1
BÖLÜM V: ORTOGONAL POLİNOMLAR
5.3 Legendre Polinomları
Legendre diferansiyel denklemi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ile verilir ve bu polinomlar ( ) ile gösterilir. Ağırlık fonksiyonu
( ) ∫
bağıntısından hesaplanır. Burada ( ) , ( ) ’dir. Karşılık gelen ağırlık fonksiyonu
( )
olmak üzere bu polinomlar için Hermitik diferansiyel denklem ( ) {
( ) } ( ) şeklindedir. Bu denkleme karşılık gelen özdeğerler
( ) ( ) ( ) denkleminden elde edilir: ( ).
özdeğeri için özfonksiyonlar Rodrigues formülünden bulunur:
2
Legendre polinomları ( ( )’ler) ( )
(( ) )
olarak bulunur.
İlk bir kaç Legendre polinomu; ( ) , ( ) , ( ) ( ) şeklindedir.
5.3.1 Üretici Fonksiyon
Legendre polinomları için üretici fonksiyon
( )
√ ile verilir. ’ye göre seri açılımı yapıldığında
√ ∑ ( ) elde edilir. Burada | | | | .
5.3.2 İndirgeme Bağıntıları i) ( ) ( ) ( ) ii) ( ) ( ) ( ) iii) ( ) ( ) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5.3.3 Diklik Bağıntısı
Legendre polinomları için diklik bağıntısı
∫ ( ) ( )
