Olas›l›¤a üç kavramsal yaklafl›m: 1) klasik olas›l›k, 2) olas›l›¤›n göreli s›kl›k kavram› ve 3) öznel olas›l›k kavram›d›r. Olas›l›¤›n bu üç kavram›n›n aç›klama-lar› afla¤›dad›r.
Klasik Olas›l›k
Sonuçlar›n ortaya ç›kma olas›l›klar› ayn› ise buna eflit olas›l›kl› (benzer) sonuçlar denir. Klasik olas›l›k kural›, tüm sonuçlar› eflit olas›l›kl› olan deneylerin sonuçlar›-na iliflkin olas›l›klar› hesaplamada kullan›lmaktad›r.
Klasik olas›l›k kural›na göre bir deneydeki basit bir olay›n olas›l›¤› 1’in tüm so-nuç say›s›na bölünmesine eflittir.
Bu ifadeden de anlafl›lmaktad›r ki, bir deneyin tüm nihai sonuçlar›n›n olas›-l›klar toplam› 1’dir ve tüm nihai sonuçlar eflit olas›l›kl›d›r. Öte yandan, A bileflik olay›n›n olas›l›¤›ysa, A olay›nda içerilen sonuç say›s›n›n toplam sonuç say›s›na bö-lünmesiyle elde edilmektedir.
Klasik Olas›l›k Kural›
Paran›n bir kez at›lmas› deneyinde bir yaz› ve bir tura elde edilmesi ola-s›l›¤›n› bulunuz.
Bu deneyde yaz› ve tura olmak üzere iki sonuç bulunmaktad›r ve bu sonuçlar eflit olas›l›kl›d›r. Bu nedenle,
sonuçlar› elde edilir.
Zar›n bir kez at›lmas› deneyinde çift say› elde edilmesi olas›l›¤›n› bulunuz.
Bu deneyde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak üzere alt› sonuç bulunmaktad›r ve tüm so-nuçlar eflit olas›l›kl› soso-nuçlard›r. A bileflik olay› 2, 4 ve 6 gelmesi biçiminde tan›m-lan›rsa,
A = {2, 4, 6}
örneklem uzay›ndaki toplam alt› sonucun üç tanesi A olay›nca içerilmifl olur ve A olay›n›n olma olas›l›¤›,
Deneyin toplam sonuç say›s›
P (A) = A olay›nda içerilen sonuç say›s›
Deneyin toplam sonuç say›s›
Ünite 4 - Olas›l›k 75
Eflit olas›l›kl› sonuçlar:
‹ki ya da daha çok sonucun (ya da olay›n) ortaya ç›kma olas›l›¤› ayn›ysa bunlara eflit olas›l›kl› sonuç (ya da olay) denir.
Ö R N E K 7
P (Ei ) = 1
Deneyin toplam sonuç say›s›
P (A) =A olay›nda içerilen sonuç say›s›
Deneyin toplam sonuç say›s›
Klasik olas›l›k kural›:
Ö R N E K 8
ÇÖZÜM
olarak bulunur.
Bir derne¤in 60’› erkek ve 40’› kad›n olmak üzere toplam 100 üyesi bulun-maktad›r. Bu üyeler aras›nda bir tanesi dernek baflkan› olmak için rasge-le seçirasge-lecektir. Bir kad›n üyenin dernek baflkan› seçilme olas›l›¤› nedir?
Seçim rasgele olaca¤› için derne¤in 100 üyesinin de seçilme olas›l›¤› ayn›d›r. Ya-ni bu deneyde toplam olarak 100 tane eflit olas›l›kl› sonuç vard›r. Burada iste-nense 40 kad›n üyeden bir tanesinin seçilmesidir. Bu da,
biçiminde bulunur.
Olas›l›¤›n Göreli S›kl›k Kavram›
‹lk olarak afla¤›daki olas›l›klar›n hesaplanmak istendi¤ini düflünülsün.
1. Bir otomobil fabrikas›nca bundan sonra üretilecek otomobilin kusurlu olma olas›l›¤›,
2. Rasgele seçilmifl bir ailenin y›ll›k gelirinin 5.000.000.000 TL’den fazla olmas›
olas›l›¤›,
3. Bir hastanede bundan sonra do¤acak çocu¤un cinsiyetinin k›z olmas› olas›l›¤›, 4. 80 yafl›ndaki birinin en az bir y›l daha yaflamas› olas›l›¤›,
5. Hileli bir paran›n at›lmas› sonucunda yaz› gelmesi olas›l›¤›, 6. Cival› bir zar›n at›lmas› sonucunda 1 gelmesi olas›l›¤›.
Bu deneylerdeki sonuçlar eflit olas›l›kl› olmad›¤› için, yukar›da s›ralanan olaylara iliflkin olas›l›klar klasik olas›l›k hesaplama kural›yla hesaplanamaz. Ör-ne¤in fabrikada bundan sonra üretilecek ilk araba kusurlu ya da kusursuz ola-bilir. Ancak burada kusurlu ya da kusursuz sonuçlar›n›n elde edilmesi olas›l›k-lar› eflit de¤ildir.
Yukar›da oldu¤u gibi, sonuçlar› eflit olas›l›kl› olmayan deneylerde, deney de-falarca tekrar edilerek veri üretilmektedir. Böylesi durumlarda olas›l›klar› hesapla-mak için ya eski verilerden yararlan›lhesapla-makta ya da deney çok kez tekrarlanhesapla-mak su-retiyle yeni veri üretilmektedir. Bu verilerden yararlanarak bir olaya iliflkin (yakla-fl›k) olas›l›k de¤eri için göreli s›kl›klardan yararlan›lmaktad›r. Bu yönteme “olas›-l›¤›n göreli s›kl›k kavram›” ad› verilmektedir. Çünkü deneyin tekrarlanmas› sonu-cunda göreli s›kl›klar elde edilmekte ve bunlardan yararlan›larak da olas›l›klar he-saplanmaktad›r. Deneyin her tekrar›ndan sonra göreli s›kl›klar de¤iflece¤inden, olas›l›klar da de¤iflecektir. Ancak bu olas›l›klar›n de¤ifliminin azalt›lmas›, örnek-lem hacminin art›r›lmas› yoluyla sa¤lanabilmektedir.
P Bir kad›n›n dernek baflkan› seçilmesi = 40 100
= 0.4 P A = A olay›nca içerilen sonuç say›s›
Deneyin toplam sonuç say›s›
= 3 6
= 0.5
i s t a t i s t i k
76
Ö R N E K 9
ÇÖZÜM
Yaklafl›k Olas›l›k ‹çin Göreli S›kl›k
E¤er bir deney n kez tekrarlanm›fl ve f kez bir A olay› gözlenmifl ise olas›l›¤›n gö-reli s›kl›k kavram›na göre olas›l›k,
biçiminde bulunur.
Bir otomobil fabrikas›nda üretilen otomobillerden rasgele 500 tanesi se-çilmifl ve 10 tanesinin kusurlu oldu¤u görülmüfltür. Kusurlu üretim yap-man›n da rasgele oldu¤unu düflünerek, ilk üretilecek otomobilin kusurlu olmas› olas›l›¤› nedir?
Örneklemdeki (seçilen) otomobil say›s›na n = 500, kusurlu otomobil say›s›na f = 10 denecek olursa, göreli s›kl›k kural› gere¤ince olas›l›k,
elde edilir. Bu olas›l›k 500 otomobilden elde edilen göreli s›kl›ktan hesaplanm›fl özel bir de¤erdir. Afla¤›daki Tablo 4.2’de bu örnek için s›kl›k ve göreli s›kl›k
da-¤›l›mlar› verilmifltir.
Bu tablodaki göreli s›kl›k sütunu yaklafl›k olas›l›klar sütunu olarak kullan›l-maktad›r. Bu sütundan,
P (‹lk üretilecek otomobil kusurlu) = 0.02 P (‹lk üretilecek otomobil kusursuz) = 0.98
de¤erleri bulunur. Burada unutulmamas› gereken, göreli s›kl›klar›n gerçek olas›-l›klar de¤il sadece yaklafl›k olas›olas›-l›klar oldu¤udur. Göreli s›kolas›-l›klardan elde edilen olas›l›klar›n gerçek olas›l›klar olabilmesi için deneyin çok (sonsuz) kez tekrarlan-mas› gerekir ki buna “Büyük Say›lar Yasas›” ad› verilir.
Büyük Say›lar Yasas›
Bir deney çok (sonsuz) kez tekrarlan›rsa, bir olay›n göreli s›kl›klar› kuramsal ola-s›l›¤a yaklafl›r.
Ayfle, Ankara’da rasgele seçilen bir ailenin ev sahibi olma olas›l›¤›n› belir-lemek istemektedir. Bu olas›l›¤› acaba nas›l belirleyecektir?
P ‹lk üretilecek otomobil = f
Yaklafl›k olas›l›k için göreli s›kl›k: E¤er bir deney n kez tekrarlanm›fl ve f kez bir A olay› gözlenmifl ise
Bir deney çok (sonsuz) kez tekrarlan›rsa, bir olay›n göreli s›kl›klar› kuramsal olas›l›¤a yaklafl›r.
Ö R N E K 1 1
ÇÖZÜM
Ankara’dan rasgele seçilmifl bir aile için ev sahibi olma ya da olmama gibi iki so-nuç bulunmaktad›r. Bu iki olay eflit olas›l›kl› de¤ildir. Çünkü; Ankara’da ikamet edenlerin ne kadar›n›n ev sahibi oldu¤u bilinmemektedir. Bu nedenle klasik ola-s›l›k kural› uygulanamamaktad›r. Böylesi durumlarda ayn› deney çok kez tekrar-lanarak olas›l›k de¤eri (yaklafl›k olarak) göreli s›kl›klardan hesaplanmaktad›r. Ay-fle’de bu durumu bildi¤i için Ankara’dan rasgele 1.000 aileyi seçerek bunlardan 670 tanesinin ev sahibi, 330 tanesinin ise ev sahibi olmad›¤›n› belirledi. Bu sonuç-lar ›fl›¤›ndaki gibi,
n = örneklem hacmi = 1.000 f = ev sahibi olanlar›n say›s› = 670 olmak üzere olas›l›k de¤erleri,
olarak buldu.
Öznel Olas›l›k Kavram›
Ço¤u kez, ne sonuçlar› eflit olas›l›kl›, ne de veri üretmek için tekrarlanabilen de-neylerle karfl›laflabiliriz. Böylesi durumlarda olaylar›n olma olas›l›klar›, klasik olas›l›k kural› ya da göreli s›kl›k kavram› kullan›larak hesaplanamamaktad›r. Ör-ne¤in, ‹statisti¤e Girifl dersini alan Ahmet’in dönem sonunda o dersten A alarak geçme (baflar›l› olma) olas›l›¤› nedir? Sorusuna cevap vermek gerçekten güçtür.
Çünkü Ahmet bu dersten geçebilmek için test s›nav›na (s›navlar›na) bir kez gi-recek ve s›navdaki baflar› durumuna göre A notu alacak ya da alamayacakt›r. Bu olay için söz konusu olan A notu alma ya da almama gibi iki sonuç bulunmak-la birlikte, bu sonuçbulunmak-lar›n ortaya ç›kmas› eflit obulunmak-las›l›kl› de¤ildir. Bu gibi durumbulunmak-lar- durumlar-da düflünülen (öngörülen) olas›l›¤a öznel olas›l›k denmektedir. Bu olas›l›k bi-reyin de¤er yarg›s›na, deneyimine, düflüncesine göre de¤iflmektedir. Gerçekten de Ahmet bu dersten A notu alma olas›l›¤›n› yüksek görürken, dersin hocas› da-ha düflük görebilir.
Öznel olas›l›k keyfi bir de¤er olup, öngörüde bulunan kiflinin deneyiminden, yanl›l›¤›ndan ve be¤enisinden etkilenir.
1. Üç olas›l›k yaklafl›m›n› k›saca aç›klay›n›z ve bu üç yaklafl›m için birer örnek veriniz.
2. Afla¤›dakilerden hangilerinin olaylara iliflkin olas›l›klar olamayaca¤›n› nedenleri ile birlikte söyleyiniz.
1 / 5 0.97 -3.5 1.56 5 / 3 0.0 -2 / 7 1.0
3. Çoktan seçmeli bir test s›nav›nda sorular için befl seçenek bulunmaktad›r. Herhangi bir sorunun cevab› rasgele iflaretlenecek olursa; cevab›n
a) Do¤ru olma olas›l›¤›n›,
b) Yanl›fl olma olas›l›¤›n› bulunuz.
P Rastgele seçilen ailenin ev sahibi olmas› = f
n = 670
Bir olay için öznel de¤er yarg›s›na, deneyim, bilgi ve düflünceye dayal› olas›l›kt›r.
ÇÖZÜM