A amplitude total, simbolizada neste trabalho por At ,é a medida de variação
mais simples e é muito eficaz, pois permite observar a variação geral de uma distribuição. A amplitude total é definida como a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados, ou seja,
min max
t
X
X
A
=
−
Para o exemplo das notas: 0, 1, 2, 5, 7, como a menor nota é zero e a maior nota é sete, a amplitude total será At = 7 – 0 = 7, ou seja, existe uma
diferença de sete pontos entre a menor a maior nota.
Diferentemente das medidas anteriormente discutidas, a amplitude total é uma medida de variação que não tem um ponto de referência, uma medida de tendência central. A variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o desvio médio são medidas de variação em torno da média enquanto a amplitude total não representa uma variação em torno de alguma medida, mas simplesmente uma variação global.
A amplitude total é, talvez, a única medida de variação intuitiva, pois é muito natural a observação dos valores máximo e mínimo em uma distribuição. As crianças, desde muito pequenas, já observam o amigo mais alto e o amigo mais baixo, a maior qua ntidade de balas distribuídas e a menor quantidade, etc.
Embora seja uma medida simples, é de extrema importância na leitura de histograma, dotplot, etc., pois permite identificar a variação dos valores da variável, algumas vezes esquecida devido à comple xidade do gráfico, tal como já salientado por Meletiou e Lee (2002).
Neste capítulo foram apresentadas as seguintes medidas de variação (dispersão): variância, desvio padrão, coeficiente de variação, desvio médio e amplitude. Foram apresentados os aspectos teóricos que determinam sua
19 Estas restrições matemáticas podem ser exemplificadas como a não possibilidade de
fórmula, a interpretação do resultado numérico e as diferentes maneiras de representação gráfica.
Esta discussão teve como objetivo apresentar o objeto matemático deste estudo: medidas de variação. O capítulo seguinte apresenta uma análise de como o livro didático de Matemática do ensino médio faz a apresentação matemática e didática desse objeto e o quarto capítulo apresenta os aspectos deste objeto priorizados nos estudos recentes publicados em jornais e eventos científicos importantes na área.
3 Análise do Complexo Praxeológico do Objeto Variação/Variabilidade
O livro didático é um recurso desenvolvido com o objetivo de ser utilizado pelo estudante, mas sabe-se que também é um recurso de pesquisa utilizado pelo professor quando está planejando suas aulas, como salientado no próprio PCN.
Não tendo oportunidade e condições para aprimorar sua formação e não dispondo de outros recursos para desenvolver as práticas da sala de aula, os professores apóiam-se quase exclusivamente nos livros didáticos, que, muitas vezes, são de qualidade insatisfatória. (BRASIL, 1998, p. 22).
Partindo-se do pressuposto de que grande quantidade de professores apóia-se nos livros didáticos, este capítulo tem o objetivo de identificar as tarefas, as técnicas e os aportes teóricos, ou seja, o complexo praxeológico apresentado pelos livros didáticos de Matemática do ensino médio para o desenvolvimento do objeto variação/variabilidade.
O conhecimento do complexo praxeológico de variação/variabilidade pode permitir a compreensão do(s) tipo(s) de raciocínio do professor de matemática frente à solução de problemas estatísticos que envolvem variação. E, por esse motivo, salienta-se que não é objetivo fazer nenhum juízo de valor das obras analisadas.
A análise praxeológica seguiu os pressupostos da Teoria Antropológica do Didático (TAD), desenvolvida por Chevallard (1995, 1996, 1999).
Apoiado na Antropologia Cognitiva, Chevallard (1996) utiliza os termos objeto, instituição e sujeito. Para ser um objeto20, é preciso que haja uma relação deste com uma pessoa (X) ou com uma instituição (I), ou seja, deve haver uma R(X,O) ou uma RI(O), respectivamente. Vale ressaltar que essa relação é
explicada pelo autor como o conhecimento do objeto pela instituição ou pela pessoa.
Para Chevallard (1996, p. 148), um saber (S) é uma categoria particular de objeto que “pode ser aprendido, e pode ser ensinado; mas, não pode ser conhecido sem ter sido aprendido. Por outro lado, podem ser utilizados e, para existirem, têm de ser produzidos”.
20Para Chevallard (1996), um objeto tem um sentido mais amplo que puramente matemático.
A instituição pode ser uma sala de aula, uma escola, uma disciplina, um livro didático, etc. e “a cada instituição I está associado um conjunto de objetos OI,
chamado conjunto dos objetos institucionais (para I), que é o conjunto dos objetos O que I conhece” (CHEVALLARD, 1996, p. 129). Essa relação é dinâmica e, por esse motivo, sofre interferência temporal. A cada instante surgem (ou desaparecem) objetos institucionais e, portanto, o autor prefere representar esta relação por OI(t).
As instituições didáticas, categoria particular das instituições, dão origem a que o autor denomina de Teoria Antropológica do Didático (TAD).
A intenção didática manifesta-se através da formação de instituições a que chamo, genericamente, sistemas didáticos. Um sistema didático (SD) comporta um ou vários sujeitos de I, que nele ocupam uma posição
de professor P, um ou vários sujeitos de I que nele ocupam uma posição de aluno a, e finalmente um objeto O, pertencentes a PI(a), que é o
conjunto dos investimentos didáticos para I. (CHEVALLARD, 1999, p. 133).
Para que um sistema didático funcione, é necessária a existência de um meio, ou seja, que, em cada instante, exista uma relação institucional RI (p,O)
(em que p = a,P) localmente estável (CHEVALLARD, 1999). Vale salientar também que um sistema didático se alimenta de outros sistemas, tal como o de ensino.
Segundo Chevallard (1999, p. 223), o postulado de base da TAD é que “se admite em efeito que toda atividade humana regularmente realizada pode ser descrita com um modelo único, que se resume com a palavra praxeologia”, inclusive as atividades matemáticas.
Rossini (2006, p. 30) explica que o termo praxeologia é a união de praxis (prática) e logos (razão) e explica que o termo lembra “uma prática humana, no interior de uma instituição, que está sempre acompanhada de um discurso mais ou menos desenvolvido, ou seja, de um logos que a justifica”.
Para a análise de uma praxis, o saber-fazer, a teoria revela o estudo das tarefas propostas pelos livros bem como as técnicas apresentadas para a solução das tarefas e para a análise do logos, tem-se o discurso teórico-tecnológico que justifica a praxis.
Chevallard (1995 p.85) explica que tarefa é uma atividade bem circunscrita. Ele recupera a explicação dada à palavra tarefa pelo dicionário histórico da língua francesa, que "é um trabalho determinado que somos obrigados a fazer, com uma
noção de retribuição pelo trabalho". Chevallard (1999) explica que uma tarefa se expressa por meio de um verbo tal como limpar a casa, desenvolver uma expressão, dividir um número inteiro por outro inteiro, subir uma escada, etc. Uma tarefa t pode fazer parte de um tipo de tarefas T. No caso de variação, por exemplo, calcular o desvio padrão é um tipo de tarefa e calcular o desvio padrão com dados agrupados é uma tarefa pertencente a este tipo de tarefas T.
Para um indivíduo X, um tipo de tarefa T pode ser rotineiro ou problemático. "Se a tarefa T é rotineira para X, isto quer dizer que X possui e domina uma maneira de fazer, denominada técnica" e simbolizada por τ
(CHEVALLARD, 1995, p. 86).
Chevallard (1995) explica que uma técnica τ é problemática para os iniciantes, mas que passa a ser rotineira à medida que o indivíduo X adquire a maneira de fazer a tarefa. E exemplifica com a criança pequena (X) que começa a andar (T). A técnica é problemática, mas com o tempo, passa a ser rotineira. Mas, uma técnica não tem êxito em mais de que uma parte da tarefa, parte que se denomina alcance da técnica. Por esse motivo, uma técnica pode ser superior a outra, de maneira parcial ou total.
No caso de variação, uma das tarefas pode ser calcular o desvio padrão com um rol de observações. Para tanto, existe uma técnica que é a aplicação da
fórmula
(
)
N X 2 i∑
−µ =σ . Este é um bloco (T/τ) que é o “saber-fazer”.
A tecnologia, simbolizada por θ, é um discurso compreensivo sobre a técnica, cujo objetivo é justificá-la racionalmente, assegurando-se de que permite realizar as tarefas do tipo T (CHEVALLARD, 1999).
Chevallard (1999, p. 226) explica que a técnica relativa ao tipo de tarefas T está sempre acompanhada de um vestígio de tecnologia. E apresenta o exemplo da aritmética:
“Um mesmo pequeno discurso tem dupla função, técnica e tecnológica, que permite num momento encontrar o resultado pedido (técnica) e justificar que é correto o resultado esperado (tecnologia), como quando se diz : se 8 balas custam 10 Francos, 24 balas, ou seja, 3 vezes 8 balas, custam 3 vezes mais, 3 vezes 10 Francos.”
O objetivo de uma tecnologia não é apenas justificar a técnica, mas também explicá-la.
Utilizando o exemplo da tarefa de calcular o desvio padrão, as tecnologias empregadas na técnica são as propriedades de operação em ℜ (somatório, operação de potência, ordem das operações, raiz quadrada), média aritmética e o conceito de desvios da média.
Por fim, no bloco que Chevallard (1995) denomina de saber, encontra-se a teoria, que é a tecnologia da tecnologia, a justificativa da justificativa. O autor explica que teoria é um nível superior de justificativa-explicação-produção. No caso da tarefa de calcular o desvio padrão para um rol de observações, as teorias que estão envolvidas são: medidas de tendência central e dispersão (estatística) e álgebra.
Diante do exposto, formaliza-se que uma praxeologia, ou organização praxeológica, está constituída de um bloco prático-técnico (T/ τ), referente ao saber-fazer e por um bloco tecnológico-teórico (θ /Θ) referente ao saber. Essa praxeologia pode ser pontual, quando relaciona um único tipo de tarefa T ao complexo (T/ τ /θ /Θ) [tarefa, técnica, tecnologia e teoria] (CHEVALLARD, 1999, p. 228).
Geralmente, em uma instituição I, uma teoria Θ responde por várias
tecnologias θj, cada uma das quais, por sua vez, justifica e explica
varias técnicas τij, correspondentes a outros tantos tipos de tarefas Tij. As organizações pontuais vão combinar-se, em primeiro lugar, em organizações locais
[
Ti/τi /θ/Θ]
centradas sobre uma tecnologia θdeterminada e depois em organizações regionais
[
Tij/τij/θj/Θ]
formadas ao redor de uma teoria Θ.
E Chevallard (1999) explica que uma organização global é um complexo praxeológico dado pelo conjunto de organizações regionais.
A organização praxeológica de um determinado objeto divide-se em organização praxeológica matemática, ou simplesmente organização matemática de um tema de estudo θ, que é o estudo da própria realidade matemática e a organização praxeológica didática, ou simplesmente organização didática desse tema θ, que é a maneira como pode ser construída essa realidade matemática.
A seguir estão apresentadas a forma de seleção dos livros analisados, a análise da praxeologia didática e da praxeologia matemática.