2.4.3 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

2.4.3 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksiyonlar peryodik olduklar¬n- dan görüntü kümesindeki her de¼ geri sonsuz noktada al¬rlar. Böylece trigonometrik fonksiyonlar birebir de¼ gildirler ve dolay¬s¬yla ters fonksiyona sahip olmazlar. An- cak trigonometrik fonksiyonlar birebir olacak ¸ sekilde belli bir aral¬¼ ga k¬s¬tlan¬rsa ters fonksyonlar¬ndan bahsedilebilir. Önce sinüs fonksiyonu ile ba¸ slayal¬m.

f (x) = sin x fonksiyonu [ ₂ ; ₂ ] aral¬¼ g¬na k¬s¬tlan¬r ve de¼ ger kümesi olarak [ 1; 1] al¬n¬rsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arksinüs fonksiyonu denir ve arcsin veya sin ¹ ile gösterilir. f ve f ¹ fonksiyon- lar¬n¬n gra…kleri y = x do¼ grusuna göre simetrik oldu¼ gundan bu ters fonksiyonun gra…¼ gide çizilebilir. Ters foksiyonun tan¬m kümesi [ 1; 1] aral¬¼ g¬ ve görüntü kümesi ise [ ₂ ; ₂ ] aral¬¼ g¬d¬r.

-2 2

-1 1

x y

-2 2

-2 2

x y

f (x) = sin x, ₂ x ₂ f ¹ (x) = sin ¹ (x), 1 x 1 Bu aç¬klamalara göre y = arcsin x ifadesinde x 2 [ 1; 1] ve y 2 [ ₂ ; ₂ ] ol- mal¬d¬r.

Örnek 41 arcsin ¹ ₂ ve sin ¹ ( p ¹

2 ) ifadelerini hesaplay¬n¬z.

Örnek 42 cos(arcsin x) ifadesini sadele¸ stiriniz.

f (x) = cos x fonksiyonu [0; ] aral¬¼ g¬na k¬s¬tlan¬r ve de¼ ger kümesi olarak [ 1; 1] al¬n¬rsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkos- inüs fonksiyonu denir ve arccos veya cos ¹ ile gösterilir. Ters foksiyonun tan¬m kümesi [ 1; 1] aral¬¼ g¬ve görüntü kümesi ise [0; ] aral¬¼ g¬d¬r.

-2 2 4

-1 1

x y

-2 2

x y

f (x) = cos x, 0 x f ¹ (x) = cos ¹ (x), 1 x 1 Bu aç¬klamalara göre y = arccos x ifadesinde x 2 [ 1; 1] ve y 2 [0; ] olmal¬d¬r.

Örnek 43 arccos 1 ve cos ¹ ( ^p ₂ ³ ) ifadelerini hesaplay¬n¬z.

Örnek 44 arccos x+arccos t = arccos(xt p

(1 x ² )(1 t ² )) e¸ sitli¼ginin do¼gru- lu¼gunu gösteriniz.

f (x) = tan x fonksiyonu ( ₂ ; ₂ ) aral¬¼ g¬na k¬s¬tlan¬rsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arktanjant fonksiyonu denir ve arctan veya tan ¹ ile gösterilir. Ters foksiyonun tan¬m kümesi R ve görüntü kümesi ise ( ₂ ; ₂ ) aral¬¼ g¬d¬r.

-2 2 4

-1 1

x y

-2 2

x y

f (x) = tan x, ₂ < x < ₂ f ¹ (x) = tan ¹ (x), x 2 R Bu aç¬klamalara göre y = arctan x ifadesinde x 2 R ve y 2 ( 2 ; ₂ ) olmal¬d¬r.

Örnek 45 arctan( p

3) ve tan ¹ 1 ifadelerini hesaplay¬n¬z.

Örnek 46 sec ² (arctan x) ifadesini sadele¸ stiriniz.

Örnek 47 tan(cos ¹ x) = ^{p 1 x} _x

ve sin(arctan x) = p ^x

1+x

e¸ sitliklerinin do¼gru- lu¼gunu gösteriniz.

f (x) = cot x fonksiyonu (0; ) aral¬¼ g¬na k¬s¬tlan¬rsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkotanjant fonksiyonu denir ve arccot veya cot ¹ ile gösterilir. Ters foksiyonun tan¬m kümesi R ve görüntü kümesi ise (0; ) aral¬¼ g¬d¬r.

-2 2 4

-1 1

x y

-2 2

x y

f (x) = cot x, 0 < x < f ¹ (x) = cot ¹ (x), x 2 R Bu aç¬klamalara göre y = arccot x ifadesinde x 2 R ve y 2 (0; ) olmal¬d¬r.

Örnek 48 arccot p

3 ve cot ¹ ( p ¹

3 ) ifadelerini hesaplay¬n¬z.

Benzer dü¸ süncelerle f (x) = sec x fonksiyonu [0; ]nf 2 g kümesine k¬s¬tlan¬r

ve de¼ ger kümesi olarak ( 1; 1] [ [1; 1) al¬n¬rsa birebir örten olur. Bunun

ters fonksiyonuna arcsekant fonksiyonu denir ve arcsec veya sec ¹ ile gösterilir.

Örnek 49 0 < x < 1 için sin ¹ x + cos ¹ x = ₂ oldu¼gunu gösteriniz.

Örnek 50 f (x) = arcsin x ve g(x) = arctan x fonksiyonlar¬n¬n tek fonksiyon olduklar¬n¬ gösteriniz.

Örnek 51 cos ¹ ( x) = cos ¹ x oldu¼gunu gösteriniz.

Örnek 52 f (x) = arctan(sin x) fonksiyonu peryodik midir?

Örnek 53 A¸ sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n tan¬m kümelerini bulunuz.

1. f (x) = arcsin ^x ₂ 2. g(x) = arctan ^{x 1} _x 3. h(x) = arccot p

x 1

Örnek 54 arcsin p ²

29 + arcsin p ⁵

29 ifadesinin de¼gerini bulunuz.

Örnek 55 tan(arcsin ¹ ₄ ) ifadesinin de¼gerini hesaplay¬n¬z.

2.5 Üstel, Logaritmik ve Hiperbolik Fonksiyonlar

2.5.1 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Matematik ve mühendislikte en s¬k kullan¬lan fonksiyon çe¸ sitlerinden ikisi üstel ve logaritmik fonksiyonlard¬r. Bu kesimde bu fonksiyonlar¬ tan¬tacak ve baz¬

temel özelliklerini inceleyece¼ giz. Önceki kesimlerde f (x) = x ² gibi (yani taban¬

dei¸ sken x, kuvveti sabit 2 say¬s¬olan) fonksiyonlar¬ele ald¬k. Burada ise taban¬

2 gibi sabit bir say¬ ve üssü x gibi de¼ gi¸ sken olan g(x) = 2 ^x gibi fonksiyonlar¬

göz önüne alaca¼ g¬z. Bilindi¼ gi gibi f ye bir kuvvet fonksiyonu denir. g ye ise bir üstel fonksiyon ad¬n¬verece¼ giz. Bu iki fonksiyon birbiri ile kar¬¸ st¬r¬lmamal¬d¬r.

Tan¬m 56 a pozitif say¬s¬1 den farkl¬bir say¬olmak üzere f (x) = a ^x biçiminde tan¬mlanan fonksiyona bir üstel fonksiyon ad¬ verilir.

Örne¼ gin y = 2 ^x , y = 3 ^x , y = 4

birer üstel fonksiyondurlar ancak y = ( 3) ^x üstel foksiyon de¼ gildir.

Üstel fonksiyonlar¬n tan¬m kümesi R dir. Her x reel say¬s¬için a ^x > 0 ola- ca¼ g¬ndan üstel fonksiyonlar¬n görüntü kümesi ise (0; 1) aral¬¼ g¬d¬r. Dolay¬s¬yla üstel fonksiyonlar¬n gra…¼ gi daima x ekseninin üstündedir.

f (x) = a ^x üstel fonksiyonu verilsin. E¼ ger a > 1 ise x ₁ < x ₂ için a ^x

< a ^x

olaca¼ g¬ndan f artan olur. E¼ ger 0 < a < 1 ise x 1 < x 2 için a ^x

> a ^x

olaca¼ g¬ndan

f azalan olur. Bu fonksiyonun gra…¼ gi a n¬n durumlar¬na göre a¸ sa¼ g¬da verilmi¸ stir.

-2 -1 1 2 -1

1 2 3

x y

-2 -1 1 2

-1 1 2 3

x y

a > 1 için y = a ^x 0 < a < 1 için y = a ^x

Bütün üstel fonksiyonlar y eksenini (0; 1) noktas¬nda keser. x ekseni ise bu fonksiyonlar için asimptottur. Ayr¬ca üstel fonksiyonlar¬n birebir olduklar¬n¬

görmek de kolayd¬r.

a > 1 için y = a ^x üstel fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri benzer ¸ sekle sahip olduklar¬

ve hatta (0; 1) noktas¬ndan geçtikleri halde aralar¬nda ince farkl¬l¬klar vard¬r. x artarken a büyüdükçe gra…¼ gin e¼ gimi de artar. A¸ sa¼ g¬daki ¸ sekilde y = 2 ^x , y = 3 ^x , y = 5 ^x ve y = (1:2) ^x fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri s¬ras¬ ile sar¬, k¬rm¬z¬, mavi ve ye¸ sil renklerde çizilmi¸ stir.

-2 -1 1 2

-1 1 2 3

x y

Örnek 57 y = 3 2 ^x fonksiyonunu gra…¼gini çiziniz, tan¬m ve görüntü kümesini bulunuz.

Örnek 58 f (x) = 2 ^x …nksiyonu ile g(x) = x ² fonksiyonlar¬n¬n gra…klerini ayn¬ koordinar siteminde çizerek kar¸ s¬la¸ st¬r¬n¬z. x in büyük de¼gerleri için hangi fonksiyon daha h¬zl¬ büyümektedir.

-2 0 2 4 6

10 20 30 40

x

y

say¬ olan e = 2:71828 say¬s¬ say¬s¬ndan çok daha önemli bir rol oynar.

Klasik olarak e say¬s¬, x pozitif yönde s¬n¬rs¬z artarken f (x) = (1 + ¹ _x ) ^x fonksiy- onunun yakla¸ st¬¼ g¬ say¬ olarak tan¬mlanmaktad¬r. ¸ Simdi e say¬s¬ için farkl¬ bir bak¬¸ s aç¬s¬inceleyelim. Bilindi¼ gi gibi tüm üstel fonksiyonlar y eksenini (0; 1) nok- tas¬nda kesmektedirler. Ancak y = a ^x üstel fonksiyonunun y eksenini kesti¼ gi bu noktadaki te¼ getlerinin e¼ gimleri farkl¬l¬k göstermektedir. Örne¼ gin y = 2 ^x in (0; 1) noktas¬ndaki te¼ getinin e¼ gimi m 0:7 ve y = 3 ^x in (0; 1) noktas¬ndaki te¼ getinin e¼ gimi ise m 1:1 dir. Kalkülüsteki pek çok formülün y = a ^x in (0; 1) nok- tas¬ndaki te¼ getinin e¼ giminin tam 1 olacak ¸ sekilde seçildi¼ ginde çok basit olaca¼ g¬

görülmektedir. Bu özelli¼ ge uygun bir say¬vard¬r ve bu e har… ile gösterilmekte- dir. Buradan e say¬s¬n¬n 2 ile 3 aras¬nda oldu¼ gu anla¸ s¬lmaktad¬r. Bu say¬n¬n ilk be¸ s basama¼ g¬yukar¬da verilmi¸ stir.

e taban¬nda verilen üstel fonksiyona do¼ gal üstel fonksiyon denilmektedir.

f (x) = e ^x do¼ gal üstel fonksiyonu bazen f (x) = exp(x) biçiminde de göster- ilmektedir.

Örnek 59 f (x) = e ^x in gra…¼ginden yararlanarak g(x) = ¹ ₂ e ^x 1; h(x) = 3 e ^x fonksiyonlar¬n¬n gra…klerini çiziniz, tan¬m ve görüntü kümelerini bulunuz.

Tan¬m 60 f : R ! (0; 1) f(x) = a ^x üstel fonksüyonunun birebir ve örten oldu¼gu bilinmektedir. Burada a > 0 ve a 6= 1 olmas¬ gerekti¼gine dikkat edilme- lidir. Bu fonksiyon birebir ve örten oldu¼gundan f ¹ : (0; 1) ! R tersi vard¬r.

Bu ters fonsiyona a taban¬na göre logaritma fonksiyonu ad¬ verilir ve log _a ile gösterilir. Buna göre log _a x ifadesini tan¬ml¬ olmas¬ için a > 0, a 6= 1 ve x > 0 olmas¬ gerekir.

Ters fonksiyon için

y = f ¹ (x) , x = f(y) denkli¼ gini kullan¬rsak

y = log _a x , x = a ^y (5)

denkli¼ gini elde ederiz. Örne¼ gin log ₂ 32 = y , 32 = 2 ^y ifadesinden y = 5 bulunur. Yani log ₂ 32 = 5 olur. Bu dü¸ sünce ile baz¬say¬lar¬n logaritmas¬hesa- planabilir.

f ve f ¹ fonksiyonlar¬ ile ilgili f ¹ (f (x)) = x (burada x tan¬m kümesine ait) ve f (f ¹ (x)) = x (burada x görüntü kümesine ait) e¸ sitlikleri göz önüne al¬nd¬¼ g¬nda

log _a (a ^x ) = x; x 2 R ve a ^log

^x = x, x > 0 e¸ sitliklerinin varl¬¼ g¬elde edilebilir.

f ve f ¹ fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri y = x do¼ grusuna göre simetrik olduk- lar¬ndan y = log _a x fonksiyonunun gra…¼ gi a n¬n durumlar¬na göre kolayca çizilebilir.

Tüm logaritma fonksiyonlar¬n¬n gra…klerinin (1; 0) noktas¬ndan geçti¼ gine dikkat

ediniz.

-2 2 4

-2 2

x y

-2 2 4

-2 2 4

x y

a > 1 için y = log _a x 0 < a < 1 için y = log _a x

Üstel fonksiyonun ilgili özellikleri ve (5) denkli¼ gi kullan¬larak logaritma fonksiy- onu ile ilgili a¸ sa¼ g¬daki özellikleri elde edebiliriz.

1. log _a a = 1 2. log _a 1 = 0

3. log _a (xy) = log _a x + log _a y 4. log _a ( ^x _y ) = log _a x log _a y 5. log _a (x ^r ) = r log _a x (r 2 R)

Örnek 61 log ₂ 80 log ₂ 5 ifadesinin de¼gerini bulunuz.

Üstel fonksiyonda oldu¼ gu gibi e say¬s¬taban¬nda verilen logaritma fonksiyonu ayr¬ bir öneme sahiptir. e taban¬na göre verilen logaritma fonksiyonuna do¼ gal logaritma denir ve özel bir gösterimi vard¬r. log _e x = ln x ile gösterilir. Buradan

y = ln x , x = e ^y

denkli¼ ginin varl¬¼ g¬ ile özel olarak ln e = 1 oldu¼ gu görülmektedir. 10 taban¬nda yaz¬lan logaritma için k¬casa log ₁₀ yerine sadece log yaz¬lacakt¬r.

Örnek 62 e ^{5 3x} = 10 denklemini çözünüz.

Örnek 63 y = ln x fonksiyonunun gra…¼ginden yararlanarak y = ln jxj, y = ln( ¹ _x ), y = ln(x 2) 1 fonksiyonlar¬n¬n gra…klerini çiziniz.

Örnek 64 log _a b = ^log _log

^b

c

a e¸ sitli¼ginin varl¬¼g¬n¬ gösteriniz. Buradan log _a b = _{ln a} ^{ln b} e¸ sitli¼gi yaz¬labilir mi?

Örnek 65 A¸ sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n tan¬m kümelerini bulunuz.

3. f (x) = ln( p

x 4 + p 6 x) 4. f (x) = arcsin(ln x)

5. f (x) = log(1 log(x ² 5x + 16)) 6. f (x) = p

ln(x 2) Örnek 66 f (x) = ln(x + p

x ² + 1) fonksiyonunun tek fonksiyon oldu¼gunu gös- teriniz.

Örnek 67 A¸ sa¼g¬daki fonksiyonlar¬n tersi için bir formül bulunuz.

1. y = ln(x + 3) 2. y = ^1+e _{1 e}

Örnek 68 f (x) = ln(4 x ² ) fonksiyonunun tan¬m ve görüntü kümesini bulunuz.

Örnek 69 A¸ sa¼g¬daki denklem ve e¸ sitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

1. ln(ln x) = 1 2. e ^2x+3 7 = 0 3. ln x ln(x 1) = 1 4. ln x > 1

5. e ^{2 3x} > 4

Örnek 70 f (x) = ln( ^{1 x} _1+x ) fonksiyonunun tan¬m kümesini bulunuz. x ve y tan¬m kümesine ait iken f ( _1+xy ^x+y ) = f (x) + f (y) e¸ sitli¼ginin sa¼gland¬¼g¬n¬ gös- teriniz.

2.5.2 Hiperbolik Fonksiyonlar ve Tersleri

Kalkülüs ve uygulamal¬matematikte e ^x ve e ^x fonksiyonlar¬n¬n baz¬i¸ slemlerle bir araya getirilmesinden olu¸ san fonksiyonlara çok s¬k rastlan¬lmaktad¬r. Bun- lar¬n en önemlileri hiperbolik fonksiyonlard¬r. Temel hiperbolik fonksiyonlar y = e ^x do¼ gal üstel fonksiyonunun tek ve çift parçalar¬olarak tan¬mlanmaktad¬r.

Bilindi¼ gi gibi, simetrik bir küme üzerinde tan¬ml¬her f fonksiyonu için f (x) = f (x) + f ( x)

| {z 2 }

+ f (x) f ( x)

| {z 2 }

Çift Parça Tek Parça

e¸ sitli¼ gi yaz¬labildi¼ ginden, böyle bir fonksiyon daima biri tek biri çift olan iki fonksiyonun toplam¬¸ seklinde yaz¬labilir. Buradan hareketle f (x) = e ^x fonksiy- onunun tek parças¬olan g(x) = e ^x e ^x

2 fonksiyonuna hiperbolik sinüs fonksiy- onu denir ve sinh x ile gösterilir. Yine f (x) = e ^x fonksiyonunun çift parças¬olan h(x) = e ^x + e ^x

2 fonksiyonuna hiperbolik kosinüs fonksiyonu denir ve cosh x ile gösterilir. Yani

sinh x = e ^x e ^x

2 ve cosh x = e ^x + e ^x

2 (6)

olur. Buna göre y = sinh x fonksiyonunun tan¬m ve görüntü kümeleri R dir.

y = cosh x fonksiyonunun ise tan¬m kümesi R, görüntü kümesi [1; 1) aral¬¼ g¬d¬r.

(6) e¸ sitliklerinden sinh 0 = 0 ve cosh 0 = 1 oldu¼ gu görülebilir. Bu fonksiyonlar¬n gra…kleri a¸ sa¼ g¬da çizilmi¸ stir.

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

x y

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

x y

g(x) = sinh x h(x) = cosh x

Trigonometrik fonksiyonlarda oldu¼ gu gibi sinh x ve cosh x e ba¼ gl¬olarak yeni hiperbolik fonksiyonlar tan¬mlanm¬¸ st¬r. Buna göre

tanh x = sinh x

cosh x = e ^x e ^x

e ^x + e ^x (Tan¬m kümesi R, görüntü kümesi ( 1; 1)) coth x = cosh x

sinh x = e ^x + e ^x

e ^x e ^x (Tan¬m kümesi Rnf0g, görüntü kümesi Rn[ 1; 1]) sec hx = 1

cosh x = 2

e ^x + e ^x (Tan¬m kümesi R, görüntü kümesi (0; 1]) csc hx = 1

sinh x = 2

e ^x e ^x (Tan¬m kümesi Rnf0g, görüntü kümesi Rnf0g)

¸ seklinde tan¬mlan¬r. Hiperbolik fonksiyonlar periyodik olmamalar¬na ra¼ gmen

trigonometrik fonksiyonlarda oldu¼ gu gibi pek çok özde¸ sli¼ ge sahiptirler. y =

sinh x in tek fonksiyon, y = cosh x in çift fonksiyon olduklar¬n¬n göz önüne

al¬nmas¬ve yukar¬daki e¸ sitliklerin kullan¬lmas¬yla hiperbolik fonksiyonlarla ilgili

özde¸ silikleri elde edebiliriz. Örne¼ gin

olur. Yine

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 1 tanh ² x = sec h ² x

cosh 2x = cosh ² x + sinh ² x sinh 2x = 2 sinh x cosh x e¸ sitlikleri ve daha fazlas¬elde edilebilir.

y = sinh x fonksiyonu R den R ye birebir ve örten bir fonksiyon oldu¼ gundan ters fonksiyonu vard¬r. Bu ters fonksiyon arcsin h veya sinh ¹ ile gösterilir. y = cosh x fonksiyonu R üzerinde birebir de¼ gildir. Ancak [0; 1) aral¬¼ g¬na k¬s¬tlan¬r ve de¼ ger kümesi olarak [1; 1) al¬n¬rsa birebir örten olur. Bunun ters fonksiyonu ise arccos h veya cosh ¹ ile gösterilir. Di¼ ger hiperbolik fonksiyonlar¬nda uygun aral¬klara k¬s¬tlanarak terslerinden bahsedilebilir.

y = sinh ¹ x ve y = cosh ¹ x fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri a¸ sa¼ g¬da verilmi¸ stir.

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

x y

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

x y

y = sinh ¹ x y = cosh ¹ x

Hiperbolik fonksiyonlar do¼ gal üstel fonksiyonlar cinsinden yaz¬ld¬¼ g¬ndan ters hiperbolik fonksiyonlarda do¼ gal logaritma fonksiyonu cinsinden yaz¬labilir.

f (x) = e ^x ! f ¹ (x) = ln x

# #

sinh x = ^e

₂ ^e

! sinh ¹ x =?

Örne¼ gin y = sinh ¹ x ifadesi x = sinh y ye denk oldu¼ gundan x = ^e

₂ ^e

veya e ^2y 2xe ^y 1 = 0 yaz¬labilir. Buradan e ^y = x + p

x ² + 1 (e ^y > 0 ve

x p

x ² + 1 < 0 oldu¼ gundan e ^y 6= x p

x ² + 1 oldu¼ gu göz önüne al¬nmal¬d¬r.) bulunur. Böylece y = ln(x + p

x ² + 1) elde edilir. Yani sinh ¹ x = ln(x + p

x ² + 1), x 2 R olur. Benzer dü¸ sünce ile

cosh ¹ x = ln(x + p

x ² 1), x 1

oldu¼ gu gösterilebilir.