2.7. Ortogonal Polinomlar¬n Normlar¬

2.7. Ortogonal Polinomlar¬n Normlar¬

[a; b] aral¬¼ g¬nda w(x) a¼ g¬rl¬k fonksiyonuna göre ortogonal olan f n (x) g polinomlar¬

( _m ; _n ) = Z b

a

w(x) _m (x) _n (x) dx = 0 ; m 6= n

ortogonallik ba¼ g¬nt¬s¬n¬sa¼ glarlar. m = n durumunda ise

( _n ; _n ) = Z b

a

w(x) ² _n (x) dx = k n k ²

integrali s¬f¬rdan farkl¬olup k n k ye n ortogonal polinomunun normu denir. Ortogonal poli- nom ailelerinin normlar¬do¼ gurucu fonksiyonlar yard¬m¬yla hesaplanabilmektedir.

i) Legendre Polinomlar¬n¬n Normu:

P _n (x) Legendre polinomlar¬için do¼ gurucu fonksiyon

X 1 n=0

P _n (x) t ⁿ = 1 p 1 2xt + t ²

formundad¬r. Burada n indisi yerine m indisi al¬n¬rsa P m (x) polinomlar¬için do¼ gurucu fonksiyon

X 1 m=0

P m (x) t ^m = 1 p 1 2xt + t ²

olur. Bu iki e¸ sitlik taraf tarafa çarp¬l¬p, [ 1; 1] aral¬¼ g¬nda integre edilirse

X 1 n;m=0

2 4 Z 1

1

P _n (x) P _m (x) dx 3

5 t ^n+m = Z 1

1

1

1 2xt + t ² dx

elde edilir. m 6= n için Legendre polinomlar¬n¬n ortogonallik özelli¼ gi kullan¬l¬r ve ikinci yandaki

1

integral hesaplan¬rsa

X 1 n=0

2 4 Z 1

1

P _n ² (x) dx 3

5 t ²ⁿ = 1

2t ln(1 2xt + t ² )

1

1

= 1

2t ln(1 t) ² ln(1 + t) ²

= 1

t [ln(1 + t) ln(1 t)]

elde edilir. ln(1 + t) ve ln(1 t) fonksiyonlar¬n¬n Taylor seri aç¬l¬mlar¬ yerine yaz¬l¬p gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa

X 1 n=0

2 4 Z 1

1

P _n ² (x) dx 3 5 t ²ⁿ =

X 1 n=0

2 2n + 1 t ²ⁿ

bulunur. t ²ⁿ in katsay¬lar¬kar¸ s¬la¸ st¬r¬l¬rsa

kP ⁿ k ² = Z 1

1

P _n ² (x) dx = 2 2n + 1

elde edilir. Burada kP ⁿ k Legendre polinomlar¬n¬n normunu ifade etmektedir.

ii) H _n (x) Hermite Polinomlar¬n¬n Normu:

H _n (x) Hermite polinomlar¬n¬n normunu Rodrigues formülünden yararlanarak da hesaplayabili- riz. H n (x) Hermite polinomlar¬için Rodrigues formülü

H _n (x) = ( 1) ⁿ e ^x

d ⁿ

dx ⁿ e ^x

formunda verilmi¸ sti. Bundan yararlan¬l¬rsa

kH ⁿ k ² = Z 1

1

e ^x

[H _n (x)] ² dx = ( 1) ⁿ Z 1

1

H _n (x) d ⁿ

dx ⁿ e ^x

dx

olur. Bu e¸ sitlikte n kez k¬smi integrasyon uygulan¬rsa

kH ⁿ k ² = Z 1

1

e ^x

d ⁿ

dx ⁿ H _n (x) dx = k _n n!

Z 1 1

e ^x

dx = k _n n! p

elde edilir. k n ; H _n (x) Hermite polinomlar¬n¬n ba¸ skatsay¬s¬olup k n = 2 ⁿ dir. Buradan Hermite

2

polinomlar¬n¬n normu kH ⁿ k = (2 ⁿ n! p

) ¹⁼² olarak bulunur.

Ortogonal polinom ailelerinin baz¬lar¬n¬n normu a¸ sa¼ g¬da verilmektedir.

iii) L ^{( )} n (x) Genelle¸ stirilmi¸ s Laguerre Polinomlar¬n¬n Normu:

L ^{( )} _n ² = Z 1

0

x e ^x L ^{( )} _n (x) ² dx = ( + n + 1)

n! ; > 1

iv) He _n (x) Hermite Polinomlar¬n¬n Normu:

kHe ⁿ k ² = Z 1

1

e

He ² _n (x) dx = n! p 2

v) P n ^{( ; )} (x) Jacobi Polinomlar¬n¬n Normu:

P _n ^{( ; ) 2} = Z 1

1

(1 x) (1 + x) P _n ^{( ; )} (x) ² dx

= 2 ^{+ +1}

2n + + + 1

( + n + 1) ( + n + 1)

n ! ( + + n + 1) ; > 1 ; > 1

3