Bir binom deneyinde n denemede elde edilen baflar› say›s› X ile ifade ediliyorsa, X rassal de¤iflkenine binom rassal de¤iflkeni, da¤›l›m›naysa binom olas›l›k da¤›l›-m› ya da k›saca binom da¤›l›da¤›l›-m› denmektedir. Binom da¤›l›da¤›l›-m›, n denemeden x ba-flar›l› sonucun elde edildi¤i binom deneyinde olas›l›k hesaplamak amac›yla kulla-n›lmaktad›r. Burada X ’in kesikli rassal de¤iflken oldu¤u unutulmamal›d›r. Nitekim yukar›da incelenmifl olan TV seti örne¤inde baflar›l› sonuç say›s› 0, 1, 2 ve 3’den bir tanesi olacakt›r.
Binom Formülü, Bir binom deneyinde, n denemeden x tane baflar›l› sonuç elde edilmesinin olas›l›¤›, afla¤›daki binom formülüyle bulunmaktad›r.
Burada; n = toplam deneme say›s›
p = baflar›l› sonuç elde edilme olas›l›¤›
q = 1 - p = baflar›s›z sonuç elde edilme olas›l›¤›
x = baflar›l› sonuç say›s›
n - x = baflar›s›z sonuç say›s›d›r.
P x = n x
px . qn–x, x = 0,1, ..., n
Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 119
Ö R N E K 1 6
ÇÖZÜM
Ö R N E K 1 7
Yukar›da verilen ve ar›zal› olma olas›l›¤› % 5 olan TV seti örne¤inde, ras-sal seçilmifl olan 3 TV setinden sadece bir tanesinin ar›zal› olma olas›l›¤›
nedir?
Burada ilk olarak,
D = Seçilmifl bir TV setinin ar›zal› olmas›
G = Seçilmifl bir TV setinin ar›zal› olmamas›
olaylar› tan›mlan›r. Afla¤›daki a¤aç diyagram›ndan da görülece¤i gibi burada ortaya ç›kacak 8 olas› sonuçtan sadece üç tanesiyle ilgilenilmektedir. Bunlar,
DGG, GDG, GGD dir.
Burada rassal seçilen bir TV setinin ar›zal› olma olas›-l›¤› p = P(D) = 0.05 ve ar›za-s›z olma olas›l›¤› da q = P(D)
= 0.95 dir. Çok genifl bir küt-leden seçildi¤i
düflünüldü-¤ünde, seçimler birbirinden ba¤›ms›z olacakt›r. Burada il-gilenilen üç durumun (sade-ce bir tanesinin ar›zal› olma-s›) olas›l›klar›, eski bilgiler-den yararlan›larak kolayl›kla bulunur.
P(DGG) = P(D) P(G) P(G) = (0.05) (0.95) (0.95) = 0.0451 P(GDG) = P(G) P(D) P(G) = (0.95) (0.05) (0.95) = 0.0451 P(GGD) = P(G) P(G) P(D) = (0.95) (0.95) (0.05) = 0.0451
Burada DGG, D, G ve G olaylar›n›n arakesiti ya da bu üç olas›l›¤›n P(DGG) biçiminde bileflik olas›l›¤›d›r. Bu sonucun ortaya ç›kma olas›l›¤› (bileflik olas›l›k), çarpma kural›yla elde edilmifltir.
Öteki iki durum için de benzer yorumlar yap›labilir. Sonuç olarak istenen olas›l›k,
P (3 TV setinden 1 tanesinin ar›zal› olmas› ) = P (DGG ya da GDG ya da GGD)
= P (DGG) + P (GDG) + P (GGD)
= 0.0451 + 0.0451+ 0.0451
= 0.1353 olarak bulunur.
i s t a t i s t i k
120
Ö R N E K 1 8
fiekil 5.4 Üç TV setine iliflkin a¤aç
diyagram›.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
fiimdi ise ayn› sonuç binom formülü ile bulunacakt›r.
n = toplam deneme say›s› = 3 x = baflar›l› sonuç say›s› = 1
n - x = baflar›s›z sonuç say›s›d›r = 3 – 1 = 2 p = P (baflar›l›) = 0.05
q = P (baflar›s›z) = 0.95 olmak üzere binom formülünden,
elde edilir.
Yüksek kalitede hizmet sunan bir kargo flirketinin, paketlerinden sadece
% 2’sini belirlenen sürede yerine ulaflt›ramad›¤› bilinmektedir. Bir müflte-ri 10 tane paketi bu kargo firmas›na getirerek, belirli bir sürede üzerle-rinde yaz›l› adreslere ulaflt›r›lmas›n› istemifltir.
a) Bu paketlerden bir tanesinin belirlenen sürede yerine ulaflmama
olas›l›-¤› nedir?
b) Bu paketlerden en çok bir tanesinin belirlenen sürede yerine ulaflma-ma olas›l›¤› nedir?
Burada paketin yerine ulaflmamas› baflar›, ulaflmas›ysa baflar›s›zl›k olarak tan›mlan›rsa, n = toplam paket say›s› = 10
p = P (baflar›l›) = 0.02
q = P (baflar›s›z) = 1 – p = 1 – 0.02 = 0.98 de¤erleri yaz›l›r.
a) Sadece bir paketin ulaflmamas› durumuyla ilgilenildi¤inden, x = baflar›l› sonuç say›s› = 1
n - x = baflar›s›z sonuç say›s›d›r = 10 – 1 = 9 de¤erleri de kullan›larak istenen olas›l›k bulunur.
P x = 1 = 10 1
0.02 1 0.98 9 = 10!
1! 9!
0.02 1 0.98 9 = 10 0.02 0.8337 = 0.1667
Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 121
3 denemeden 1 baflar›l› Baflar›l› sonuç Baflar›s›z sonuç sonuç elde etme olas›l›¤› say›s› say›s›
Baflar› olas›l›¤› Baflar›s›zl›k olas›l›¤›
P x = 1 = 3 1
0.051 0.952 = 3 0.05 0.9025 = 0.1353
Ö R N E K 1 9
i s t a t i s t i k
122
b) En çok bir paketin yerine ulaflmamas› durumuyla ilgilenildi¤indeyse x = 0 ve x = 1 olmaktad›r. Bu durumda
P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
sonucu elde edilmektedir.
Bir araflt›rma sonucunda 6 yafl›ndan küçük çocuklu, evli kad›nlar›n % 60’›n›n ev han›m› olmad›klar› bulunmufltur. Bu gruptan evli üç kad›n ras-sal olarak seçilmifltir. x, ev han›m› olmayan kad›n say›s›n› göstermek üzere , üç kad›n›n da ev han›m› olmama olas›l›¤›n› bulunuz, x rassal
de-¤iflkeninin olas›l›k da¤›l›m›n› yazarak grafi¤ini çiziniz.
x, 3 birimlik kad›n örnekleminde ev han›m› olmayan kad›n say›s›, n - x ise ev han›m› kad›n say›s› olmak üzere,
n = toplam kad›n say›s› = 3
p = P (ev han›m› olmayan kad›n) = 0.60
q = P (ev han›m› kad›n) = 1 - p = 1 - 0.60 = 0.40
bilgilerinden yararlanarak istenen olas›l›k bulunur. Burada x rassal de¤iflkeni 0, 1 , 2 ve 3 de¤erlerini alacak ve istenen olas›l›k , bu olas›l›k de¤erleri aras›ndan seçilecektir.
P(x = 0, 1, 2 , 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)
Soruda istenen olas›l›k P(x = 3) = 0.2160 d›r.
Yukar›da elde edilen olas›l›k de¤erlerinden yararlanarak x ‘in olas›l›k da¤›l›m›-n› ve olas›l›k da¤›l›m›da¤›l›m›-n›n grafi¤i afla¤›da verilmifltir.
= 3 0
0.600 0.403 + 3 1
0.601 0.402 + 3 2
0.60 2 0.401
+ 3 3
0.60 3 0.40 0
= 0.0640 + 0.2880 + 0.4320 + 0.2160 = 1
= 10 0
0.02 0 0.98 10 + 10 0
0.02 1 0.98 9
= 1 1 0.8171 + 10 002 0.8337 = 0.9838 20
Ö R N E K 2 0
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Bir araflt›rma sonucunda tüketicilerin % 20’sinin indirim yapan market-lerden al›flverifl yapt›klar› bulunmufltur. Bu tüketiciler aras›ndan rassal seçilen 6 kifli için afla¤›daki de¤erleri bulunuz.
a) 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›n›.
b) En çok 2 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma ola-s›l›¤›n›.
c) En az 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›-l›¤›n›.
d) Tüketicilerden 1 - 3 tanesinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›n›.
e) x rassal de¤iflkeni indirim yapan marketlerden al›flverifl yapan tüke-ticilerin say›s›n› göstermek üzere x ‘in olas›l›k da¤›l›m›n› yaz›n›z ve olas›l›k da¤›l›m›n›n grafi¤ini çiziniz.
‹stenen olas›l›k de¤erlerinin bulunabilmesi için n = toplam tüketici say›s› = 6
x = indirim yapan marketlerden al›flverifl yapan kifli say›s›
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
p = P (indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma) = 0.20
q = P (indirim yapan marketlerden al›flverifl yapmama) = 1 - p = 1 - 0.20
= 0.80
de¤erlerine gereksinim vard›r.
Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 123
Tablo 5.8 x ‘in Olas›l›k Da¤›l›m›.
x P(x)
0 0.0640
1 0.2880
2 0.4320
3 0.2160
Toplam 1.0000
fiekil 5.5 x ‘in Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Grafi¤i.
Ö R N E K 2 1
0.2880
0.4320
0.2160
0.0640
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
0 1 2 3 x
P(x)
a) 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›,
b) En çok 2 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›, P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)
= 0.2621 + 0.3932 + 0.2458 = 0.9011
c) En az 3 tüketicinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›, P(x ≥ 3) = P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6)
ya da
1 - P(x>2) = 1 - 0.9011 = 0.0989
= 0.0819 + 0.0154 + 0.0015 + 0.0001 = 0.0989
d) Tüketicilerden 1 - 3 tanesinin indirim yapan marketlerden al›flverifl yapma olas›l›¤›,
P(1 ≤ x ≤ 3) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)
= 0.3932 + 0.2458 + 0.0819 = 0.7209 dur.
e) x rassal de¤iflkenin olas›l›k da¤›l›m ve olas›l›k da¤›l›m grafi¤i afla¤›daki gibidir.
P x = 3 = 6 3
0.203 0.80 3 = 0.0819
i s t a t i s t i k
124
x P(x)
0 0.2621
1 0.3932
2 0.2458
3 0.0819
4 0.0154
5 0.0015
6 0.0001
Toplam 1.0000
Tablo 5.9 x ‘in Olas›l›k Da¤›l›m›.
fiekil 5.6 x ‘in Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Grafi¤i.
0.3932
0.2458
0.0819 0.0154
0.0015 0.0001 0.2621
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
0 1 2 3 4 5 6 x
P(x)
Baflar› Olas›l›¤› ve Binom Da¤›l›m›n›n Biçimi
n deneme durumunda,
1. E¤er p = 0.50 ise binom da¤›l›m› simetrik,
2. E¤er p , 0.50’den küçük ise binom olas›l›k da¤›l›m›n›n sa¤a do¤ru çarp›k, 3. p , 0.50’den büyük ise binom olas›l›k da¤›l›m›n›n sola do¤ru çarp›k, oldu¤u gösterilebilir.
Bu durumlar afla¤›da verilmifltir:
1
1.. n = 4 ve p = 0.50 olarak al›nacak olursa, x olas›l›k da¤›l›m› ve olas›l›k da¤›-l›m›n›n simetrik grafi¤i afla¤›daki gibidir.
2. n = 4 ve p = 0.30 (0.50’den küçük) olarak al›nacak olursa, x ‘in olas›l›k
da-¤›l›m› ve sa¤a do¤ru çarp›k grafi¤i afla¤›daki gibidir.
Ünite 5 - Kesikli Rassal De¤iflkenler ve Olas›l›k Da¤›l›mlar› 125
x P(x)
1 0.2500
2 0.3750
3 0.2500
4 0.0625
Toplam 1.0000
Tablo 5.10 n = 4 ve p
= 0.50 için x'in Olas›l›k Da¤›l›m›
fiekil 5.7 x ‘in Olas›l›k Da¤›l›m›n›n Grafi¤i.
x P(x)
0 0.2401
1 0.4116
2 0.2646
3 0.0756
4 0.0081
Toplam 1.0000
Tablo 5.11 n = 4 ve p
= 0.30 için x ‘in Olas›l›k Da¤›l›m›.
0.2500 0.2500
0.3750
0.0625 0.0625
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 1 2 3 4
P(x)
x
3. n = 4 ve p = 0.80 (0.50’den büyük) olarak al›nacak olursa, x ‘in olas›l›k
da-¤›l›m› ve sola do¤ru çarp›k grafi¤i afla¤›daki gibidir.