De¤iflim Katsay›s›
3. Afla¤›da verilen serinin varyans›n› hesaplay›n›z
‹ s t a t i s t i k
64
S O R U
D ‹ K K A T S I R A S ‹ Z D E
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S I R A S ‹ Z D E
S O R U
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D ‹ K K A T
S I R A S ‹ Z D E S I R A S ‹ Z D E
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
x f
12 2
14 6
18 7
20 3
26 2
20
x1 (kg) f x2 (lt) f
0 - 4 4 0 - 10 7
4 - 8 4 10 - 20 12
8 - 12 8 20 - 30 20
12 - 16 6 30 - 40 11
16 - 20 5 40 - 50 5
20 - 24 3 55
30
S›n›flar f
0 - 5 1
5 - 10 4
10 - 15 10
15 - 20 20
20 - 25 15
25 - 30 10
30 - 35 5
65
Ü n i t e 3 - M e r k e z i E ¤ i l i m v e D e ¤ i fl k e n l i k Ö l ç ü l e r i 65
Kendimizi S›nayal›m
1.
Yukar›da verilen serinin aritmetik ortalamas› kaçt›r?
a. 20.12 b. 27.13 c. 29.42 d. 30.86 e. 32.15
2. 5 birimden oluflan bir basit seride gözlem de¤erleri-nin toplam› oldu¤una göre, serinin aritmetik ortalamas› kaçt›r?
3. 15 gözlem de¤erinden oluflan bir basit serinin aritme-tik ortalamas› 50 ise bu serideki gözlem de¤erlerinin top-lam› kaçt›r?
4. Bir ö¤rencinin Olas›l›k dersinden birinci, ikinci ara s›-nav ve final notlar› afla¤›daki tabloda verilmifltir. (Sonucu birinci ara s›nav %10, ikinci ara s›nav %20 ve final notu da %70 oran›nda etkileyecektir.)
Buna göre bu ö¤rencinin baflar› notu kaçt›r?
a. 45.5
Yukar›da verilen serinin medyan› kaçt›r?
a. 15
66 ‹ s t a t i s t i k
6. Bir seri için kareli ortalama K = 10 ve aritmetik ortala-ma olarak hesaplanm›flt›r. Bu serinin standart sapmas› kaçt›r?
7. Kareli ortalamas› K= 20 ve aritmetik ortalamas›
olan bir serinin tüm gözlem de¤erleri 3 ile çarp›larak ye-ni bir seri oluflturulmufltur. Yeye-ni seriye-nin varyans› kaçt›r?
a. 12
Yukar›da verilen serinin modu kaçt›r?
a. 47/12
10.Aritmetik ortalamas› ve varyans› σ2= 144 olan bir serinin de¤iflim katsay›s› yüzde kaçt›r?
a. 1.44
ÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri, 2. Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1994.
FOX, William: Social Statistics Using Micro Case, Mic-ro Case Corp., Washington, 1992.
GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›, ‹s-tanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹s‹s-tanbul, 1977.
NEWBOLD, Paul: (Çeviren: Ümit fienesen), ‹flletme ve
‹ktisat ‹çin ‹statistik, Literatür Yay›nlar›, ‹stanbul, 2000.
YATES, D. , MOORE D. , McCABE G. The Practice of Statistics,W.H. Freeman, New York, 1999.
x = 100
Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak:
• Verilen tan›mlar iyice incelenmeli,
• Örnek sorular çözülürken dikkatli olunmal›,
• Kavramlar birbiriyle kar›flt›r›lmamal›,
• Al›flt›rmalarda verilen bilgiler iyi de¤erlendirilerek istenenlerin neler oldu¤u net bir biçimde ortaya konmal›d›r.
67
Olas›l›k 4
Amaçlar:
Deney ve sonuçlar›ndan hareketle, örneklem uzay›n› yazabileceksiniz.
Verilen tan›mlar› uygulayarak, olas›l›klar hesaplayabileceksiniz.
Olaylardaki aflama say›s›na ba¤l› olarak, toplam sonuç say›s›n› yazabileceksiniz.
Bileflen ve bileflik olas›l›klar aras›ndaki fark› aç›klayabileceksiniz.
Ayr›k olay kavram›n› aç›klayabileceksiniz.
Ba¤›ms›z ve ayr›k olaylar aras›ndaki fark› yazabileceksiniz.
Tamamlay›c› olaylar kavram›n› aç›klayabileceksiniz.
Ayn› anda ortaya ç›kan olaylar›n olas›l›¤›n› hesaplayabileceksiniz.
Olaylardan en az birinin ortaya ç›kmas›na iliflkin olas›l›¤› hesapla-yabileceksiniz.
‹çerik Haritas›
• G‹R‹fi
• DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM UZAYI
• OLASILIK HESAPLAMA
• Olas›l›¤›n ‹ki Özelli¤i
• Olas›l›¤a Üç Kavramsal Yaklafl›m
• SAYMA KURALI
• B‹LEfiEN (MARJ‹NAL) VE KOfiULLU OLASILIKLAR
• AYRIK OLAYLAR
• BA⁄IMSIZ VE BA⁄IMLI OLAYLAR
• TAMAMLAYICI (BÜTÜNLEY‹C‹) OLAYLAR
• OLAYLARIN ARA KES‹T‹ VE ÇARPMA KURALI
• Olaylar›n Ara Kesiti
• Çarpma Kural›
• Ba¤›ms›z Olaylar ‹çin Çarpma Kural›
• Ayr›k Olaylar›n Bileflik Olas›l›¤›
• OLAYLARIN B‹LEfi‹M‹ VE TOPLAMA KURALI
• Olaylar›n Bileflimi
• Toplama Kural›
• Ayr›k Olaylar ‹çin Toplama Kural›
i s t a t i s t i k
68
N N N N N N N N N
G‹R‹fi
Olas›l›k, günlük yaflam›m›zda s›kça kulland›¤›m›z, yararland›¤›m›z bir kavramd›r.
Örne¤in meteoroloji uzman› sabah haberlerinde o gün % 80 olas›l›kla ya¤mur
ya-¤aca¤›n›, sa¤l›k uzmanlar› sigara içenlerin içmeyenlere oranla kansere yakalanma riskinin daha yüksek olaca¤›n›, s›nav› baflar›s›z geçmifl bir ö¤renci o dersten geç-me flans›n›n çok az olaca¤›n› söyler.
Herhangi bir olay›n meydana gelme flans›n› ölçmeyle ilgilenen olas›l›k, istatis-ti¤in önemli bir bölümünü oluflturmaktad›r. ‹statisistatis-ti¤in ç›karsama (öngörü) teme-lini oluflturan olas›l›k, belirsizlik durumunda sa¤l›kl› kararlar vermeyi sa¤lad›¤›
için, planlama çal›flmalar›nda yo¤un bir biçimde kullan›lmaktad›r. Örne¤in bir fir-man›n gelecek y›ldaki sat›fl kestirimleri, bir k›sm› gerçekleflecek bir k›sm› gerçek-leflmeyecek bir çok varsay›ma dayal›d›r. Bu nedenlerden dolay› olas›l›k kuram›, bizlere belirsizlik alt›nda ya da mevcut bilgilerin tam ve sa¤l›kl› olmamas› gibi du-rumlarda do¤ru ve sa¤l›kl› kararlar verebilmede yard›mc› olacakt›r. Bu bölümde ilk olarak ilgili temel kavramlar verilecek, daha sonra olas›l›k hesaplama kuralla-r›ndan önemli olanlar› basit bir biçimde gösterilecek ve son olaraksa kesikli veri-lerin en temel da¤›l›mlar›ndan biri olan Binom da¤›l›m› anlat›lacakt›r.
DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM UZAYI
Deney ve sonuçlar›ndan hareketle, örneklem uzay›n› yazabileceksiniz.
Vida üreten bir firmada kalite kontrol uzman› olarak görev yapan Rag›p Keskin-göz üretim hatt›ndan rasgele bir vida alarak vidan›n hatal› olup olmad›¤›n› ince-ler. Rag›p Keskingöz’ün bir viday› inceleme eylemi istatistiksel deneye bir örnek-tir. Bu inceleme sonucunda vida hatas›z ya da hatal› biçiminde de¤erlendirilecek-tir. Bu iki gözlem bilgisine deneyin sonucu (outcome) denirken, bu sonuçlar›n birlikte ele al›nmas› neticesindeyse bu deneyin örneklem uzay› oluflur.
Pek çok gözlemden sadece bir tanesinin gerçekleflmesi sürecine “deney”, bu gözlemlere “deneyin sonuçlar›” ve bu sonuçlar›n tümüne ise “deneyin örneklem uzay›” denmektedir.
Bir örneklem (örnek) uzay› S harfiyle ifade edilmekte olup yukar›da verilen vida inceleme deneyine iliflkin örneklem uzay›,
S = {hatas›z, hatal›}
biçiminde gösterilmektedir. Bu örneklem uzay›n›n elemanlar›na da örneklem noktalar› denmektedir.
Ünite 4 - Olas›l›k 69
A M A Ç
N 1
Tablo 4.1 Deney, sonuç ve örneklem uzay› örnekleri.
Pek çok gözlemden sadece bir tanesinin gerçekleflmesi sürecine “deney”, bu gözlemlere deneyin sonuçlar› ve bu sonuçlar›n tümüneyse “deneyin örneklem uzay›”
ad› verilir.
Deney Sonuçlar Örneklem Uzay›
Paran›n bir kez at›lmas› Yaz›, Tura S = { Yaz›, Tura } Zar›n bir kez at›lmas› 1, 2, 3, 4, 5, 6 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Paran›n iki kez at›lmas› YY, YT, TY, TT S = { YY, YT, TY, TT } Do¤acak bebe¤in cinsiyeti Erkek, K›z S = { Erkek, K›z } Ö¤rencinin s›nav sonucu Baflar›l›, Baflar›s›z S = { Baflar›l›, Baflar›s›z }
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Bir deneyin örneklem uzay› Venn ya da a¤aç diyagram› çizilerek de oluflturu-labilmektedir. Venn diyagram›, bir deneyin tüm olas› sonuçlar›n›n (kare, dikdört-gen ya da daire gibi) bir resimle gösterilmesidir. A¤aç diyagram›ndaysa her bir so-nuç, a¤ac›n bir dal›yla ifade edilmektedir. Venn ve a¤aç diyagramlar› olas›l›k kav-ramlar›n›n, görsel ifade yoluyla kolay anlafl›lmas›na yard›mc› olmaktad›r.
Paran›n bir kez at›lmas› deneyinin Venn ve a¤aç diyagramlar›n› çiziniz.
Bu deneyin iki olas› sonucu yaz› ve tura olup örneklem uzay› Y = Yaz›, T = Tura olmak üzere,
S= {Y, T}
biçimindedir.
Bu örne¤in Venn diyagram› olarak bir dikdörtgen çizilir ve bu dikdörtgen içe-risinde iki sonucu göstermek üzere iki nokta konarak yaz› ve tura iflaretlenir. Ör-neklem uzay›n› belirtmek üzere de dikdörtgenin d›fl›na S harfi yaz›l›r (fiekil 4.1 a).
Bu örne¤in a¤aç diyagram›ysa ayn› noktadan bafllayan iki dal çizilmekte ve dallardan biri yaz›y› di¤eri turay› ifade etmek üzere dallar›n sonuna da sonuçlar (Y ve T) yaz›lmaktad›r (fiekil 4.1 b).
Paran›n iki kez at›lmas› deneyinin Venn ve a¤aç diyagramlar›n› çiziniz.
Bu deney, paran›n ilk ve ikinci at›l›fl›nda yaz› ya da tura gelme durumuna göre iki bölümde flekillenir. ilk para at›l›fl›nda yaz› geldi¤inde ikincisinde yaz› ya da tura gelebilecektir. Yani yaz› geldi¤inde YY (birinci ve ikinci at›flta yaz›), tura geldi¤indeyse YT (birinci at›flta yaz›, ikinci at›flta tura) sonucuyla karfl›lafl›lafl›lacakt›r.
Bu durumun tersi de düflünülebilir. ‹lk at›fl tura, ikinci at›fl yaz› (TY) gelebilir. Öte yandan ilk at›fl tura iken, ikinci at›flda tura (TT) gelebilir. Sonuç olarak iki kez at›lan para deneyinin örneklem uzay›,
S= {YY, YT, TY, TT}
biçimindedir ve bu deneye iliflkin Venn ve a¤aç diyagramlar› da afla¤›daki fiekil 4.2’deki gibidir.
i s t a t i s t i k
70
Ö R N E K 1
fiekil 4.1 Paran›n bir kez at›lmas›
deneyinin (a) Venn ve (b) A¤aç diyagram›..
Y
Y
T
Nihai Sonuçlar Yaz›
Tura T
S
(a) (b)
Ö R N E K 2
Bir iflyerinde çal›flan personel aras›nda rasgele iki tanesinin seçildi¤i ve cinsiyetlerinin ( E = Erkek, K= Kad›n ) kaydedildi¤i düflünülsün. Bu dene-yin tüm sonuçlar›n› yaz›n›z, Venn ve a¤aç diyagramlar›n› çiziniz.
Bu deney de paran›n iki kez at›lmas› deneyiyle ayn›d›r. Çünkü para atma dene-yindeki Y ve T biçimindeki iki sonuç, bu deneyde E ve K olarak görülecektir.
Afla¤›daki Venn ve a¤aç diyagramlar›nda da (fiekil 4.3) görülece¤i gibi bu dene-yin sonuçlar› da EE, EK, KE, KK biçiminde dört noktayla ifade edilmektedir, ör-neklem uzay› da,
S = {EE, EK, KE, KK}
biçiminde yaz›lmaktad›r.