ĠndirgenmiĢ Nakit AkıĢları Modeli

Relações Binárias

Se ouvirmos que duas pessoas, Henriqueta e Horácio, se relacionam, entenderemos que existe algum laço afe- tivo entre eles — que (Henriqueta, Horácio) distinguem-se dos demais pares ordenados de pessoas por haver uma relação (são parentes, namorados, amigos etc.) que Henriqueta e Horácio verificam. O análogo matemá- tico é distinguir determinados pares ordenados de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem algu- ma relação que os componentes dos demais pares, em geral, não satisfazem.

Sejam S = {1, 2} e T = {2, 3}; então temos S X T = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), ( 2 , 3 ) ) . Se estivermos interessados na relação de igualdade, então (2, 2) será o único par que se distinguirá no produto S X T, isto é, o único par ordenado cujas componentes são iguais. Se estivermos interessados na propriedade do primeiro número ser menor do que o segundo, escolheremos os pares (1, 2), (1, 3) e (2, 3) como os pares ordenados de S X T que se distinguem dos demais por apresentarem tal propriedade. • No Exemplo 1, poderíamos selecionar os pares ordenados (x, y) dizendo que x = y ou que x < y. Analogamen- te, a notação indica que o par ordenado (x, y) satisfaz à relação p. A relação p pode ser descrita com palavras ou simplesmente pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem.

Sejam S= {1,2} e T = {2, 3, 4}. Uma relação no conjunto S X T= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} pode ser definida por se, e somente se, , de forma mais a b r e v i a d a , P o r t a n t o ( l , 2) e (2, 4) satisfazem p. Opcionalmente, poderíamos ter definido a mesma p dizendo que {(1, 2), (2, 4)) é o conjunto de pares ordenados que satisfazem p. • Estamos falando de relações binárias, isto é, relações entre dois objetos. No Exemplo 2, uma maneira de definir a relação binária p é especificar um subconjunto de S X T. Formalmente, uma relação binária é um subconjunto de S X T.

Definição: Relação Binária

Dados os conjuntos S e T, uma relação binária em S x T é um subconjunto de S X T.

Normalmente, uma relação binária será definida através da descrição da relação ao invés de listarmos todos os seus pares ordenados. Isto porque a descrição nos fornece uma propriedade característica dos elementos da relação; isto é, é um predicado binário realizado por certos pares ordenados.

Sejam S = {1, 2} e T= {2, 3 , 4 } . Seja dada pela descrição for ímpar. Então (1, 2) (1,4) • Sejam S= {1,2} e T= { 2 , 3 , 4 } . Se p for definida em S X T por = {(2, 3), (2, 4)}, então 2 3 e 2 , 4 são verdadeiras, mas, por exemplo, 1 4 não o é. Neste caso p não tem uma descrição verbal óbvia. •

EXEMPLO 3

EXEMPLO 4 EXEMPLO 2 EXEMPLO 1

Seção 4.1

Seção 4.1 Relações 153

PRÁTICA 1 Para cada uma das seguintes relações binárias em determine quais dos pares ordenados apresentados

pertencem a

Podemos definir relações n-árias generalizando a definição de relações binárias.

•

Definição: Relação n-ária

Dados os conjuntos S1, S2,..., Sn, uma relação n-ária em S1, S2,..,Sn,é um subconjunto de S1, X S2 X...

X Sn. Um caso especial de relação n-ária é uma relação unária p em um conjunto S, que é apenas um

subconjunto particular de S. Um elemento satisfaz se e somente se x pertencer ao subconjunto. Freqüentemente estaremos interessados em relações binárias ou n-árias onde todos os conjuntos dados são o mesmo conjunto S. Essas relações são chamadas de relações no conjunto S, como definimos a seguir.

Definição: Relações em um conjunto S

Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto de S2 (o conjunto de pares ordenados de elementos de S). Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de S" (um conjunto de n-uplas ordenadas de elementos de S).

Se p for uma relação binária em S X T, então p consistirá em um conjunto de pares ordenados da forma {s, t). Uma determinada primeira componente s e uma determinada segunda componente í podem ser relacio- nadas diversas vezes na relação. A relação é um-para-um (ou injetiva ou biunívoca) se cada primeira com- ponente s e cada segunda componente t aparecem apenas uma vez na relação. A relação é um-para-vários se alguma primeira componente s aparece mais de uma vez; isto é, se um s faz par com mais de um t. Ela é dita vários-para-um (ou unívoca) se alguma segunda componente de t fizer par com mais de um s. Finalmente, ela é dita vários-para-vários se pelo menos um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t fizer par com mais de um s. A Fig. 4.1 ilustra essas quatro possibilidades. Perceba que nem todos os valores de S e de T precisam ser componentes de pares ordenados de p.

Identifique cada uma das relações em S X T apresentadas abaixo como sendo um-para-um, um-para-vários, vários-para-um e vários-para-vários, onde S = {2, 5, 7, 9} e T = {3, 4, 5}.

a. {(5, 3), (7, 5), (9, 3)} b. {(2,4), (5,5), (7, 3)}

c. {(7, 4), (2, 5), (9, 4), (2, 3)} •

Suponha que B é o conjunto de todas as relações binárias em um dado conjunto S. Se pertencerem a B, então elas são subconjuntos de S X S. Como tal, podemos realizar as operações de união, interseção, e complemento de conjuntos que resultam em novos subconjuntos de S X S, isto é, novas relações binárias, que denotaremos por respectivamente. Desta forma,

PRÁTICA 3 Sejam duas relações binárias e m d e f i n i d a s por

Forneça descrições verbais para (a), (b) e (c); apresente o conjunto definido em (d).

Os fatos que apresentamos a seguir sobre as operações de de relações são conseqüências ime- diatas das identidades de conjuntos encontradas na Seção 3.1. O conjunto S2 (que é ele próprio um subconjun- to de S2) é entendido aqui como uma relação binária em S.

•

EXEMPLO 5

Definição: Relações Reflexivas, Simétricas e Transitivas

Seja p uma relação binária em S. Então

reflexiva significa: simétrica significa: transitiva significa:

Definição: Relação Anti-simétrica

Seja p uma relação binária no conjunto S. Então p é dita anti-simétrica se, e somente se,

EXEMPLO 6 Seja Defina uma relação binária em S por Então p é reflexiva porque todo con- junto é subconjunto de si próprio. Além disso, p é transitiva, porque se A é um subconjunto de B e B é um subconjunto de C, então A é um subconjunto de C. Finalmente, p é anti-simétrica porque se A é um subconjun- to de B e B é um subconjunto de A, então A e B são iguais. • Todas as quatro propriedades de relações envolvem o conectivo de implicação. Os usos do quantifica- dor universal indicam que as implicações precisam se verificar para escolhas arbitrárias das variáveis. Lem-

Propriedades das Relações

Seção 4.1 Relações 155 bre-se de que para provar que uma implicação é verdadeira, supomos seu antecedente verdadeiro e provamos que o conseqüente também o é. Para a propriedade reflexiva, o antecedente apenas escolhe um elemento arbi- trário em S; o conseqüente diz que este elemento deve estar relacionado a ele mesmo. Para que uma relação p em um conjunto S seja reflexiva, todo elemento no conjunto precisa estar relacionado a ele próprio, o que in- dica que certos pares ordenados devem pertencer a

No entanto, nas propriedades simétrica, transitiva e anti-simétrica, o antecedente não diz apenas que o elemento pertence a S. Para demonstrar que uma relação é simétrica, por exemplo, precisamos mostrar que se

x e y são elementos arbitrários de S e se, além disso, x se relaciona a y então y deve relacionar-se a x. Isto diz

que, se certos pares ordenados pertencem a alguns outros pares ordenados também devem pertencer a p a fim de que esta seja uma relação simétrica. Em outras palavras, conhecer S é imperativo para a determinação da reflexividade, enquanto que, para as demais propriedades, basta examinarmos os pares ordenados em p. Seja S= {1,2,3}

a. Se uma relação p em S é reflexiva, quais pares ordenados devem pertencer a p?

b. Se uma relação p em S é simétrica, quais pares ordenados devem pertencer a p? (Esta pergunta é uma armadilha — veja a resposta ao final do livro.)

c. Se uma relação p em S é simétrica e se (a, b) e p, então quais outros pares ordenados devem pertencer a p? d. Se uma relação p em S é anti-simétrica e se (a, b) e (b, a) pertencem a p, o que podemos afirmar? • As propriedades de simetria e anti-simetria de relações binárias não são exatamente opostas. Anti-simé-

trica não significa "não-simétrica". Uma relação não é simétrica se algum (x, v) pertencer à relação de forma

que (y, x) não pertença. Mais formalmente, a "não-simetria" significa

PRÁTICA 4

As relações podem, portanto, ser simétricas e não ser anti-simétricas, ser anti-simétricas e não ser simétricas, ser simétricas e anti-simétricas ou não ser nenhuma das duas.

A relação de igualdade em um conjunto S é tanto simétrica como anti-simétrica. No entanto, a relação de igualdade em S (ou um subconjunto desta relação) é a única relação que contém, ao mesmo tempo, essas duas propriedades. Para ilustrar, suponhamos que p é uma relação simétrica e anti-simétrica em S e seja

Por simetria, segue que Mas pela anti-simetria, x = y. Portanto, apenas os elementos iguais podem ser relacionados. A relação p = {(1, 2), (2, 1), (1, 3)} no conjunto S = {1, 2, 3} não é nem simétrica — (1, 3) pertence à relação, mas (3, 1) não — nem anti-simétrica — (1, 2) e (2, 1) pertencem à relação e

Verifique se as relações binárias nos conjuntos abaixo são reflexivas, simétricas, anti-simétricas e transitivas:

PRÁTICA 5

• EXEMPLO 7 A discussão sobre recursão em Prolog (Seção 1.5) mostrou que podemos usar uma regra recursiva quando o

predicado a ser descrito é herdado de um objeto para o próximo. O predicado na-cadeia-alimentar descrito naquela seção tem essa propriedade porque

Agora constatamos que isto é apenas a propriedade transitiva. •