2.2.4 (t a) n¬n Riemann-Liouville Kesirli Türevi:

2.2.4 (t a) n¬n Riemann-Liouville Kesirli Türevi:

¸

Simdi, IR olmak üzere

f (t) = (t a)

kuvvet fonksiyonunun Riemann-Liouville kesirli türevi

a D _t ^p ((t a) ) = (1 + )

(1 + p) (t a) ^p dir.

2.2.5 Tamsay¬Basamaktan Türevlerle Birle¸ stirilmesi

Birçok uygulama probleminde Riemann-Liouville kesirli türevinin tam- say¬basamaktan türevlerle birle¸ stirilmesi görülmektedir.

¸

Simdi p reel basamaktan Riemann-Liouville kesirli türevinin n. basamak- tan türevini ele alal¬m. Riemann-Liouville türevinin tan¬m¬n¬kullanarak

d ⁿ

dt ⁿ ( _a D ^k _t f (t)) = 1 ( )

d ^n+k dt ^n+k

Z t

a

(t ) ¹ f ( )d

= _a D ^n+k _t f (t) (0 < 1) ve p = k al¬rsak

d ⁿ

dt ⁿ ( _a D _t ^p f (t)) = _a D _t ^n+p f (t) elde ederiz.

Ayr¬ca

a D _t ⁿ f ⁽ⁿ⁾ (t) = 1 (n 1)!

Z t

a

(t ) ^{n 1} f ⁽ⁿ⁾ ( )d

= f (t) X n 1 j=0

f ^(j) (a)(t a) ^j (j + 1) ve

a D ^p _t g(t) = _a D _t ^p+n ( _a D _t ⁿ g(t)) d¬r.

a D ^p _t ((t a) ), a D _t ⁿ f ⁽ⁿ⁾ (t) ve a D ^p _t g(t) = _a D _t ^p+n ( _a D _t ⁿ g(t)) ifadelerini kullan¬rsak

a D ^p _t ( d ⁿ f (t)

dt ⁿ ) == a D ^p+n _t f (t) X n 1

j=0

f ^(j) (a)(t a) ^{j p n}

(1 + j p n)

18

elde ederiz. Böylece, Grünwald-Letnikov türevinde oldu¼ gu gibi, Riemann- Liouville kesirli türev operatörü a D _t ^p de, _dt ^d

türev operatörüyle yer de¼ gi¸ stire- bilirdir. Yani

d ⁿ

dt ⁿ ( _a D _t ^p f (t)) = _a D ^p _t ( d ⁿ f (t)

dt ⁿ ) = _a D ^p+n _t f (t) dir ancak

f ^(k) (a) = 0 (k = 0; 1; 2; :::; n 1) ko¸ sulu sa¼ glamal¬d¬r.

2.2.6 Kesirli Türevlerle Birle¸ stirilmesi:

¸

Simdi iki kesirli Riemann-Liouville kesirli türev operatörünün birle¸ stir- ilmesini inceleyelim:

a D _t ^p (m 1 p < m)ve a D _t ^q (n 1 q < n)

kesirli Riemann-Liouville türev operatörlerinin ard¬¸ s¬k uygulamas¬n¬ele alal¬m:

a D _t ^p ( _a D ^q _t f (t)) = d ^m dt ^m

n

a D _t ^{(m p)} ( _a D ^p _t f (t)) o

= d ^m dt ^m

(

a D ^{p+q m} _t f (t) X n

j=1

a D _t ^{q j} f (t) _t=a (t a) ^{m p j} (1 + m p j)

)

a D ^p _t ( _a D _t ^q f (t)) = _a D ^p+q _t f (t) X n

j=1

a D _t ^{p j} f (t) _t=a (t a) ^{p j} (1 p j) elde ederiz.

p ve q nun yerleri de¼ gi¸ stirilirse

a D ^q _t ( _a D _t ^p f (t)) = _a D ^p+q _t f (t) X m

j=1

a D _t ^{p j} f (t) _t=a (t a) ^{q j} (1 q j) buluruz.

Yukar¬daki özde¸ slikler kar¸ s¬la¸ st¬rd¬¼ g¬m¬zda, p = q durumu d¬¸ s¬nda

a D _t ^p ve a D _t ^q nun de¼ gi¸ stirilmeyece¼ gini görürüz.

19