BÖLÜM 3: PORTFÖY OPTĐMĐZASYONU ĐÇĐN KOVARYANS MATRĐSĐ
3.10. Portföy Seçimi Đçin Kovaryans Matrisi Tahmin Edicileri
3.10.3. Küçülme Dönüşümünün Uygulandığı Tahmin Edicisi
Örnek kovaryans matrisi yaklaşımına göre, hisse senedi getirileri birbirinden bağımsız ve benzer biçimde dağılım özelliği göstermektedir. Ayrıca hisse senedi gözlem sayısı değerleri sınırsız olmasına rağmen, piyasada işlem gören hisse senedi sayısı sabit ve sonludur. Oysaki piyasa koşullarında bu varsayımlar her zaman için geçerli değildir. Ortalama varyans analizinde kullanılan beklenilen getiri vektörleri ve kovaryans matrisi değerleri çok küçük değişimlerden hızlı bir şekilde etkilenir. Literatürde tartışılan konulardan en önemlisi beklenen getirilerin tahmininin mi yoksa kovaryans matrisinin tahminin mi daha önemli olduğudur. Çünkü portföy ağırlıklarının belirlenmesinde beklenen getiri vektörünün ve kovaryans matrisinin etkisi oldukça büyüktür. Ayrıca portföy optmizasyonu ile ilgili olan bir çok konu incelendiğinde, kovaryans matrisinin en az tahmin hatasını içerecek şekilde tahmin edilmesi daha da önemli bir konu haline gelmektedir. Beklenen getiri vektörünün tahmin edilmesi, CAPM, APT gibi ekonomi teorilerine bağlanmaktadır. Oysaki kovaryans matrisi ekonometrik modeller aracılığıyla tahmin edilmektedir (Bengtsson ve Holst, 2002). Araştırmada kullanılan küçülme tekniği, Ledoit ve Wolf (2004) tarafından önerilen bir yöntemdir. “Bu yöntemin en önemli noktası, son derece yüksek pozitif tahmin hataları içerme eğilimi içerisinde olan örnek kovaryans matrisinde tahmin edilen katsayılardan dolayı oluşacak olan tahmin hatalarını dengelemektir” (Ledoit ve Wolf, 2004;2). Bu teknikte sabit korelasyon matrisi ve örnek kovaryans matrisinden faydalanarak, yeni bir kovaryans matrisi elde edilmiştir. Bu nedenle öncelikli olarak küçülme ilkesi, hedefi ve sabiti konuları incelenmiştir.
3.10.3.1. Küçülme Đlkesi
Örnek kovaryans matrisini hem kolay hesaplanabilir, hem de tarafsız bir yöntem olması nedeniyle araştırmacılar tarafından tercih edilen bir tekniktir. Ancak, örnek kovaryans matrisi içerdiği tahmin hatası nedeniyle araştırmacıların ilgisinin tahmin hatalarına yönelmesine neden olmuştur. Bu defa da tahmin hatalarını ortadan kaldırmak amacıyla yapılan birçok çalışma tarafsız tahmin yapmaktan uzaklaşmıştır. “Küçülme yöntemi, yapısal tahmin edici F ile örnek kovaryans matrisi S’i kullanarak, konveks lineer kombinasyonunu hesaplayarak, hem yapısal tahmin edici, hem de örnek kovaryans
101
matrisi arasında bir uzlaşma sağlamayı hedeflemektedir” (Ledoit ve Wolf, 2004:6). Buna göre yeni kovaryans matrisi;
δF +(1−δ)S
şeklinde hesaplanır. δ ile ifade edilen değer, küçülme katsayısıdır. Küçülme katsayısı δ,
0 ve 1 arasında değer alır. Yapısal tahmin edici olarak değerlendirilen kavram ise küçülme hedefi olup, Ledoit ve Wolf (2003) çalışmasında tekli indeks modele ait matris iken, Ledoit ve Wolf (2004)’te ise sabit korelasyon matrisi ile elde edilen matristir.
3.10.3.2. Küçülme Hedefi
Ledoit ve Wolf’ün (2003) çalışmasında, çekme hedefi olarak Sharpe’nin tekli faktör modeline ait sonuçları kullanmıştır. Bu çalışmada ise küçülme hedefi olarak sabit korelasyon matrisi modeli kullanılacaktır. Bu modeli Ledoit ve Wolf (2004) çalışmasında kullanmıştır. Sabit korelasyon yapısı veri sayınsın çok fazla olmasına karşılık, tekrarlanan veri sayısının az olması durumunda kullanılan etkin bir modeldir (Yazıcı, 2001). Bu korelasyon yapısının yaygın kullanılan bilgisayar programları ile çözümlenmesi mümkün değildir (Horton ve Lıpsıtz, 1999).
Çalışmanın genelinde kullanılan Ledoit ve Wolf (2004)’e göre küçülme hedefi olarak kullanılan sabit korelasyon matrisine ait değerler ise aşağıdaki şekilde bulunur. Buna göre herhangi bir i hisse senedinin T süresi boyunca olan getirilerine ait ortalama değer yit şeklinde ifade edilecek olursa,
] 1 *
denklemi ile ortalama getiri hesaplanır. sii ve sij örnek kovaryans matrisine ait olan değerlerdir. Elde edilen değerlerden de faydalanarak, örnekleme ait olan korelasyon ve ortalama korelasyon değerleri ise;
`*v *v ¡**vv `¢ p 1p `2 *v ? v*£ ? *
102
ile hesaplanır. Tüm bu örnekleme ait varyans ve korelasyon değerlerine ait hesaplamalardan yararlanarak, kullanılan örnekleme ait olan sabit korelasyon matrisi olan F ise aşağıdaki denklem aracılığıyla;
¤*v `¢¡**vv 41
kullanılarak diğer matris elemanları da hesaplanır (Ledoit ve Wolf, 2004).
3.10.2.3. Küçülme Sabiti
Küçülme sabiti δ sembolü ile ifade edilir. Bu değer 0 ve 1 arasında değer almaktadır. “Optimal küçülme sabiti, doğru kovaryans matrisi ve küçülme tahminlemecileri arasındaki beklenen uzaklığı minimize eder” (Ledoit ve Wolf, 2004:7). Küçülme tahmin edicilerinin çekme sabitini kullanarak elde ettikleri kovaryans matrisi;
∑=δF +(1−δ)S
şeklindedir. Burada F ile ifade edilen sabit korelasyon matrisi iken, S örnek kovaryans
matrisidir. ∑ ise elde edilen yeni kovaryans matrisi değerini göstermektedir. 3.10.2.4. Küçülme Sabitinin Bileşenleri
Araştırmada minimum varyanslı portföylerin oluşturulmasında kullanılan küçülme tekniği ile elde edilen kovaryans matrislerindeki tahmin hatalarının azaltılması öncelikli olan amaçlardandır. Frost ve Savarino (1986); N>T olduğu zamanlarda, portföy seçimlerinde kayıp fonksiyonunun, kovaryans matrisinin tersinir özelliğe sahip olması gerektiğini belirlemiştir. Ledoit ve Wolf (2004) çalışması ile kayıp fonksiyonlarının belirlenmesinde, kovaryans matrisinin tersinir olma özelliğine bağlı olmayan bir matris geliştirmiştir. Geliştirilen bu matriste Frobenius norm esas alınmıştır. Frobenius
şeklinde oluşturulan bir matris, NxN şeklinde olan simetrik bir matristir. Bu matris Z
ile ifade edildiğinde matris elemanları ise (zij)ij=1,2,….N’e kadar değer alır.Böyle bir durumda simetrik Z matrisi:
¥¦¥ §*v ? v ? *
103 L(δ)=¥ 8 1 t ¨¥2
(42) Kayıp fonksiyonunda temel amaç, kaybın beklenen değerinin minimum yapacak olan küçülme sabitini bulabilmektir. Bu amaçla hesaplanan risk değeri ise:
R(δ)=E(L(δ))=E(¥ 8 1 t ¨¥ (43) şekline dönüşür (Ledoit ve Wolf, 2004). Ledoit ve Wolf (2003), çalışmasında hisse
senedi sayısını ifade eden N değerinin sonlu iken, periyot sayısını gösteren T değerinin sonsuz olduğu varsayımı ile bu küçülme sabitini κ ile ifade etmiştir. Buna göre:
© ª «¬
ile hesaplamıştır. κ sabiti bilindiği taktirde küçülme sabiti κ/T aracılığıyla hesaplanabilir. Ancak κ değerinin bilinmediği durumda bunun hesaplanması gerekmektedir. Bu nedenle de κ değerinin üç bileşeni olan π, ρ ve γ değerlerinin hesaplanması gerekmektedir.
Küçülme Sabiti Đçin π Değerinin Hesaplanması
π değer ile ifade edilen örnek kovaryans matrisinin elemanlarının asimptotik
varyanslarının toplamıdır. Buna göre ª değeri:
ª u®`¯√]? *v±
v ?
* 44 şeklinde hesaplanır. Bu hesaplamaların yapılabilmesi için öncelikli olarak asimptotik
varyanslarının hesaplanması gerekmektedir. Bunun için aşağıdaki denklem kullanılır.
π³´µ 1] ¶* B v B · *v¸
Daha sonra ise ª değeri;
ª¹ ª¹*v ? v ? *
104
Küçülme Sabiti Đçin ρ Değerinin Hesaplanması
ρ ise örnek kovaryans matrisinin elemanları ile küçülme hedefinin elemanlarının asimptotik kovaryans değerlerinin toplamıdır.
« º»¯√]¤? *v, √]*v±
v ?
* 45
olarak hesaplanır. « ye ait değerler ise;
« º»¯√]¤*v, √]*v± ? v ? * u®` ? * ¯√]**± 8 º»¯√]`¢¡**vv, √]*v± ? v ,v¼* ? *
olarak hesaplanır. Köşegen ve köşegen olmayan elemanlar ise Ledoit ve Wolf (2003) belirttiği gibi: Köşegen elemanlar: AsyVar¯√]**± ª¹** ª¹** ] ½¾1 ¿À ¾B Á  ÿ¿Ä ŠÀÆ
Köşegen olmayan elemanlar ise:
º»¯√]`¢¡**vv, √]*v± º»¯√]`¢¡**vv, √]*v±
şeklindedir. `̂’nin tahmin edilmesinde ortaya çıkan tahmin hatası asimptotik olarak
önemsizdir. Bu nedenle herhangi bir º»¯√]`¢¡**vv, √]*v± değeri; `̂
2 Èkvv**º»¯√]**, √]*v± 8 k**
vvº»¯√]vv, √]*v±É
105
ÊË**,*v ] ½1 * * **Ķ* B v B · *v¸
Benzer şekilde º»¯√]vv, √]*v± için;
ÊË**,*v ∑ ¶ v v vv¸¶* B v B · *v¸
şeklinde tahmin yapılır. Buradan da ρ’nin tahmin edilmesi aşağıdaki denklem
aracılığıyla yapılır (Ledoit ve Wolf, 2003).
«¹ ª¹** 8 2 Èk`̂ vv **ÊË**,*v8 k** vvÊËvv,*vÉ ? v ,̼* ? * ? *
Küçülme Sabiti Đçin γ Değerinin Hesaplanması
γ ise küçülme hedefinin uyumlaştırma ölçütüdür. Buna göre;
γ Φ - σ- -
46
olarak hesaplanır. γ’ nın tahmin edilmesinde ise:
¬¹ ¤*v *v ?
v ? *
denklemi kullanılır. Hesaplanan tüm değerler ilgili yerlere konulduğunda ise ;
©̂ ª¹ «¹¬¹
olarak hesaplanır. Küçülme sabitinin hesaplanması için bulunması gereken κ değeri ve bileşenleri olan π, ρ ve γ değerlerinden yararlanarak küçülme sabiti için aşağıdaki sonuç yazılabilir (Ledoit ve Wolf, 2004).
106