Apresentaremos agora a classe dos semigrupos gradientes. Nosso principal resul- tado, no caso autˆonomo, consiste em caracterizar estes sistemas por meio da dinˆamica que possuem.
Neste cap´ıtulo, veremos que os semigrupos gradientes possuem uma dinˆamica que pode ser compreendida de forma bastante detalhada. Mostraremos que sua dinˆamica fica completamente determinada por meio de uma fun¸c˜ao auxiliar, chamada fun¸c˜ao de Lyapunov, possuindo propriedades bastante particulares, evidenciando, assim, que os sistemas gradientes comp˜oem uma classe bastante nobre de semigrupos.
2.1
Fun¸c˜ao de Lyapunov
A fim de introduzir o conceito de fun¸c˜ao de Lyapunov, precisaremos definir mais algumas no¸c˜oes; uma delas ´e a de conjunto invariante isolado.
Defini¸c˜ao 2.1.1. Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X.
(i) Diz-se que um conjunto invariante Ξ⊂ X ´e um conjunto invariante isolado,
quando existe δ > 0 tal que Ξ ´e o conjunto invariante maximal de T (·) contido em Oδ(Ξ), em outros palavras, se A ´e um conjunto invariante por T (·) contido em Oδ(Ξ),
ent˜ao A⊂ Ξ.
(ii) Seja Ξ := {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn} um conjunto finito de conjuntos invariantes por
T (·). Diz-se que Ξ ´e uma fam´ılia (finita) disjunta de conjuntos invariantes
isolados, quando cada um de seus elementos ´e um conjunto invariante isolado, se- gundo (i), e existe ε > 0 de maneira queOε(Ξi)∩Oε(Ξj) = ∅ sempre que 1 ≤ i < j ≤ n.
N˜ao ´e dif´ıcil ver que, se T (·) possui atrator global, ent˜ao o fecho de cada um de seus subconjuntos invariantes limitados ´e tamb´em invariante, de onde resulta que para estes semigrupos, seus invariantes isolados limitados s˜ao conjuntos fechados.
Outro conceito fundamental relacionado ao anterior ´e o de ponto de equil´ıbrio. Os pontos de equil´ıbrio e, mais geralmente, os conjuntos invariantes isolados, s˜ao objetos respons´aveis pela organiza¸c˜ao da dinˆamica do sistema.
Defini¸c˜ao 2.1.2. Uma solu¸c˜ao global ξ : R → X chama-se uma solu¸c˜ao estacio-
n´aria ou um ponto (ou solu¸c˜ao) de equl´ıbrio de {T (t) : t ≥ 0}, quando ´e uma aplica¸c˜ao constante, ou seja, quando ´e da forma ξ(t) = z∗ para todo real t e um certo
ponto z∗ ∈ X. Indicaremos por E o conjunto dos pontos de equil´ıbrio de T (·).
Se z∗ ´e um ponto de equil´ıbrio de T (·), ent˜ao T (t)z∗ = z∗ qualquer que seja t≥ 0.
Sejam I ⊂ R um conjunto de n´umeros reais e ϕ : I → R uma fun¸c˜ao real definida
em I, recordemos:
Diz-se que ϕ ´e decrescente (resp. crescente) quando dados t < s em I tem-se ϕ(t) > ϕ(s) (resp. ϕ(t) < ϕ(s)).
Diz-se que ϕ ´e n˜ao crescente (resp. n˜ao decrescente) quando dados t < s em I tem-se ϕ(t)≥ ϕ(s) (resp. ϕ(t) ≤ ϕ(s)).
J´a temos tudo o que precisamos para definir os semigrupos gradientes.
Defini¸c˜ao 2.1.3. Sejam {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X e
Ξ := {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn} uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados.
Diz-se que {T (t) : t ≥ 0} ´e um semigrupo gradiente generalizado com respeito
`a fam´ılia Ξ, quando existe uma fun¸c˜ao V : X → R satisfazendo as seguintes quatro propriedades:
(i) V : X → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.
(ii) V : X → R ´e n˜ao crescente ao longo de solu¸c˜oes, isto ´e, para todo x ∈ X a
fun¸c˜ao real de uma vari´avel real [0,∞) ∋ t 7−→ V (T (t)x) ∈ R ´e n˜ao crescente. (iii) Se para algum x ∈ X tem-se V (T (t)x) = V (x) para todo t ≥ 0, ent˜ao x ∈ Ξ para
algum Ξ ∈ Ξ.
(iv) V : X → R ´e constante sobre cada subconjunto invariante isolado pertencente a
Ξ.
Uma fun¸c˜ao V : X → R satisfazendo estas condi¸c˜oes chama-se uma fun¸c˜ao de
No caso especial em que se tem Ξ =E := {z∗
1, z∗2· · · , zn∗} , diz-se simplesmente que
T (·) ´e um semigrupo gradiente e a fun¸c˜ao V : X → R associada, uma fun¸c˜ao de
Lyapunov para T (·).
Observemos que um semigrupo gradiente pode ser entendido como uma terna (T (·), Ξ, V ) , onde T (·) representa o semigrupo, Ξ a fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados e V a fun¸c˜ao de Lyapunov correspondente.
Podemos ilustrar a defini¸c˜ao anterior de fun¸c˜ao de Lyapunov com o seguinte exem- plo, o qual ´e o prot´otipo dos sistemas gradientes que costumam ser encontrados nas aplica¸c˜oes. Sua leitura, contudo, pode ser omitida sem nenhum prejuizo ao entendi- mento do restante do texto.
Exemplo 2.1.4. Sejam N ∈ N e f uma fun¸c˜ao C2"RN; R tal que para alguma
constante C > 0 tem-se
|∇f(x)| ≤ C(1 + |x|) qualquer que seja x ∈ RN. (2.1.1)
Consideremos o problema de Cauchy
˙x =−∇f(x), t > 0
x(0) = x0 ∈ RN , (2.1.2)
onde, evidentemente, ∇f(x) representa o gradiente da fun¸c˜ao f avaliado no ponto
x∈ RN.
Sendo ∇f : RN → RN um campo de vetores de classe C1, portanto localmente
Lipschitz, e levando em conta (2.1.1), sabemos que o operador solu¸c˜ao associado ao problema (2.1.2) define um semigrupo (de fato um grupo) no espa¸co m´etrico RN. Em
outras palavras, definindo para t ≥ 0 e x0 ∈ RN T (t)x0 := x(t, x0), onde x(·, x0) :
[0,∞) → RN ´e a ´unica solu¸c˜ao (em sentido cl´assico) do problema (2.1.2), resulta que
{T (t) : t ≥ 0} ´e um semigrupo em RN. Suponhamos que ∇f : RN → RN possua
somente um n´umero finito de zeros em RN, digamos,E := {z∗
1, z2∗,· · · , z∗n}.
Nestas condi¸c˜oes, a fun¸c˜ao f : RN → R ´e uma fun¸c˜ao de Lyapunov para o semigrupo
{T (t) : t ≥ 0} com respeito ao conjunto E.
Demonstra¸c˜ao: Evidentemente, f : RN → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, j´a que ´e
de classe C2, e E = {z∗
1, z2∗,· · · , z∗n} ´e o conjunto de todos os pontos de equil´ıbrio
de {T (t) : t ≥ 0}. Logo, tamb´em verifica-se a propriedade (iv) da Defini¸c˜ao 2.1.3. Portanto, resta apenas provar as propriedades (ii) e (iii) da defini¸c˜ao de fun¸c˜ao de Lyapunov.
Com efeito, dado x0 ∈ RN, a fun¸c˜ao real de uma vari´avel real [0,∞) ∋ t 7−→
f (T (t)x0) = f (x(t, x0)) ∈ R ´e de classe C1 e ent˜ao, a regra da cadeia e o fato de que
x(·, x0) : [0,∞) → RN ´e solu¸c˜ao do problema (2.1.2), nos dizem que, para todo t > 0
d
dt(f ◦ x(·, x0))(t) =∇f(x(t, x0))· ˙x(t, x0) = − |∇f(x(t, x0))|
2
≤ 0, (2.1.3)
onde o ponto “·” representa o produto escalar euclidiano em RN e |·| sua norma corres-
pondente.
A igualdade (2.1.3) mostra que a derivada da fun¸c˜ao
[0,∞) ∋ t 7−→ f(T (t)x0) = f (x(t, x0))∈ R
´e n˜ao positiva, logo tal fun¸c˜ao deve ser n˜ao crescente, ficando estabelecida a condi¸c˜ao (ii).
Finalmente, suponhamos que x0 ∈ RN seja tal que f (T (t)x0) = f (x0) para todo
t≥ 0. Ent˜ao (2.1.3) nos mostra que para todo t > 0 temos
0 = d dtf (x0) = d dt(f ◦ x(·, x0))(t) = − |∇f(x(t, x0))| 2 =− | ˙x(t, x0)|2,
ou seja, ˙x(t, x0) = 0 para todo t > 0, donde x(t, x0) = x0 para todo t > 0, portanto
x0 ∈ E, completando a justificativa do exemplo.
2.2
Estrutura dos semigrupos gradientes
Os semigrupos gradientes constituem um dos poucos exemplos de sistemas, que se conhecem, para os quais ´e poss´ıvel descrever, de maneira bastante precisa, a dinˆamica que possuem. Comecemos o estudo do comportamento das solu¸c˜oes globais de um sistema desta natureza sendo necess´ario, para isto, introduzir a no¸c˜ao de estrutura homocl´ınica como segue:
Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X pos-
suindo atrator global A e uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados limitados Ξ := {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn}. Uma estrutura homocl´ınica em A relativa a ÷
consiste em um subconjunto {Ξl1, Ξl2,· · · , Ξlk} ⊂ Ξ em conjunto com uma fam´ılia de
solu¸c˜oes globais {ξj : R → X : j = 1, · · · , k} tais que, pondo Ξl(k+1) := Ξl1, para todo
j = 1, 2,· · · , k, tem-se:
(i) Para cada j existe tj ∈ R com ξj(tj)6∈ (Ξlj ∪ Ξl(j+1)) e
(ii)
lim
Uma estrutura homocl´ınica pode ser entendida como uma esp´ecie de pol´ıgono con- tido emA, onde os v´ertices est˜ao representados pelos conjuntos invariantes isolados e as arestas representadas pelas ´orbitas das solu¸c˜oes globais que os conectam, mas sempre levando em conta uma certa “orienta¸c˜ao” nas arestas quando se passa de um v´ertice a outro.
Observemos que a condi¸c˜ao: “Para cada j existe tj ∈ R com ξj(tj)6∈ (Ξlj∪ Ξl(j+1))”,
exigida no item (i) da defini¸c˜ao acima, somente ´e necess´aria no caso em que se tem k = 1, uma vez que, sendo Ξ uma fam´ılia finita disjunta de invariantes isolados, ´e evidente que quando (2.2.4) se verifica, a solu¸c˜ao ξj, devido a sua continuidade, deve
deixar ambos os conjuntos Ξlj e Ξl(j+1) em algum instante tj.
Proposi¸c˜ao 2.2.2. Sejam {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo gradiente generalizado com
respeito `a uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados limitados Ξ := {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn}, possuindo atrator global A e V : X → R sua fun¸c˜ao de Lyapunov
correspondente.
Verificam-se as duas propriedades seguintes:
(i) Se ξ : R → X ´e uma solu¸c˜ao global limitada de T (·), existem ´ındices i, j ∈ {1, 2, · · · , n} tais que
lim
t→−∞d (ξ (t) , Ξi) = 0 e limt→∞d (ξ (t) , Ξj) = 0.
(ii) O atrator A n˜ao possui estruturas homocl´ınicas relativas a Ξ.
Demonstra¸c˜ao: Para provar (i) consideremos ξ : R → X uma solu¸c˜ao global
limitada para {T (t) : t ≥ 0} ent˜ao, gra¸cas a (ii) na Defini¸c˜ao 2.1.3, a fun¸c˜ao R ∋ t 7→ V (ξ(t))∈ R ´e mon´otona e pelo fato de que ξ(t) est´a no compacto A para todo t ∈ R, segue-se a existˆencia dos limites
L := lim
t→−∞V (ξ(t)) e l := limt→∞V (ξ(t)). (2.2.5)
Sejam α(ξ) e ω(ξ), respectivamente, os conjuntos α e ω-limites associados `a solu¸c˜ao ξ. De (2.2.5) acima e da caracteriza¸c˜ao dos conjuntos limites em termos de limites de sequˆencias, segue-se que V , restrita a α(ξ), ´e constante igual a L e, por sua vez, restrita a ω(ξ) ´e constante igual a l. Ent˜ao, dado x ∈ ω(ξ), como ω(ξ) ´e invariante, T (t)x∈ ω(ξ) para todo t ≥ 0, donde V (x) = V (T (t)x) = l para todo t ≥ 0 e por (iii) da Defini¸c˜ao 2.1.3, isto obriga x a estar em Ξj para algum j ∈ {1, 2, · · · , n}.
Agora, da conexidade do conjunto ω(ξ) e do fato de que os conjuntos em Ξ s˜ao isolados entre si, ´e f´acil ver que ω(ξ) est´a inteiramente contido em Ξj e, analogamente,
conta as propriedades de atra¸c˜ao que possuem os conjuntos α e ω-limites, terminamos a prova do item (i) desta proposi¸c˜ao.
Para o item (ii), sejam {Ξl1,· · · , Ξlk} ⊂ Ξ e {ξj : R → X : j = 1, · · · , k}, um
conjunto de solu¸c˜oes globais, formando uma estrutura homocl´ınica relativa a Ξ, isto ´e, pondo Ξl(k+1) := Ξl1, tem-se para cada j = 1, 2,· · · , k
lim
t→−∞d(ξj(t), Ξlj) = 0 e limt→∞d(ξj(t), Ξl(j+1)) = 0. (2.2.6)
Sejam, de acordo com a propriedade (iv) da Defini¸c˜ao 2.1.3, para cada j = 1, 2,· · · , k+ 1, Lj o valor constante que a fun¸c˜ao V assume sobre o conjunto Ξlj. Da continuidade
de V e da propriedade (ii) da Defini¸c˜ao 2.1.3 resulta L1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ Lk≥ Lk+1 = L1,
logo todos os Lj’s devem ser iguais entre si e, digamos, que valham L.
Por outro lado, fixado j = 1, 2,· · · , k como a solu¸c˜ao ξj ´e tal que Lj ≥ V (ξj(t))≥
Lj+1, para todo t ∈ R, e Lj = Lj+1 = L, ent˜ao, para todo real s V (T (t)ξj(s)) =
V (ξj(t + s)) = L = V (ξj(s)) para todo t≥ 0. Agora, a condi¸c˜ao (iii) da Defini¸c˜ao 2.1.3
diz que, nestas condi¸c˜oes, ξj(s) ∈ Ξ para algum Ξ ∈ Ξ, donde conclui-se facilmente
que, na verdade, ξ(t) ∈ Ξ para todo t ∈ R. Logo, por (2.2.6), Ξlj = Ξl(j+1) = Ξ,
pela arbitrariedade com a qual escolhemos j = 1, 2,· · · , k, conclui-se que todos os invariantes Ξl1,· · · , Ξlk s˜ao iguais entre si, digamos iguais a Ξ, e que, portanto, todas
as solu¸c˜oes ξj : R→ X, j = 1, · · · , k est˜ao contidas em Ξ, o que est´a em contradi¸c˜ao
com o fato de que {Ξl1,· · · , Ξlk} ⊂ Ξ juntamente com {ξj : R → X : j = 1, · · · , k}
constituem uma estrutura homocl´ınica, estabelecendo a propriedade (ii) e completando a demonstra¸c˜ao.
Com base na proposi¸c˜ao anterior e no Corol´ario 1.1.7 podemos obter uma infor- ma¸c˜ao adicional sobre a estrutura geom´etrica dos atratores dos semigrupos gradientes. Para isso, devemos definir os conceitos de conjuntos est´aveis e inst´aveis associados a um conjunto invariante.
Defini¸c˜ao 2.2.3. Sejam {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo em um espa¸co m´etrico X e Ξ
um conjunto invariante. Define-se:
(a) O conjunto inst´avel de Ξ como
Wu(Ξ) :=
{x ∈ X : existe ξ : R → X, solu¸c˜ao global, com ξ(0) = x tal que lim
t→−∞d(ξ(t), Ξ) = 0}.
(b) O conjunto est´avel de Ξ como
Ws(Ξ) :={x ∈ X : lim
Observemos que, se x ∈ Wu(Ξ) e ξ : R → X ´e uma solu¸c˜ao global para T (·) com
ξ(0) = x e lim
t→−∞d(ξ(t), Ξ) = 0, ent˜ao ξ(s) ∈ W
u(Ξ) para todo real s, uma vez que,
dado s ∈ R, definindo ξs : R → X por ξs(t) := ξ(t + s) para cada real t, ´e imediato
que ξs : R → X ´e solu¸c˜ao global para T (·) e, al´em disso, satisfaz lim
t→−∞d(ξs(t), Ξ) =
lim
t→−∞d(ξ(t + s), Ξ) = 0, com ξs(0) = ξ(s).
Corol´ario 2.2.4. Sejam {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo gradiente generalizado com
respeito `a fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados limitados Ξ := {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn}. Se {T (t) : t ≥ 0} possui atrator global A, ent˜ao A ´e a reuni˜ao
dos conjuntos inst´aveis dos conjuntos invariantes isolados pertencentes a Ξ. Simboli- camente: A = n [ j=1 Wu(Ξj). (2.2.7)
Demonstra¸c˜ao: Com efeito, por um lado, do Corol´ario 1.1.7, temos que A ´e a
reuni˜ao de todas as ´orbitas globais limitadas de T (·), ent˜ao, se ξ : R → X ´e uma solu¸c˜ao global limitada, (i) da Proposi¸c˜ao 2.2.2 assegura que a ela est´a associado um
elemento Ξ∈ Ξ de maneira que lim
t→−∞d(ξ(t), Ξ) = 0, o que significa, como observamos
acima, que para todo real t, ξ(t)∈ Wu(Ξ), estabelecendo a inclus˜ao A ⊂ n
[
j=1
Wu(Ξ j) .
Reciprocamente, sejam x ∈ Wu(Ξ), para algum Ξ
∈ Ξ, e ξ : R → X uma solu¸c˜ao global para T (·) com ξ(0) = x e lim
t→−∞d(ξ(t), Ξ) = 0, como Ξ ´e limitado, segue-se que
para todo real τ o conjunto {ξ(t) : t ≤ τ} ´e limitado e como j´a vimos, para todo
real τ o conjunto {ξ(t) : t ≥ τ} ´e tamb´em limitado, mostrando que a solu¸c˜ao ξ tem ´orbita limitada, donde segue, pelo Corol´ario 1.1.7, que tal ´orbita est´a contida em A e, em particular, x ∈ A, dizendo que a inclus˜ao
n [ j=1 Wu(Ξ j) ⊂ A tamb´em se verifica, terminando a demonstra¸c˜ao.
Se um semigrupo T (·) possui atrator global A e uma fam´ılia finita disjunta de con- juntos invariantes isolados Ξ ={Ξ1,· · · , Ξn} de maneira que A admite a representa¸c˜ao
dada em (2.2.7), costuma-se dizer que T (·) possui atrator de tipo gradiente.
2.3
Existˆencia de atratores para semigrupos gradientes
Terminamos este cap´ıtulo provando um resultado sobre existˆencia de atrator no caso especial em que o semigrupo em estudo ´e um semigrupo gradiente. A id´eia de nossa demonstra¸c˜ao est´a, de certa forma, inspirada na que se encontra em [16].
Teorema 2.3.1. Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo gradiente generalizado com res- peito a uma fam´ılia finita disjunta de conjuntos invariantes isolados limitados Ξ := {Ξ1, Ξ2,· · · , Ξn}. Se {T (t) : t ≥ 0} ´e um semigrupo eventualmente compacto e eventu-
almente limitado, ent˜ao ele possui atrator global.
Demonstra¸c˜ao: Gra¸cas ao Corol´ario 1.3.2, ´e suficiente provarmos que T (·) ´e ponto dissipativo.
Com efeito, consideremos o conjunto limitado D0 :=
n
[
j=1
O1(Ξj).
Ent˜ao, por um argumento inteiramente an´alogo ao da demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2.2 (mais precisamente quando se prova que para toda solu¸c˜ao global limitada ξ :
R → X, tem-se ω(ξ) ⊂ Ξj para algum Ξj ∈ Ξ), se vˆe que D0 ´e um limitado que