Kaynak: TUİK Verilerinden Derlenmiştir
ORTALAMA-VARYANS MODELİ İLE BIST 30 VERİLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ
Yrd.Doç.Dr. Burcu KARTAL İlyas YILMAZ
Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi burcu.kartal@erdogan.edu.tr ilyasylmz1@outlook.com
ÖZET
Bu çalışma da yatırım yapmak isteyen yatırımcılar için modern portföy optimizasyonun gelişimine büyük katkısı olan Markowitz’in önerdiği ortalama varyans modeli tanıtılmış ve BIST-30’da işlem gören 29 şirketin hisse senetlerinden oluşan portföy üzerinde uygulama yapılmıştır. Bu çalışma ile küçük yatırımcıların önceden belirledikleri hisse senetleri arasından hangilerini portföylerine dahil edebilecekleri konusunda fikir sahibi olmaları amaçlanmıştır. Yapılan analizler sonucunda çeşitli beklenen değerler için riskler belirlenmiş ve etkin sınır oluşturularak küçük yatırımcılar için katlanabildikleri getiri oranı için hangi hisse senetlerini seçmeleri gerektiği belirlenmiştir. Etkin sınıra bakıldığında düşük getiri seviyesinde etkin hisse senetleri TCELL, ULKER, BIMAS ve EKGYO olurken yüksek getiri durumunda ise OTKAR ve ULKER hisse senetlerini tercih etmek avantaj sağlayacaktır.
Anahtar kelime: portföy seçimi, ortalama-varyans, kuadratik programlama Jel Kodu: C61, G11
Evaluation Of Bist30 Stocks With Mean-Variance Model Abstract
In this study, mean variance model suggested by Markowitz, who has a major contribution to the development of modern portfolio optimization for investors wishing to invest, was introduced; and it was applied on the portfolio of 29 companies’ stocks traded at BIST-30. The purpose of this study is to inform small-scale investors about which portfolios among the ones they decided in advance might be included in their portfolios. Based on the results of analysis, risks were identified for various expected values and by creating effective border, it was determined which stocks small-scale investors should decide for the rate of return that they can endure. Considering the efficient frontier, while the active stocks are TCELL, ULKER, BIMAS and EKGYO in case of low returns, it may be advantageous to choose OTKAR and ULKER in case of high returns.
Keywords: portfolio selection, mean-variance, quadratic programming Jel Codes: C61, G11
180 1. GİRİŞ
Ülkelerin ekonomik yönden kalkınmasını sağlayacak en önemli faktörlerden biri yatırımdır. Yatırım, ileri dönemlerde kazanç elde etmek amacıyla belirli miktardaki paranın çeşitli yatırım araçlarına belirli bir döneme kadar bağlanması olarak tanımlanır. Yatırımların etkin, verimli ve karlı alanlara yönlendirilerek değerlendirilmesi, ekonomik açıdan kalkınmanın hızlanmasında doping etkisi yapacaktır (Atan,2004:1). Yatırımcılar ve portföy yöneticileri ise riskin az olmasını yada hiç olmamasını arzu ederler. Yatırımcılar daha çok kazanmaktan ziyade daha düşük risk durumunda daha az kazanmayı tercih edebilir ve yatırımlarını bu doğrultuda gerçekleştirebilirler. Milyonlarca kişinin, binlerce yatırım araçları arasından kendi çıkarlarına en uygun yatırım kararını verebilmesi kolay değildir. Ekonomik şartların zamanla değişmesi portföy içindeki hisse senetlerinin cazibesini kaybetmesine sebep olmaktadır. Bu sebeple hangi finansal kaynağın çıkartılıp yerine hangi finansal varlığın getirilmesine karar vermek gerekir (Karslı, 1989, s: 513). Bu durum bir karar verme probleminin ortaya çıkmasına neden olmuştur. Porföy Optimizasyonu (PO) denilen bu problemin amacı yatırımcıya en uygun yatırım birleşimini sunmaktır (Kartal,2015:77).
Yatırımcılar, ellerinde bulundurdukları menkul kıymetlerin ( Hisse senedi tahvil vb) getirilerini maximum düzeye çıkarmak istemektedir. Ağırlıklı olarak hisse senetlerinden oluşan portföylerde, menkul kıymetlerin getirisi maximum düzeye çıkarılırken riskinde minimum düzeyde olması önem taşımaktadır. Bu işlemi gerçekleştirebilmenin yolu, varlıkların bulunduğu portföyün etkin bir şekilde oluşturulması, yönetilmesi ve gerektiğinde önemli değişiklerin yapılabilmesinden geçmektedir. Yatırımcı tarafından üstlenilecek risk düzeyi etkin portföy şeklinin belirlenmesinde önemli bir etkendir. PO ile ilgili çalışmalarda öncelikli olarak riskten kaçınan bir yatırımcının portföy seçeneklerini oluşturmayı hedeflenmiştir. Bu amaçla belli risk düzeylerinde, yatırımcıya maksimum getiriyi sunan yada maksimum getiri düzeyinde minimum riski sunan portföy seçeneklerini oluşturulmuştur (Çetin,2007:2).
Bu çalışmada portföy optimizasyonu ile ilgili kısa bir literatürden bahsedilip Ortalama –Varyans modeli tanıtılacaktır. Küçük yatırımcıların belirledikleri hisse senedi sayısına göre model geliştirilmiştir. Önerilen modele ilişkin sonuçlar Ortalama – Varyans Modeli sonuçları ile kıyaslanarak etkin sınırın oluşturulması üzerinde durulacaktır.
181 2. LİTERATÜR TARAMASI
PO problemi oldukça geniş literatüre sahip olmakla beraber Modern portföy teorisindeki ilk çalışma 1952 yılında Markowitz’in önerdiği Ortalama-Varyans modeli (Markowitz, 1952) olmuştur. Daha sonra Markowitz modelini geliştirilerek Yarı Varyans Modelini (Markowitz,1959) önermiştir. Ortalama-Varyans Modelinde beklenen getirinin ve varyansın belirlenmesindeki karmaşık hesaplarından dolayı 1963 yılında William Sharpe tek indeks modelini (Sharpe, 1963) ve 1984 yılında Perold Çoklu Endeks Modelleri ortaya atmıştır (Perold, 1984). Daha sonraları Sharpe, Lintner ve Mossin, yatırımcıların menkul kıymetler içinden özellikle hisse senetlerine yatırım yapmaları durumunda, fiyatların hangi yönde değişeceğini araştıran Sermaye Varlıklarını Fiyatlama (SVFM) modelini ortaya atmışlardır. Aynı yıllarda Steve Ross, SVFM alternatif olarak Arbitraj Fiyatlama Kuramını ortaya atmıştır (Ceylan ve Korkmaz, 1998: 144).
Portföy optimizasyonunda kullanılan diğer klasik yöntemler Alt Kısmi Moment Modeli (Bawa, 1975; Fishburn,1977), Maruz Değer Yaklaşımı ve Konno-Yamazaki Modeli (Konno ve Yamazaki, 1991) sayılabilir (Ayan ve Akay, 2013, s.120-121).
Klasik yöntemlerin dışında portföy optimizasyonu için sezgisel teknikler kullanılmaktadır. Bunlardan başlıca Genetik Algoritma (Oh ve dğr., 2005), Parçacık Sürü Optimizasyonu (Cura, 2009), Yapay Arı Kolonisi Algoritması (Kartal,2015) sayılabilir.
3. YÖNTEM
Bu çalışma iki aşamadan oluşmaktadır. Birinci aşamada Standart Ortalama-Varyans Modeli ile hisse senetlerinin portföy içindeki ağırlıkları belirlenmiş ve buna bağlı olarak etkin sınır çizilmiştir. İkinci aşamada yatırımcının istediği hisse sayısı belirlenip ağırlıklar yeniden hesaplanmış ve yeni modele ilişkin etkin sınır tekrar çizilmiştir. Ortalama-Varyans Modelinden kısaca bahsedecek olursak model, portföyün beklenen getirisi ve riski ile ilgilenmektedir. Portföyün beklenen getirisi, portföy içindeki hisse senetlerinin beklenen getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır. Portföyün riski ise, portföyün standart sapması ile açıklanmaktadır. Standart sapma ise menkul kıymetler arasındaki kovaryans değerlerinin portföy içindeki ağırlıklarının çarpımının toplamı ile hesaplanmaktadır.
182
Markowitz, ulaşılması gereken beklenen getiri düzeyi için minimum varyanslı yani riskli portföyü bulmayı amaçlamaktadır. Bu durumda modelin amacı portföy varyansının bir başka deyişle portföy riskinin minimize edilmesidir ve aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir.
𝑀𝑖𝑛. ∑ ∑ 𝑤𝑖𝑤𝑗𝜎𝑖,𝑗 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 (1)
Burada 𝜎𝑃2, portföyün varyansını; 𝑤𝑖, 𝑖. menkul kıymetin portföydeki ağırlığını; 𝜎𝑖,𝑗, 𝑖 ve 𝑗 menkul kıymetleri arasındaki kovaryans değerini ve 𝑀, portföy içindeki hisse senedi sayısını göstermektedir.
Standart Markowitz Modelinde kısıtlar söz konusudur. Bunlardan birincisi ulaşılması gereken beklenen getiri seviyesinin karşılanmasıdır. Matematiksel ifadesi Denklem 2’de gösterilmektedir.
∑ 𝑤𝑖𝜇𝑖 = 𝜇 𝑀
𝑖=1
(2)
Burada 𝜇𝑖, 𝑖. menkul kıymetin beklenen getirisini ve 𝜇, ulaşılması gereken beklenen getiri düzeyini göstermektedir.
İkinci kısıt ise portföyde bulunan tüm menkul kıymetlerin ağırlıklarının toplamının 1 olmasını sağlayan ifade aşağıda gösterilmektedir.
∑ 𝑤𝑖 𝑀
𝑖=1
= 1 (3)
Portföy içindeki menkul kıymetlerin ağırlıklarının sıfırdan küçük olması mümkün değildir. Bu yüzden bu ağırlıklar 0 ile 1 arasında bir değer almaktadır. Bu durum modele kısıt olarak eklendiğinde Markowitz’in önerdiği Ortalama-Varyans Modeline ilişkin genel matematiksel ifade aşağıda gösterilmektedir.
183 𝑀𝑖𝑛. ∑ ∑ 𝑤𝑖𝑤𝑗𝜎𝑖,𝑗 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 𝑠. 𝑡. ∑ 𝑤𝑖𝜇𝑖 = 𝜇 𝑀 𝑖=1 ∑ 𝑤𝑖 𝑀 𝑖=1 = 1 0 ≤ 𝑤𝑖 ≤ 1, 𝑖 = 1, … , 𝑀 (4) Burada;
𝑤𝑖 : 𝑖. menkul kıymetin portföydeki ağırlığı
𝜎𝑖,𝑗 : 𝑖 ve 𝑗 menkul kıymetleri arasındaki kovaryans değeri 𝜇𝑖 : 𝑖. menkul kıymetin beklenen getirisi
𝜇 : ulaşılması gereken beklenen getiri düzeyi 𝑀 : Portföydeki menkul kıymet sayısı
ile gösterilmektedir (Ulucan, 2004: 18-19).
İkinci aşamada kullanılan model adım adım aşağıda anlatılmıştır.
Adım 1: Yatırımcıdan yatırım yapmak isteyeceği maksimum hisse senedi sayısı (HS) istenir.
Adım 2: Önceden ağırlıkları hesaplanmış hisse senetleri (P) büyükten küçüğe doğru sıralanır.
Adım 3: Sıralanmış aday çözümler arasından P-HS kadar hisse senedi, HS adet hisse senedinin ağırlıkları yeniden hesaplanabilmesi için ayrılır.
Adım 4: P-N kadar hissenin ağırlığı N adet hisseden oluşan portföye Formül 5’deki normalizasyon yöntemi ile yeniden hesaplanır.
𝑊𝑖+1= 𝑊𝑖 + ( ∑ 𝑊𝑗∗ (𝑊𝑖 ∑ 𝑊𝑗 𝐻𝑆 𝑗=1 ⁄ ) 𝑃 𝑗=𝐻𝑆+1 ) (5)
184 4. BULGULAR
Bu çalışma da yatırım yapmak isteyen yatırımcılar için modern portföy optimizasyonun gelişimine büyük katkısı olan Markowitz’in önerdiği ortalama varyans modeli tanıtılmış ve İMKB-30’da işlem gören 29 şirketin hisse senetlerinden oluşan portföy üzerinde uygulama yapılmıştır. 30 hisse senedi arasından 1 hisse senedi (Pegasus) bu tarihler arasında işlem görmediğinden dolayı analiz dışı bırakılmıştır (Tablo 1). Bu çalışma ile küçük yatırımcıların önceden belirledikleri hisse senetleri arasından hangilerini portföylerine dahil edebilecekleri konusunda fikir sahibi olmaları amaçlanmıştır.
Tablo 1. BIST 30 endeksinde işlem gören hisse senetleri HİSSE SENETLERİ
Akbank İş Bankası (C) T. Halk Bankası
Arçelik Kardemir (D) Tofaş Oto. Fab.
Coca Cola Koç Holding Turkcell
Bim Mağazalar Koza Altın Tüpraş
Emlak Konut GYO Ford Otosan Türk Hava Yolları
Enka İnşaat Petkim Türk Telekom
Ereğli Demir Celik Sabancı Holding Vakıflar Bankası
Garanti Bankası Şişe Cam Yapı ve Kredi Bankası
Otokar TAV Havalimanı Tekfen Holding
Ülker Doğuş Otomotiv Pegasus1
Uygulamanın veri seti öğrenim gördüğüm Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi’nin anlaşmasının olduğu www.finnet.com adresinden düzeltilmiş veri şekilde elde edilmiştir. Veri BIST30 endeksine ait 31.12.2010-18.03.2016 tarihleri arasındaki haftalık kapanış fiyatlarını içermektedir. Analizlerin birinci aşaması MS EXCEL 2010 Solver eklentisi üzerinden, ikinci aşaması ise MATLAB 7.14 üzerinden çözülmüştür.
29 hisse senedinin haftalık kapanış fiyatlarından dönemlik getirileri hesaplanmıştır. Elde edilen veriler üzerinden ortalama getiri, standart sapma ve kovaryans matrisi elde edilmiştir. Markowitz Ortalama-Varyans modeli sonucunda 54 getiri-risk çifti bulunmuştur. Elde edilen sonuçlar incelendiğinde 0,0036 ile 0,0080 getiri seviyeleri arasında optimal
185
sonuçlar verdiği gözlenmiştir. Toplamda 45 getiri-risk çifti ile analize devam edilmiştir. Modelin birinci aşaması sonucunda elde edilen etkin sınır Şekil 1’de gösterilmiştir.
Şekil 1. BIST 30 endeksine ilişkin standart etkin sınır
Markowitz Ortalama-Varyans modeli sonucunda BIST30’da işlem gören hisse senetlerinin seçilme sayıları Şekil 2’de gösterilmektedir. Buna göre OTKAR ve ULKER, 45 defa portföyde bulunma şansı yakalarken, AKBNK, DOAS, GARAN, ISCTR, KRDMD, KCHOL, SAHOL, SISE, HALKB, TKFEN, THYAO, VAKBN ve YKBNK optimum portföy içinde hiç bulunamamışlardır.
Şekil 2. Hisse senetlerinin seçilme sayıları
Etkin sınır üzerindeki portföylerin kaç tane hisse senedinden oluştuğu Şekil 3’de gösterilmiştir. Buna göre düşük risk seviyesinde portföy içindeki hisse senedi sayısı 13 iken yüksek risk seviyesinde portföy içindeki hisse senedi sayısı 2’ye düşmektedir.
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 G et iri Risk 0 1 34 20 0 29 13 28 34 0 0 0 0 4 45 26 0 0 0 35 0 8 17 18 0 17 45 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
186
Şekil 3. Optimum portföy içindeki hisse senedi sayısı
Modelin ikinci aşaması için yatırımcıdan hisse senetleri sayısı (HS) olarak 5, 6, 7 ve 10 sayıları alınıp model çalıştırılmıştır. Değişik seviyelerdeki hisse senetleri sayısına göre elde edilen risk-getiri çiftleri etkin sınır grafiğinde işaretlenmiştir(Şekil 4).
Şekil 4. Önerilen modeline ilişkin etkin sınırlar
Markowitz modelinden elde edilen etkin sınır ile karşılaştırmalar yapıldığında önerilen modelin etkin olduğu görülmektedir (Tablo 2).
Tablo 2. Önerilen modele ait uygulama sonuçları
HS<5 HS<6 HS<7 HS<10
Ortalama Öklid Uzaklığı 7,13E-05 5,39E-05 2,97E-05 6,89E-06 0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 H S Sa yıs ı Aday Çözüm 0,00000 0,00100 0,00200 0,00300 0,00400 0,00500 0,00600 0,00700 0,00800 0,00900 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 G etir i Risk etkin sınır hs=10 hs=7 hs=6 hs=5
187
Getiri Hatası (%) 4,041012542 2,968476142 1,756034415 0,137131921 Varyans Hatası (%) 6,253101832 2,900856308 1,520081285 0,116227925
Ortalama Öklid Uzaklığı, standart etkin sınır için kullanılan getiri-risk çiftlerinin önerilen modelden elde edilen getiri-risk çiftlerinden farklarının karelerinin toplamının karekökünün toplam getiri-risk çiftleri sayısına bölümünü ifade etmektedir (Formül 6).
𝑂Ö𝑈 = (∑ √(𝑟𝑗𝑠− 𝑟𝑗ℎ)2+ (𝑣𝑗𝑠− 𝑣𝑗ℎ)2 HS
𝑗=1
) HS⁄ (6)
Yüzde getiri hatası (𝐺𝐻) ve yüzde varyans hatası (𝑉𝐻) aşağıdaki formüller yardımıyla bulunmuştur. 𝐺𝐻 = (∑ 100|𝑟𝑗𝑠− 𝑟𝑗ℎ| 𝑟⁄𝑗ℎ 𝐻𝑆 𝑗=1 ) 𝑥 1 HS (7) 𝑉𝐻 = (∑ 100|𝑣𝑗𝑠− 𝑣𝑗ℎ| 𝑣⁄ 𝑗ℎ ϒ 𝑗=1 ) 𝑥 1 𝐻𝑆 (8) 5. SONUÇLAR
Ülke ekonomisine katkıda yatırımcıların ellerindeki sermayeyi değerlendirmesi gerekmektedir. Bununla birlikte belirsizliğin ve dolayısıyla riskin arttığı günümüz dünyasında küçük yatırımcılar yatırım yapma konusunda çekimser kalabilmektedirler. İçinde bulundukları dinamik ortamda kendine yer bulabilmeleri için küçük sermayelerle yatırımlarını arttırma yoluna gidebilmektedirler. Fazla riske katlanmadan belirledikleri getiri sağlamak çoğunlukla zor olmaktadır.
188
Bu çalışmada küçük yatırımcılara ön bir analiz sağlamak için bir model önerilmiştir. Modelin temeli Markowitz Ortalama-Varyans Modeline dayanmaktadır. Önerilen model Markowitz Modelinin yüksek ağırlık verdiği hisse senetlerine yatırımcının istediği hisse sayısı ölçüsünde ağırlığını daha da arttırmaktır. Böylelikle etkin sınırdan fazla uzaklaşmamakta ve yüksek riske katlanmak zorunda kalınmamaktadır. Elde edilen veriler değerlendirildiğinde aşağıdaki sonuçlar çıkartılmıştır.
Her getiri seviyesinde mutlaka OTKAR ve ULKER hisse senetleri tercih edilmiştir. Bankalara ait hisse senetlerinin hiç tercih edilmemiştir.
Düşük getiri seviyesinde etkin hisse senetleri TCELL, ULKER, BIMAS ve EKGYO tercih edilebilir.
Yüksek getiri durumunda ise OTKAR ve ULKER hisse senetlerini tercih etmek avantaj sağlıyor.
Daha az getiri ve daha yüksek riske katlanıp hisse senedi sayısı azaltılabilir.
Gelecek çalışmalarda Markowitz Ortalama-Varyans modelinin dikkate almadığı risksiz yatırım (devlet tahvili, hazine bonosu…vb) alternatiflerini de dikkate alan diğer yöntemler temel alınarak model geliştirilebilir. Bunun yanında ekonometrik analizlerle beklenen getiri ve riskin hesaplamaları yapılabilir.
6. KAYNAKLAR
Atan, M. “Karesel Programlama İle Portföy Optimizasyonu” http://www.ekonometridernegi.org/bildiriler/o8s3.pdf (30.06.2016)
Ayan,T.Y ve Akay, A. (2013), “Tahmine Dayalı Portföy Optimizasyonu: Modern Portföy Teorisinde Risk Ve Beklenen Getiri Kavramlarına Alternatif Bir Yaklaşım”,
Dumlupınar Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi EYİ, Özel Sayı, 119-131.
Bawa, V.S. (1975). "Optimal, Rules For Ordering Uncertain Prospects", Journal of
Financial Economics, Vol. 2, No. 1, pp. 95–121.
Cura, T. (2009), “Particle swarm Optimization approach to portfolio optimization”,
Nonlinear Analysis: Real World Applications, 10(4), 2396-2406
Çetin, A.C. (2007), “Markowitz kuadratik programlama ile optimal portföy seçimi”,
189
Fishburn, P. C. (1977). "Mean-Risk Analysis with Risk Associated with Below-Target Returns",The American Economic Review, Vol. 67, No. 2, pp. 116–126.
Karslı, M. (1989), Sermaye Piyasası, Borsa, Menkul Kıymetler, 4. Baskı, İrfan Yayıncılık, İstanbul.
Kartal, B. (2015), Yapay Arı Kolonisi Algoritması ile Portföy Optimizasyonu, Yayımlanmamış Doktora Tezi, İstanbul Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü, Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı, İstanbul.
Konno H.,Yamazaki H.(1991). "Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Application to Tokyo Stock Market", Management Science, Vol. 37, No. 5, pp. 519-531.
Markowitz, H. M. (1952), “Portfolio Selection”, Journal of Finance, 7(1), 77-91. Markowitz, H. M. (1959), "Portfolio Selection, Efficient Diversification of
Investment". New York: Yale University Press
Oh, K.J., Kim, T.Y., Min S., (2005), Using genetic algorithm to support portfolio optimization for index fund management, Expert Systems with Applications 28 371–379.
Perold F. A., (1984), Large-Scale Portfolio Optimization, Management Science, Vol:30, No:10, October.
Sharpe F. W. (1963), A Simplified Model for Portfolio Analysis, Management
Science, Vol:9.
Ulucan, A. (2004), Portföy Optimizasyonu: Kuadratik Programlama Tabanlı
190
ÇALIŞANLARIN SERMAYEYE ORTAKLIĞI SİSTEMİNE ( EMPLOYEE STOCK