Bessel Fonksiyonlar¬n¬n Dikli¼ gi ve Normu:
reel bir sabit olmak üzere u = J
k( x) Bessel fonksiyonu için u = J
k( x) ) u
0= J
k0( x), u
00=
2J
k00( x) olup
x
2u
00+ xu
0+
2x
2k
2u = 0 diferensiyel denklemini sa¼ glar.
Buna göre f
n(x) = p
xJ
k(
nx) ; n = 1; 2; ::: olarak tan¬mlan¬rsa bu fonksiyonlar (0; 1) aral¬¼ g¬nda dik bir sistem te¸ skil ederler. Yani,
(f
m; f
n) = Z
10
f
m(x)f
n(x)dx = Z
10
xJ
k(
mx)J
k(
nx)dx = 0 ; m 6= n
dir.
Bessel Serileri:
[0; 1] aral¬¼ g¬nda sürekli ve de bu aral¬kta sonlu say¬da ekstremuma sahip bulunan bir f (x) fonksiyonu, k-y¬nc¬basamaktan Bessel fonksiyonlar¬cinsinden
f (x) = X
1 n=1A
nJ
k(
nx)
¸ seklinde bir seriye aç¬labilir. Burada A
nkatsay¬lar¬,
A
n= 2 J
k+12(
n)
Z
10
xf (x)J
k(
nx)dx
¸ seklindedir.
Modi…ye Bessel Fonksiyonlar¬:
x
2y
00+ xy
0x
2+ k
2y = 0
denklemine k y¬nc¬basamaktan modi…ye Bessel denklemi denir. Bu denklemin çözümü k 2 Z iken,
y = AI
k(x) + BI
k(x)
1
ve k = 2 Z iken
y = AI
k(x) + BK
k(x)
¸ seklindedir. Burada I
k= X
1 n=01
n! (n + k + 1) x 2
2n+k
d¬r.
Örnek 1. J
0(
n) = 0; n = 1; 2:::olmak üzere f (x) = x
2fonksiyonunu s¬f¬r¬nc¬ basamaktan Bessel fonksiyonlar¬cinsinden seriye aç¬n¬z.
Çözüm:
f (x) = X
1 n=1A
nJ
o(
nx); k = 0
olmak üzere,
A
n= 2 J
12(
n)
Z
10
xx
2J
0(
nx)dx
¸ seklindedir.
d
dx x
kJ
k(px) = px
kJ
k 1(px) rekürans ba¼ g¬nt¬s¬nda k = 1, p =
nal¬n¬rsa,
xJ
0(
nx) = 1
n
d
dx [xJ
1(
nx)]
bulunur. Buna göre
A
n= 2
n
J
12(
n) Z
10
x
2d
dx [xJ
1(
nx)] dx
= 2
n
J
12(
n) 8 <
: x
3J
1(
nx)
102 Z
10
x
2J
1(
nx)dx 9 =
;
= 2
n
J
12(
n) 8 <
: J
1(
n) 2 Z
10
x
2J
1(
nx)dx 9 =
;
elde edilir. Tekrar
d
dx x
kJ
k(px) = px
kJ
k 1(px)
2
rekürans ba¼ g¬nt¬s¬nda k = 2, p =
nal¬n¬rsa,
x
2J
1(
nx) = 1
n
d
dx x
2J
2(
nx) bulunur ki buradan
A
n= 2
n
J
12(
n) 8 <
: J
1(
n) 2
n
Z
10
d
dx x
2J
1(
nx) dx 9 =
;
= 2
n
J
12(
n) J
1(
n) 2
n
J
2(
n)
elde edilir.
J
2(
n) = 2
n
J
1(
n) oldu¼ gundan,
A
n= 2
3n
J
1(
n)
2
n
4
bulunur. Böylece
x
2= 2 X
1 n=12
n
4
3n
