Oklid-Elementler-Kitap 1 ¨
C ¸ evirenin notu
Bu metin Richard Fitzpatrick tarafından 2007 yılında yayınlanan ”Euclid’s Elements of Geometry” adlı ve internet aracılı˘ gıyla indirilebilen ˙Ingilizce ¸ceviriden yapılmı¸s bir ¸ceviridir. ¨ Oklid’in Elementler’i 13 kitaptan olu¸smaktadır. Burada yalnızca ilk kitabın ¸cevirisi verilmektedir. ˙Ingilizce ¸ceviride eski Yunancada yazılmı¸s olan asıl metin de verilmektedir. C ¸ evirinin do˘ grudan esas metinden yapılmamı¸s olmasının tek nedeni ¸ceviriyi yapanın eski Yunanca bilmemesidir.
C ¸ evirirken, do˘ gal olarak bazı tercihler yapılmı¸stır. Tercihlerin bazıları alı¸sılmadık olabilir. ¨ Orne˘ gin ingi- lizce ”proposition” kar¸sı¸sı˘ gı olarak, ”¨ onerme” de˘ gil ”belit” kelimesi, daha ¨ once geometri kitaplarında kul- lanılan ”do˘ gru ¸cizgi” terimi yerine ”d¨ uz ¸cizgi” terimi kullanılmı¸stır vs. Fakat isteyenler -de˘ gi¸sik metnin i¸ cinde isimlerini ve metnin de˘ gi¸stirilmi¸s oldu˘ gunu belirtmek ¸sartıyla- bu metni kendi tercihleri do˘ grultusunda de˘ gi¸stirebilir.
C ¸ evirideki ama¸ clardan biri de orjinal metnin havasını m¨ umk¨ un oldu˘ gu kadar yansıtabilmektir. ˙Ingilizce
¸
cevirinin yazarı esas metne m¨ umk¨ un oldu˘ gu kadar sadık kalmaya ¸calı¸sıldı˘ gını s¨ oylemektedir. Bu ¸ceviride de ingilizce metne m¨ umk¨ un oldu˘ gu kadar sadık kalınmaya ¸ calı¸sılmı¸stır. Ayrıca c¨ umlelerin sadece anlamını de˘ gil, yapısını da bire bir yansıtabilmek i¸cin u˘ gra¸sılmı¸stır. Esas metinde olmadı˘ gı i¸cin dipnotlar ¸cevrilmemi¸stir ama parantez i¸ci yazılar muhafaza edilmi¸stir. Fakat ˙Ingilizce ¸cevirideki bazı hususlar, eski Yunanca ile bu dil arasında b¨ uy¨ uk bir fark oldu˘ gunu d¨ u¸s¨ und¨ urmektedir. ˙Ingilizce ve T¨ urk¸ce arasındaki farkın da b¨ uy¨ uk olması, orjinal metnin havasının yansıtılması konusunda ba¸sarısız olunmu¸s olabilece˘ gini g¨ ostermektedir. M¨ umk¨ un olduk¸ ca di˘ ger kitapların da ¸cevirisinin yapılmasına ¸ calı¸sılacaktır.
Ufuk Deniz Yar
25 Kasım 2017
Terimler
belit ”belli”, ”bellek”, ”belirmek” gibi kelimelerin varlı˘
gı nedeniyle ”belmek” gibi bir fiilin var oldu˘ gu var- sayılarak, bu fiilden, ”yazmak” fiilinden ”yazıt”’ın t¨ uretilmesine benzer ¸sekilde t¨ uretilmi¸stir. Bize g¨ ore
”belit” kelimesinin, ”ortaya ¸cıkan ve kaydedilen ¸sey” gibi bir anlamı vardır ve burada, ”artık belli olmu¸s ger¸cek/y¨ ontem” yada ”ortaya ¸cıkmı¸s ger¸cek/y¨ ontem” anlamında kullanılmı¸stır.
11Bu kelimenin daha ¨onceden, ”postulat” yani ”do˘grulu˘gu ba¸stan kabul edilen tez” yada ”ispata ihtiya¸c duymayan ger¸cek”
anlamında kullanıldı˘gı anla¸sılmaktadır. Ger¸cekler ¸cok ¸ce¸sitli yollarla ortaya ¸cıkabilir yada ¸cıkarılabilir. Bunlardan biri de kanıtlamadır. Terimin anlamı ger¸ceklerin nasıl ortaya ¸cıktı˘gından ba˘gımsızdır. Dolayısıyla bunu, sadece postulatlar i¸cin de˘gil, her t¨url¨u ger¸cek/y¨ontem i¸cin kullanabiliriz.
Kar¸ sılıklar
rectangle dikd¨ ortgen parallelogram paralelkenar rectangular dik a¸cılı extremity biti¸s yerleri rhombus paralelkare rhomboid paraleld¨ ortgen
trapezia yamuk
common notion genel ge¸ cer inclination e˘ gim
plane d¨ uzlem
straight-line d¨ uz ¸cizgi to postulate olur kılmak coinciding ¸ cakı¸sım
thus b¨ oylece
therefore bu nedenle, bundan dolayı
so o halde
falling across ¨ uzerinden ge¸ cmek rectilinear d¨ uzgen
the very thing bu da tam olarak complement tamamlayıcı, t¨ umleyici to construct olu¸sturmak, in¸sa etmek to produce t¨ uretmek
to describe ¸ cizmek equilateral e¸skenar subtend kar¸sısında straight-on do˘ grultusunda
on ¨ ust¨ unde
ELEMENTLER K˙ITAP 1
D¨ uz ¸ cizgileri kapsayan d¨ uzlem geometrisinin temelleri
Tanımlar
1. Bir nokta par¸cası olmayandır.
2. Ve bir ¸cizgi, eni olmayan uzunluktır.
3. Ve bir ¸cizginin biti¸s yerleri noktalardır.
4. Bir d¨ uz ¸cizgi, noktalarla, kendi ¨ uzerinde d¨ uzg¨ un olarak yayılandır.
25. Ve bir y¨ uzey, sadece eni ve uzunlu˘ gu olandır.
6. Ve bir y¨ uzeyin biti¸s yerleri ¸ cizgilerdir.
7. Bir d¨ uzlem, d¨ uz ¸ cizgilerle, kendi ¨ uzerinde d¨ uzg¨ un olarak yayılandır.
8. Ve bir d¨ uzlem a¸cı, iki ¸ cizgi aynı d¨ uzlemde birbirleriyle bulu¸suyor ve bir d¨ uz ¸cizgi olu¸sturmuyorsa bu
¸
cizgilerin birbirlerine g¨ ore yaptı˘ gı e˘ gimdir.
9. Ve e˘ ger bir a¸cıyı kapsayan ¸cizgiler d¨ uzse, bu a¸cıya d¨ uzgen a¸cı denir.
10. Ve bir (ba¸ska) d¨ uz ¸cizgi ¨ uzerinde duran bir d¨ uz ¸cizgi, (di˘ ger ¸cizgiyle) birbirine e¸sit biti¸sik a¸cılar yapıyorsa, o a¸ cıların herbiri dik a¸cıdır ve bu ¸cizginin ¨ uzerinde durdu˘ gu di˘ gerine dik oldu˘ gu s¨ oylenir.
11. Bir geni¸s a¸ cı, dik a¸ cıdan b¨ uy¨ uk olandır.
12. Ve bir dar a¸cı, dik a¸cıdan k¨ u¸ c¨ uk olandır.
13. Bir sınır, bir ¸seyin biti¸s yeridir.
14. Bir ¸sekil, bir sınır yada sınırların kapsadı˘ gı ¸seydir.
15. Bir daire, [¸cember denilen] bir ¸cizgi tarafından kapsanan bir d¨ uzlem ¸sekildir ¨ oyle ki ¸seklin i¸cindeki noktaların birinden [¸cembere do˘ gru] yayılan b¨ ut¨ un d¨ uz ¸cizgiler e¸sit uzunluktadır.
16. Ve bu noktaya dairenin merkezi denir.
17. Ve dairenin bir ¸ capı merkezden ge¸cirerek ¸ cizilmi¸s ve her y¨ onde ¸cemberde sonlandırılmı¸s herhangi bir d¨ uz ¸cizgidir. B¨ oyle herhangi bir ¸cizgi aynı zamanda ¸ cemberi ikiye b¨ oler.
18. Ve bir yarım daire, bir ¸cap ve bu ¸capın b¨ ol¨ up ayırdı˘ gı ¸cember tarafından kapsanan ¸sekildir. Ve yarım dairenin merkezi daireninki ile aynıdır.
19. D¨ uzgen ¸sekiller d¨ uz ¸cizgiler tarafından kapsananlardır: ¨ u¸cgen ¸sekiller ¨ u¸c d¨ uz ¸cizgi, d¨ ortgen ¸sekiller d¨ ort, ve ¸cokgen ¸sekiller d¨ ortten fazla d¨ uz ¸cizgi tarafından kapsananlardan olu¸sur.
20. Ve ¨ u¸ cgen ¸sekillerden: e¸skenar bir ¨ u¸ cgen ¨ u¸ c e¸sit kenara, ikizkenar bir ¨ u¸cgen iki e¸sit kenara, ve e¸skenarsız bir ¨ u¸cgen e¸sit olmayan kenarlara sahip olanlardır.
21. Ve ¨ u¸ cgen ¸sekillerden biraz daha: bir dik ¨ u¸ cgen bir dik a¸cıya, bir geni¸s ¨ u¸ cgen bir geni¸s a¸cıya ve bir dar
¨
u¸ cgen ¨ u¸c dar a¸cıya sahip olandır.
22. Ve d¨ ortgen ¸sekillerden: bir kare dik a¸cılı ve e¸sit kenarlı, bir dikd¨ ortgen dik a¸cılı fakat e¸sit kenarlı olmayan, bir paralelkare e¸sit kenarlı fakat dik a¸cılı olmayan, bir paraleld¨ ortgen kar¸sıt kenarları ve a¸cıları e¸sit fakat dik a¸cılı ve e¸skenarlı olmayandır. Ve bunların dı¸sında kalan di˘ ger d¨ ortgen ¸sekiller yamuk olarak adlandırılır.
23. Aynı d¨ uzlem ¨ uzerinde ve hery¨ onde sonsuza uzatılmı¸s paralel ¸cizgiler, birbirleriyle (bu y¨ onlerin) hi¸cbirinde bulu¸smayan d¨ uz ¸cizgilerdir.
2Bu ifadenin aslı olan ”A straight line is (any) one which lies evenly with points on itself” c¨umlesinin son kısmının ”..(with points) on itself” ¸seklinde mi, ”..with (points on itself)” ¸seklinde mi yoksa bamba¸ska bir ¸sekilde mi okunması gerekti˘gi pek a¸cık de˘gildir. Biz ilkinin do˘gru oldu˘gunu d¨u¸s¨unerek, buna g¨ore ¸cevirdik.
Postulatlar
1. Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir d¨ uz ¸ cizgi ¸cizmek, 2. ve bir d¨ uz ¸cizgiden devamla sonlu bir d¨ uz ¸ cizgi ¨ uretmek,
3. ve herhangi bir merkeze ve ¸capa sahip bir daire ¸cizmek, 4. ve b¨ ut¨ un dik a¸cıların birbirine e¸sit olması,
5. ve iki d¨ uz ¸ cizginin ¨ ust¨ une d¨ u¸sen bir d¨ uz ¸cizgi, (kendisinin) bir tarafında (toplamı) iki dik a¸cıdan k¨ u¸c¨ uk i¸ c a¸ cılar yapıyorsa, sonsuza kadar uzatılan (di˘ ger) iki d¨ uz ¸cizginin, (i¸c a¸cılar toplamı) iki dik a¸cıdan k¨ u¸ c¨ uk olan o tarafta bulu¸sması (ve di˘ ger tarafta bulu¸smaması)
olur kılınmı¸s olsun.
Genel ge¸cerler(Gen.g.)
1. Aynı ¸seye e¸sit olan ¸seyler birbirlerine de e¸sittir.
2. Ve e˘ ger e¸sit ¸seyler e¸sit ¸seylere eklenirse toplamlar e¸sit olur.
3. Ve e˘ ger e¸sit ¸seyler e¸sit ¸seylerden ¸ cıkarılırsa kalanlar e¸sit olur.
4. Ve birbirleriyle ¸cakı¸san ¸seyler birbirlerine e¸sittir.
5. Ve b¨ ut¨ un par¸cadan b¨ uy¨ ukt¨ ur.
Belit 1.
Verilen bir d¨ uz ¸ cizgiden bir e¸skenar ¨ u¸ cgen olu¸sturmak AB verilen bir d¨ uz ¸ cizgi olsun.
O halde ¸simdi AB ¸cizgisinden bir e¸skenar ¨ u¸ cgen olu¸sturulması gerekiyor.
A B
D E
C
A merkezli ve AB yarı¸ caplı BCD dairesi ile B merkezli ve BA yarı¸caplı ACE dairesi ¸cizilmi¸s olsun [Post.
3]. ˙Iki dairenin birbirini kesti˘ gi C noktasından sırasıyla A ve B noktalarına CA ve CB d¨ uz ¸cizgileri ¸cizilmi¸s olsun [Post 1].
Ve A noktası CDB dairesinin merkezi oldu˘ gu i¸cin AB ve AC birbirine e¸sittir. Yine B noktası CAE dairesinin merkezi oldu˘ gu i¸cin BA ve BC birbirine e¸sittir. Fakat CA’nın AB’ye e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. Bu nedenle, CA ve CB’nin herbiri AB’ye e¸sittir. Fakat aynı ¸seye e¸sit olan ¸seyler aynı zamanda birbirine e¸sittir.
Bu y¨ uzden, CA, aynı zamanda CB’ye e¸sittir. O halde ¨ u¸c d¨ uz ¸cizgi CA, AB ve BC birbirlerine e¸sittir.
B¨ oylece, ABC ¨ u¸ cgeni e¸skenardır ve verilen sonlu AB d¨ uz ¸cizgisinden t¨ uretilmi¸stir. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 2.
Verilen bir d¨ uz ¸cizgiye e¸sit ve bitim yeri verilen bir nokta olan bir d¨ uz ¸cizgi olu¸sturmak.
BC verilen d¨ uz ¸cizgi ve A verilen nokta olsun. O halde BC d¨ uz ¸cizgisine e¸sit bir d¨ uz ¸cizgiyi A noktasına
yerle¸stirmek gerekiyor.
A
F H
K
L D
G
E B C
A noktası ile B noktası AB d¨ uz ¸cizgisi ile birle¸stirilsin [Post. 1] ve bu ¸cizgi temelinde DAB e¸skenar ¨ u¸ cgeni olu¸sturulsun [Belit 1.1]. Ve DA ve DB ¨ uzerinden sırasıyla AE ve BF d¨ uz ¸cizgileri ¨ uretilsin [Post. 2]. Ve B merkezli ve BC yarı¸ caplı CGH ¸cemberi ¸cizilsin ve yine D merkezli ve DG yarı¸caplı GKL ¸cemberi ¸cizilsin.
Bu nedenle, B, CGH ¸ cemberinin merkezi oldu˘ gu i¸cin, BC, BG’ye e¸sit olur [Tanım 1.15]. Yine D, GKL
¸
cemberinin merkezi oldu˘ gu i¸cin, DL, DG’ye e¸sit olur [Tanım 1.15]. Ve bunların i¸cinde DA, DB’ye e¸sittir.
B¨ oylece kalan ¸cizgi AL, kalan ¸cizgi BG’ye e¸sittir [Gen.g. 3]. Fakat BC’nin BG’ye e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti.
B¨ oylece, AL ve BC her ikisi birden BG’ye e¸sittir. Fakat aynı ¸seye e¸sit olan ¸seyler birbirine e¸sittir [Gen.g. 1].
B¨ oylece, AL, aynı zamanda BC’ye e¸sittir.
B¨ oylece, BC’ye e¸sit olan AL d¨ uz ¸cizgisi A noktasına yerle¸stirilmi¸stir. Bu da tam yapılması talep edilen
¸seydir.
Belit 3.
Verilen ve e¸sit olmayan iki d¨ uz ¸cizginin b¨ uy¨ u˘ g¨ unden k¨ u¸c¨ u˘ g¨ une e¸sit bir ¸cizgiyi kesip ¸cıkarmak.
AB daha b¨ uy¨ uk olmak ¨ uzere, AB ve C verilen ve e¸sit olmayan iki d¨ uz ¸cizgi olsun. O halde AB ¸cizgisinden C’ye e¸sit bir par¸cayı kesip ¸ cıkarmak gerekmektedir.
A
E B
F D
C
C’ye e¸sit bir AD d¨ uz ¸ cizgisi A noktasına yerle¸stirilsin [Belit 1.2]. Ve A merkezli ve AD yarı¸caplı DEF
¸cemberi ¸cizilsin [Post. 3].
Ve A noktası DEF dairesinin merkezi oldu˘ gu i¸cin, AE, AD’ye e¸sittir. Fakat aynı zamanda C, AD’ye e¸sittir. B¨ oylece AE ve C’nin ikisi birden AD’ye e¸sittir. O halde AE aynı zamanda C’ye e¸sittir.
B¨ oylece, verilen ve e¸sit olmayan AB ve C d¨ uz ¸cizgilerinden, C’ye e¸sit olan AE, AB’den ¸cıkarılmı¸s olur.
Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 4.
E˘ ger bir ¨ u¸cgenin iki kenarı di˘ ger bir ¨ u¸ cgenin iki kenarına e¸sit ve bu kenarların olu¸sturdu˘ gu a¸cılar birbirine e¸sitse, o zaman bunların tabanları ve kalan a¸cıları da birbirine e¸sittir.
ABC ve DEF, AB ve AC kenarları DE ve DF kenarlarına e¸sit iki ¨ u¸cgen olsun. Yani AB, DE’ye ve AC,
DF’ye e¸sit olsun. Ve BAC a¸cısı EDF a¸ cısına e¸sit olsun. O halde BC tabanının EF tabanına, ABC ¨ u¸ cgeninin
DEF ¨ u¸ cgenine ve e¸sit kenarlara tekab¨ ul eden di˘ ger a¸cıların da birbirine e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.. Yani
ABC, DEF’ye ve ACB, DFE’ye e¸sittir.
A
B C F
D
E
E˘ ger ABC ¨ u¸ cgeni DEF ¨ u¸ cgeniyle ¸cakı¸stırılırsa, A noktası D noktasına ve AB d¨ uz ¸cizgisi DE d¨ uz ¸cizgisi
¨
uzerine gelirse, AB’nin DE’ye e¸sit olması sebebiyle, B noktası da E noktasıyla ¸cakı¸sır. O halde AB, DE ile ¸ cakı¸stı˘ gı i¸ cin, BAC a¸ cısının EDF a¸cısına e¸sit olması sebebiyle, AC d¨ uz ¸cizgisi, DF ile ¸cakı¸sır. O halde yine AC’nin DF’ye e¸sit olması sebebiyle, C noktası F noktasıyla ¸cakı¸sır. Fakat, B noktası da elbette E noktasıyla ¸cakı¸sır, o halde BC tabanı EF tabanıyla ¸ cakı¸sır. E˘ ger B, E ile ve C, F ile ¸cakı¸stı˘ gı halde, BC, EF ile ¸ cakı¸smazsa, bu iki d¨ uz ¸ cizgi bir alanı ¸ cevirir. Bu ise imkansızdır [Post. 1]. B¨ oylece BC tabanı EF tabanı ile ¸ cakı¸sır ve e¸sittir [Gen.g. 4]. O halde ABC ¨ u¸ cgeni bir b¨ ut¨ un olarak DEF ¨ u¸cgeni ile ¸cakı¸sır ve ona e¸sittir [Gen.g. 4]. Ve kalan a¸cılar di˘ ger kalan a¸ cılarla ¸cakı¸sır ve birbirlerine e¸sittir [Gen.g. 4]. Yani ABC, DEF’ye ve ACB, DFE’ye [Gen.g. 4].
O halde e˘ ger bir ¨ u¸ cgenin iki kenarı di˘ ger bir ¨ u¸ cgenin iki kenarına e¸sit ve bu kenarların i¸cerdi˘ gi a¸cılar birbirine e¸sitse, o zaman bunların tabanları birbirine, ve bir ¨ u¸cgen di˘ gerine ve e¸sit kenarlara tutturulmu¸s di˘ ger a¸ cılar da birbirine e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir..
Belit 5.
˙Ikizkenar ¨u¸cgenlerde, taban a¸cıları birbirine e¸sittir ve e¸sit kenarlar uzatıldı˘gında tabanın altında kalan a¸cılar birbirine e¸sit olur.
ABC ¨ u¸ cgeni, AB kenarı AC kenarına e¸sit olan bir ikizkenar ¨ u¸ cgen olsun ve BD ile CE ¸cizgileri, sırasıyla AB ile AC ¸ cizgilerinin devamı olarak ¸cizilmi¸s olsun. Bu durumda ABC a¸cısı ile ACB a¸cısının ve CBD a¸cısı ile BCE a¸cısının birbirine e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B C
D E
F G
BD ¸cizgisi ¨ uzerinde rastgele bir F noktası i¸cin, AF d¨ uz ¸cizgisine e¸sit bir AG d¨ uz ¸cizgisi daha b¨ uy¨ uk olan AE ¸cizgisinden kesilmi¸s olsun [Belit 1.3]. Aynı zamanda, FC ve GB ¸cizgileri yerle¸stirilmi¸s olsun.
Ger¸cekte, AF, AG’ye ve AB, AC’ye e¸sit oldu˘ gu i¸ cin FA ile AC d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla GA ve AB ¸cizgilerine e¸sit olur. Bu ¸ cizgiler ayrıca ortak FAG a¸cısını kapsarlar. B¨ oylece taban FC taban GB’ye, AFC ¨ u¸ cgeni AGB
¨
u¸ cgenine ve kalan a¸cılardan e¸sit kenarlara ba˘ glanmı¸s olanlar e¸sit kenarlara ba˘ glanmı¸s olanlara e¸sit olur- lar[Belit 1.4]. Yani ACF a¸cısı ABG a¸cısına ve AFC a¸cısı AGB a¸cısına. Ve AF’nin b¨ ut¨ un¨ u AG’nin b¨ ut¨ un¨ une ve i¸clerindeki AB par¸cası AC par¸casına e¸sit oldu˘ gu i¸cin kalan BF par¸cası kalan CG par¸casına e¸sit olur. Fakat FC’nin GB’ye e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. O halde BF ile FC, sırasıyla CG ile GB’ye e¸sit ve BFC a¸cısı CGB a¸cısına e¸sit ve BC tabanı bunlara ortaktır. B¨ oylece BFC ¨ u¸ cgeni CGB ¨ u¸ cgenine ve e¸sit kenarlara ba˘ glı a¸cılar e¸sit kenarlara ba˘ glı a¸cılara e¸sittir. Yani, FBC a¸ cısı GCB a¸cısına ve BCF a¸cısı CBG a¸cısına e¸sittir. O halde, ABG a¸cısının b¨ ut¨ un¨ un¨ un ACF a¸cısının b¨ ut¨ un¨ une e¸sit oldu˘ gu g¨ osterildi˘ gi ve bunların CBG par¸cası BCF par¸casına e¸sit oldu˘ gu i¸ cin, kalan ABC a¸cısı kalan ACB a¸ cısına e¸sittir. Ve bu a¸cılar ABC ¨ u¸cgeninin taban a¸cılarıdır. Ve FBC a¸ cısının GCB a¸cısına sahip oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. Ve bunlar tabanın altındaki a¸cılardır.
B¨ oylece, ikiz kenar ¨ u¸ cgenlerin taban a¸ cıları birbirine e¸sit ve e˘ ger ikiz kenarlar uzatılırsa tabanın altında kalan a¸cılar da birbirine e¸sit olur. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 6.
E˘ ger bir ¨ u¸ cgenin iki a¸cısı birbirine e¸sit ise, bu durumda bu a¸cıları olu¸sturan kenarlar da birbirine e¸sit olur.
ABC ¨ u¸ cgeninde, ABC a¸cısı ACB a¸cısına e¸sit olsun. Bu durumda AB kenarının AC kenarına e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B C
D
E˘ ger AB kenarı AC kenarına e¸sit de˘ gil ise bunlardan biri di˘ gerinden b¨ uy¨ ukt¨ ur. B¨ uy¨ uk olan AB kenarı olsun. Ve k¨ u¸ c¨ uk olan AC’ye e¸sit olan DB d¨ uz ¸ cizgisi b¨ uy¨ uk olan AB’den ¸cıkarılmı¸s olsun. Ve DC d¨ uz ¸cizgisi yerle¸stirilmi¸s olsun.
B¨ oylece, DB, AC’ye e¸sit ve BC ortak oldu˘ gu i¸cin, DB ile BC kenarları sırasıyla AC ile CB kenarlarına ve DBC a¸ cısı ACB a¸cısına e¸sit olur. B¨ oylece, DC tabanı AB tabanına, DBC ¨ u¸cgeni ACB ¨ u¸ cgenine ve k¨ u¸ c¨ uk olan b¨ uy¨ uk olana e¸sit olur. Bu kavram sa¸ cmadır. O halde AB’nin AC’ye e¸sit olmadı˘ gı do˘ gru de˘ gildir. O halde bunlar e¸sittir.
B¨ oylece, e˘ ger bir ¨ u¸ cgen birbirine e¸sit iki a¸cıya sahipse, o zaman bunların ba˘ glandı˘ gı kenarlarda birbirine e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 7.
Bir d¨ uz ¸ cizginin ¨ ust¨ unde ¸catılmı¸s verili iki d¨ uz ¸cizgiye e¸sit, onlarla aynı u¸clara sahip ve aynı yanda olan iki di˘ ger d¨ uz ¸cizgi, e¸sit oldu˘ gu ¸ cizgilerin bulu¸smu¸s oldu˘ gu noktadan farklı bir noktada bulu¸sturulamaz.
E˘ ger m¨ umk¨ unse, aynı AB d¨ uz ¸ cizgisi ¨ uzerinde ve (AB’nin) aynı tarafında olu¸sturulmu¸s, C ve D gibi iki farklı noktada bulu¸smu¸s ve (AB ¨ uzerinde) aynı u¸clara sahip olan, AD, DB d¨ uz ¸cizgileri ile sırasıyla bunlara e¸sit olan AC, CB d¨ uz ¸ cizgileri olsun. O halde aynı A ucuna sahip olan CA, DA’ya ve aynı B ucuna sahip olan CB, DB’ye e¸sittir. Ve CD ¸ cizilmi¸s olsun [Post. 1].
A B
C D
Buradan, AC, AD’ye e¸sit oldu˘ gu i¸ cin, ACD a¸cısı da ADC a¸cısına e¸sit olur [Belit 1.5]. B¨ oylece, ADC, DCB’den b¨ uy¨ ukt¨ ur [Gen.g. 5]. B¨ oylece, CDB, DCB’den ¸ cok daha b¨ uy¨ ukt¨ ur [Gen.g. 5]. Yine CB, DB’ye e¸sit oldu˘ gu i¸cin CDB a¸cısı aynı zamanda DCB a¸cısına e¸sit olur [Belit 1.5]. Fakat ilk a¸cının (sonraki a¸cıdan) ¸cok daha b¨ uy¨ uk oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. Bu ise tamamen imkansızdır.
B¨ oylece, bir d¨ uz ¸cizginin ¨ ust¨ unde ¸ catılmı¸s verili iki d¨ uz ¸cizgiye e¸sit, onlarla aynı u¸clara sahip ve aynı yanda olan iki di˘ ger d¨ uz ¸cizgi, e¸sit oldu˘ gu ¸ cizgilerin bulu¸smu¸s oldu˘ gu noktadan farklı bir noktada bulu¸sturulamaz.
Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 8.
E˘ ger iki ¨ u¸ cgen kar¸sılıklı e¸sit iki kenara sahipse ve aynı zamanda tabanları birbirine e¸sitse, o zaman bunların kar¸sılıklı e¸sit olan kenarlarının kapsadı˘ gı a¸ cılar da e¸sittir.
ABC ve DEF, AB ve AC kenarları sırasıyla DE ve DF kenarlarına e¸sit olan iki ¨ u¸cgen olsun. Yani AB, DE’ye ve AC, DF’ye e¸sit olsun. Aynı zamanda bunların BC tabanı EF tabanına e¸sit olsun. S ¸imdi aynı zamanda BAC a¸cısının EDF a¸cısına e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B
C
D
E
G
F
ABC ¨ u¸cgeni DEF ¨ u¸ cgenine uygulandı˘ gı, B noktası E noktası ¨ uzerine ve BC d¨ uz ¸cizgisi EF d¨ uz ¸cizgisi
¨
uzerine yerle¸stirildi˘ gi takdirde, ¸sayet, BC, EF’ye e¸sitse, aynı zamanda C noktası F ile ¸cakı¸sacaktır. O halde, BC tabanı EF tabanı ile ¸cakı¸stı˘ gı i¸cin, BA ve CA kenarları da sırasıyla ED ve DF kenarlarıyla ¸cakı¸sacaktır.
S ¸ayet BC tabanı EF tabanı ile ¸ cakı¸sır, fakat AB ve AC kenarları sırasıyla ED ve DF ile ¸cakı¸smazsa, fakat EG ve GF gibi (¸sekilde g¨ osterildi˘ gi gibi) olursa, o zaman bir d¨ uz ¸cizginin ¨ ust¨ unde ¸catılmı¸s verili iki d¨ uz
¸
cizgiye e¸sit, onlarla aynı u¸ clara sahip ve aynı yanda olan iki di˘ ger d¨ uz ¸cizgi, e¸sit oldu˘ gu ¸cizgilerin bulu¸smu¸s oldu˘ gu noktadan farklı bir noktada bulu¸sturulmu¸s olur. Fakat b¨ oyle bir ¸sey yapılamaz [Belit. 1.7]. B¨ oylece BC tabanı EF tabanına uygulanırken, BA ve AC kenarları (sırasıyla) ED ve DF kenarlarıyla ¸cakı¸samaz.
B¨ oylece bunlar ¸cakı¸sır. O halde BAC a¸ cısı aynı zamanda EDF a¸cısıyla da ¸cakı¸sır ve ona e¸sittir [Gen.g. 4].
B¨ oylece e˘ ger iki ¨ u¸ cgenden birinin iki kenarı sırasıyla di˘ gerinin iki kenarına ve aynı zamanda tabanları birbirine e¸sitse, o zaman bunlardan birinin iki kenarının kapsadı˘ gı a¸cı di˘ gerinin sırasıyla e¸sit olan iki kenarının kapsadı˘ gı a¸cıya e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 9.
D¨ uzgen bir a¸ cıyı ikiye b¨ olmek.
BAC verili d¨ uzgen a¸ cı olsun. O halde ¸simdi bunun ikiye b¨ ol¨ unmesi gerekir.
A
B C
D E
F
AB ¨ uzerinde rastgele bir D noktası alınsın ve AD’ye e¸sit olan AE, AC’den ¸cıkartılmı¸s olsun, ve DE noktaları arası birle¸stirilsin. Ve DE ¨ uzerinde DEF e¸skenar ¨ u¸ cgeni olu¸sturulmu¸s ve AF noktaları arası ¸cizilmi¸s olsun. BAC a¸cısının AF d¨ uz ¸ cizgisi tarafından ikiye b¨ ol¨ unm¨ u¸s oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
AD, AE’ye e¸sit ve AF ortak oldu˘ gu i¸ cin DA ve AF d¨ uz ¸ cizgileri sırasıyla EA ve AF ¸cizgilerine e¸sittir. Ve DF tabanı EF tabanına e¸sittir. O halde DAF a¸cısı EAF a¸cısına e¸sittir [Belit 1.8].
B¨ oylece, verilen BAC d¨ uz a¸cısı AF d¨ uz ¸cizgisi tarafından ikiye b¨ ol¨ unm¨ u¸s olur. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 10.
Verilen sonlu bir d¨ uz ¸cizgiyi yarıya b¨ olmek.
AB verilen sonlu d¨ uz ¸ cizgi olsun. O halde ¸simdi AB sonlu d¨ uz ¸cizgisini yarıya b¨ olmek gerekmektedir.
A B
C
D
AB ¨ uzerine ABC e¸skenar ¨ u¸ cgeni olu¸sturulmu¸s olsun ve ACB a¸cısı CD d¨ uz ¸cizgisi ile ikiye b¨ ol¨ unm¨ u¸s olsun. AB d¨ uz ¸cizgisinin D noktasında yarıya b¨ ol¨ unm¨ u¸s oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
AC, CB’ye e¸sit oldu˘ gu ve CD ortak oldu˘ gu i¸cin, AC ve CD d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla BC ve CD d¨ uz ¸cizgilerine e¸sit olur. Ve ACD a¸cısı BCD a¸cısına e¸sit olur. B¨ oylece AD tabanı BD tabanına e¸sittir [Belit 1.4].
B¨ oylece AB d¨ uz ¸cizgisi, D noktasında yarıya b¨ ol¨ unm¨ u¸s olur. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 11.
Verilen bir noktadan ba¸slayan ve verilen bir d¨ uz ¸cizgiye dik a¸cı yapan bir d¨ uz ¸cizgi ¸cizmek.
AB verilen d¨ uz ¸cizgi ve C bunun ¨ uzerindeki verilen bir nokta olsun. O halde C noktasından AB d¨ uz
¸
cizgisine dik a¸cılı bir d¨ uz ¸cizgi ¸cizilmesi gerekmektedir.
A B
D C E
F
D noktası AB d¨ uz ¸cizgisi ¨ uzerinde rastgele alınmı¸s, ve CE, CD’ye e¸sit kılınmı¸s, ve FDE e¸skenar ¨ u¸ cgeni DE
¨
uzerine kurulmu¸s, ve FC birle¸stirilmi¸s olsun. FC d¨ uz ¸cizgisinin AB d¨ uz ¸cizgisine verilen bir C noktasından dik a¸ cı yaparak ¸cizildi˘ gini bildiriyorum.
DC, CE’ye e¸sit ve CF ortak oldu˘ gu i¸ cin, DC,CF d¨ uz ¸cizgileri, sırasıyla EC,CF d¨ uz ¸cizgilerine e¸sittir. Ve DF tabanı FE tabanına e¸sittir. B¨ oylece DCF a¸ cısı ECF a¸ cısına e¸sittir [Belit 1.8], ve birbirlerine biti¸siktir.
Fakat ne zaman bir d¨ uz ¸cizgi ¨ uzerindeki bir d¨ uz ¸cizgi biti¸sik a¸cıları e¸sit yaparsa, o zaman e¸sit a¸cıların her biri bir dik a¸cıdır [Tanım 1.10]. O halde DCF ve FCE a¸ cılarının herbiri bir dika¸ cıdır.
O halde CF d¨ uz ¸cizgisi AB d¨ uz ¸cizgisine verilen bir C noktasından dik a¸cı yaparak ¸cizilmi¸stir. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 12.
Verilen bir sonsuz d¨ uz ¸cizgiye dı¸sından ona dik bir d¨ uz ¸cizgi ¸cizmek.
AB verilen sonsuz d¨ uz ¸cizgi ve C bunun dı¸sındaki verilen nokta olsun. O halde verilen AB sonsuz d¨ uz
¸cizgisine dı¸sındaki C noktasından ona dik bir d¨ uz ¸cizgi ¸cizilmesi gerekmektedir.
E C
B A
D F
G H
AB d¨ uz ¸cizgisinin C noktasının bulundu˘ gu tarafın ters tarafında rastgele bir D noktası alınmı¸s, ve C merkezli, CD yarı¸ caplı EFG ¸cemberi ¸ cizilmi¸s [Post. 3], ve EG d¨ uz ¸cizgisi H noktasında yarıya b¨ ol¨ unm¨ u¸s, ve CG,CH ile CE d¨ uz ¸ cizgileri ¸cizilmi¸s olsun. AB sonsuz d¨ uz ¸cizgisine, dı¸sındaki C noktasından ona dik CH d¨ uz ¸ cizgisinin ¸cizilmi¸s oldu˘ gunu bildiriyorum.
GH, HE’ye e¸sit ve HC ortak oldu˘ gu i¸ cin, GH,HC d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla EH,HC’ye e¸sittir, ve CG tabanı CE tabanına e¸sittir. B¨ oylece CHG a¸cısı EHC a¸ cısına [Belit 1.8] e¸sittir ve birbirlerine biti¸siktir. Fakat ne zaman bir d¨ uz ¸cizgi ¨ uzerindeki (di˘ ger) bir d¨ uz ¸ cizgi biti¸sik a¸ cıları e¸sit yaparsa, o zaman e¸sit a¸cıların her biri bir dik a¸cıdır, ve di˘ ger d¨ uz ¸cizgi ¨ uzerinde durdu˘ gu d¨ uz ¸cizgiye diktir [Tanım 1.10].
B¨ oylece AB sonsuz d¨ uz ¸ cizgisine dı¸sındaki C noktasından ona dik CH d¨ uz ¸cizgisi ¸cizilmi¸stir. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 13.
Bir d¨ uz ¸cizginin ¨ uzerinde dikildi˘ gi di˘ ger bir d¨ uz ¸cizgiyle yaptı˘ gı a¸cılar ya iki dik a¸cıdır yada toplamları iki dik a¸cının toplamına e¸sittir.
CD d¨ uz ¸ cizgisi ¨ uzerine dikilen AB d¨ uz ¸cizgisi CBA ve ABD a¸cılarını olu¸stursun. CBA ve ABD a¸cılarının
ya dik a¸cılar olduklarını yada toplamlarının iki dik a¸cının toplamına e¸sit olduklarını s¨ oyl¨ uyorum.
C
E A
B D
Ger¸cekte e˘ ger, CBA, ABD’ye e¸sitse o zaman bunlar dik a¸cılardır [Tanım 10]. Fakat e˘ ger de˘ gilse CD’yle dik a¸ cı yapan bir BE ¸cizgisi B ¨ uzerine yerle¸stirilsin [Belit 1.11]. B¨ oylece CBE ve EBD iki dik a¸cı olur. Ve CBE, CBA ve ABE a¸ cılarının toplamı kadar oldu˘ gu i¸cin, EBD ikisine eklensin. B¨ oylece CBE ve EBD’nin toplamı, ¨ u¸ c a¸cının, CBA, ABE ve EBD’nin toplamı kadar olur [Gen.g. 2]. Yine, DBA iki a¸cıya, DBE ve EBA’ya e¸sit oldu˘ gu i¸ cin, ABC her ikisine eklensin. B¨ oylece DBA ve ABC’nin toplamı, ¨ u¸c a¸cının, DBE, EBA ve ABC’nin toplamına e¸sit olur. Fakat CBE ve EBD’nin toplamının da bu ¨ u¸ c a¸cıya e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti.
Ve aynı ¸seye e¸sit olan ¸seyler aynı zamanda birbirine e¸sittir [Gen.g. 1]. B¨ oylece, CBE ve EBD’nin toplamları da DBA ve ABC’nin toplamlarına e¸sittir. Fakat CBE ve EBD’nin toplamları iki dik a¸cı eder. B¨ oylece ABD ve ABC’nin toplamları da iki dik a¸ cı eder.
O halde, bir d¨ uz ¸ cizginin ¨ uzerinde dikildi˘ gi di˘ ger bir d¨ uz ¸cizgi yaptı˘ gı a¸cılar ya iki dik a¸cıdır yada toplamları iki dik a¸cının toplamına e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 14.
E˘ ger iki d¨ uz ¸cizginin bir ba¸ska ¸cizgi ile, bu ¸cizginin iki tarafında yer almak ¸sartıyla, bir noktada yaptı˘ gı a¸ cılar iki dik a¸cıya e¸sitse o zaman bu iki ¸cizgi aynı y¨ onde uzanır.
BC ve BD d¨ uz ¸cizgilerinin, AB d¨ uz ¸cizgisiyle, bu ¸ cizginin iki tarafında yer almak ¸sartıyla, B noktasında yaptı˘ gı ABC ve ABD a¸ cılarının toplamı iki dik a¸ cıya e¸sit olsun. BD’nin CB ile aynı y¨ onde uzandı˘ gını s¨ oyl¨ uyorum.
B
A E
C D
E˘ ger, BD, BC ile aynı y¨ onde de˘ gilse o zaman BE d¨ uz ¸cizgisi CB ile aynı y¨ onde olsun.
B¨ oylece, AB d¨ uz ¸ cizgisi, CBE d¨ uz ¸cizgisi ¨ uzerinde yer aldı˘ gı i¸cin, ABC ve ABE a¸cılarının toplamı iki dik a¸cıya e¸sit olur [Belit. 1.13]. Fakat ABC ve ABD a¸cılarının toplamı da iki dik a¸cı eder. O halde CBA ve ABE a¸cılarının toplamı CBA ve ABD a¸cılarının toplamına e¸sittir [Gen.g. 1]. CBA a¸cısını her iki toplamdan
¸cıkaralım. B¨ oylece kalan ABE, kalan ABD a¸ cısına [Gen.g. 3], yani k¨ u¸ c¨ uk olan b¨ uy¨ u˘ ge e¸sit olur. Bu se imkansızdır. O halde BE, CB ile aynı y¨ onde uzanmaz. Benzer ¸sekilde BD’den ba¸ska herhangi bir d¨ uz ¸cizgi i¸cin aynı ¸seyi g¨ osterebiliriz. O halde CB, BD ile aynı y¨ ondedir.
B¨ oylece, bir d¨ uz ¸cizginin ¨ uzerinde dikildi˘ gi di˘ ger bir d¨ uz ¸cizgiyle yaptı˘ gı a¸cılar ya iki dik a¸cıdır yada toplamları iki dik a¸cının toplamına e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 15.
E˘ ger iki d¨ uz ¸cizgi birbirini keserse yukarıda ve a¸sa˘ gıda yaptıkları ters a¸cılar birbirine e¸sit olur.
AB ve CD d¨ uz ¸ cizgileri birbirlerini E noktasında kessinler. AEC a¸cısının DEB a¸cısına ve CEB a¸cısının AED a¸ cısına e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
E
B
D C
AE ¸cizgisi CEA ve AED a¸cılarını olu¸sturarak CD ¸ cizgisine oturdu˘ gu i¸cin, CEA ve AED a¸cılarının toplamı iki dik a¸ cı eder [Belit 1.13]. Yine DE ¸cizgisi AED ve DEB a¸cılarını olu¸sturarak CD ¸cizgisine oturdu˘ gu i¸cin, AED ve DEB a¸cılarının toplamı iki dik a¸cı eder [Belit 1.13]. Fakat CEA ve AED toplamının iki dik a¸cıya e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. B¨ oylece CEA ve AED toplamı AED ve DEB toplamına e¸sittir [Gen.g. 1]. AED her iki toplamdan ¸cıkarılsın. B¨ oylece kalan CEA kalan BED’ye e¸sit olur [Gen.g. 3]. Benzer ¸sekilde CEB ve DEA’nın e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilebilir.
B¨ oylece e˘ ger iki d¨ uz ¸cizgi birbirini keserse yukarıda ve a¸sa˘ gıda yaptıkları ters a¸cılar birbirine e¸sit olur.
Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 16.
Herhangi bir ¨ u¸ cgen i¸ cin, kenarlarından biri uzatıldı˘ gında olu¸sacak dı¸s a¸cı, ¨ u¸cgenin di˘ ger taraflarında kalan iki i¸ c a¸cısının herbirinden b¨ uy¨ uk olur.
ABC bir ¨ u¸ cgen olsun ve kenarlarından biri olan BC, D noktasına do˘ gru uzatılsın. ACD dı¸s a¸cısının
¨
u¸ cgenin di˘ ger taraflarında kalan iki i¸ c a¸ cısı olan CBA ve BAC’den daha b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
B C D
A
E
G F
AC d¨ uz ¸ cizgisi E noktasında ortasından ikiye b¨ ol¨ uns¨ un [Belit 1.10]. Ve ¸cizilen BE ¸cizgisi F noktasına kadar uzatılsın. Ve EF, BE’ye e¸sit yapılsın [Belit 1.3] ve FC ¸cizgisi ¸cizilsin ve AC ¸cizgisi ucu G noktası olmak
¨
uzere uzatılsın.
B¨ oylece, AE, EC’ye ve BE, EF’ye e¸sit oldu˘ gu i¸cin AE ve EB d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla CE ve EF ¸cizgilerine e¸sit olur. Ayrıca birbirlerinin zıttı oldukları i¸cin AEB a¸cısı FEC a¸cısına e¸sittir [Belit 1.15]. O halde AB tabanı FC tabanına, ve ABE ¨ u¸ cgeni FEC ¨ u¸ cgenine, ve bir ¨ u¸ cgende e¸sit kenarların kar¸sısında yer alan di˘ ger a¸cılar, di˘ ger ¨ u¸cgendeki kar¸sılık gelen a¸cılara e¸sit olur [Belit 1.4]. O halde, BAE, ECF’ye e¸sit olur. Fakat ECD, ECF’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. O halde, ACD, BAE’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. Benzer ¸sekilde BC’yi yarıya b¨ olerek BCG’nin-ve aynı zamanda ACD’nin-ABC’den b¨ uy¨ uk oldu˘ gu g¨ osterilebilir.
O halde, herhangi bir ¨ u¸cgen i¸cin, kenarlarından biri uzatıldı˘ gında olu¸sacak dı¸s a¸cı, ¨ u¸cgenin di˘ ger taraf- larında kalan iki i¸c a¸ cısının herbirinden b¨ uy¨ uk olur. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 17.
Herhangi bir ¨ u¸ cgenin herhangi iki a¸cısının toplamı iki dik a¸cıdan k¨ u¸c¨ ukt¨ ur.
ABC bir ¨ u¸ cgen olsun. ABC ¨ u¸ cgeninin herhangi iki a¸cısının toplamının iki dik a¸cıdan k¨ u¸c¨ uk oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
B C D
A
BC, D’ye do˘ gru uzatılsın.
Ve ACD a¸cısı ABC ¨ u¸ cgeninin dı¸s a¸cısı oldu˘ gu i¸ cin ABC i¸c a¸cısından daha b¨ uy¨ ukt¨ ur [Belit 1.16]. ACB
a¸cısı her ikisine de eklensin. B¨ oylece ACD ve ACB toplamı ABC ve BCA toplamından b¨ uy¨ ukt¨ ur. Fakat
ACD ve ACB toplamı iki dik a¸cı eder [Belit 1.13]. B¨ oylece ABC ve BCA toplamı iki dik a¸cıdan k¨ u¸c¨ uk olur.
Benzer ¸sekilde BAC ve ACB toplamının da iki dik a¸cıdan k¨ u¸c¨ uk oldu˘ gunu g¨ osterebiliriz ve yine CAB ile ACB toplamı da iki dik a¸cıdan k¨ u¸ c¨ uk olur.
B¨ oylece, herhangi bir ¨ u¸ cgenin herhangi iki a¸cısının toplamı iki dik a¸cıdan k¨ u¸c¨ ukt¨ ur. Bu da tam g¨ osteril- mesi talep edilen ¸seydir.
Belit 18.
Herhangi bir ¨ u¸ cgende daha b¨ uy¨ uk kenarlar daha b¨ uy¨ uk a¸cıların kar¸sısında yer alır.
AC kenarı AB kenarından daha b¨ uy¨ uk bir ABC ¨ u¸ cgeni olsun. ABC a¸cısının da BCA a¸cısından daha b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
B C
A
D
AC, AB’den b¨ uy¨ uk oldu˘ gu i¸cin, AB’ye e¸sit bir AD ¸ cizgisi olu¸sturalım [Belit 1.3] ve BD’yi birle¸stirelim.
Ve ADB a¸cısı BCD ¨ u¸ cgeninin dı¸s a¸cısı oldu˘ gu i¸ cin DCB i¸c a¸cısından b¨ uy¨ ukt¨ ur [Belit 1.16]. Fakat ADB, ABD’ye e¸sittir ¸c¨ unk¨ u AB kenarı AD kenarına e¸sittir [Belit 1.5]. B¨ oylece ABD aynı zamanda ACB’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. B¨ oylece, ABC, ACB’den ¸cok daha b¨ uy¨ ukt¨ ur.
B¨ oylece, herhangi bir ¨ u¸ cgende daha b¨ uy¨ uk kenarlar daha b¨ uy¨ uk a¸cıların kar¸sısında yer alır. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 19.
Herhangi bir ¨ u¸ cgende daha b¨ uy¨ uk a¸cılar daha b¨ uy¨ uk kenarları kar¸sılar.
ABC a¸cısı BCA a¸ cısından daha b¨ uy¨ uk bir ABC ¨ u¸ cgeni olsun. AC kenarının da AB kenarından daha b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B
C
E˘ ger b¨ oyle de˘ gilse, AC ya AB’ye e¸sittir yada ondan k¨ u¸ c¨ ukt¨ ur. Ger¸cekte, AC, AB’ye e¸sit de˘ gildir. ¨ Oyle olsaydı, aynı zamanda, ABC a¸ cısı ACB a¸cısına e¸sit olurdu [Belit 1.5]. Fakat de˘ gildir. O halde, AC, AB’ye e¸sit de˘ gildir. Ne de, ger¸cekte, AC, AB’den k¨ u¸ c¨ ukt¨ ur. ¨ Oyle olsaydı, ABC a¸cısı da ACB a¸cısından k¨ u¸c¨ uk olurdu [Belit 1.18]. Fakat de˘ gildir. O halde, AC, AB’den k¨ u¸ c¨ uk de˘ gildir. Fakat aynı zamanda AC’nin AB’ye e¸sit olmadı˘ gı g¨ osterilmi¸sti. O halde, AC, AB’den b¨ uy¨ ukt¨ ur.
B¨ oylece herhangi bir ¨ u¸ cgende daha b¨ uy¨ uk a¸cılar daha b¨ uy¨ uk kenarları kar¸sılar. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 20.
Herhangi bir ¨ u¸ cgende herhangi iki kenarın toplamı kalan kenardan b¨ uy¨ ukt¨ ur.
ABC bir ¨ u¸ cgen olsun. ABC ¨ u¸ cgeninde herhangi iki kenarın toplamının kalan kenardan daha b¨ uy¨ uk
oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum. ¨ Oyle ki BA ile AC, BC’den, AB ile BC, AC’den, ve BC ile CA, AB’den b¨ uy¨ ukt¨ ur.
A
B C
D
BA, D noktasına do˘ gru uzatılsın, ve AD, CA’ya e¸sit olsun [Belit 1.3], ve DC arası ¸cizilsin.
B¨ oylece, DA, AC’ye e¸sit oldu˘ gu i¸cin, ADC a¸ cısı da ACD a¸cısına e¸sit olur [Belit 1.5]. O halde BCD, ADC’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. Ve DCB, BCD a¸cısı BDC’den b¨ uy¨ uk olan bir ¨ u¸ cgen oldu˘ gu ve b¨ uy¨ uk a¸cı b¨ uy¨ uk kenarın kar¸sısında yer aldı˘ gı i¸cin [Belit 1.19], DB, BC’den b¨ uy¨ ukt¨ ur.Fakat DA, AC’ye e¸sittir. O halde BA ile AC toplamı BC’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. Benzer ¸sekilde AB ile BC toplamının CA’dan b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu da g¨ osterebiliriz, ve BC ile CA toplamının CA’dan b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu da.
O halde, herhangi bir ¨ u¸ cgende herhangi iki kenarın toplamı di˘ ger kenardan b¨ uy¨ ukt¨ ur. Bu da tam g¨ oste- rilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 21.
E˘ ger bir ¨ u¸ cgenin bir kenarının iki k¨ o¸sesinden ve ¨ u¸ cgenin i¸cinde iki d¨ uz ¸cizgi olu¸sturulursa bunlar ¨ u¸cgenin kalan kenarlarından daha k¨ u¸ c¨ uk, fakat kapsadıkları a¸ cı daha b¨ uy¨ uk olur.
ABC ¨ u¸ cgeninin BC kenarının B ve C k¨ o¸sesinden sırasıyla BD ve DC gibi iki i¸csel d¨ uz ¸cizgi ¸cizilsin. BD ve DC ¸ cizgilerinin ¨ u¸ cgenin di˘ ger kenarları BA ve AC’den daha k¨ u¸ c¨ uk fakat kapsadıkları BDC a¸cısının BAC’den b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B C
D E
BD ¸cizgisi E’ye do˘ gru ¸ cizilsin. Ve herhangi bir ¨ u¸ cgende iki kenarın toplamı kalan kenardan b¨ uy¨ uk oldu˘ gu i¸cin [Belit. 1.20], ABE ¨ u¸ cgeninde iki kenar AB ve AE b¨ oylece BE’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. B¨ oylece, BA ile AC, BE ile EC’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. Yine CED ¨ u¸ cgeninde iki kenar CE ile ED, CD’den daha b¨ uy¨ uk oldu˘ gu i¸cin, DB her ikisine katılmı¸s olsun. Bu durumda CE ile EB, CD ile DB’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. Fakat BA ile AC’nin BE ile EC’den b¨ uy¨ uk oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. B¨ oylece, BA ile AC, BD ile DC’den ¸cok daha b¨ uy¨ ukt¨ ur.
Yine herhangi bir ¨ u¸ cgende dı¸s a¸cılar ters y¨ onlerindeki i¸c a¸cılardan b¨ uy¨ uk oldu˘ gu i¸cin [Belit 1.16], CDE
¨
u¸ cgenindeki BDC dı¸s a¸cısı CED a¸cısından b¨ uy¨ ukt¨ ur. Benzer ¸sekilde, yine aynı sebepten, ABE ¨ u¸ cgeninin dı¸s a¸ cısı CEB, BAC’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. Fakat BDC’nin CEB’den b¨ uy¨ uk oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. O halde, BDC, BAC’den ¸cok daha b¨ uy¨ ukt¨ ur.
O halda, e˘ ger bir ¨ u¸ cgenin bir kenarının iki k¨ o¸sesinden ve ¨ u¸ cgenin i¸cinde iki d¨ uz ¸cizgi olu¸sturulursa bunlar
¨
u¸cgenin kalan kenarlarından daha k¨ u¸ c¨ uk, fakat kapsadıkları a¸cı daha b¨ uy¨ uk olur. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 22.
Verilen ¨ u¸ c d¨ uz ¸cizgiye e¸sit d¨ uz ¸ cizgilerden ¨ u¸ cgen olu¸sturmak. Herhangi bir ¨ u¸cgende herhangi iki kenarın birlikte, kalan kenardan daha b¨ uy¨ uk oldukları ger¸ce˘ gine istinaden ¸cizgilerden herhangi iki tanesinin birlikte, kalan ¸cizgiden daha b¨ uy¨ uk olması gereklidir.
A, B ve C verilen ¨ u¸ c d¨ uz ¸ cizgi olsun, ¨ oyle ki herhangi iki tanesi birlikte, kalan ¸cizgiden b¨ uy¨ uk olsun.
B¨ oylece, A ile B, C’den, A ile C, B’den ve B ile C, A’dan b¨ uy¨ ukt¨ ur. O halde A,B ve C’ye e¸sit d¨ uz ¸cizgilerden
bir ¨ u¸ cgen olu¸sturmak gerekmektedir.
F
D E
G
L H K C
B A
D de sonlanan fakat E y¨ on¨ unde sonsuz bir DE ¸ cizgisi olu¸sturulsun. Ve DF, A’ya, ve FG, B’ye ve GH, C’ye e¸sit yapılsın [Belit 1.3]. Ve F merkezli ve FD yarı¸ caplı DKL ¸cemberi ¸cizilsin. Yine G merkezli ve GH yarı¸ caplı KLH ¸cemberi ¸ cizilmi¸s olsun. Ve KF ile KG ¸cizilmi¸s olsun. ¨ U¸cgen KFG’nin A,B ve C’ye e¸sit d¨ uz
¸
cizgilerden olu¸sturulmu¸s oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
F noktası DKL ¸ cemberinin merkezi oldu˘ gu i¸cin, FD, FK’ye e¸sittir. Fakat FD, A’ya e¸sittir. O halde KF de A’ya e¸sittir. Yine G noktası LKH ¸cemberinin merkezi oldu˘ gu i¸cin, GH, GK’ye e¸sittir. Fakat GH, C’ye e¸sittir. O halde, KG de C’ye e¸sittir. Ve FG de B’ye e¸sittir. O halde KF, FG ve GK d¨ uz ¸cizgileri (sırasıyla) A,B ve C’ye e¸sittir.
O halde KFG ¨ u¸ cgeni, sırasıyla A,B ve C d¨ uz ¸cizgilerine e¸sit olan KF,FG ve GK d¨ uz ¸cizgilerinden olu¸sturulmu¸stur. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 23.
Verilen bir d¨ uz ¸ cizgi ¨ uzerinde, verilen bir noktada, verilen bir d¨ uzgen a¸cıya e¸sit d¨ uzgen a¸cı olu¸sturmak.
AB verilen d¨ uz ¸ cizgi, A bu ¸ cizgi ¨ uzerinde verilen nokta ve DCE verilen d¨ uzgen a¸cı olsun. O halde, verilen AB d¨ uz ¸cizgisi ¨ uzerinde, verilen A noktasında, verilen DCE d¨ uz a¸cısına e¸sit bir d¨ uz a¸cı olu¸sturmak gerekmektedir.
D
F
G B
A C
E
CD ve CE (d¨ uz ¸cizgileri) ¨ uzerinde, (sırasıyla) D ve E gibi rastgele iki nokta alınsın ve DE noktaları arası
¸cizilmi¸s olsun. Ve AFG ¨ u¸ cgeni CD, DE ve CE ¸ cizgilerine e¸sit ¨ u¸c d¨ uz ¸cizgiden olu¸sturulmu¸s olsun, ¨ oyleki CD, AF’ye, CE, AG’ye ve DE, FG’ye e¸sit olsun [Belit 1.22].
Buradan, (d¨ uz ¸ cizgiler) DC ile CE sırasıyla, (d¨ uz ¸cizgiler) FA ile AG’ye e¸sit oldukları i¸cin ve taban DE, taban FG’ye e¸sit oldu˘ gu i¸ cin, DCE a¸cısı b¨ oylece FAG a¸ cısına e¸sittir [Belit 1.8].
B¨ oylece DCE d¨ uz a¸ cısına e¸sit bir FAG d¨ uz a¸cısı, verilen AB d¨ uz ¸cizgisi ¨ uzerindeki verilen A noktası
¨
uzerinde olu¸sturulmu¸s oldu. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 24.
E˘ ger, iki ¨ u¸cgenin kar¸sılıklı e¸sit iki kenarları varsa, fakat birinin bu e¸sit kar¸sılıklı kenarlarının kapsadı˘ gı a¸cı di˘ gerinin (benzer) a¸cısından daha b¨ uy¨ uk ise, o zaman bu ¨ u¸ cgenin tabanı da di˘ gerininkinden daha b¨ uy¨ ukt¨ ur.
ABC ve DEF, birinin AB ve AC kenarları sırasıyla di˘ gerinin DE ve DF kenarlarına e¸sit olan iki ¨ u¸cgen
olsun. Yani AB, DE’ye ve AC, DF’ye e¸sittir. Aynı zamanda, A’daki a¸cı D’deki a¸cıdan b¨ uy¨ uk olsun. BC
tabanının da EF tabanından b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
G F E
A D
C
B
BAC a¸ cısı EDF a¸ cısından b¨ uy¨ uk oldu˘ gu i¸ cin, BAC a¸ cısına e¸sit bir EDG a¸cısı, DE d¨ uz ¸cizgisi ¨ uzerinde D noktasında olu¸sturulmu¸s olsun [Belit 1.23]. Ve DG, AC yada DF’den birine e¸sit yapılmı¸s ve EG ile FG arası birle¸stirilmi¸s olsun.
Bundan dolayı, AB, DE’ye ve AC, DG’ye e¸sit oldu˘ gu i¸ cin, BA ve AC d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla ED ve DG d¨ uz ¸ cizgilerine e¸sittir. BAC a¸cısı da EDG a¸cısına e¸sittir. B¨ oylece, BC tabanı EG tabanına e¸sittir [Belit 1.4].
Yine DF, DG’ye e¸sit oldu˘ gu i¸ cin, DGF a¸ cısı da, DFG a¸ cısına e¸sittir [Belit 1.5]. B¨ oylece, DFG, EGF’den b¨ uy¨ ukt¨ ur. B¨ oylece EFG, EGF’den ¸ cok daha b¨ uy¨ ukt¨ ur. Ve EFG ¨ u¸ cgeni EGF a¸cısından b¨ uy¨ uk EFG a¸cısına sahip oldu˘ gu ve b¨ uy¨ uk a¸cılar b¨ uy¨ uk kenarlar tarafından kar¸sılandı˘ gı i¸cin [Belit 1.19], EG kenarı da b¨ oylece EF kenarından b¨ uy¨ ukt¨ ur. Fakat EG, BC’ye e¸sittir. O halde BC de EF’den b¨ uy¨ ukt¨ ur.
B¨ oylece, iki ¨ u¸ cgen, di˘ gerinin kar¸sılıklı iki kenarına e¸sit iki kenara sahipse, fakat birindeki bu e¸sit kar¸sılıklı kenarların kapsadı˘ gı a¸ cı di˘ gerindeki (benzer) a¸cıdan daha b¨ uy¨ uk ise, o zaman bu ¨ u¸ cgenin tabanı da di˘ gerininkinden daha b¨ uy¨ ukt¨ ur. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 25.
E˘ ger iki ¨ u¸ cgen sırasıyla di˘ gerinin iki kanarına e¸sit iki kenara sahipse, fakat birinin tabanı di˘ gerininkinden b¨ uy¨ ukse, o zaman bu ¨ u¸ cgenin di˘ gerinin kenarlarına e¸sit kenarlarının kavradı˘ gı a¸cı da di˘ gerinin kar¸sılık gelen a¸ cısından b¨ uy¨ ukt¨ ur.
ABC ve DEF, AB ve AC gibi iki kenarın sırasıyla DE ve DF gibi iki kenara e¸sit oldu˘ gu iki ¨ u¸cgen olsun, yani AB, DE’ye, AC, DF’ye. Ve BC tabanı EF tabanından b¨ uy¨ uk olsun. BAC a¸cısının da EDF a¸cısından b¨ uy¨ uk oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
B
C A
D
F E
E˘ ger de˘ gilse, emin olunuz ki BAC EDF’ye ya e¸sittir yada ondan k¨ u¸ c¨ ukt¨ ur. Ger¸cekte, BAC, EDF’ye e¸sit de˘ gildir. ¨ Oyle olsaydı BC tabanının da EF tabanına e¸sit olması gerekirdi [Belit 1.4]. Fakat de˘ gildir. O halde, BAC a¸ cısı, EDF a¸cısına e¸sit de˘ gildir. Ne de, ger¸ cekten, BAC, EDF’den k¨ u¸c¨ ukt¨ ur. ¨ Oyle olsaydı BC tabanının da EF tabanından k¨ u¸ c¨ uk olması gerekirdi [Belit 1.24]. Fakat b¨ oyle de˘ gildir. O halde, BAC a¸cısı, EDF a¸cısından k¨ u¸ c¨ uk de˘ gildir. Fakat di˘ ger yandan BAC’nin EDF’ye e¸sit olmadı˘ gı g¨ osterilmi¸sti. O halde, BAC, EDF’den b¨ uy¨ ukt¨ ur.
O halde, e˘ ger iki ¨ u¸ cgen sırasıyla di˘ gerinin iki kanarına e¸sit iki kenara sahipse, fakat birinin tabanı di˘ gerininkinden b¨ uy¨ ukse, o zaman bu ¨ u¸ cgenin di˘ gerinin kenarlarına e¸sit kenarlarının kavradı˘ gı a¸cı da di˘ gerinin kar¸sılık gelen a¸cısından b¨ uy¨ ukt¨ ur. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 26.
E˘ ger iki ¨ u¸ cgende birinin iki a¸cısı sırasıyla bir di˘ gerinin iki a¸cısına e¸sit, ve bir kenar di˘ gerinin bir kenarına- ger¸cekte e¸sit a¸ cıların kenarları yada e¸sit a¸ cıları kar¸sılayan kenarlar- e¸sitse, o zaman kalan kenarlar da bir di˘ gerinin kar¸sılık gelen kenarlarına ve kalan a¸cı da bir di˘ gerinin kalan a¸cısına e¸sit olur.
ABC ve DEF, ABC ve BCA a¸ cılarının sırasıyla DEF ve EFD a¸cılarına e¸sit oldu˘ gu iki ¨ u¸ cgen olsun. Yani
ABC, DEF’ye ve BCA, EFD’ye. Ve aynı zamanda bir kenar di˘ gerinin bir kenarına e¸sit olsun. ¨ Oncelikle, e¸sit
a¸cıların kenarları. Yani BC, EF’ye. Kalan kenarların da kar¸sılık gelen kenarlara e¸sit olaca˘ gını s¨ oyl¨ uyorum.
Yani AB, DE’ye ve AC, DF’ye e¸sit. Ve kalan a¸cı da di˘ ger kalan a¸cıya e¸sit. Yani BAC, EDF’ye e¸sit.
A
H C B
G E F
D
E˘ ger AB, DE’ye e¸sit de˘ gilse o zaman biri di˘ gerinden b¨ uy¨ ukt¨ ur. AB daha b¨ uy¨ uk olsun ve BG, DE’ye e¸sit kılınsın [Belit 1.3] ve GC birle¸stirilsin.
B¨ oylece, BG, DE’ye ve BC, EF’ye e¸sit oldu˘ gu i¸cin GB ile BC d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla DE ile EF’ye e¸sit olur.
Ve GBC a¸cısı, DEF a¸cısına e¸sittir. O halde, GC tabanı, DF tabanına e¸sit, ve GBC ¨ u¸cgeni, DEF ¨ u¸cgenine e¸sit, ve e¸sit kenarları kar¸silayan kalan a¸ cılar kar¸sılık ˘ gelen kalan a¸cılara e¸sit olur [Belit 1.4]. B¨ oylece, GCB, DFE’ye e¸sittir. Fakat DFE’nin, BCA’ya e¸sit oldu˘ gu varsayılmı¸stı. O halde, BCG de, BCA’ya e¸sittir, k¨ u¸c¨ uk olan b¨ uy¨ uk olana. B¨ oyle bir ¸sey m¨ umk¨ un de˘ gildir. O halde AB’nin DE’ye e¸sit olmadı˘ gı do˘ gru de˘ gildir. O halde bunlar e¸sittir. Ve BC de, EF’ye e¸sittir. Demek ki AB ile BC d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla DE ile EF d¨ uz
¸
cizgilerine e¸sittir. Ve ABC a¸cısı, DEF a¸ cısına e¸sittir. O halde, AC tabanı, DF tabanına, ve kalan BAC a¸cısı, kalan EDF a¸ cısına e¸sittir [Belit 1.4].
Fakat, gene, e¸sit a¸cıları kar¸sılayan kenarlar e¸sit olsun; ¨ orne˘ gin AB, DE’ye e¸sit olsun. Yine kalan kenarların kalan kenarlara e¸sit olaca˘ gını s¨ oyl¨ uyorum. Yani AC, DF’ye ve BC, EF’ye. Daha da ¨ otesi, kalan BAC a¸cısı, kalan EDF a¸ cısına e¸sit olur.
E˘ ger BC, EF’ye e¸sit de˘ gilse biri di˘ gerinden b¨ uy¨ ukt¨ ur. M¨ umk¨ unse, BC daha b¨ uy¨ uk olsun. Ve BH, EF’ye e¸sit kılınsın [Belit 1.3] ve AH birle¸stirilmi¸s olsun. Ve BH, EF’ye, ve AB, DE’ye e¸sit oldu˘ gu i¸cin, AB ile BH d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla DE ile EF d¨ uz ¸cizgilerine e¸sittir. Ve bunların ¸cevreledi˘ gi a¸cılar da e¸sittir. O halde, AH tabanı, DF tabanına e¸sit, ve ABH ¨ u¸ cgeni, DEF ¨ u¸cgenine e¸sit, ve kalan e¸sit kenarların kar¸sı a¸cıları kar¸sılık gelen a¸cılara e¸sit olacaktır [Belit 1.4]. O halde, BHA a¸cısı, EFD a¸cısına e¸sittir. Fakat EFD, BCA’ya e¸sittir.
Demek ki, AHC ¨ u¸ cgeninde, BHA dı¸s a¸ cısı zıt i¸c a¸cı BCA’ya e¸sittir. B¨ oyle bir ¸sey m¨ umk¨ un de˘ gildir [Belit [1.16]. O halde, BC’nin, EF’ye e¸sit olmadı˘ gı do˘ gru de˘ gildir. O halde bunlar e¸sittir. VE AB de, DE’ye e¸sittir.
Demek ki AB ile BC d¨ uz ¸ cizgileri sırasıyla DE ile EF d¨ uz ¸cizgilerine e¸sittir. Ve bunlar e¸sit a¸cıları ¸cevreler.
O halde, AC tabanı, DF tabanına, ve ABC ¨ u¸ cgeni, DEF ¨ u¸ cgenine, ve kalan BAC a¸cısı, kalan EDF a¸cısına e¸sittir [Belit 1.4].
B¨ oylece, e˘ ger iki ¨ u¸ cgende birinin iki a¸cısı sırasıyla bir di˘ gerinin iki a¸cısına e¸sit, ve bir kenar di˘ gerinin bir kenarına-ger¸ cekte e¸sit a¸ cıların kenarları yada e¸sit a¸ cıları kar¸sılayan kenarlar- e¸sitse, o zaman kalan kenarlar da bir di˘ gerinin kar¸sılık gelen kenarlarına ve kalan a¸cı da bir di˘ gerinin kalan a¸cısına e¸sit olur. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 27.
E˘ ger iki d¨ uz ¸cizgiden ge¸cen bir d¨ uz ¸cizginin (bu ¸cizgilerle) yaptı˘ gı alternatif a¸cılar birbirine e¸sitse o zaman bu iki d¨ uz ¸cizgi birbirine paraleldir.
AB ve CD d¨ uz ¸cizgilerinden ge¸ cen EF d¨ uz ¸ cizgisi alternatif a¸cılar AEF ve EFD’yi birbirine e¸sit kılsın.
AB ve CD’nin paralel oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
C
A E
F
B
D
G
E˘ ger de˘ gilse, uzatıldıklarında, AB ve CD kesinlikle bulu¸sacaklardır; ya B ve D y¨ on¨ unde yada A ve C y¨ on¨ unde [Tanım 1.23]. Uzatılsınlar ve B ve D y¨ on¨ unde G noktasında bulu¸ssunlar. Demek ki, GEF
¨
u¸ cgeni i¸ cin, AEF dı¸s a¸cısı zıt y¨ ondeki EFG i¸c a¸cısına e¸sit olur. B¨ oyle bir ¸sey m¨ umk¨ un de˘ gildir [Belit 1.16].
B¨ oylece, uzatıldıklarında, AB ve CD, B ve D y¨ on¨ unde bulu¸smazlar. Benzer ¸sekilde, ne de A ve C y¨ on¨ unde
bulu¸smayacakları g¨ osterilebilir. Fakat ne o y¨ onde ne de bu y¨ onde bulu¸smayan d¨ uz ¸cizgiler paraleldir [Tanım 1.23]. O halde AB ve CD paraleldir.
B¨ oylece e˘ ger iki d¨ uz ¸cizgiden ge¸cen bir d¨ uz ¸cizginin (bu ¸cizgilerle) yaptı˘ gı alternatif a¸cılar birbirine e¸sitse o zaman bu iki d¨ uz ¸cizgi birbirine paraleldir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 28.
E˘ ger iki d¨ uz ¸cizgiden ge¸cen bir d¨ uz ¸cizgi bir dı¸s a¸cısını, aynı tarafta kalan ve di˘ ger ¸cizgiyle yaptı˘ gı i¸c a¸ cıya e¸sit kılıyorsa, yada aynı tarafta kalan iki i¸c a¸ cısı bir dik a¸cıya e¸sitse, o zaman bu iki d¨ uz ¸cizgi birbirine paraleldir.
AB ve CD d¨ uz ¸ cizgilerinden ge¸cen EF d¨ uz ¸cizgisi, EGB dı¸s a¸cısını di˘ ger ¸cizgiyle yaptı˘ gı i¸c a¸cı GHD’ye e¸sit kılsın, yada aynı kenardaki i¸c a¸cılar BGH ve GHD bir dik a¸cıya e¸sit olsun. AB’nin CD’ye paralel oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
C H
G E
F D B
Birincisi, EGB, GHD’ye e¸sit oldu˘ gu halde, EGB, AGH’ye e¸sittir [Belit 1.15]. AGH de o halde GHD’ye e¸sittir. Ve bunlar alternatif a¸cılardır. O halde, AB, CD’ye paraleldir [Belit 1.27].
Yine, ikinci olarak, BGH ve GHD bir dik a¸cıya e¸sit, ve AGH ve BGH de bir dik a¸cıya e¸sit oldu˘ gu [Belit 1.13] i¸cin, AGH ve BGH toplamı b¨ oylece BGH ve GHD toplamına e¸sittir. BGH her iki toplamdan ¸cıkarılsın.
B¨ oylece kalan AGH, kalan GHD’ye e¸sit olur. Ve bunlar alternatif a¸cılardır. O halde, AB, CD’ye paraleldir [Belit 1.27].
B¨ oylece e˘ ger iki d¨ uz ¸ cizgiden ge¸cen bir d¨ uz ¸ cizgi bir dı¸s a¸cısını, aynı tarafta kalan ve di˘ ger ¸cizgiyle yaptı˘ gı i¸c a¸cıya e¸sit kılıyorsa, yada aynı tarafta kalan iki i¸c a¸cısı bir dik a¸cıya e¸sitse, o zaman bu iki d¨ uz ¸cizgi birbirine paraleldir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 29.
˙Iki paralel d¨uz ¸cizgiden ge¸cen bir d¨uz ¸cizgi alternatif a¸cılarını birbirine e¸sit, dı¸s a¸cısını aynı tarafta kalan ve di˘ ger ¸cizgiyle yaptı˘ gı i¸ c a¸ cıya e¸sit ve aynı tarafta kalan iki i¸c a¸cısını bir dik a¸cıya e¸sit kılar.
EF d¨ uz ¸cizgisi, AB ve CD paralel d¨ uz ¸cizgilerinden ge¸csin. Bunun AGH ile GHD alternatif a¸cılarını e¸sit, EGB dı¸s a¸cısını aynı kenarda bulunan ve di˘ ger ¸cizgiyle yaptı˘ gı GHD i¸c a¸cısına e¸sit, ve BGH ve GHD i¸c a¸ cılarını birlikte bir dik a¸cıya e¸sit kıldı˘ gını s¨ oyl¨ uyorum.
A
C H
G E
F D B
E˘ ger AGH, GHD’ye e¸sit de˘ gilse, o zaman bunlardan biri daha b¨ uy¨ ukt¨ ur. AGH daha b¨ uy¨ uk olsun. BGH her ikisine eklenmi¸s olsun. O halde AGH ve BGH toplamı, BGH ve GHD toplamından b¨ uy¨ ukt¨ ur. Fakat AGH ve BGH toplamı iki dik a¸cıya e¸sittir [Belit 1.13]. O halde, BGH ve GHD toplamı da iki dik a¸cıdan k¨ u¸ c¨ ukt¨ ur. Fakat iki dik a¸cıdan k¨ u¸ c¨ uk i¸ c a¸cıları y¨ on¨ unde sonsuza do˘ gru uzatılan d¨ uz ¸cizgiler bulu¸surlar [Post.
5]. O halde sonsuza do˘ gru uzatılan AB ve CD bulu¸sacaklardır. Fakat birbirlerine paralel oldu˘ gu varsayımına
istinaden bunlar bulu¸smazlar [Tanım 1.23]. O halde AGH’nin GHD’ye e¸sit olmadı˘ gı do˘ gru de˘ gildir. O halde e¸sittirler. Fakat AGH, EGB’ye e¸sittir [Belit 1.15]. Ve EGB de o halde GHD’ye e¸sittir. BGH her ikisine de eklensin. O halde EGB ile BGH toplamı, BGH ile GHD toplamına e¸sittir. Fakat EGB ve BGH iki dik a¸cıya e¸sittir [Belit 1.13]. O halde BGH ve GHD toplamı da iki dik a¸cıya e¸sittir.
O halde iki d¨ uz ¸ cizgiden ge¸cen bir d¨ uz ¸cizgi alternatif a¸ cılarını birbirine e¸sit, dı¸s a¸cısını aynı tarafta kalan ve di˘ ger ¸ cizgiyle yaptı˘ gı i¸ c a¸cıya e¸sit ve aynı tarafta kalan iki i¸c a¸cısını bir dik a¸cıya e¸sit kılar. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 30.
Aynı d¨ uz ¸ cizgiye paralel d¨ uz ¸ cizgiler birbirlerine de paraleldir.
AB ve CD d¨ uz ¸cizgilerinin her biri EF’ye paralel olsun. AB’nin de CD’ye paralel oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
C D
B G
H
E F
K
GK d¨ uz ¸ cizgisi AB,CD ve EF ¨ uzerinden ge¸csin.
Ve GK d¨ uz ¸ cizgisi, AB ve EF paralel d¨ uz ¸cizgileri ¨ uzerinden ge¸cti˘ gi i¸cin, AGK a¸cısı, o halde GHF a¸cısına e¸sit olur [Belit 1.29]. Yine GK d¨ uz ¸cizgisi, EF ve CD paralel d¨ uz ¸cizgileri ¨ uzerinden ge¸cti˘ gi i¸cin, GHF a¸cısı, o halde GKD a¸ cısına e¸sit olur [Belit 1.29]. Fakat AGK’nin de GHF’ye e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. O halde, AGK de, GKD’ye e¸sittir. Ve bunlar alternatif a¸cılardır. O halde, AB, CD’ye paraleldir [Belit 1.27].
[O halde aynı d¨ uz ¸ cizgiye paralel d¨ uz ¸cizgiler birbirlerine de paraleldir.] Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 31.
Verilen bir d¨ uz ¸cizgiye verilen bir noktadan ge¸cen bir d¨ uz ¸cizgi ¸cizmek.
A verilen nokta ve BC verilen d¨ uz ¸ cizgi olsun. O halde, BC d¨ uz ¸cizgisine, A noktasından ge¸cen paralel bir d¨ uz ¸cizgi ¸cizilmesi gerekmektedir.
A
D C
B
E F
D noktası, BC ¨ uzerinde rastgele alınmı¸s ve AD birle¸stirilmi¸s olsun. Ve ADC a¸cısına e¸sit bir DAE a¸cısı, DA d¨ uz ¸cizgisi ¨ uzerindeki A noktasında olu¸sturulmu¸s olsun [Belit 1.23]. Ve EA ile bir d¨ uz ¸cizgi olu¸sturacak
¸sekilde AF d¨ uz ¸cizgisi ¨ uretilsin.
Ve BC ve EF d¨ uz ¸cizgilerinden ge¸ cen AD d¨ uz ¸ cizgisi alternatif a¸cılar EAD ve ADC’yi birbirine e¸sit kıldı˘ gı i¸ cin EAF b¨ oylece BC’ye paralel olur [Belit 1.27].
O halde EAF d¨ uz ¸cizgisi verilen verilen A noktasından ge¸cecek ve verilen BC d¨ uz ¸cisgisine paralel olacak
¸sekilde ¸cizilmi¸stir. Bu da tam yapılması talep edilen ¸seydir.
Belit 32.
Herhangi bir ¨ u¸ cgende, e˘ ger kenarlardan biri uzatılırsa olu¸san dı¸s a¸cı iki i¸c ve di˘ ger taraftaki a¸cıya e¸sit olur,ve ¨ u¸c i¸ c a¸cının toplamı iki dik a¸cı eder.
ABC bir ¨ u¸ cgen, ve bunun kenarlarından biri olan BC, D’ye do˘ gru uzatılmı¸s olsun. Dı¸s a¸cı ACD’nin iki
i¸ c ve zıt y¨ ondeki a¸cılar CAB ve ABC’nin toplamına e¸sit, ve ¨ u¸ cgenin ¨ u¸c i¸c a¸cısının-ABC,BCA ve CAB-iki
dik ¨ u¸ cgene e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B C
E
D
CE, C noktasından itibaren AB d¨ uz ¸cizgisine paralel olacak ¸sekilde ¸cizilmi¸s bulunsun [Belit 1.31].
Ve AB, CE’ye paralel ve AC bunların ¨ uzerinden ge¸cti˘ gi i¸cin, alternatif a¸cılar BAC ve ACE birbirlerine e¸sittir [Belit 1.29]. Yine AB, CE’ye paralel ve BD d¨ uz ¸ cizgisi bunlardan ge¸cti˘ gi i¸cin, ECD dı¸s a¸cısı di˘ ger taraftaki ABC i¸c a¸ cısına e¸sittir [Belit 1.29]. Fakat ACE’nin BAC’ye e¸sit oldu˘ gu g¨ osterilmi¸sti. O halde ACD a¸ cısının b¨ ut¨ un¨ u di˘ ger taraftaki BAC ABC i¸c a¸cılarının toplamına e¸sittir.
ACB her ikisine de eklenmi¸s olsun. O halde ACD ve ACB toplamı ¨ U¸c a¸cının, ABC,BCA ve CAB’nin toplamına e¸sittir. Fakat ACD ile ACB toplamı iki dik a¸cıya e¸sittir [Belit 1.13]. O halde ACB,CBA ve CAB de iki dik a¸cıya e¸sittir.
B¨ oylece herhangi bir ¨ u¸ cgende, e˘ ger kenarlardan biri uzatılırsa olu¸san dı¸s a¸cı iki i¸c ve diger taraftaki a¸cıya e¸sit olur ve ¨ u¸ c i¸c a¸cının toplamı iki dik a¸cı eder. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 33.
E¸sit ve paralel d¨ uz ¸cizgilerin aynı taraflarını birle¸stiren d¨ uz ¸cizgilerin kendileri de e¸sit ve paraleldir.
AB ve CD e¸sit ve paralel olsun ve AC ile BD d¨ uz ¸cizgileri bunları aynı taraflarından birle¸stirsin. AC ve BD’nin de e¸sit ve paralel oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A B
D C
BC birle¸stirilmi¸s olsun. Ve AB, CD’ye paralel ve BC bunların ¨ uzerinden ge¸cti˘ gi i¸cin, alternatif a¸cılar ABC ve BCD birbirlerine e¸sittir [Belit 1.29]. Ve AB, CD’ye e¸sit ve BC ortak [kenar] oldu˘ gu i¸cin, AB ile BC d¨ uz ¸cizgileri DC ile CB d¨ uz ¸cizgilerine e¸sittir. Ve ABC a¸cısı, BCD a¸cısına e¸sittir. O halde AC tabanı, BD tabanına, ve ABC ¨ u¸ cgeni, DCB ¨ u¸ cgenine ve birindeki e¸sit kenarların ¸cevreledi˘ gi kalan a¸cılar di˘ gerinin kar¸sılık gelen a¸cılarına e¸sittir [Belit 1.4]. O halde, ACB a¸cısı, CBD’ye e¸sittir. Hem de, AC ile BD d¨ uz ¸cizgilerinden ge¸ cen BC d¨ uz ¸ cizgisi, alternatif a¸ cıları(ACB ve CBD) birbirine e¸sit kılmı¸s oldu˘ gu i¸cin, AC b¨ oylece BD’ye paraleldir [Belit 1.27]. Ve AC’nin de BD’ye e¸sitli˘ gi g¨ osterilmi¸sti.
O halde e¸sit ve paralel d¨ uz ¸cizgilerin aynı taraflarını birle¸stiren d¨ uz ¸cizgilerin kendileri de e¸sit ve paraleldir.
Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 34.
Paralelkenar ¸sekillerde zıt kenarlar ve a¸cılar birbirlerine e¸sittir ve bir k¨ o¸segen bunları yarıya b¨ oler.
ACDB bir paralelkenar ve BC onun k¨ o¸segeni olsun. ACDB paralelkenarı i¸cin, zıt kenarların ve a¸cıların birbirine e¸sit ve BC k¨ o¸segeninin bunu ikiye b¨ old¨ u˘ g¨ un¨ u s¨ oyl¨ uyorum.
A B
C D
AB, CD’ye paralel oldu˘ gu ve BC d¨ uz ¸ cizgisi bunların ¨ uzerinden ge¸cti˘ gi i¸cin, alternatif a¸cılar ABC ve BCD birbirlerine e¸sittir [Belit 1.29]. Yine AC, BD’ye paralel ve BC d¨ uz ¸cizgisi bunların ¨ uzerinden ge¸cti˘ gi i¸cin, alternatif a¸cılar ACB ve CBD birbirlerine e¸sittir [Belit 1.29]. Bu durumda ABC ve BCD, ABC ile BCA a¸ cılarının sırasıyla BCD ile CBD a¸ cılarına e¸sit oldu˘ gu, ve birinin bir kenarının di˘ gerinin bir kenarına e¸sit oldu˘ gu- e¸sit a¸cılara biti¸sik ve ortak olan kenar, BC- iki ¨ u¸ cgendir. O halde, bunlarda, aynı zamanda, birinin kalan kenarları di˘ gerinin kar¸sılık gelen kenarlarına da, ve birinin kalan a¸cısı di˘ gerinin kalan a¸cısına da e¸sittir [Belit 1.26]. O halde, AB kenarı, CD kenarına ve AC, BD’ye e¸sittir. Dahası, BAC a¸cısı CDB a¸cısına e¸sittir.
Ve ABC a¸ cısı, BCD’ye ve CBD, ACB’ye e¸sit oldu˘ gu i¸ cin, b¨ ut¨ un ABD a¸cısı b¨ oylece b¨ ut¨ un ACD a¸cısına e¸sittir. Ve BAC’nin CDB’ye e¸sit oldu˘ gu da g¨ osterilmi¸sti.
O halde, paralelkenar ¸sekillerde zıt kenarlar ve a¸ cılar birbirine e¸sittir.
Ve bir k¨ o¸segenin bunları ikiye b¨ old¨ u˘ g¨ un¨ u de s¨ oyledim. AB, CD’ye e¸sit ve BC ortak oldu˘ gu i¸cin, AB ile BC d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla DC ile CB d¨ uz ¸ cizgilerine e¸sittir. Ve ABC a¸cısı, BCD a¸cısına e¸sittir. O halde AC tabanı, DB’ye de e¸sit ve ABC ¨ u¸ cgeni, BCD ¨ u¸ cgenine e¸sittir [Belit 1.4].
B¨ oylece BC k¨ o¸segeni, ACDB paralelkenarını yarıya keser. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 35.
Aynı tabana sahip ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine e¸sittir.
ABCD ve EBCF, aynı BC tabanına sahip ve aynı paraleller, AF ile BC arasında olan paralelkenarlar olsun. ABCD’nin EBCF paralelkenarına e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B C
G
F E
D
ABCD bir paralelkenar oldu˘ gu i¸cin, AD, BC’ye e¸sittir [Belit 1.34]. Bu durumda, aynı sebeplerden, EF de BC’ye e¸sittir. Bu durumda, AD, EF’ye de e¸sittir. Ve DE ortaktır. B¨ oylece, b¨ ut¨ un AE d¨ uz ¸cizgisi, b¨ ut¨ un DF d¨ uz ¸cizgisine e¸sittir. Ve AB, DC’ye de e¸sittir. O halde EA ile AB d¨ uz ¸cizgileri sırasıyla, FD ile DC d¨ uz
¸cizgilerine e¸sittir. Ve FDC a¸cısı, EAB a¸cısına, dı¸s a¸cı, i¸ c a¸cıya e¸sittir [Belit 1.29]. B¨ oylece, EB tabanı, FC tabanına e¸sit olur ve EAB ¨ u¸ cgeni, DFC ¨ u¸cgenine e¸sit olacaktır [Belit 1.4]. DGE ikisinden ¸cıkarılmı¸s olsun.
B¨ oylece kalan yamuk ABGD, kalan yamuk EGCF’ye e¸sit olur. GBC ¨ u¸cgeni her ikisine eklensin. B¨ oylece b¨ ut¨ un ABCD paralelkenarı, b¨ ut¨ un EBCF paralelkenarına e¸sit olur.
B¨ oylece aynı tabana sahip ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 36.
E¸sit tabanlar ¨ uzerinde ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine e¸sittir.
ABCD ile EFGH, e¸sit tabanlar BC ile FG ¨ uzerinde, ve aynı paraleller AH ile BG arasındaki paralelke- narlar olsun. ABCD paralelkenarının, EFGH’ye e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A D E H
B C F G
BE ile CH birle¸stirilmi¸s olsun. Ve BC, FG’ye, fakat FG, EH’ye e¸sit oldu˘ gu [Belit1.34] i¸cin, BC, b¨ oylece
EH’ye e¸sittir. Ve bunlar hem de paraleldir, ve EB ile HC bunları birle¸stirir. Fakat e¸sit ve paralel d¨ uz ¸cizgileri
aynı taraftan birle¸stiren d¨ uz ¸cizgilerin kendileri e¸sit ve paraleldir [Belit 1.33] [b¨ oylece EB ile HC de e¸sit
ve paraleldir]. B¨ oylece EBCH bir paralelkenar [Belit 1.34] ve ABCD’ye e¸sittir. ABCD ile aynı BC tabanına
sahip ve aynı BC ve AH paralelleri arasında oldu˘ gu i¸ cin [Belit 1.35]. O halde, aynı nedenlerden dolayı, EFGH de aynı paralelkenara, EFGH’ye e¸sittir. O halde ABCD paralelkenarı da EFGH’ye e¸sittir.
B¨ oylece e¸sit tabanlar ¨ uzerinde ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 37.
Aynı tabanlar ¨ uzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan ¨ u¸cgenler birbirine e¸sittir.
ABC ile DBC aynı BC tabanını ¨ uzerinde ve aynı AD ve BC paralelleri arasında bulunan ¨ u¸cgenler olsun.
ABC ¨ u¸ cgeninin DBC ¨ u¸ cgenine e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B C
D F
E
AD, her iki y¨ onde E ile F’ye do˘ gru uzatılmı¸s, ve CA’ya paralel BE ¸cizgisi, B noktasından ge¸cerek ¸cizilmi¸s, ve BD’ye paralel CF ¸ cizgisi, C noktasından ge¸cerek ¸cizilmi¸s olsun. B¨ oylece, EBCA ve DBCF’nin her ikisi de paralelkenar ve birbirine e¸sittir. Aynı BC tabanına sahip ve aynı BC ile EF paralelleri arasında oldukları i¸ cin [Belit 1.35]. Ve ABC ¨ u¸ cgeni, EBCA paralelkenarının yarısıdır. AB k¨ o¸segeni paralelkenarı yarıya b¨ oldu˘ gu i¸cin [Belit 1.34]. Ve DBC ¨ u¸ cgeni, DBCF paralelkenarının yarısıdır. DC k¨ o¸segeni paralelkenarı yarıya b¨ oldu˘ gu i¸cin [Belit 1.34] [Ve e¸sit ¸seylerin yarıları birbirlerine e¸sit oldukları i¸cin]. B¨ oylece, ABC ¨ u¸cgeni, DBC ¨ u¸ cgenine e¸sittir.
B¨ oylece, aynı tabanlar ¨ uzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan ¨ u¸cgenler birbirine e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 38.
E¸sit tabanlar ¨ uzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan ¨ u¸ cgenler birbirine e¸sittir.
ABC ile DEF, e¸sit BC ve EF tabanları ¨ uzerinde ve aynı BF ve AD paralelleri arasında bulunan ¨ u¸cgenler olsun. ABC ¨ u¸ cgeninin, DEF ¨ u¸ cgenine e¸sit oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyorum.
A
B C
D
E F
G H
AD her iki y¨ onde, G ile H’ye do˘ gru uzatılmı¸s ve CA’ya paralel BG ¸cizgisi, B noktasından ge¸cerek ¸cizilmi¸s [Belit 1.31] ve DE’ye paralel FH ¸ cizgisi, F noktasından ge¸cerek ¸cizilmi¸s olsun. B¨ oylece, GBCA ve DEFH’nin her ikisi de paralelkenardır. Ve GBCA, DEFH’ye e¸sittir. E¸sit BC ve EF tabanı ¨ uzerinde ve aynı BF ile GH paralelleri arasında oldukları i¸ cin [Belit 1.36]. Ve ABC ¨ u¸cgeni, GBCA paralelkenarının yarısıdır. AB k¨ o¸segeni, paralelkenarı yarıya b¨ oldu˘ gu i¸cin [Belit 1.34] [Ve e¸sit ¸seylerin yarıları birbirlerine e¸sit oldukları i¸cin]. B¨ oylece, ABC ¨ u¸ cgeni, DBC ¨ u¸cgenine e¸sittir.
B¨ oylece e¸sit tabanlar ¨ uzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan ¨ u¸ cgenler birbirine e¸sittir. Bu da tam g¨ osterilmesi talep edilen ¸seydir.
Belit 39.
