Gözlem sonuçlar›n›n maddesel bir de¤iflkenin fl›klar›na göre s›ralanmas›yla olufl-turulan serilere, “da¤›lma serileri” ad› verilir. Da¤›lma serileri ana çizgileriyle nicel ve nitel da¤›lma serileri olmak üzere ikiye ayr›l›r. Ancak bu ünitede, ifllemlere el-veriflli olmas› nedeniyle sadece nicel da¤›lma serileri ele al›nacakt›r. Nicel da¤›lma serileri de basit seriler (diziler), frekans serileri ve s›n›fland›r›lm›fl (grupland›r›lm›fl) seriler olmak üzere üç alt bafll›k alt›nda incelenebilir.
E¤er derlenen veriler ilgilenilen konunun d›fl›nda baflka bir yönde, örne¤in;
gözlem s›ras›na göre s›ralanm›flsa, bu s›ralamaya “liste” ad› verilir. Aç›kt›r ki, der-lenen verilerden ihtiyaç duyulan bilgilerin bir liste yard›m›yla elde edilmesi veri say›s› artt›kça giderek zorlafl›r. Çünkü, her aflamada listedeki sonuçlar›n tekrar tekrar gözden geçirilmesi gerekir.
Konunun kolayl›kla anlafl›labilmesi için, derlenen verilerden hareketle s›ras›y-la basit, frekans ve s›n›fs›ras›y-land›r›lm›fl serilerin elde edilmeleri afs›ras›y-la¤›daki örnek temel al›narak gösterilecektir.
14 ‹ s t a t i s t i k
Tablo 2.2 Baz› illerin denizden
yükseklikleri.
Kaynak: Türkiye
‹statistik Y›ll›¤› 2000.
E¤er gözlem sonuçlar›, bir zaman de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa zaman, mekan de¤iflkeninin fl›klar›na göre s›ralan›rsa mekan, zaman ve mekan de¤iflkenlerinin d›fl›nda bir de¤iflkenin fl›klar›na göre s›ralan›rsa da¤›lma serileri elde edilir.
Ü n i t e 2 - ‹ s t a t i s t i k S e r i l e r i ( F r e k a n s D a ¤ › l › m l a r › )
ÇÖZÜM
Tablo 2.3’de bir do¤um evinde do¤an 100 bebe¤in a¤›rl›klar›, do¤um s›ra-s›na göre verilmifltir:
Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k Do¤um A¤›rl›k
S›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg) S›ras› (kg)
001 2.0 026 3.0 051 2.3 076 1.8
002 2.5 027 2.0 052 2.8 077 2.8
003 2.6 028 3.3 053 2.5 078 2.7
004 1.7 029 3.5 054 2.7 079 2.8
005 2.6 030 2.6 055 1.7 080 1.9
006 2.8 031 3.5 056 2.7 081 3.0
007 2.5 032 1.7 057 2.0 082 2.5
008 1.5 033 2.8 058 3.0 083 2.7
009 2.5 034 3.1 059 2.4 084 3.2
010 2.7 035 2.3 060 2.2 085 2.6
011 2.3 036 3.1 061 2.6 086 2.1
012 3.0 037 2.9 062 2.5 087 2.8
013 2.4 038 2.5 063 1.6 088 2.3
014 1.9 039 2.5 064 2,8 089 2.7
015 3.2 040 2.7 065 2.5 090 3.2
016 2.2 041 2.6 066 3.0 091 2.6
017 3.4 042 2.2 067 2.8 092 1.9
018 2.7 043 2.8 068 2.7 093 3.1
019 3.5 044 2.1 069 1.9 094 2.5
020 1.8 045 2.1 070 2.6 095 2.8
021 3.5 046 2.4 071 2,4 096 2.7
022 2.5 047 2,8 072 3.1 097 2.6
023 2.8 048 2.5 073 2.2 098 2.5
024 2.3 049 2.7 074 3.1 099 2.9
025 2.9 050 2.6 075 2.5 100 2.3
Tablo 2.3’de do¤an bebeklerin a¤›rl›klar› do¤um s›ras›na göre kaydedildi¤inden, oluflturulan tablo bir liste niteli¤indedir.
fiimdi bu listeden yararlanarak, 3.2 kg’›n üzerinde kaç bebe¤in do¤du¤u araflt›r›ls›n.
Verilen listenin incelenmesiyle gözlem (do¤um) s›ras›na göre, 017, 019, 021, 028, 029 ve 031’inci s›rada do¤an bebeklerin 3.2 kg’›n üzerinde oldu¤u görülür. Ancak bu sonuca ulaflabilmek için, listenin en az bir kez bafltan sona kadar gözden ge-çirilmesi gerekir.
E¤er liste belirlenen amaçlar do¤rultusunda düzenlenirse, baflka bir anlat›mla bir frekans da¤›l›m› oluflturulursa, istenilen sonuçlara daha k›sa zamanda ulafl›la-bilir. Örne¤in 3.2 kg’dan daha a¤›r do¤an bebek say›s›na, tüm veriler gözden ge-çirilmeden kolayl›kla ulafl›labilir. Böyle bir s›ralama sonucu elde edilen istatistik serisine “basit seri” ad› verilir.
100 bebe¤in a¤›rl›klar› hafiften a¤›ra do¤ru s›ralanarak oluflturulan basit seri afla¤›da Tablo 2.4’de verilmifltir.
15
Ö R N E K 1
Tablo 2.3 Bebek a¤›rl›klar› (kg) (Liste).
A¤›rl›k (kg)
1.5 1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2,8 2,9 3,1
1.6 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2
1.7 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2
1.7 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,2
1.7 2.1 2.3 2.5 2.5 2.6 2.7 2,8 3,0 3,3
1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.7 2,8 3,0 3,4
1.8 2.1 2.3 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5
1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,8 3,1 3,5
1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 3,1 3,5
1.9 2.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 3,1 3,5
Tablo 2.4 yard›m›yla, yap›lan gözlemler çerçevesinde en a¤›r do¤an bebekle-rin say›s›n›n 4 oldu¤u bir bak›flta kolayl›kla görülebilir.
E¤er en a¤›r do¤an bebekler de¤il de örne¤in 2.5 kg do¤an bebeklerin say›s›yla ilgilenilirse, 2.5 kg do¤an bebek say›s› tablodan tek tek say›larak elde edilebilecektir.
Aç›kça görülebilece¤i gibi gözlem say›s› artt›kça, istenilen bilgilere ulaflmak da giderek zorlaflacakt›r.
Tablo 2.4 incelendi¤inde, gözlem de¤erlerindeki tekrarlar dikkat çekecektir.
Verilerin daha kolay kavranmas› aç›s›ndan, gözlem de¤erlerinin yan›na gözlem de¤erinin kaç kez tekrarland›¤› kaydedilerek oluflturulan seriye “frekans serisi”, tekrarlara da “frekans” ad› verilir.
Tüm bu sözü edilenler do¤rultusunda oluflturulan frekans serisi afla¤›da verilmifltir:
A¤›rl›k (kg) Frekans
X f
1.5 1
1.6 1
1,7 3
1.8 2
1.9 4
2.0 3
2.1 3
2.2 4
2.3 6
2.4 4
2.5 14
2.6 10
2.7 11
2.8 12
2.9 3
3,0 5
3.1 5
3.2 3
3.3 1
3.4 1
3.5 4
Toplam Frekans 100
16 ‹ s t a t i s t i k
Tablo 2.4 Bebek a¤›rl›klar› (Basit Seri).
Ü n i t e 2 - ‹ s t a t i s t i k S e r i l e r i ( F r e k a n s D a ¤ › l › m l a r › )
Yukar›daki frekans serisinden, örne¤in 2.5 kg do¤an bebeklerin say›s›n›n 14 oldu¤u bir bak›flta görülebilmektedir.
Frekans serilerinin basit serilere göre kavranmalar› daha kolay olmakla birlik-te, yine de ayr›nt›l›d›r. Aç›kt›r ki, gözlem say›s› artt›kça bu tür serilerinde kavran-malar› giderek zorlafl›r.
Deney ya da gözlem say›lar› çok iken, deney ya da gözlem sonuçlar›n›n belir-li aral›klar (s›n›flar) içinde kalan fl›klara göre düzenlenmesiyle oluflturulan istatis-tik serisine s›n›fland›r›lm›fl ya da grupland›r›lm›fl seri ad› verilir. Örne¤in bir
do-¤um evinde dünyaya gelen 100 bebe¤in a¤›rl›klar› için farkl› büyüklükteki s›n›fla-ra göre, afla¤›daki gibi frekans da¤›l›mlar› oluflturulabilir:
A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar A¤›rl›k S›n›flar› Frekanslar
(kg) f (kg) f
1.50 - 1.75 5 1.2 - 1.7 2
1.75 - 2.00 6 1.7 - 2.2 15
2.00 - 2.25 10 2.2 - 2.7 38
2.25 - 2.50 10 2.7 - 3.2 36
2.50 - 2.75 35 3.2 - 3.7 9
2.75 - 3.00 15 100
3.00 - 3.25 13 3.25 - 3.50 2 3.50 - 3.75 4 100
S›n›fland›r›lm›fl seriler oluflturulurken dikkat edilmesi gereken önemli bir nok-ta, e¤er sürekli bir de¤iflkene iliflkin gözlem de¤erleri s›n›fland›r›l›yorsa, her s›n›-f›n üst s›n›r›yla onu izleyen s›n›s›n›-f›n alt s›n›r› aras›ndaki fark›n sonsuz küçük olacak flekilde oluflturulmas› gere¤idir. Örne¤in yukar›daki s›n›fland›r›lm›fl serilerin ilkin-de 2.50 - 2.75 s›n›f› göz önüne al›ns›n. 2.50 dahil olmak üzere 2.75’den küçük tüm gözlem de¤erleri bu s›n›f içinde, 2.75 dahil olmak üzere 3.00’den küçük tüm göz-lem de¤erleri de izleyen s›n›f içinde yer almal›d›r.
E¤er gözlem de¤erleri sürekli olmayan (kesikli) bir de¤iflkene iliflkinse, örne¤in 100 ö¤rencinin istatistik dersinden ald›¤› notlar afla¤›daki gibi s›n›fland›r›labilir:
Not S›n›flar› Frekanslar
(Puanlar) f
0-15 1
16-31 10
32-47 33
48-63 34
64-79 10
80-95 10
96 ve daha çok 2
100
17
ÇÖZÜM
Bir s›n›f›n alt ve üst s›n›rlar› aras›ndaki farka, “s›n›f aral›¤›” ya da “s›n›f lü¤ü” ad› verilir ve h ile gösterilir. Yukar›daki not da¤›l›m› örne¤inde s›n›f büyük-lü¤ü 15 puand›r. Dikkat edilirse ayn› seride son s›n›f, 96 ve daha çok olarak yer alm›flt›r. Bu durum en büyük puan›n 100 olmas›ndan kaynaklanm›flt›r. E¤er s›n›f-land›rmaya ayn› sistematikle devam edilmifl olsayd›, son s›n›f›n 96 - 111 biçimin-de olmas› gerekirdi. Bafllang›ç ve bitifl s›n›rlar› belirtilmeyen bu tür s›n›flara “aç›k s›n›flar” denir. Aç›k s›n›flar›n kullan›lmalar› halinde, en küçük ya da en büyük
de-¤er bilinemeyece¤inden baz› hesaplamalarda ve grafik çizimlerinde güçlüklerle karfl›lafl›lacakt›r. Herhangi bir zorunluluk olmad›kça, aç›k s›n›flar›n kullan›lmas›n-dan kaç›n›lmal›d›r.
Kuramda s›n›flar›n oluflturulmas›na iliflkin kesin bir kural yoktur. S›n›f say›s›n›
do¤rudan araflt›rmac› belirler. Ancak s›n›f say›s›n›n, karfl›lafl›lan özel problemin yap›s›na ve araflt›rman›n amaçlar›na uygun bir biçimde belirlenmesi gerekir.
E¤er s›n›flama yap›l›rken s›n›f aral›¤› dar seçilirse, s›n›f say›s› artar ve frekans da¤›l›m›n›n kavranmas› giderek zorlafl›r. Aksi durumdaysa, s›n›f say›s› azal›r. An-cak da¤›l›ma iliflkin baz› ayr›nt›lar gizli kal›r.
Uygulamalarda bir frekans da¤›l›m›na iliflkin s›n›f say›s›n›n 7 - 20 ya da 10 - 30 aras›nda olmas›n›n uygun sonuçlar verdi¤i görülmüfltür.
Gerçekte verilerin s›n›fland›r›lmas› çok say›daki verinin kavranmas›n› büyük ölçüde kolaylaflt›r›rken, baz› bilgi kay›plar›na da neden olur. Örne¤in 100
bebe-¤in a¤›rl›klar›na iliflkin frekans serisinden 2.6 kg do¤an bebek say›s›n›n do¤rudan 10 bebek oldu¤u görülebilir. Buna karfl›n ayn› veri s›n›fland›r›ld›¤›nda, s›n›fland›-r›lm›fl seride do¤rudan kaç bebe¤in 2.6 kg olarak do¤du¤u görülemez. ‹lgili veri-ye iliflkin ilk s›n›fland›r›lm›fl seri göz önüne al›nd›¤›nda 2.6 kg, 2.50 - 2.75 s›n›f›n›n içinde yer almakta ve bu s›n›f›n frekans› da 35 olarak görülmektedir. Gerçekte 2.50 - 2.75 s›n›f›nda, 2.50 ve 2.7499... kg do¤an tüm bebekler yer almaktad›r.
S›n›fland›r›lm›fl serilerde s›n›flar› temsil edebilecek de¤iflken de¤erinin ne ola-ca¤› da bir sorun olarak ortaya ç›kar. Uygulamada gözlem de¤erlerinin ilgili s›n›f içinde düzgün da¤›ld›¤› varsay›larak s›n›f orta noktalar›, ilgili s›n›fa iliflkin de¤ifl-ken de¤eri olarak kabul edilir.
Konuyla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatlice gözden geçiriniz.
Afla¤›da verilen frekans da¤›l›m›nda, ilgili s›n›flara karfl› gelen de¤iflken de¤erlerini belirleyiniz.
S›n›flar f
0 – 4 4
4 – 8 10
8 – 12 17
12 – 16 25
16 – 20 14
20 – 24 6
24 – 28 4
80
S›n›f orta noktalar› ilgili s›n›flara iliflkin de¤iflken de¤eri olaca¤›ndan, her s›n›f›n orta noktas› ilgili s›n›fa de¤iflken de¤eri olarak atan›r.
18 ‹ s t a t i s t i k
Ö R N E K 2
Ü n i t e 2 - ‹ s t a t i s t i k S e r i l e r i ( F r e k a n s D a ¤ › l › m l a r › )
ÇÖZÜM
19
S›n›f Orta Noktalar›
S›n›flar f X
0 – 4 4 (0+4) / 2 = 2
4 – 8 10 (4+8) / 2 = 6
8 – 12 17 (8+12) / 2 = 10
12 – 16 25 (12+16) / 2 = 14
16 – 20 14 (16+20) / 2 = 18
20 – 24 6 (20+24) / 2 = 22
24 – 28 4 (24+28) / 2 = 26
80