a 0 r n + a 1 r n 1 + ::: + a n 1 r + a n = 0 (2) olmal¬d¬r. Bu denklem ise (1) denklemine ili¸ skin karakteristik denklem olarak adland¬r¬l¬r.

Sabit Katsay¬l¬Lineer Homogen Diferensiyel Denklemler

a ₀ ; a ₁ ; :::; a _n ’ler reel sabitler ve a ₀ 6= 0 olmak üzere n-yinci basamaktan sabit katsay¬l¬lineer homogen diferensiyel denklem

a ₀ y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ^{(n 1)} + ::: + a _{n 1} y ⁰ + a _n y = 0 (1) formundad¬r. r bir parametre olmak üzere bu denklemin y = e ^rx formunda çözümünü arayal¬m. y ⁰ = re ^rx ; y ⁰⁰ = r ² e ^rx ; :::; y ⁽ⁿ⁾ = r ⁿ e ^rx olup bunlar (1) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa

e ^rx a ₀ r ⁿ + a ₁ r ^{n 1} + ::: + a _{n 1} r + a _n = 0 elde edilir. e ^rx 6= 0 oldu¼ g¬undan

a 0 r ⁿ + a 1 r ^{n 1} + ::: + a n 1 r + a n = 0 (2) olmal¬d¬r. Bu denklem ise (1) denklemine ili¸ skin karakteristik denklem olarak adland¬r¬l¬r.

¸

Simdi özel durumda ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homogen denklemlerin çözümlerini inceleyelim. · Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homogen denklem

a 0 y ⁰⁰ + a 1 y ⁰ + a 2 y = 0 (3) olsun. Bu denkleme ili¸ skin karakteristik denklem

a 0 r ² + a 1 r + a 2 = 0 (4)

d¬r. ¸ Simdi bu denklemin köklerini inceleyelim.

1. Durum: (4) denklemi iki reel farkl¬ köke sahip olsun. r 1 6= r ² 2 R olsun. Bu durumda (3) denklemini genel çözümü

y = c ₁ e ^r

^x + c ₂ e ^r

^x formundad¬r.

2. Durum: (4) denklemi katl¬ reel köke sahip olsun. r = r 1 = r 2 2 R olsun. Bu durumda (3) denklemini genel çözümü

y = (c ₁ + c ₂ x) e ^rx formundad¬r.

3. Durum: (4) denklemi e¸ slenik kompleks köke sahip olsun. r _1;2 = i olsun. Bu durumda (3) denklemini genel çözümü

y = e ^x (c 1 cos x + c 2 sin x)

1

formundad¬r.

Örnek 1. y ⁰⁰ 2y ⁰ 3y = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bu- lunuz.

Çözüm. Bu denkleme ili¸ skin karakteristik denklem r ² 2r 3 = 0

olup bu denklemin kökleri r 1 = 3; r 2 = 1 reel farkl¬ olup verilen denklemin genel çözümü

y = c 1 e ^3x + c 2 e ^x dir.

Örnek 2. y ⁰⁰ 6y ⁰ + 9y = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bu- lunuz.

Çözüm. Bu denkleme ili¸ skin karakteristik denklem r ² 6r + 9 = 0

olup bu denklemin kökleri r ₁ = r ₂ = 3 reel katl¬ olup verilen denklemin genel çözümü

y = (c 1 + c 2 x) e ^3x dir.

Örnek 3. y ⁽⁴⁾ + y ⁰⁰⁰ + y ⁰⁰ = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Bu denkleme ili¸ skin karakteristik denklem r ⁴ + r ³ + r ² = r ² r ² + r + 1 = 0

olup bu denklemin kökleri r 1 = r 2 = 0; r 3;4 = 1 i p 3

2 olup verilen denklemin genel çözümü

y = c 1 + c 2 x + e x

2 c 3 cos p 3

2 x + c 4 sin p 3

2 x

!

dir.

Örnek 4. y ⁽⁵⁾ 12y ⁰⁰⁰ + 16y ⁰⁰ = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

2

Çözüm. Bu denkleme ili¸ skin karakteristik denklem r ⁵ 12r ³ + 16r ² = r ² (r 2) ² (r + 4) = 0

olup bu denklemin kökleri r _1;2 = 0; r _3;4 = 2; r ₅ = 4 olup verilen denklemin genel çözümü

y = c ₁ + c ₂ x + (c ₃ + c ₄ x) e ^2x + c ₅ e ^4x dir.

3