Kerem, derslerde birçok problemi tahtaya aynı anda yazmaya devam ediyor olsa da, problemleri çözerken öğrencilere daha çok söz hakkı vermeye, daha fazla öğrenciler arasında dolaşıp öğrencilerin defterlerinde yaptıklarını incelemeye başlamıştır. Üstelik öğrencilerin ürettiği çözümler, öğretmenin çözümü yanında kendine daha fazla yer bulmaya başlamıştır.
(Öğretmenin planını kendisinin oluşturduğu ve sunulan ders planı(Ek 2)
oluşturmaları için yaklaşık 5 dakika vermiştir. Bu sırada öğretmen öğrenciler arasında dolaşmış, öğrenci düşüncelerini dikkatle dinlemiş ve yol göstermiştir)
Kerem: Ben sizi kutluyorum (bir ses: ay teşekkürler) Şimdi o zaman bir arkadaşınızdan rica edelim Mesela Alperen gelin. Şimdi 5inci adımda 6ıncı adımda Mert’in şekli nasıl olur ?
Öğrenci: Burada iki birim artmış burada 3 birim artmış sırasıyla gittiği için 5inci terimde de 5 birim artacağı için 10 arti 5 ten 15. 6ınci terimde de 6 artacağı için 15+6 dan 21 buldum.
Kerem: Güzel peki bunu şekil olarak tamamlasaydın 5inci terimin şeklini çizer miyiz?.. Bunu niye yaptım şekil ilişkiyi ortaya çıkarıyor aslında dikkatli bakacak olursanız. Böyle bir soru vardı geçen sene(tahtadaki öğrenci çok düzgün çizemeyince konuşma ve gülüşmeler oluyor. Bir ses: baştan 5, 4, 3 diye gitsene..)
Öğrenci: Hocam bende şekil yok
Şekil 8.Öğrenci cevabını tahtaya yazıyor, 28 Nisan 2014.
Kerem: Tamam. Aslında arkadaşınızın yaptığı dinliyormuyuz.. aradaki ilişkiyi hepiniz tespit ettiniz önceden, 2 ekledim 3, 3 ekledim 6, 4 ekledim 10, 5 eklemem gerekir bunu tespit ettiniz de tek şekle odaklanmadınız önce ama bazı arkadaşlar şekle odaklanarak da yaptı 1.gün 1 düğme 2. Gün 1.günkü bir düğmeyle beraber 2
düğme 3.gün 1.gün bir düğme 2.gün 2 düğme 3.gün 3 düğme toplam düğme 4.gün 1. Gün 1 düğme bakın geride kalanları da ne yapıyorum ifade ediyorum 2.gün iki düğme 3.gün 3 düğme 4.gün 4 düğme toplamı kullandık o zaman buraya 5.adımda şöyleyapabilir miyim 1.günku bir düğmem var 2.günki 2 düğmem var 3.günki 3 düğmem var4.günkü 4 düğme var ve 5.günki 5 düğmem var kaç tane oldu burada artık arkadaşınız zaten tespit etti 15 şimdi gelelim 5inci altıncı adımı sordum ama ben size şunu sorsaydım ninci adımda ne olur (sesler:(n+1)/2) o zaman geride kalan düğme sayısını artık çizmeyelim ne olacak 1 +2+3+4+5+..+ ndeğilmidir arkadaşlar ninci gün o zaman burada nasıl bir şey karşımıza çıkıyor genel terimi (sesler: n(n+1)/2) güzel o zaman arkadaşınızın düğmeyle elde ettiği örüntüyü bir genel terim olarak yazabilirmiymişim ne olacak bu n(n+1)/2 diyebilirim. Bunun anladık .Şimdi diğer ifadeyi, uzatmayalım, onu da tespit ettiniz 1in karesi 2 nin karesi..o zaman ninci ifadeyi nasıl yazarız nin karesi bunu da bir dizi olarak ifade etsem n kare olurmu...(Ders, 28 Nisan 2014)
Keremin, koçla girdiği derslerde, öğrenci merkezli ders eksenine kayma yönünde büyük ilerlemeyi kısa zamanda gerçekleştirdiği görülmüştür. Açıkça bir strateji gösterilmeden de
öğrencilerin bir problemi çözebileceğini düşünmekle birlikte, yine de tüm öğrencilerin öğrenebileceğine inanmamaktadır.
Koç: Kendi haline bıraksaydık bu bilgilerle acaba sizin yazdığınız soruları siz hiç bir şey söylemeden örnek soru çözmeden çözemezler miydi?
Kerem: Bir kısım halledebilirdi ama bu kısmın haricinde kalan diğer grupsa biraz zorlanabilirdi ama onlar da yapardı diye düşünüyorum. Sınıfın seviyesi belki fark etmişsinizdir bir çok sınıfın üzerinde.
Kerem:Biraz üzerinde evet
Kerem:Yani çok rahat hemen fark edip kavrayıp ve bunu belli bir dile çevirebiliyorlar. Biraz da bizim yardımımızla
Koç:Yönlendirme gerekli diyorsunuz
Kerem:Gerekli ama yapabilirlerdi. Mutlaka yapan çıkardı ...
Koç:Peki sizce ulaşamadığımız öğrencilere neden ulaşamıyoruz? ...
Kerem: Onların temel birikimleri zayıf yani matematik olarak belli bir okur yazarlıkları olmadığını düşünüyorum.Hatta fen öğrencisi olmadıklarını düşünüyorum birkaç öğrenci var öyle . Hatta iki tane.Tam… Onları o yüzden sıkıştırmıyorum(Görüşme, 29 Nisan 2014).
Üstelik öğretmenin hala dersin kendi güdümünde ilerlemesi yönündeki çabasının devam ettiği gözlenmektedir. Bu durum koç tarafından ders sonrası görüşmede tartışmaya açıldığında ise Kerem,
Koç:En ufak bir çıt bile çıkarmadan çocuk yerine oturdu. Ağzı mühürlenmiş gibi…Acaba biraz yani..
Kerem:Fazla müdahale etmemek…
Koç:Yapmış, bunun gururunu bırakalım o yaşasın. Sizin anlattığınızın aynısını anlattı bana. Ben biliyorum o çocuğun çözdüğünü...Yani keşke izah etme işini “tamam ne yapıyorsun anlatarak yaz” desek. Sebep de şu hocam; doğru şeyi yazıyor ama doğru şeyimi düşünüyor bunu bilemiyoruz bunu ölçemiyoruz çocuk konuşmadığında. Acaba bir refleks olarak mı çözüyor yoksa gerçekten bilerek mi?.. Kerem: Sadece bir kurala bağlı kalarak mı yoksa zihninde bir şeyler var ve bu ilişkiyi bize yansıtmamış oluyor öyle yaptığım zaman..
Koç:Aynen öyle belki de çözümünü anlatmadığı zaman hata yaptığı yeri bilemiyoruz ...
Kerem:...Ben de süreç ilerledikçe güzele doğru ulaşılacağını düşünüyorum. Bazen alışkanlıkları kırmak zordur. Onun değişeceğine inanıyorum. Alışkanlıkları kırmak zordur. Bundan olumlu şeyler çıkaracağımı düşünüyorum. Yani her halükarda bir süreç bu pat diye bir şeyleri yıkmak çok zor oluyor. Hele de bu belli bir zaman sonra artık alışkanlık haline gelmişse...(Görüşme , 29 Nisan 2014)
şeklinde kendini ifade etmiştir. Kerem’in de altını çizdiği gibi, alışkanlıkları (inançları) değiştirmek, Kerem kadar açık bir öğretmenle dahi, oldukça zordur.
Bu noktada, uygulamanın başlamasından itibaren yaklaşık bir aylık bir çalışmanın ardından Kerem’in halen ara dönem inançlarına sahip olduğu söylenebilir.
Koçun Değerlendirmesi:
-Kerem alışkanlıklarından vazgeçmekte zorlanıyor.
-Müfredat yaklaşımını benimseyen sınıf ortamının gerekleri gerçekleştirilemiyor. Hala işlemsel ve bilgi odaklı. -Model ders uygulaması yapılabilir.
-Öğrencilerin derse daha aktif katılımı arttırılmalı. -Daha fazla, akıllı tahta uygulamaları paylaşılmalı. -Derste manipülatif kullanımı artmalı.
-Kerem’i desteklemek için neler yapabilirim?
Öğretmenler için koçluk uygulamalarında tercih edilen etkili bir yöntem "model ders anlatımı" dır( West ve Staub, 2003). Bu uygulamada koç öğretmenle paylaştığı yöntem ve teknikleri işe koştuğu bir dersi anlatır. Böylece öğretmenin gözlemde bulunması sağlanarak bu gözlemlerde elde ettiği bilgi ve tecrübeyi sınıfına taşıması umut edilir. Elbette bu durum özellikle öğretmenin sınıfında gerçekleşeceği için öğretmende ileriye dönük olarak, sınıf yönetimine dair, kaygılar doğurabilir. Dolayısıyla, öğretmenle tartışılıp daha sonra hayata geçirilmesi daha uygun bir yöntemdir. Model ders yöntemini uygulamak adına koç Kerem’in görüşünü almıştır. İkili, on birinci sınıftaki sürecin aksamaması adına yine Kerem’in bir başka sınıfında uygulama yapmaya karar vermişlerdir.
Sınıf düzeyi onuncu sınıf olmakla birlikte “öğrenci merkezli ve matematiksel kavramların, sınıf ortamında tartışmalar sonucunda yapılandırıldığı, kavramsal bir yaklaşımı” (MEB, 2011) esas alan ders işlemeye yönelik ders planı hazırlama ve ders işleme ile ilgili örnek ders olması planlandığından, sınıf düzeyindeki farklılığın sorun olmayacağına karar verilmiştir. Önuncusınıf geometri dersi, ‘öteleme ve dönme’ konusu örnek ders anlatımı için seçilmiştir. Koç, daha önce kendisinin katılımcı olduğu bir çalışmayı (Gülkılık, 2013) ders planlarını ve dokümanlarını ilgili çalışmanın araştırmacısından izin alarak öğretmenle paylaşmıştır. Öğretmen ve koç ders planlarında kendi koşullarına uygun düzenlemeleri yapmışlardır. İki ders saati boyunca, dersi koç tek başına yürütmüş öğretmen ise sadece gözlemci olarak sınıfta bulunmuştur.
Bu model dersin ardından yapılan görüşmede öğretmenin değerlendirmesi şu şekilde olmuştur;
Koç:Ne düşünüyorsunuz bugünkü dersle ilgili olarak? Gözleminiz nedir?
Kerem:Gayet plana bağlı kaldınız. Tamamen verilmesi gereken notları verdiniz. Ders çok düzenli geçti. Çocuklar kavrama mantığıyla anladılar. Sonra soru da çözüldü. Hiç de geri kalınmadı yani. Dediğiniz gibi. Benim endişe ettiğim nokta oydu. Çok soru çözemez miyim acaba? (Görüşme, 12 Mayıs 2014)
İlerleyen günlerde öğretmenin derslerdeki uygulamalarında görece farklılıklar tespit edilmiştir. Matematik öğrenme ve öğretmeye dair inançlarında meydana gelen değişim öncelikle ders planlamayla ilgili yaklaşımına yansımıştır;
Koç: Peki sizce geometrik dizi kavramını çocuk kendisi açıklayabilir mi? Toparlayabilir mi?
Kerem: Açıklar aslında. Birkaç yönlendirme ile çok rahat açıklar. Koç: Mesela nasıl bir yönlendirme yapmayı düşünürsünüz?
Kerem: Geometrik dizi... (Düşünüyor) Kuvvetleri şeklinde birkaç örnek yazmış olsam. Aralarındaki ilişkiyi kurmasını istesem, ardışık iki terim arasındaki ifadeyi oluşturmalarını istesem. Oradan bir sonuç yakalasak. Sonra onu genel terimine aktarsa.
Koç: Evet
Kerem: Bu şekilde yönlendirsek. Başka nasıl yönlendirebiliriz?
Koç: Bence gayet güzel söylediniz. Bir örnek alalım diyorsunuz. Kuvvet şeklinde yazılmış olsun. Tam dizinin tanımına uygun. Sizce çıkar mı cevap gelir mi?
Kerem: Gelir. Çıkar çok rahat çıkartırlar (Görüşme, 12 Mayıs 2014)
Bu noktadan itibaren, işlenen derslerin, ders planlamasını öğretmen kendisi yapmış, koçla sadece bilgi amaçlı paylaşmıştır. Öğretmenin planladığı derslerde, ders dikkat çekici bir resim, video yahut bir görsel ile başlamıştır. Öğrencilerden neler düşündüklerini paylaşmaları istenerek tartışma ortamı oluşturulmuş, kavramın yapısının oluşturulmasının sağlanması için ortam sağlanmıştır. Sunulan soru ve problemlerle ilgili öğrencilerin kendi çözümlerini oluşturabilmeleri için yeterli zaman verilmiş ve onların çözümleri öğretmen tarafından dinlenerek tahtada bu çözümlerden bir ya da birkaçına yer verilmeye başlanmıştır.
Şekil 9.Öğretmenin geometrik diziler konulu derse giriş amacıyla kullandığı görseller, 20 Mayıs 2014.
Kerem, öğrencilerin düşüncelerini ortaya çıkarmaları için fırsat vermekte, onları tek tek dinlemekte üstelik öğrencilerin düşüncelerini ifade edebilmeleri adına kolaylaştırıcı bir rol
üstlenmektedir. Sağlanan bu ortamda öğrenciler daha aktif öğrenicilerdir.
Kerem:Bu resimlere bakarak ne yorum getirebileceğinizi yada ne anladığınızı nasıl bir..İlla matematiksel bir şey olmasına gerek yok neler katıyor size neler uyandırıyor? Öğrenci1:Belli oranda küçültülmüşü işte
Kerem:Küçültülmüş şekiller.Başka
(sesler: yuvarlak mı onlar.. İsrail bayrağına benziyor..Fraktal sanki.. Fraktal gibi görünüyor.)
Kerem:Hepsi üçgenler yuvarlak bir şekil gibi görünüyor ama değil üçgenler…Fraktal gibi evet başka.. İlk iki slayt bir şey uyandırmadı mı o da ona benzemiyor mu acaba ne görüyoruz burada
(sesler:belli oranda..)
Kerem:Belli oranda bu belli oran nedir? (sesler:2/3)
Kerem:Ne olmuş peki 2/3 şeklinde ne yapmış (sesler: küçülmüş..2/3 ün karesi..)
Kerem:Tek ses olması açısından
Öğrenci2: 2/3 üzeri 0, biri işte 2/ 3 üzeri iki 2/3üzeri üç Öğrenci 3:Ben içinde ne yazıyor onu göremiyorum. Kerem:2/3 mü 2 üzeri 3 mü
Öğrenci2: 2/3
Kerem:2/3 sıfırıncı kuvveti birinci kuvveti ikinci kuvveti gibi diyor arkadaşımız. Başka? Diziler ama nasıl bir şekilde diziler bunlar?
Öğrenci 1:aynı oran var ....(Ders, 20 Mayıs 2014).
Öğretmenin seçtiği problemler özellikle üzerinde grup olarak tartışmaya açık öğrencilerin
aktif katılımını gerektiren problemler olmuştur. Ancak yine de etkinlik ve sorular, ağırlıklı olarak ders kitabından seçilmiştir. Ayrıca, bu derslerde tartışmaların sürmesi ve
yönlendirilmesi bakımından koçun desteğine daha az gerek duyulmuştur.
Ders sonrası yapılan görüşmeler de, öğretmenin ara dönem inançlarından kaymalar olduğunu düşündürtmüştür. Öncelikle koçun model olarak işlediği ders konusunun da değerlendirildiği bir yazılı sınavında öğrencilerin kullandığı çözüm yollarından bahsederken, öğrencilerin ezberlenmiş kurallardansa kendi buldukları yollarla soruları çözmüş olmaları Keremi oldukça etkilemiş görünmektedir.
Kerem: Hala şey kavramı var, bir kuralı var o kurala göre yorumlanır, yaptıran orda sizinle yaptığınız derste çocuklar konuları kendileri tespit ettiği için bir kural odaklı bakmadılar olaya ve gerçekten onları anladığı ölçüde değerlendirip yaptılar. yani kural yoktu yine çocukların soru çözümlerinde kendileri oluşturduğu yöntemlerle çok daha rahat halletmişler.
Koç: Anladım.
Kerem:Ve bu şunu gösteriyor, bizim hazır verdiğimiz kurallardansa çocuğun kendi elde ettiği içselleştirdiği kuralları daha rahat uygulayabildiğini gözlemliyorum (Görüşme, 11 Haziran 2014).
Bu durum Keremin öğrencilerin matematik öğrenme biçim ve düzeylerine göre derslerin
düzenlenmesi gerektiğine dair bir inanç ortaya koymasına sebep olmuştur.Üstelik Kerem uygun şartlar sağlandığında herkesin matematik öğrenebileceğini düşünmektedir
Koç:Peki başarısız olan çocuklar için ne yapmak lazım?
Kerem: Başarısız olan çocuklarda bunu daha fazla uygulayarak süreci daha uzun tutarak yani bir... dönüşüm için örnek veriyorum, iki saatte işleyecekse aslında onu üç saate yayarak, tamamlamakta fayda var, ama her halükarda o başarısız olan çocuklarda belli bir seviyede yetecektir bu süreç.
Koç:Öğrenebilirler
Kerem:Öğrenebilirler tabi (Görüşme, 11Haziran2014).
Gelinen noktada matematik öğrenme ve öğretmeyle ilgili inançları ve sınıf içi matematik uygulamaları ile ilgili sınıflama ölçütleri bağlamında genel değerlendirme yapıldığında, Kerem'in ara dönem düzeyinden alışılmış olmayana yakın düzeye doğru geçiş yapmakta olduğu söylenebilir.