3.6 Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar¬n Türevi

3.6 Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar¬n Türevi

3.6.1 Logaritma Fonksiyonunun Türevi

f (x) = log _a x fonksiyonunu göz önüne alal¬m. x > 0 olmak üzere

h lim !0

f (x + h) f (x)

h = lim

h !0

log _a (x + h) log _a (x) h

= lim

h !0

log _a ( ^x+h _x ) h

= lim

h !0

log _a (1 + ^h _x ) h

= lim

h !0 log _a (1 + h x )

= log _a e

= 1

x log _a e

= 1

x ln a

oldu¼ gundan f ⁰ (x) = _{x ln a} ¹ olur. Özel olarak g(x) = ln x do¼ gal logaritma fonksiy- onu için g ⁰ (x) = _x ¹ oldu¼ gu aç¬kt¬r.

Örnek 135 Zincir kural¬n¬ da dikkate alarak a¸ sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n türevini hesaplay¬n¬z.

1. f (x) = ln(x ³ + 1) 2. f (x) = ln p

x ² + 1 3. f (x) = x ln(sin x) 4. f (x) = ln

q 1+cos x 1 cos x

5. f (x) = ln jxj

3.6.2 Üstel Fonksiyonun Türevi

f (x) = a ^x üstel fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Bilindi¼ gi gibi, bu fonksiyon f ¹ (x) = log _a x fonksiyonunun ters fonksiyonudur. Böylce ters fonksiyonun türevi yard¬m¬yla

f ⁰ (x) = 1

(f ¹ ) ⁰ (f (x)) = 1

1 f (x) ln a

= f (x) ln a = a ^x ln a

bulunur. Yine özel olarak g(x) = e ^x do¼ gal üstel fonksiyonu için g ⁰ (x) = e ^x oldu¼ gu aç¬kt¬r.

41

Örnek 136 Zincir kural¬n¬ da dikkate alarak a¸ sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n türevini hesaplay¬n¬z.

1. f (x) = 2 ^{cos 5x}

2. f (x) = ln(e ^x + xe ^x ) 3. f (x) = e ^3x ln x x 4. f (x) = e ^{arctan x}

3.6.3 Logaritmik Türev Alma

f (x) = [g(x)] ^h(x) ¸ seklinde bir ifadenin türevini almak için önce her iki yan¬n logaritmas¬al¬n¬p

ln f (x) = h(x) ln g(x) ifadesi bulunur. Her iki yan¬n x göre türevi al¬n¬rsa

f ⁰ (x)

f (x) = h ⁰ (x) ln g(x) + h(x) g ⁰ (x) g(x) den

f ⁰ (x) = f (x) h ⁰ (x) ln g(x) + h(x) g ⁰ (x) g(x) bulunur.

Örnek 137 A¸ sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n türevini hesaplay¬n¬z.

1. f (x) = (1 + x ² ) ^x 2. f (x) = x ^{sin x} 3. f (x) = (ln x) ^{ln x} 4. f (x) = x ^{ln x}

3.7 Hiperbolik Fonksiyonlar ve Terslerinin Türevi

Bilindi¼ gi gibi hiperbolik fonksiyonlar sinh x = e ^x e ^x

2 ; cosh x = tanh x = sinh x

cosh x , coth x = cosh x sin x sec hx = 1

cosh x , csc hx = 1 sinh x

¸ seklinde tan¬ml¬d¬r. Dolay¬s¬yla

42

f (x) = sinh x fonksiyonunu türevi f ⁰ (x) = d

dx sinh x

= d

dx ( e ^x e ^x

2 )

= e ^x + e ^x 2

= cosh x olur. Benzer ¸ sekilde

d

dx cosh x = sinh x

oldu¼ gu görülebilir. Di¼ ger hiperbolik fonksiyonlar¬ türevleri ise bölümün türevi yard¬m¬yla hesaplanabilir.

Örnek 138 A¸ sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n türevini hesaplay¬n¬z.

1. f (x) = cosh(ln x) 2. f (x) = ln(tanh 3x)

Ters hiperbolik fonksiyonlar¬türevi, ters fonksiyonun türevi yarm¬yla bulun- abilece¼ gi gibi, bu fonksiyonlar¬n logaritma fonksiyonu cinsinden yaz¬lan e¸ sitlik- leri yard¬m¬yla da türevleri bulunabilir. Burada sadece sinh ve cosh fonksiyon- lar¬n¬n terslerinin türevini verece¼ giz. Gerekli olmas¬halinde di¼ gerlerinin türev- leri benzer yolla bulunabilir.

f (x) = arcsin hx = ln(x + p

x ² + 1) oldu¼ gundan

f ⁰ (x) = 1 + p ^x x

+1

x + p

x ² + 1 = 1 p x ² + 1

olur. Yine g(x) = arccos hx = ln(x + p

x ² 1) oldu¼ gundan x > 1 için

g ⁰ (x) = 1 + p ^x x

1

x + p

x ² 1 = 1

p x ² 1 olur.

3.8 Kapal¬Fonksiyonlar¬n Türevi

¸

Simdiye kadar y = f (x) biçiminde belirtilen fonksiyonlar¬n türevi için baz¬

yöntemler geli¸ stirdik. Bu kesimde y ba¼ g¬ml¬ de¼ gi¸ skeninin aç¬kça x ba¼ g¬ms¬z de¼ gi¸ skeninin bir fonksiyonu olarak belirtilmedi¼ gi durumlarda türevin nas¬l hesa- planaca¼ g¬n¬ ara¸ st¬raca¼ g¬z. Bu tür fonksiyonlar genel olarak F (x; y) = 0 biçi- minde gösterilir ve kapal¬ fonksiyonlar olarak adland¬r¬l¬r. Böyle bir fonksiy- onun türevini bulmak için y yi x in bir fonksiyonu olarak dü¸ sünerek F (x; y) = 0 ifadesinin her iki yan¬n¬n x e göre türevi al¬n¬r ve y ⁰ ifadesi çekilir.

43

Örnek 139 5y ² + sin y = x ² e¸ sitli¼ginden _dx ^dy ifadesini hesaplay¬n¬z.

Örnek 140 7y ⁴ + x ³ y + x = 4 e¼grisinin gra…¼gine (4; 0) noktas¬nda te¼get olan do¼grunun denklemini bulunuz.

Örnek 141 A¸ sa¼g¬daki ba¼g¬nt¬lardan y ⁰ türevini hesaplay¬n¬z.

1. x ² + y ² = 4 2. x

+ y

= 8 3. x = y + tan y 4. e ^y ln xy = 1

Örnek 142 y ² = x ³ (2 x) e¼grisine (1; 1) noktas¬nda te¼get olan do¼grunun den- klemini bulunuz.

Örnek 143 x

+ y

= 4 e¼grisine ( 3 p

3; 1) noktas¬nda te¼get olan do¼grunun denklemini bulunuz.

44