Aracı Kurumlar

Segundo Wilks (1995), existem duas formas fundamentais de análise de séries temporais quanto à variabilidade interanual e interdecadal: análises no domínio do

tempo e no domínio de frequência. A primeira busca caracterizar a série de dados considerando o mesmo domínio em que os dados foram coletados/observados. Já as análises no domínio de frequência buscam a representação da série temporal em termos da contribuição de cada escala temporal para um dado valor.

Diante da dificuldade em se caracterizar as variabilidades tanto de espaço como de tempo no padrão de chuvas e vazões, torna-se necessário utilizar um método de análise adequado na localização temporal das estruturas de multiescalas. Um dos método usado neste estudo para caracterizar as variabilidades tanto no espaço como no tempo é a Transformada em Ondeletas (TO). Este método é recomendado para o estudo de fenômenos transientes, espacialmente heterogêneos e que atuam simultaneamente em várias escalas do escoamento (TORRENCE & COMPO, 1998).

Para identificar as frequências de variação mais significativas de uma série temporal pode-se utilizar a potência do sinal do Especto Global da Ondeleta. A potência está associada da intensidade do sinal da série história para uma dada frequência ou banda (intervalo) de frequências. A potência é o valor absoluto (norma da parte real e imaginária da ondeleta) ao quadrado dos valores da transformada da ondeleta da série temporal para cada frequência em determinado instante de tempo (TORRENCE & COMPO, 1998). Este procedimento, conhecido na literatura científica pelo termo em inglês de Global Wavelet Spectrum (Espectro de Ondeleta Global), é uma forma similar do espectro de energia obtido via Transformada Rápida de Fourier.

No espectro de energia global é possível identificar exatamente as bandas (frequências) características presentes na série analisada. Esta representação possui um caráter muito vantajoso e utilitário que é a localização no tempo da variabilidade da energia de uma série temporal. A transformada contínua de ondeletas envolve um enorme número de escalas o que gera um volume grande de dados. Uma estratégia computacionalmente mais eficiente é a escolha de apenas um subconjunto de escalas e posições para os quais os coeficientes devem ser calculados. Adotando-se essa estratégia, a transformada de ondeletas deixa de ser contínua para ser discreta. Este análise permite que um sinal seja representado como uma soma das componentes, conforme equação 29.

Após a seleção das bandas de frequência de ondeletas, ocorre o processo de reconstrução para as mesmas. Em seguida, é aplicado um modelo autorregressivo a cada banda, considerando que as mesmas são ortogonais. O mesmo pode ser dado pela equação 43:

(43)

Onde ARsb representa o modelo autorregressivo de cada banda e ARsR representa o

modelo autorregressivo do resíduo.

9.5. Modelos Baseado nas transformadas de Fourier e ondeletas

Para utilização das duas técnicas o procedimento primário é identificar as bandas de variação da transformada em ondeletas e em seguida considerar que cada banda pode ser reconstruída usando a transformada de Fourier (do mesmo modo que o modelo FA). O próximo passo é considerar que os sinais reconstruídos segundo Fourier mantém a ortogonalidade das bandas, logo a projeção das variáveis é dada pelo somatório das bandas mais resíduo reconstruídos segundo Fourier.

9.6. Métricas para avaliação de desempenho dos modelos

Após calcular as previsões de vazões para todas as regiões de interesse, é necessário avaliar o desempenho dos modelos propostos. Para os modelos autorregressivos é usada a razão da máxima verossimilhança (conforme descrito na seção 6.5.1.), enquanto para modelos baseados na série de Fourier é usada a análise qualitativa da distribuição de probabilidades acumulada do período de anos previstos. 9.6.1. Estimador de máxima verossimilhança

Para calcular este estimador faz-se necessário definir a função de verossimilhança para as observações , correspondentes às variáveis , que é dada por:

onde f é uma densidade de probabilidade conjunta do vetor das observações e é um vetor de parâmetros a ser estimado.

Se é a variável resposta, partindo da hipótese de que as observações são mutuamente independentes e identicamente distribuídas, a função pode ser escrita como:

(47) O princípio da verossimilhança revisto por Lindgren (1976) afirma que: “Uma inferência estatística deve ser consistente com a hipótese de que a melhor explicação de um conjunto de dados é fornecida por , um valor de que maximiza a função de verossimilhança”. Intuitivamente, maximizar a verossimilhança significa obter a população com a maior probabilidade de ter gerado a amostra.

No caso do modelo de regressão, o vetor de parâmetros de interesse é

(48)

e definindo-se como função de e tem-se

(49)

Encontrar o vetor de parâmetros estimados que maximizem a função de verossimilhança é equivalente a maximizar a verossimilhança. Portanto, para obter este vetor, deriva-se parcialmente a verossimilhança em relação a cada parâmetro e iguala-se a zero. Este é o método usual de maximização do cálculo.

A FDP gama é definida pela equação 42.

₍₅₀₎

que calcula em cada um dos valores em x, usando os parâmetros correspondentes em a e b. X, a, e b podem ser vetores, matrizes ou matrizes multidimensionais, tendo todos o mesmo tamanho.

Os estimadores de máxima verossimilhança são facilmente calculados quando se utilizam ferramentas computacionais. O software MatLab retorna os parâmetros a e b da distribuição gama que estimam a máxima verossimilhança, por intermédio da função gamfit. Uma entrada escalar é expandida para uma matriz constante com as mesmas

dimensões como as outras entradas. Os parâmetros a e b devem ser positivos, e os valores em x devem situar-se no intervalo [0, ∞).

E o cálculo do desempenho na previsão, utilizando essa metodologia com a climatologia em comparação aos dados observados totais, é realizado conforme a equação 51:

(51) onde é o número de anos da série histórica utilizada. Quando , significa que houve uma melhora na previsão em relação à climatologia. Ao contrário, quando , significa que houve uma piora na previsão.