Segundo Chevallard (1999, p. 244), “as praxeologias didáticas ou organizações didáticas são respostas a questões do tipo como estudar a questão
T
q=τ ?” e ainda (p. 246) “é o conjunto dos tipos de tarefas, técnicas, de tecnologias, etc., mobilizadas para o estudo concreto em uma instituição concreta”.
Entende-se que organização didática é um conjunto de opções dos autores dos livros para trabalhar um determinado conteúdo, que neste estudo é variação/variabilidade. Como explica Chevallard (1999, p. 246) “o enfoque praxeológico contempla aspectos da organização do estudo, geralmente vistos como relevantes de escolhas pedagógicas, políticas, exteriores ao campo de questionamentos da didática da Matemática”
Para Chevallard (1999), um momento didático é uma situação em que o desenvolvimento do estudo deverá ser cumprido em seis momentos didáticos: 1)
o encontro com a tarefa; 2) a exploração do tipo de tarefa e das técnicas para resolver tal tarefa; 3) constituição do bloco tecnológico-teórico; 4) pôr à prova a técnica, ou seja, explorar o alcance da técnica; 5) institucionalização, ou seja, precisar o que é exatamente a organização matemática elaborada, distinguindo claramente, por um lado, os elementos que não foram integrados e, por outro lado, os elementos que entraram de maneira definitiva na organização matemática considerada e 6) a avaliação, reflexão do que se aprendeu.
A criação de situações didáticas adequadas é uma resposta às questões sobre a realização dos diferentes momentos didáticos: “como realizar concretamente o primeiro encontro com tal organização matemática? Com qual tipo de tarefas? Como conduzir o estudo exploratório de um tipo de tarefas dado? Como conduzir a institucionalização? Como realizar a avaliação?” (CHEVALLARD, 1999, p. 255).
Com base nessas questões sobre momentos didáticos, foi realizada a análise da organização didática do objeto variação/variabilidade e a Figura 8 apresenta uma síntese dessa análise, com o objetivo de facilitar a leitura.
75 Figura 8 - Esquema da análise da organização didática dos livros de Matemática
Organização Didática Tarefa 1 Apresentar o capítulo de Estatística Tarefa 2 Introduzir as medidas de variação Tarefa 3 Ordenar a apresentação das diferentes maneiras de calcular as medidas Tarefa 4 Apresentar os problemas de variação Tarefa 5 Usar recurso tecnológico para calcular as medidas Com bancode dados Anedotas Estatística como ferramenta de pesquisa Definição do procedimento Com histograma Definição conceitual Interpretação da homogeneidade Observações em torno da média Apresenta todas as medidas e, depois, os diferentes cálculos Apresenta todas as estratégias de cálculo de uma medida e depois apresenta as outras medidas. Com conjunto numérico Com distribuição de Freqüências com dados agrupados. Com gráfico de linhas ou colunas Uso de calculadora científica Método Tradicional
Como pode ser observado na Figura 8, foram identificadas cinco tarefas didáticas no capítulo de Estatística que têm relação direta com o objeto variação/variabilidade e os retângulos que se encontram abaixo de cada tarefa sintetizam as diferentes técnicas observadas para cada tarefa.
Antes de iniciar a apresentação da análise didática, é importante identificar as medidas de variação constantes nos livros didáticos. O Quadro 3 relaciona essas medidas e aponta o livro didático que a apresenta. Além disso, também pode ser observado no quadro, a simbologia adotada pelo livro.
Quadro 3 – Identificação das medidas de variação e respectivo símbolo apresentados nos livros didáticos de Matemática
Livros didáticos Medida de variação L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 amplitude --- Não usa símbolo Não usa símbolo --- --- R Não usa símbolo desvio relativo --- Dr --- --- --- --- --- desvio absoluto --- Da --- --- --- --- --- desvio médio dm Dma --- DM --- --- dm variância Va σ2 V σ2 ou Var(X) V s2 --- desvio padrão s σ S σ DP d dp
O Quadro 3 revela alguns fatos que merecem discussão. Primeiro, todos os livros apresentam uma medida de variação em torno da média e não comentam que existem outras medidas de variação que medem a dispersão em torno de outra medida de tendência central, tal como o intervalo interquartílico. Isso pode levar o leitor a pensar que só existem medidas de variação em torno da média.
Um outro fato relevante é que a amplitude, uma medida útil e intuitiva, só é apresentada por quatro livros, sendo que um deles (L2) não a apresenta no subcapítulo Medidas de Variação, mas no início do capítulo de Estatística.
O livro L2 utiliza duas medidas antecessoras ao desvio médio. Uma delas, o desvio relativo - Dr (xi) - (distância de cada valor em relação a média) é
trabalhada no livro para verificar se um valor qualquer do conjunto numérico está acima, abaixo ou é igual à média. A outra medida, o desvio absoluto – Da(xi) -
(módulo da distância de cada valor em relação à média), é calculada mas o autor não explica a necessidade de se usar o módulo, ou valor absoluto.
A estratégia utilizada pelo autor do livro L2 é muito interessante , pois familiariza o leitor com a interpretação de uma medida de variação.
O desvio médio é apresentado por alguns livros enquanto a variância e o desvio padrão são adotados por todos, atribuindo a importância que essas medidas têm na Estatística. Embora o livro L7 não apresente um símbolo para a variância e nem formalize sua existência, ela aparece como o cálculo parcial para a obtenção do desvio padrão.
O fato que mais chamou a atenção no Quadro 3 é a diversidade de símbolos adotados pelos livros. Só para o desvio padrão, foram encontrados cinco símbolos (em sete livros): S, s, σ, DP, dp e d. Supondo que o professor de
Matemática recorra a mais de um livro para elaborar sua aula e preparar uma seqüência didática para seus alunos, é possível que ele se confunda e desista dessa tarefa. Ehrenberg (1976) já alertava para o fato da não padronização da simbologia em Estatística, o que dificultava a solução de exercícios por parte de alunos de graduação.
Vale ressaltar que todos os livros analisados não fazem nenhuma menção ao parâmetro e estimador, o que já era esperado, dado o nível de escolaridade. E todos apresentam a fórmula da variância e do desvio padrão do estimador viesado do parâmetro.
Tarefa 1: Apresentar o capítulo de Estatística
Como apresentado por Chevallard (1999), a maneira como será realizado concretamente o primeiro encontro com a organização matemática é um aspecto didático que merece apreciação e que está colocado aqui como Tarefa 1. Foram encontradas três diferentes maneiras com as quais o capítulo Estatística se inicia, que foram denominadas de técnica.
Técnica 1.1: Seguindo a seqüência: definição conceitual, exercício resolvido,
O autor escolhe apresentar primeiro as definições e alguns exercícios resolvidos para explicar as técnicas. Após essa apresentação inicial, são propostos exercícios que repetem as técnicas já desenvolvidas e, eventualmente, alguns exercícios com técnicas não apresentadas.
Técnica 1.2: Sensibilização com anedotas sobre Estatística e retorno à Técnica
1.1.
Nesta opção, o autor tenta motivar o aluno a estudar o assunto em pauta, apresentando possíveis enganos cometidos na interpretação de resultados estatísticos. É comum a anedota: um homem de um metro e oitenta se afogou num lago que tinha profundidade média de um metro e meio, apresentada em Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr (2002 ).
Técnica 1.3: Sensibilização sobre o papel da Estatística como ferramenta de
pesquisa e retorno à Técnica 1.1.
Esta técnica permite mostrar ao leitor do livro a utilidade da Estatística e a proximidade com o mundo real. Smole e Diniz (2003a) apresentam o perfil de compradores de imóveis numa cidade brasileira, que tinha sido veiculado num jornal de grande circulação e faz uma interpretação dos gráficos. Utilizando esta introdução, o leitor tem condições de ver a aplicabilidade do conteúdo que vai estudar e motivar-se para aprender. Após a introdução, o desenvolvimento do conteúdo se faz de acordo com a Técnica 1.1.
Discurso Teórico-Tecnológico das Técnicas 1.1, 1.2 e 1.3 - Esta apresentação
do conteúdo é uma opção pelo método de ensino tradicional, em que o aluno espera a explicação e repete o tipo de técnica apresentada para resolver cada tipo de tarefa. É importante observar que esta abordagem é oposta à Teoria das Situações, em que se propõe ao aluno uma seqüência de exercícios (situação) para que ele mesmo encontre a técnica para resolver o exercício e tenha condições de generalizar o discurso teórico-tecnológico.
O discurso utilizado pelos livros também está em discordância com as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais, que orientam o trabalho com
a resolução de problemas, que permite o desenvolvimento do raciocínio, neste caso, o raciocínio estatístico.
Foi observado como cada livro iniciava o capítulo Estatística e o Quadro 4 apresenta as técnicas utilizadas em cada livro.
Quadro 4 - Distribuição das técnicas identificadas na Tarefa Didática 1
Técnica L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
Técnica 1.1 X X X X X X X
Técnica 1.2 X X
Técnica 1.3 X X X X X X X
Como pode ser observado no Quadro 4, todos os livros apresentam o capítulo de Estatística enaltecendo seu papel de ferramenta de pesquisa, embora alguns apenas restrinjam-se a escrever sobre isso enquanto outros apresentam resultados de pesquisa, o que torna mais concreta para o estudante21 a utilização do conteúdo.
Todos os livros apresentam o conteúdo estatístico num discurso tradicional.
Tarefa 2: Introduzir as medidas de variação
Como já salientado no Capítulo 2 deste trabalho, o cálculo de algumas medidas de variação é extenso e, algumas vezes, complexo para a idade escolar. Por esse motivo, a tarefa de introduzir tais medidas é importante, para que possa motivar o leitor a buscar o conteúdo em questão.
Técnica 2.1: Diretamente com a definição de procedimento das medidas de
variação.
Usando esta técnica, o autor do livro didático começa o capítulo de medidas de variação com a apresentação da fórmula, sem que sejam explicadas para que servem ou como são utilizadas em uma análise de dados. Esse tipo de introdução pode levar o leitor a pensar que a aplicação da fórmula é suficiente
21 O termo estudante está sendo utilizado neste capítulo com a conotação de quem estará se
para resolver o problema de variação e, dessa maneira, não o estimula a compreender o conceito, condição necessária para o desenvolvimento do raciocínio de variação e do pensamento estatístico.
Técnica 2.2: Diretamente com a definição conceitual das medidas de variação.
O autor começa o capítulo de medidas de variação com a apresentação da definição conceitual. Por exemplo, se estiver apresentando o desvio padrão, o autor explica que é a raiz quadrada positiva da média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média dos próprios valores.
Discurso Teórico-Tecnológico: As técnicas 2.1 e 2.2 apresentam o mesmo
discurso tradicional de ensino. Iniciam o capítulo com a definição, seja do procedimento ou do conceito, apresentam exercícios resolvidos e solicitam ao leitor que realize exercícios semelhantes à técnica apresentada.
Mesmo com a apresentação da definição conceitual, o livro deixa a cargo do estudante a tarefa de compreender o significado, a aplicação e a conexão com outros conteúdos estatísticos. Como lembra Gal (2002), as medidas de variação são conteúdos necessários para o letramento estatístico e não é possível garantir que aprender fatos, regras e procedimentos possa gerar um nível adequado desse letramento.
Técnica 2.3 e Discurso Teórico-Tecnológico: Com a interpretação de
homogeneidade
No momento em que o autor explica que o resultado obtido do cálculo das medidas de variação é um indicativo da homogeneidade (ou não) da amostra, ele apresenta uma interpretação para essas medidas, a partir da qual, o leitor pode ser levado a olhar o todo, olhar o conjunto de observações e começar a fazer uma análise, antes mesmo de calcular.
Essa técnica pode evitar resultados semelhantes ao obtido por Ben-Zvi (2002), em que seus alunos só conseguiam observar pontos isolados ao invés de olhar toda a distribuição como o qual o estudante pode perceber que quanto maior for a variância (ou o desvio padrão ou o desvio médio), mais heterogênea é a amostra.
Um exemplo dessa técnica é retirado de Iezzi et al. (2001, p. 54), que apresentam as notas de quatro turmas cujas médias são iguais e explicam que só a média é insuficiente para a análise, pois “esse valor esconde informações em relação à homogeneidade ou heterogeneidade do desempenho dos alunos de uma mesma turma”.
Técnica 2.4 e Discurso Teórico-Tecnológico: Com a idéia de afastamento ou
aproximação dos dados em torno da média
Iniciar o capítulo com essa interpretação das medidas de variação é muito importante, pois o leitor pode perceber que as medidas de variação têm um ponto de referência, a medida de tendência central, e pode evitar que pense na diferença inerente às observações.
Essa interpretação é mais consistente que da homogeneidade, pois naquele caso, o leitor não tinha condições de observar que a medida de variação (tal como o desvio médio, desvio padrão e a variância) está apresentando a homogeneidade em relação a uma medida de tendência central.
Um exemplo sobre esta técnica foi retirado de Smole e Diniz (2003b), que apresentam a idade dos alunos de três turmas com mesma média, mas com distribuições diferentes e explicam que, por esse motivo, é necessário um indicador para informar a maneira como os dados se distribuem em volta da média.
As quatro técnicas identificadas para introduzir as medidas de variação foram encontradas nos livros analisados e estão identificadas no Quadro 5.
Quadro 5 - Distribuição das técnicas identificadas na Tarefa Didática 2
Técnica L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
Técnica 2.1 X
Técnica 2.2 X
Técnica 2.3 X X X
É interessante observar que a maior parte dos livros está apresentando inicialmente uma interpretação das medidas de variação, porém em intensidades diferentes. Os livros L3, L4, L5 e L6 apresentam, pelo menos, um exemplo no início do capítulo de medidas de variação, em que a média de dois ou mais grupos são iguais e as observações têm distribuições muito diferentes. Alguns ainda associam o fato à homogeneidade (ou não) da distribuição, mas nenhum livro se refere à densidade dos dados em torno da média.
Tarefa 3: Ordenar a apresentação das diferentes maneiras de calcular as
medidas de variação
Técnica 3.1 e Discurso Teórico-Tecnológico: O autor apresenta,
primeiramente, todas as medidas de variação com o conjunto numérico e depois as apresenta novamente com dados agrupados.
Esta técnica pode contribuir para que o estudante perceba a relação existente entre as medidas de variação e possa entender a análise pertinente em cada caso, sem que se preocupe com o tipo de procedimento técnico a ser adotado. O estudante pode entender o que significa e pode generalizar o uso da técnica 3.1 para o uso de outra técnica para resolver uma tarefa do tipo: calcule o desvio padrão a partir do histograma. Ou seja, mesmo que o livro adote um método tradicional de apresentar o conteúdo estatístico (Tarefa 1), a maneira com que o autor vai apresentar as medidas de variação pode colaborar para que o indivíduo trabalhe numa linha construtivista da aprendizagem.
Técnica 3.2 e Discurso Teórico-Tecnológico: Primeiramente, apresenta todas
as maneiras de se calcular uma medida de variação (conjunto numérico, distribuição de freqüência simples e agrupada em classes) e, em seguida, apresenta as demais medidas, na mesma ordem.
Esta técnica pode levar o estudante a se concentrar para aprender a calcular, sem pensar no significado daquela medida. O aprendiz pode interpretar que é um jogo de calcular, brincando de verificar se o resultado “bateu”. Ou seja, há o favorecimento pelo desenvolvimento do procedimento em detrimento do desenvolvimento do pensamento estatístico e do raciocínio sobre variação.
O Quadro 6 mostra as técnicas utilizadas pelos livros analisados para apresentar as diferentes maneiras de se calcular as medidas.
Quadro 6 - Distribuição das técnicas identificadas na Tarefa Didática 3
Técnica L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
Técnica 3.1 X X X
Técnica 3.2 X X X
É possível observar no Quadro 6 que há uma divisão sobre a estratégia utilizada pelos livros. Quanto ao livro L3, não foi possível realizar essa análise, pois os autores não priorizaram o cálculo, apresentando um exemplo em que há muitos valores repetidos na amostra e utilizaram a estratégia de distribuição de freqüências simples, sem nomeá-la nem distingui-la de outras estratégias.
Tarefa 4: Apresentar os problemas de variação
Tanto os livros didáticos quanto os PCNs reforçam o papel da Estatística como ferramenta de pesquisa, mas a forma como os problemas de variação são apresentados podem não permitir a conexão das medidas de variação com as técnicas de análise de dados de uma pesquisa. Foram encontradas cinco diferentes técnicas de apresentação dos problemas de variação.
Técnica 4.1 e Discurso Teórico-Tecnológico: Utilizando um banco de dados
O autor utiliza um banco de dados, com variáveis qualitativas e quantitativas, que permite ao leitor rever o conteúdo estatístico já aprendido e organizar os dados para desenvolver os exercícios sobre variação. É uma forma de apresentação que prepara o aprendiz para trabalhar com dados reais, pois simula uma análise de pesquisa e permite o desenvolvimento do pensamento estatístico. Permite a aprendizagem em aspiral e não linear, ou seja, à medida que o aprendiz assimila o novo conteúdo, pode fazer relações com conteúdos vistos anteriormente, dando significado para ambos.
Técnica 4.2 e Discurso Teórico-Tecnológico: Com um conjunto numérico
O autor apresenta o problema com um conjunto numérico de alguma variável, ordenado ou não. Ou seja, o autor utiliza apenas uma variável quantitativa e adota alguns valores para essa variável. Esta técnica é interessante para a introdução do conceito, pois permite compreender o significado sem que o cálculo seja o protagonista do conceito. Porém, aliar esta técnica de apresentação do problema com outras (como a Técnica 4.1) pode permitir ao aprendiz compreender o significado das medidas de variação numa tarefa de análise de dados de uma pesquisa.
Técnica 4.3 e Discurso Teórico-Tecnológico: Com uma distribuição de
freqüências com dados agrupados
Este tipo de apresentação exige que o leitor utilize a fórmula para dados agrupados, que requer menos cálculos, porém com maior dificuldade de interpretação, pois precisa lembrar que existem n observações em cada classe. É uma técnica que requer a mobilização de conceitos matemáticos, mas pode não contribuir para a aquisição do conceito de variabilidade, pois pode estimular apenas o aspecto algorítmico do estudo de variabilidade.
Técnica 4.4 e Discurso Teórico-Tecnológico: Com histogramas
O leitor precisa identificar que o histograma é uma representação de uma distribuição de freqüências com dados agrupados, em que cada coluna refere-se a uma classe cujos limites estão identificados no eixo das abscissas e cuja freqüência está identificada no eixo das ordenadas. Após essa identificação, ele vai utilizar a técnica 4.3. Esta técnica é muito interessante se for aliada à visualização da medida de variação e de tendência central no gráfico, pois pode permitir ao aluno relacionar a medida de dispersão com o formato da distribuição, como já trabalhado por Bakker (2004), Meletiou (2000) e principalmente por Delmas e Liu (2005).
Técnica 4.5 e Discurso Teórico-Tecnológico: Com gráfico de linhas ou colunas
Para resolver esse problema, o estudante precisa visualizar que cada coluna (ou cada ponto no gráfico de linha) é uma observação de uma variável. Da mesma maneira que a Técnica 4.4, esta forma de apresentação do problema é muito interessante se, após a obtenção da medida de variação, houver a relação da medida com o formato do gráfico. O mesmo ocorre com o gráfico de linha, em que o estudante deve observar que cada ponto refere-se a uma observação e que, se as medidas de tendência central e dispersão forem agregadas ao gráfico, pode haver a conexão entre a representação da distribuição e sua respectiva medida de variação.
O Quadro 7 sintetiza as técnicas encontradas nos livros didáticos para apresentar os problemas de variação.
Quadro 7 - Distribuição das técnicas identificadas na Tarefa Didática 4
Técnica L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 Técnica 4.1 X X Técnica 4.2 X X X X X X Técnica 4.3 X X X X X X X Técnica 4.4 X X X Técnica 4.5 X
Tarefa 5: Usar recurso tecnológico para calcular as medidas de variação
À medida que um aluno aprende calcular uma medida de variação, por exemplo, o desvio padrão, uma variável didática que geralmente é introduzida para analisá-la é o aumento do número de observações. Esse fato faz com que os cálculos tornem-se exaustivos e, assim, o uso de recurso tecnológico é uma alternativa didática interessante e defendida por inúmeros autores.
Certamente o uso do recurso deve ser feito com cuidado, para que a aprendizagem do manejo da ferramenta não se torne mais importante do que a aprendizagem do conceito.
Técnica 5.1 e Discurso Teórico-Tecnológico: Uso das funções estatísticas da
A utilização das funções estatísticas da calculadora substitui a aplicação da fórmula. Se o aprendiz quer obter a média e o desvio padrão de um conjunto numérico, ele deve entrar com todos os dados e solicitar a função x e s, obtendo diretamente o resultado final.
Somente o livro L3 faz esse tipo de apresentação ao término do capítulo de Estatística, explicando a utilização das funções estatísticas e resolve ndo um exercício. Ou seja, o uso das funções estatísticas da calculadora não é estratégia de trabalho, mas é apresentado como uma das possibilidades para se obter as medidas.
Estimular o uso de uma ferramenta auxiliar é importante, pois diminui a