Olas›l›k konusunun önceki alt bölümlerinde, iki ayr›k olay›n bileflik olas›l›k de¤erinin s›f›r oldu¤u söylenmiflti. Bu nedenle A ve B ayr›k olaylar olmak üzere P (A ve B) de¤eri s›f›r oldu¤u için, toplama kural›nda kullan›lan formülden ç›kar-t›lmakta ve iki ayr›k olay›n bilefliminin olas›l›¤›, bu iki olay›n bileflen olas›l›klar›n›n toplam›ndan elde edilmektedir.
Ayr›k Olaylar ‹çin Toplama Kural›: A ve B ayr›k olaylar›n›n bilefliminin olas›l›¤›
P (A veya B) = P (A) + P (B)
‘dir.
Ünite 4 - Olas›l›k 97
Ö R N E K 3 1
Tablo 4.10 ‹ki yönlü s›n›flama tablosu.
Cinsiyet Bekar Evli Toplam
Erkek 905 3.210 4.115
Kad›n 837 2.273 3.110
Toplam 1.742 5.483 7.225
Ayr›k olaylar için toplama kural›:
A ve B ayr›k olaylar›n›n bilefliminin olas›l›¤›
P (A ya da B) = P (A) + P (B) dir.
ÇÖZÜMÇÖZÜM
Kamuoyunun ›rk ayr›m›na karfl› düflüncesinin ortaya konmas›n› amaç-layan bir araflt›rmada; erkek ve kad›nlardan oluflan 300 kifli ile görüflül-müfltür. Görüfllerin ›rk ayr›m›na “karfl›” , “destekliyor” ve “çekimser”
olarak kaydedilmesi sonucunda afla¤›daki tablo oluflturulmufltur.
Bu gruptan rasgele seçilen bir kiflinin ›rk ayr›m›na karfl› ya da çekimser olma olas›l›¤› nedir ?
‹lk olarak afla¤›daki olaylar tan›mlan›r;
K = Çekilen kifli ›rk ayr›m›na karfl›
C = Çekilen kifli ›rk ayr›m› konusunda çekimser
Bu örnek için tan›mlanan olaylar, afla¤›daki fiekil 4.20’den de görülece¤i gibi ay-r›k olaylard›r. Çünkü seçilen kifli ›rk ayr›m›na ya karfl› olacakt›r ya da çekimser olacakt›r. Yani her iki görüflte olmas› söz konusu de¤ildir.
Yukarda verilen bilgilerden,
P (K) = 130 / 300 = 0.43 P (C) = 40 / 300 = 0.133
P (K veya C) = P (K) + P (C) = 0.43 + 0.133 = 0.563 elde edilir.
T o p l a m a k u r a l › f o r m ü l ü i k i d e n ç o k o l a y o l m a s › d u r u m l a r › n d a d a kullan›labilmektedir.
Zar›n iki kez at›ld›¤› bir deneyde, iki at›fl sonunda toplam 5, ya da 7 ya da 10 elde edilmesi olas›l›¤›n› bulunuz.
Bir zar›n iki kez at›lmas› deneyinde toplam 36 sonuç bulunmaktad›r. Eflit olas›l›k-l› bu sonuçlar Tablo 4.12’de verilmifltir.
i s t a t i s t i k
98
Ö R N E K 3 2
Tablo 4.11. ‹ki yönlü s›n›flama tablosu.
Cinsiyet Karfl› Destekliyor Çekimser Toplam
Erkek 45 15 12 72
Kad›n 85 115 28 228
Toplam 130 130 40 300
K C
fiekil 4.20 K ve C ayr›k olaylar›.
Ö R N E K 3 3
ÇÖZÜM
‹ki say›n›n toplam›n›n 5, ya da 7 ya da 10 oldu¤u olaylar tabloda iflaretlenmifltir.
Burada “toplam 5”, “toplam 7” ve “toplam 10” biçimindeki üç olay ayr›k olaylar-d›r. Toplam› 5 olan dört sonuç, toplam› 7 olan alt› sonuç ve toplam› 10 olan üç sonuç bulundu¤u için aranan olas›l›k,
P (5 veya 7 veya 10) = P (5) + P (7) + P (10)
= (4 / 36) + (6 / 36) + (3 / 36) = 13 / 36 = 0.361 olarak bulunur.
Kamuoyunun %55’inin genetik mühendisli¤ini destekledi¤i, %45’ininse kar-fl› oldu¤u bilinmektedir. Rasgele iki kifli seçilerek ve bu kiflilerin genetik mühendisli¤ini destekleyip desteklemedikleri ö¤renilmek istenmektedir.
a) Bu deneyin a¤aç diyagram›n› çiziniz.
b) ‹ki kifliden en az birinin genetik mühendisli¤ini desteklemesi olas›l›¤›n›
bulunuz.
a) Deneyin olaylar› tan›mlanacak olursa;
D = Genetik mühendisli¤inin desteklenmesi K = Genetik mühendisli¤ine karfl› olunmas›
biçimindedir. Bu deneyde dört nihai sonuç bulunmaktad›r.
Ünite 4 - Olas›l›k 99
‹kinci at›fl
1 2 3 4 5 6
1 (1. 1) (1. 2) (1. 3) (1. 4) (1. 5) (1. 6) 2 (2. 1) (2. 2) (2. 3) (2. 4) (2. 5) (2. 6) 3 (3. 1) (3. 2) (3. 3) (3. 4) (3. 5) (3. 6) 4 (4. 1) (4. 2) (4. 3) (4. 4) (4. 5) (4. 6) 5 (5. 1) (5. 2) (5. 3) (5. 4) (5. 5) (5. 6) 6 (6. 1) (6. 2) (6. 3) (6. 4) (6. 5) (6. 6)
‹lk at›fl
Tablo 4.12 Bir zar›n iki kez at›lmas›ndan elde edilen sonuçlar.
Ö R N E K 3 4
0,55
P (DD) = (0,55) (0,55) = 0,3025 D
K
D
K 0,45
0,55
0,45 D 0,55
K 0,45
Nihai sonuçlar ve olas›l›klar
‹kinci kifli
‹lk kifli
P (DK) = (0,55) (0,45) = 0,2475
P (KD) = (0,45) (0,55) = 0,2475
P (KK) = (0,45) (0,45) = 0,2025 fiekil 4.21 A¤aç
diyagram›.
b)‹ki kifliden en az birinin genetik mühendisli¤ini desteklemesi DD, DK ve KD sonuçlar›n› içermektedir ve bu üç ayr›k olay›n bilefliminin olas›l›¤›,
P (en az bir kifli destekliyor) = P (DD, DK ya da KD)
= P (DD) + P (DK) + P (KD)
= 0.3025 + 0.2475 + 0.2475
= 0.7975
‘dir.
1. ‹ki olay›n bilefliminin anlam›n› aç›klay›n›z ve bir örnek veriniz.
2. Afla¤›daki toplama kural›, hangi durumdaki A ve B gibi iki olay›n bilefliminin, olas›l›¤›n›
bulmada kullan›l›r?
P (A veya B) = P (A) + P (B)
3. Afla¤›daki durumlar için P (A ya da B) olas›l›¤›n› bulunuz.
a) P (A) = 0.18 , P (B) = 0.49 ve P (A ve B) = 0.13 b) P (A) = 0.83 , P (B) = 0.71 ve P (A ve B) = 0.68
i s t a t i s t i k
100
S O R U
D ‹ K K A T S I R A S ‹ Z D E
D Ü fi Ü N E L ‹ M
S I R A S ‹ Z D E
S O R U
D Ü fi Ü N E L ‹ M
D ‹ K K A T
S I R A S ‹ Z D E S I R A S ‹ Z D E
AMAÇLARIMIZ
AMAÇLARIMIZ
N N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
K ‹ T A P
T E L E V ‹ Z Y O N
Kendimizi S›nayal›m
1. 3 farkl› para ayn› anda at›lm›flt›r. Bu deneye iliflkin ör-neklem uzay›nda kaç örör-neklem noktas› olacakt›r?
a. 3 b. 6 c. 8 d. 12 e. 16
2. Biri beyaz di¤eri de k›rm›z› olmak üzere bir çift zar at›lm›flt›r. A zarlar›n üste gelen yüzeydeki say›lar›n top-lam›n›n çift, B’de k›rm›z› zar›n üste gelen yüzündeki say›n›n tek say› olmas› olaylar› iken, (A∪B) olay›nda kaç örneklem noktas› olacakt›r?
3. Bir s›n›fta 10 k›z 20 erkek ö¤renci vard›r. K›z ö¤ren-cilerin de erkek ö¤renö¤ren-cilerin de yar›s› bursludur. Bu s›n›f-tan gelifligüzel bir ö¤renci seçilmifltir. Bu ö¤rencinin er-kek ya da burslu olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
4. Bir çift zar at›lm›flt›r. Üste gelen yüzeylerdeki say›lar›n toplam›n›n 7 oldu¤u biliniyorsa, bu zarlardan birinin 3 ol-ma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
5. 52 kartl›k bir oyun ka¤›d› destesinden pefl pefle iki kart çekilmifltir. Birinci kart ikili iken, ikinci kart›n da ikili olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
6. Bir s›n›ftaki ö¤rencilerin %30’u matematik, %20’si is-tatistik ve %10’u da hem matematik hem de isis-tatistik ders-lerinden baflar›s›zd›r. Bu s›n›ftan gelifligüzel seçilen bir ö¤rencinin matematik ya da istatistik derslerinin birinden baflar›s›z olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. 0.20 b. 0.30 c. 0.35 d. 0.40 e. 0.45
7. Ayn› s›n›ftan iki ö¤rencinin Türk Dili dersi s›nav›ndan baflar›l› olma olas›l›klar›n›n s›ras›yla 0.6 ve 0.8 oldu¤u biliniyorsa bu iki ö¤renciden birisinin baflar›l› olma olas›l›¤›
afla¤›dakilerden hangisidir?
8. 1’den 15’e kadar (15 dahil) olan tam say›lar aras›ndan rasgele seçilen bir say›n›n 3 ve 5 ile bölünebilen bir say›
olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
a. 1
9.Bir A dersi s›nav›na giren 200 ö¤rencinin cinsiyetlerine göre baflar› durumu afla¤›daki tabloda gösterilmifltir.
S›nava giren ö¤renciler aras›ndan rasgele seçilen bir ö¤-rencinin erkek ve baflar›l› olma olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?
10. Bir futbol tak›m›n›n ilk üç maç› kazanmas›na iliflkin olas›l›klar s›ras›yla 0.3, 0.5 ve 0.8 olarak belirlenmifltir. Bu tak›m›n üç maç› da kazanma olas›l›¤› afla¤›dakilerden han-gisidir?
a. 0.10 b. 0.12 c. 0.15 d. 0.18 e. 0.20
Yan›t Anahtar›
1. c 2. d 3. e 4. b 5. a 6. d 7. e 8. a 9. b 10. b
Yararlan›lan Kaynaklar
HOEL, P.G. and JESSEN, R.J.: Basic Statistics for Business and Economics, Wiley, NewYork, 1971.
MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2ndEdition, Wiley, New York, 1995.
O’HAGAN, A., Probability: Metods and Measurement, Chapman and Hall, London, 1988.
WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: Introductory Statistics,4thEdition, Wiley, Singapore, 1985.
i s t a t i s t i k
102
BAfiARILI BAfiARISIZ TOPLAM
ERKEK 80 40 120
KIZ 60 20 80
TOPLAM 140 60 200
Baflar›
Cinsiyet
a. 1 5 b. 2 5 c. 3 5 d. 2 3 e. 7
10
Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak:
• Tan›mlar ve kavramlar iyice incelenmeli,
• Örnekler tam olarak anlafl›lmal›,
• Sorulan sorularda nelerin istendi¤i kesin olarak anlafl›ld›ktan sonra çözüme geçilmeli,
• Al›flt›rmalar›n tümü mutlaka çözülmelidir.
103