Legendre Diferensiyel Denkleminin Çözümü:
1 x 2 y 00 2xy 0 + k(k + 1)y = 0
denklemine k y¬nc¬ basamaktan Legendre diferensiyel denklemi denir. Bu denklemin lineer ba¼ g¬ms¬z çözümlerinden elde edilen Legendre polinomlar¬,
P k (x) = [
k2] X
n=0
( 1) n (2k 2n)!
2 k n!(k n)!(k 2n)! x k 2n
¸ seklindedir. Legendre polinomlar¬n¬n do¼ gurucu fonksiyonu,
F (x; t) = 1 2xt + t 2
1 2
olmak üzere,
F (x; t) = 1 2xt + t 2
1
2
=
X 1 n=0
P n (x)t n
biçimindedir.
Örnek 1. u = P n (cos ) fonksiyonunun d 2 u
d 2 cos du
d + n(n + 1)u = 0 denkleminin bir çözümü oldu¼ gunu gösteriniz.
Çözüm: t = cos de¼ gi¸ sken dönü¸ sümünü yapal¬m. Buna göre
du
d = sin du
dt d 2 u
d 2 = sin 2 d 2 u
dt 2 cos du dt
elde edilir. Son e¸ sitlikler verilen diferensiyel denklemde yerine yaz¬l¬rsa,
1 t 2 d 2 u
dt 2 2t du
dt + n(n + 1)u = 0
denklemi elde edilir. Son denklemin bir çözümü u = P n (t) olup, t = cos dönü¸ sümünden verilen denklemin bir çözümü u = P n (cos ) olarak bulunur.
1
Örnek 2. y = P n (e t ) fonksiyonunun d
dt sinh t dy
dt = 1
2 n(n + 1)e t y denkleminin bir çözümü oldu¼ gunu gösteriniz.
Çözüm: x = e t de¼ gi¸ sken dönü¸ sümünü yapal¬m. Buna göre
dy
dt = e t dy dx d 2 y
dt 2 = e 2t d 2 y
dx 2 + e t dy dx
elde edilir. Son e¸ sitlikler verilen diferensiyel denklemde yerine yaz¬l¬rsa,
1 x 2 d 2 y
dx 2 2x dy
dx + n(n + 1)y = 0
Legendre diferensiyel denklemi elde edilir. Legendre denklemin bir çözümü y = P n (x) olup, x = e t dönü¸ sümünden verilen denklemin bir çözümü y = P n (e t ) olarak bulunur.
Örnek 3. Legendre polinomlar¬için a¸ sa¼ g¬daki ba¼ g¬nt¬lar¬n gerçeklendi¼ gini gösteriniz.
a) P k (1) = 1
b) P k ( 1) = ( 1) k
Çözüm: a) Legendre polinomlar¬n¬n do¼ gurucu fonksiyonu
1 2xt + t 2
1
2
=
X 1 k=0
P k (x)t k
olmak üzere bu e¸ sitlikte x = 1 alal¬m.
1 2t + t 2
1
2
=
X 1 k=0
P k (1)t k
(1 t) 2
1
2
=
X 1 k=0
P k (1)t k
1
1 t =
X 1 k=0
P k (1)t k X 1
k=0
t k = X 1 k=0
P k (1)t k
2
olup t k n¬n katsay¬lar¬n¬e¸ sitlersek P k (1) = 1 elde edilir.
b) Legendre polinomlar¬n¬n do¼ gurucu fonksiyonunda x = 1 alal¬m. Buna göre,
1 + 2t + t 2
1
2
=
X 1 k=0
P k ( 1)t k
(1 + t) 2
1
2
