nxn ³eklinde tanmlanan fonksiyon dizisinin noktasal limitini bulunuz

30/04/2014 Analiz II

Ödev 4

Son Teslim: 07/05/2014

1. A³a§daki fonksiyonlarn verilen aralklarda noktasal limitleri varsa, bulunuz.

a. fn(x) = (sin x)ⁿ, [0, π]

b. fn(x) = nxⁿ(1 − x), [0, 1]

c. fn(x) = _1+x^xn2n, [0, ∞) d. fn(x) = ^{sin nx}_n , [0, 1].

2. fn : (0, 1) → R ve fn(x) = nxⁿ ³eklinde tanmlanan fonksiyon dizisinin noktasal limitini bulunuz. Buldu§unuz bu f fonksiyonu için lim

n→∞

Z 1 0

f_n(x)dx = Z 1

0

f (x)dx e³itli§i sa§lanr m?

3. fnx = xⁿ³eklinde verinlen fonksiyon dizisinin [0, 1) aral§nda düzgün yaknsamad§n

gösteriniz.

4. {fn}, bir [a, b] kapal aral§nda sürekli ve monotinik bir fonksiyon dizisi olsun. {fn} dizisi noktasal olarak bir f sürekli fonksiyonuna yaknsyorsa bu yaknsamann ayn

zamanda düzgün yaknsama oldu§unu gösteriniz.

5. x ∈ R ve p > 1 ise P^∞_k=1 ^{sin kx}_np serisi düzgün yaknsak mdr?

6. A³a§daki serilerin yaknsaklk aralklar ve yaknsaklk yarçaplarn bulunuz.

a)

∞

X

k=1

(x − 2)ⁿ 10ⁿ b)

∞

X

k=1

(x − 1)ⁿ

√n c)

∞

X

k=1

(3x)ⁿ

n! d)

∞

X

k=1

(3x − 2)ⁿ n