Legendre Polinomlar¬n¬n Dikli¼ gi:

(1)

Legendre Polinomlar¬n¬n Dikli¼ gi:

P

_n

(x) Legendre polinomlar¬[ 1; 1] aral¬¼ g¬nda !(x) = 1 a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre diktirler.

Z

1 1

P

_m

(x)P

_n

(x)dx = 0 ; m 6= n

sa¼ glan¬r.

Bunu ispat edebilmek için Legendre diferensiyel denklemini ele alal¬m. P

m

ve P

n

Legendre polinomlar¬olduklar¬na göre Legendre diferensiyel denklemini sa¼ glayacaklard¬r.

1 x

²

P

_m⁰⁰

(x) 2xP

_m⁰

(x) + m(m + 1)P

m

(x) = 0

1 x

²

P

_n⁰⁰

(x) 2xP

_n⁰

(x) + n(n + 1)P

_n

(x) = 0

Bu e¸ sitliklerden birincisini P

n

ile, ikincisini P

m

ile çarpar ve taraf tarafa ç¬kart¬rsak

d

dx 1 x

²

(P

_n

P

_m⁰

P

_m

P

_n⁰

) = (n m)(n + m + 1)P

_m

P

_n

elde edilir. Bu son e¸ sitli¼ gin her iki yan¬n¬n [ 1; 1] aral¬¼ g¬nda integre edildi¼ ginde e¸ sitli¼ gin sa¼ g taraf¬n¬n s¬f¬r olmas¬dikkate al¬n¬rsa,

Z

1 1

P

_m

(x)P

_n

(x)dx = 0 ; m 6= n

elde edilir.

m = n için Legendre polinomunun normu

kP

ⁿ

k

²

= Z

1

[P

_n

(x)]

²

dx = 2 2n + 1

dir.

1

(2)

Legendre Serileri:

f (x) fonksiyonu Legendre polinomlar¬cinsinden

f (x) = X

1 n=0

c

_n

P

_n

(x)

¸ seklinde bir Legendre serisine aç¬labilir. Buradaki c

n

katsay¬lar¬

c

n

= 2n + 1 2

Z

1 1

f (x)P

n

(x)dx

dir.

Özel Haller

1) f (x) çift ise, c

2k

= (4k + 1) R

1 0

f (x)P

2k

(x)dx ve c

2k+1

= 0 d¬r.

2) (x) tek ise, c

2k

= 0 ve c

2k+1

= (4k + 3) R

1 0

f (x)P

_2k+1

(x)dx dir.

Örnek 1. Legendre polinomu için (2n + 1) xP

n

(x) = (n + 1)P

_n+1

(x) + nP

_{n 1}

(x) ba¼ g¬nt¬s¬

bilindi¼ gine göre, bu ba¼ g¬nt¬dan yararlanarak

Z

1 1

x

²

P

_2m

(x)P

_2m+2

(x)dx

integralini hesaplay¬n¬z.

Çözüm: Legendre polinomlar¬n¬n diklik ba¼ g¬nt¬s¬ndan,

Z

1 1

P

_m

(x)P

_n

(x)dx = 0 ; m 6= n

oldu¼ gunu biliyoruz. (2n + 1) xP

n

(x) = (n + 1)P

_n+1

(x) + nP

_{n 1}

(x) ba¼ g¬nt¬s¬nda n ! 2m ve

2

(3)

n ! 2m + 2 için integral düzenlenirse,

Z

1 1

xP

_2m

(x)xP

_2m+2

(x)dx

= Z

1

2m + 1

4m + 1 P

_2m+1

(x) + 2m

4m + 1 P

_{2m 1}

(x) 2m + 3

4m + 5 P

_2m+3

(x) + 2m + 2

4m + 5 P

_{2m 1}

(x) dx

= 2m + 1 4m + 1

2m + 3 4m + 5

Z

1 1

P

_2m+1

(x)P

_2m+3

(x)dx + 2m + 1 4m + 1

2m + 2 4m + 5

Z

1 1

P

_2m+1²

(x)dx

+ 2m 4m + 1

2m + 2 4m + 5

Z

1 1

P

_{2m 1}

(x)P

_2m+3

(x)dx + 2m 4m + 1

2m + 2 4m + 5

Z

1 1

P

_{2m 1}

(x)P

_2m+1

(x)dx

= 2m + 1 4m + 1

2m + 2 4m + 5

Z

1 1

P

_2m+1²

(x)dx

olup Legendre polinomunun normundan,

Z

1 1

x

²

P

_2m

(x)P

_2m+2