanan de¤iflkene, sürekli rassal de¤iflken denir.
Bir aral›kta sonsuz say›da de¤er olaca¤› için, sürekli rassal bir de¤iflkenin ala-bilece¤i de¤er say›s› da sonsuz kabul edilir ve bu de¤erlerin say›lmas› olanaks›z-d›r denir. Örne¤in bir pilin ömrü 40 , 40.25 ya da 40.247 saat olabilmektedir. An-cak bilinmektedir ki bir pilin ömrü en çok 200 saattir. Bu örnek için X, rassal se-çilen bir pilin ömrü olmak üzere, X’in alabilece¤i de¤erler 0 ile 200 aras›nda ola-cakt›r. Afla¤›da gösterildi¤i gibi X, 0 ile 200 aras›nda sonsuz say›da de¤er alabile-ce¤i için sürekli rassal bir de¤iflkendir.
Bu aral›ktaki herhangi bir nokta X ile gösterilen bir pilin ömrü olabilmektedir.
Bu aral›kta sonsuz say›da nokta olaca¤›ndan, bu noktalar›n temsil etti¤i de¤erler say›lamayacak sonsuzluktad›r.
Afla¤›da sürekli rassal de¤iflken için baz› örnekler verilmifltir.
1. Bir kiflinin boy uzunlu¤u.
2. S›navda bir sorunun çözülme süresi.
3. Bir bebe¤in a¤›rl›¤›.
4. Bir evin de¤eri (fiyat›).
5. Bir flifle sütün a¤›rl›¤›.
Daha çok kesikli rassal de¤iflkenlere ve da¤›l›mlar›na ayr›lan bu bölümü izle-yen bölümde, sürekli rassal de¤iflkenler ve da¤›l›mlar› ayr›nt›l› olarak verilecektir.
1. Rassal de¤iflken, kesikli rassal de¤iflken ve sürekli rassal de¤iflken kavramlar›n› aç›k-lay›n›z. Kesikli ve sürekli rassal de¤iflken için birer örnek veriniz.
2. Afla¤›daki rassal de¤iflkenleri kesikli ve sürekli olarak s›n›flay›n›z.
a.Bir s›n›ftaki ö¤renci say›s›
b.Bir kutu biran›n hacmi c.Bir çiftlikteki inek say›s›
i s t a t i s t i k
ÇÖZÜM
Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 107
Ö R N E K 1
Tablo 5.2 Sahip Olunan Otomobil Say›lar›na Göre Ailelerin S›kl›k ve Göreli S›kl›k Da¤›l›mlar›.
d. Bir evin yafl›
e. Bir kitapta en az bir hata olan sayfa say›s›
f. Bir doktorun bir hastay› muayene süresi
3. Afla¤›daki rassal de¤iflkenlerden hangilerinin kesikli hangilerinin sürekli oldu¤u-nu söyleyiniz.
a. Bir banka flubesinde herhangi bir günde aç›lan hesap say›s›
b. Bir maratonu koflma süresi c. Bir konser biletinin fiyat›
d. Rassal seçilen bir kutudaki çürük yumurta say›s›
e. Bir futbol maç›n›n sonucu f. Rassal seçilen bir paketin a¤›rl›¤›
KES‹KL‹ B‹R RASSAL DE⁄‹fiKEN‹N OLASILIK DA⁄ILIMI
Kesikli rassal de¤iflkenlerin olas›l›k da¤›l›m›n› oluflturabileceksiniz.
X kesikli bir rassal de¤iflken olmak üzere, X‘in olas›l›k da¤›l›m›, X‘in alabilece¤i de¤erlere göre olas›l›klar›n›n nas›l da¤›ld›¤›n› aç›klamaktad›r.
Kesikli Bir Rassal De¤iflkenin Olas›l›k Da¤›l›m›, rassal de¤iflkenin ala-bilece¤i de¤erle bunlara ait olas›l›klar›n listesidir.
Afla¤›daki Örnek 5.1’de; kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› kavram›-n› aç›klanmaktad›r.
Tablo 5.1’de verilmifl olan ailelerin sahip olduklar› otomobil say›lar›na iliflkin s›kl›k ve göreli s›kl›k da¤›l›m› tekrar yaz›lacak olursa,
biçimindedir. X rassal seçilen bir ailenin sahip oldu¤u otomobil say›s› ol-mak üzere, X‘in olas›l›k da¤›l›m›n› yaz›n›z.
Bir önceki bölümde (Bölüm 4) bir deneyden ya da örneklemden elde edilen gö-reli s›kl›klar›n, yaklafl›k olas›l›klar gibi kullan›labildi¤inden söz edilmiflti. Ancak bir kütle için göreli s›kl›klar›n bilinmesi, sonuçlar›n gerçek (kuramsal) olas›l›klar›n›
vermektedir. Bu nedenle Tablo 5.2’de verilmifl olan göreli s›kl›klar kullan›larak X kesikli rassal de¤iflkeninin olas›l›k da¤›l›m› do¤rudan yaz›labilmektedir (Tablo 5.2, son sütun).
Kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m› afla¤›daki iki özelli¤i tafl›r.
1. x de¤iflkenin alabilece¤i her bir de¤erin olas›l›¤› 0 ile 1 aras›nda olup 0 ≤ P(x) ≤ 1 biçiminde gösterilir.
2. x de¤iflkenin alabilece¤i tüm de¤erlerin olas›l›klar toplam› 1’dir ve Σ P(x) = 1 olarak gösterilir.
Otomobil Say›s› (x) S›kl›k Göreli S›kl›k Olas›l›k (P(x))
0 30 0.015 0.015
1 470 0.235 0.235
2 850 0.425 0.425
3 490 0.245 0.245
4 160 0.080 0.080
N = 2000 Toplam = 1.000 ΣP(x) = 1.00
A M A Ç
N 2
i s t a t i s t i k
Olas›l›k Da¤›l›m›n›n ‹ki Özelli¤i,kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›
afla¤›daki iki özelli¤i tafl›r.
1. 0 ≤ P(x) ≤ 1; x‘in her de¤eri için 2. Σ P(x) = 1
Bu iki özellik, bir olas›l›k da¤›l›m›n›n (kesinlikle) sa¤lamak zorunda oldu¤u iki koflul olarak da bilinmektedir. Bu nedenle yukar›daki tabloda verilmifl tüm olas›-l›klar 0 ile 1 aras›ndad›r ve olas›olas›-l›klar toplam› da 1’dir. Bu durumda yaz›lm›fl bu-lunan P(x) de¤erleri X‘in olas›l›k da¤›l›m›n› oluflturur.
Tabloda, örne¤in, rassal seçilen bir ailenin iki otomobili olma olas›l›¤› 0.425 olup,
P(x = 2) = 0.425
biçiminde gösterilir. Ayr›ca, seçilen bir ailenin ikiden çok otomobile sahip olma olas›l›¤› soruldu¤unda ise olas›l›klar toplanmaktad›r.
P(x > 2) = P(x = 3) + P(x = 4) = 0.245 + 0.080 = 0.325
Kesikli bir rassal de¤ifl-kenin olas›l›k da¤›l›m›, ma-tematiksel bir formül, bir tablo ya da bir grafik biçi-minde gösterilebilmektedir.
Afla¤›daki grafikte, yatay eksen X‘in ald›¤› de¤erler, dikey eksense bu de¤erle-re karfl›l›k gelen olas›l›klar (yükseklik) olmak üzere Tablo 5.2.’nin de¤erleri kul-lan›larak çizilmifltir. Bu tür grafiklere çizgi ya da hat grafi¤i ad› verilir.
Afla¤›daki tablolarda baz› x de¤erleri ve bunlara iliflkin olas›l›klar liste-lenmifltir. Bu tablolar›n her birinin geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› olup olma-d›¤›n› araflt›r›n›z.
ÇÖZÜM
a) Bu tabloda verilmifl olan tüm olas›l›klar 0 ile 1 aras›nda olduklar› için olas›l›k da¤›l›m›n›n birinci koflulunu sa¤lamaktad›r. Ancak olas›l›klar toplam› (Σ P(x)
= 0.08 + 0.11 + 0.39 + 0.27 = 0.85) 1 olmad›¤› için ikinci koflul sa¤lanma-makta, yani bu tablo, geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› göstermemektedir.
b) Bu tabloda verilmifl olan olas›l›klar›n tümünün 0 ile 1 aras›nda olmas› ve olas›-l›klar toplam›n›n (Σ P(x) = 0.25 + 0.34 + 0.28 + 0.13 = 1.00) 1 olmas› nedeniy-le, iki koflulda sa¤land›¤› için bu, geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› göstermektedir.
c) Bu tabloda verilmifl olan olas›l›klar toplam› (Σ P(x) = 0.70 + 0.50 - 0.20 = 1.00) 1 oldu¤u halde, olas›l›klardan bir tanesinin negatif olmas› nedeniyle ilk koflul sa¤lanmamakta ve bu tablo da geçerli bir olas›l›k da¤›l›m› göstermemektedir.
Eski verilerden yararlan›larak bir makinenin birer hafta süresince yap-t›¤› ar›za say›lar› listelenerek afla¤›da verilmifltir.
a) Olas›l›k da¤›l›m›n› grafiksel olarak gösteriniz.
b) Bu makinenin verilen bir hafta içerisinde afla¤›daki ar›za say›lar›na iliflkin olas›l›klar› bulunuz.
i) Kesinlikle iki ii) S›f›r iki aras›
iii) Birden çok iv) En çok bir
Yukarda verilmifl olan bilgilerden yararlan›larak, X: verilen bir hafta içerisinde makinenin ar›za say›lar›n› göstermek üzere olas›l›k da¤›l›m›,
biçiminde yaz›l›r.
a) Olas›l›k da¤›l›m› bilgilerinden yararlanarak olas›l›k da¤›l›m grafi¤i afla¤›daki biçimde çizilir.
Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 109
Ö R N E K 3
Haftal›k ar›za 0 1 2 3
Olas›l›k 0.15 0.20 0.35 0.30
ÇÖZÜM
Tablo 5.3 Ar›za Say›lar›n›n Olas›l›k Da¤›l›m›.
fiekil 5.2 Tablo 5.3.’deki Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Grafi¤i.
x P(x)
0 0.15
1 0.20
2 0.35
3 0.30
∑ P(x) = 1.00
0.15
0.20
0.35
0.30
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 1 2 3 x
P(x
ÇÖZÜM
i s t a t i s t i k
110
Ö R N E K 4
fiekil 5.3 A¤aç Diyagram›.
b) Yukar›da verilmifl olan Tablo 5.3’den yararlanarak istenen olas›l›klar bulunur.
i) Kesinlikle iki ar›za olma olas›l›¤›;
P (Kesinlikle iki ar›za) = P(x = 2) = 0.35
ii) S›f›r-iki ar›za olma olas›l›¤› (0, 1 ve 2 ar›za durumlar›n›n toplam›d›r).
P (0 - 2 ar›za) = P(0 ≤ x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)
= 0.15 + 0.20 + 0.35 = 0.70
iii) Birden çok ar›za olma olas›l›¤› (2 ve 3 ar›za durumlar›n›n toplam›d›r).
P (Birden çok ar›za) = P(x > 1) = P(x = 2) + P(x = 3)
= 0.35 + 0.30 = 0.65
iv) En çok bir ar›za olma olas›l›¤› (0 ve 1 ar›za durumlar›n›n toplam›d›r) P (En çok bir ar›za) = P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
= 0.15 + 0.20 = 0.35
Yap›lan bir araflt›rmaya göre; üniversite ö¤rencilerinin % 60’›n›n matema-tik derslerini sevmedikleri (fobi) ve s›navlar›ndan korktuklar› elde edil-mifltir. x matematik derslerini sevmeyen ö¤renci say›s›n› göstermek üze-re, bu gruptan rassal seçilen iki ö¤renci için deneyin olas›l›k da¤›l›m›n›
yaz›n›z.
Deney için tan›mlanmas› gereken iki olay;
N = Seçilen ö¤rencide matematik fobisi yok M = Seçilen ö¤rencide matematik fobisi var biçimindedir.
Afla¤›daki flekilden de görülece¤i gibi bu deneyin dört olas› sonucu bulunmak-tad›r (NN - her iki ö¤rencide de matematik fobisi yok , NM - ilk ö¤rencide ma-tematik fobisi yok ikincide var, MN – ilk ö¤rencide mama-tematik fobisi var ikincide yok, MM - her iki ö¤rencide de matematik fobisi var). Yukar›da verilen bilgiler-den P (M) = 0.60 oldu¤u bilinmektedir ve P (N) = 1 - P (M) = 1 - 0.60 = 0.40 ola-ca¤› kolayl›kla görülür. Bu durumda deneyin sonuçlar›,
P(x = 0) = P (NN ) = 0.16
P(x = 1) = P (NM ya da MN ) = P (NM ) + P (MN ) = 0.24 + 0.24 = 0.48 P(x = 2) = P (MM ) = 0.36
biçiminde ifade edilir.
N 0.40
M 0.60
Nihai sonuçlar ve olas›l›klar
‹kinci ö¤renci
‹lk ö¤renci
N 0.40
M 0.60
N 0.40
M 0.60
P(NN) = (0.40) (0.40) = 0.16
P(NM) = (0.40) (0.60) = 0.24
P(MN) = (0.60) (0.40) = 0.24
P(MM) = (0.60) (0.60) = 0.36
Yukar›da verilmifl olan olas›l›k de¤erlerinden, olas›l›k da¤›l›m› tablo biçiminde de yaz›labilir.
1. Kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›n›n ne oldu¤unu aç›klay›n›z. Kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›n›n hangi üç farkl› yolla ifade edildi¤ini söyleyiniz.
2. Kesikli bir rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m›n›n iki özelli¤ini (koflullar›n› ) k›saca aç›klay›n›z.
3. Afla¤›daki üç tabloda bir dizi x de¤eri ve bunlara iliflkin olas›l›klar verilmifltir. Bun-lardan hangileri olas›l›k da¤›l›m›n›n koflullar›n› sa¤lamaktad›r.