Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar, Bileşik Faiz

DERS 4

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar, Bileşik Faiz

4.1. Üstel Fonksiyonlar. b > 0 , b ≠ 1 olmak üzere f(x)=bx denklemi ile tanımlanan fonksiyona b tabanında üstel fonksiyon denir.

bx gösterimi ile ilgili olarak, okuyucunun

K K K, , , , , , , , , , , , , 2 3 2 3 2 1 2 1 5 2 1 5 2 1 0 − − − − − b b b b b b b b b b b

gibi ifadelerin, daha genel olarak her r kesirli sayısı için r

b ifadesinin anlamını lise bilgilerinden hatırladığını kabul ediyoruz. Dolayısıyla, üstel fonksiyon, her kesirli sayı için tanımlıdır. Diğer yandan, her reel sayının bir sonsuz ondalık gösterimi bulunduğu ve dolayısıyla her reel sayıya sonlu ondalık kesirlerle yani kesirli sayılarla yaklaşılabileceği hatırlanırsa, üstel fonksiyonun her reel sayı için tanımlı olduğu görülür. Böylece, üstel fonksiyonun tanım kümesi R dir. b üzerindeki varsayımımızdan, üstel fonksiyonun değer kümesi de (0 , ∝) aralığıdır.

Örnek 1. 2 tabanında ve 2 1

tabanında üstel fonksiyonları bir arada ele alalım.

1 2 1 2 0 0 _{⎟ =} ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= olduğu ve aşağıdaki hususlar kolayca gözlemlenebilir:

∞ → x için 2x →∞ ve x →∞ için 0 2 1 _→ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x . −∞ → x için 2x →0 ve x→−∞ için ⎟ →∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x 2 1 .

Bu gözlemlerden görülür ki y = 0 doğrusu her iki fonksiyon için yatay asimtottur ve fonksiyonların grafikleri aşağıdaki gibidir.

( )

x x f =2 x y (0,0) 1

( )

x x f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 x y (0,0) 1

Yukarıdaki örnekten de anlaşılabileceği üzere, b tabanında üstel fonksiyon, bazı ortak temel özellikleri yanında, b > 1 veya 0 < b < 1 oluşuna göre farklı özellikler ve grafiklere sahiptir.

Üstel fonksiyonun bazı özelliklerini aşağıda listeliyoruz. Bu özelliklerden bir kısmını lise bilgilerinizden hatırlayacaksınız.

• y-kesişimi (0 , 1) dir. • x-ekseni yatay asimtottur.

• b > 1 ise, x artarken bx

de artar; 0 < b < 1 ise, x artarken bx azalır. • bx

by = bx+y , • bx

= by⇔ x = y ; x ≠ 0 ise, ax = bx⇔ a = b.

Üstel fonksiyon içeren ifadelerle tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini çizerken ikinci derste gördüğümüz(2.5 e bakınız) elemanter dönüşümlerden yararlanabiliriz.

Örnek 2. _{( )=2}x−2

x

f nin grafiğini çizelim. Önce, aşağıdaki elemanter dönüşümü düşünelim:

) ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 x f x u y x u y= = x → = − = x− = Buradan görüyoruz ki _{= ( )=2}x−2 x f

y nin grafiği, y=2x in grafiğinin 2 birim sağa

kaydırılmasıyla elde edilir.

→ ). 0 için ise, 1 0 ; 0 için ise, 1 ( → ∞ → < < → −∞ → > y x b y x b

( )

( )

x _xx x x x xy y x y x y x b a b a b a ab b b b b b = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − _{, , ,}

( )

x = b , b > 0 f x x y (0,0) 1

( )

x = b . 0< b <1 f x x y (0,0) 1 x y = 2 x y (0,0) 1

( )

_{= 2}x−2 x f x y (0,0) 4 1 (2,1)

Aynı grafiğin 2 2 2 ₂ 2 2 ) ( 2 1 2 ) ( = → = = = − = x x x x u y x u y

elemanter dönüşümünden yararlanılarak x

y=2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde edilebileceğine dikkat ediniz.

Örnek 3. ( )=2x+1

x

f in grafiğini çizelim. Bu fonksiyonun grafiğinin y =2x in grafiğinin 1 birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edileceği açıktır.

→ 1 2 ) ( = x + x

f in grafiği elde edilirken, önceki grafiğin y-kesişiminin 1 birim yukarıya kaydırılarak 2 ye geldiğine ve yatay asimtot olan y = 0 doğrusunun da 1 birim yukarıya kayarak y = 1 doğrusuna dönüştüğüne dikkat ediniz.

Örnek 4. ( )₌₋2x−1₊1 x

f in grafiğini çizelim. Aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek 1 2 2 2 2 _{→ =} 1 _{→ =−} 1 _{→ =−} 1₊ = x x− x− x− y y y y

bu grafiği elde etmek için x

y =2 in grafiğini önce 1 birim sağa kaydırıp elde edilen grafiği x-ekseni etrafında yansıtmak ve sonra da elde edilen grafiği 1 birim yukarıya kaydırmanın yeterli olduğu görülür.

( )

_{= −}2x−1₊1 x f x y (0,0) (1,0) 1 x y = 2 x y (0,0) 1

( )

= 2x +1 x f x y (0,0) (1,3) 2

Uygulamalarda en çok karşımıza çıkan üstel fonksiyonlardan biri, tabanı e ile gösterilen bir sayı olan ve doğal üstel fonksiyon olarak adlandırılan fonksiyondur. e sayısının tanımını şöyle özetleyebiliriz. Her x > 1 reel sayısı için

3 1 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + < x x x

olduğu bilinmektedir. Ayrıca, x sınırsız olarak büyüdükçe,

x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +1 _{sayısının 2 ile 3}

arasında bir sayıya yaklaştığı da bilinmektedir. İşte x sınırsız olarak büyüyünce

x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +1 _in

yaklaştığı bu sayı yukarıda sözü edilen e sayısıdır. Daha önceki gösterimlerimizle

. 1 için e x x x x → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ →

e sayısı irrasyonel bir sayı olup ondalık açılımındaki ilk birkaç basamak şöyledir: e=2.718... e > 1 olduğundan doğal üstel fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

4.2 Uygulama : Faiz Hesapları. Sürekli bileşik faiz hesabında ve nüfus artışı ile ilgili hesaplarda e tabanında üstel fonksiyon doğal olarak ortaya çıkar. Belki bu nedenle bu fonksiyona doğal üstel fonksiyon denmektedir.

A birim para r faiz oranı ile, t yıl faizde bekletilirse elde edilecek faiz miktarı I = Art ,

yatırılan meblağın ulaştığı değer ya da birikimli değer de B = A + Art = A(1+rt)

formülü ile hesaplanır. Bu tür faiz hesabına basit faiz hesabı denir. Burada, yatırılan para A ya anapara, kapital veya sermaye denir. Faiz oranı r, ondalık kesir olarak ifade edilir.

( )

x e x f = x y (0,0) 1

Örnek 1. 1 000 YTL, %10 faiz oranı ile 3 yıl faizde kalırsa, ulaştığı değer B = 100(1+(0.10).3) =130

YTL olur.

Basit faiz hesabında anapara uzun yıllar faizde kalsa dahi her yıl elde edilen faiz ayrıca hesaplanıp anaparaya katılmaz; faiz dönem sonunda hesaplanır.

Her yıl, hatta daha kısa dönemlerde, elde edilen faiz anaparaya katılarak hesaplanan faiz türleri de vardır. Yani belirlenen dönem sonunda kazanılan faiz anaparaya ilave edilir ve o andan itibaren bu ilaveli miktar anapara olarak işlem görür. Bu tür faiz hesabına bileşik faiz denir.

Bileşik faiz hesabında bir yıl, belli sayıda, m sayıda diyelim, eşit döneme bölünür; birinci dönem sonunda birikimli değer hesaplanır :

A(1 m

1 + r)

ve ikinci dönemin sonunda birikimli değer hesaplanırken anapara olarak bu değer kullanılır:

A(1 m 1 + r)(1 m 1 + r) = A(1 m 1 + r)2.

Bu işlem sürdürülerek, bir yıl sonundaki birikimli değer

A (1 m 1 + r)m,

2 yıl sonundaki birikimli değer

m m r A m m r m m r A 2 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ve t yıl sonundaki birikimli değer

tm m r A B ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1

Örnek 2. 1 000 YTL, %10 faiz oranı ile her ay birleştirilerek 10 yıl faizde kalırsa, ulaştığı değer ne olur? Her ay birleştirildiğinden, m = 12 . Ayrıca, A = 1000 ve t = 10. Böylece

YTL olur.

Örnek 3. 1 000 YTL, %10 faiz oranı ile her altı ayda bir birleştirilerek 10 yıl faizde kalırsa, ulaştığı değer ne olur? Her altı ayda bir birleştirildiğinden, m = 2 . Ayrıca, A = 1000 ve t = 10. Böylece

YTL olur.

Bileşik faiz formülünde i

mr = oranına dönemsel faiz oranı denir. Dönemsel faiz oranı ve faiz süresi boyunca toplam dönem sayısı olan tm = n cinsinden yazılırsa, bileşik faiz formülü

( )

n

i A

B= 1+

biçiminde ifade edilebilir.

Örnek 4. 1 000 YTL, %10 faiz oranı ile her üç ayda bir birleştirilerek 10 yıl faizde kalırsa ulaştığı değer ne olur?

Her üç ayda bir birleştirildiğinden, m = 4, i = (0.1)/4 = 0.025. Ayrıca, n= mt = 4.10 = 40. Böylece,

YTL olur.

Bileşik faiz formülüne tekrar bakalım :

tm m r A B ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 .

Burada her an birleştirme yapıldığı düşünülürse, sürekli bileşik faiz dediğimiz faiz türü elde edilir. Bu durumda m → ∝ olacaktır. m → ∝ için B nin limit değerini belirlemeğe çalışalım. 04 . 2707 12 1 . 0 1 1000 12 . 10 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = B

(

1 0.025

)

2685.06 1000 ₊ 40 ₌ = B 54 . 1180 2 1 . 0 1 1000 2 . 10 ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = B

m → ∝ için →∞ r m olduğu; böylece rt e rt r m r m r m tm m r → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +1 1 ve buradan m → ∝ için rt e A B→

olduğu görülür ve sürekli bileşik faiz formülü elde edilir:

B= Aert.

Sürekli bileşik faiz, faizde bulunan anaparanın faizi ile her an (anlık) birleştirildiği faiz türüdür.

Örnek 5. 1 000 YTL, sürekli bileşik faiz ve %10 faiz oranı ile 10 yıl faizde kalırsa ulaştığı değer ne olur?

YTL olur.

Faizle ilgili formüllerimizi bir arada görelim: 2718 10 ) 1 . 0 ( 1000 ⋅ = = e B

(

rt

)

A

B

=

1

+

( )

n i A tm m r A B ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 1 Bileşik Faiz

rt

e

A

B

=

Sürekli Bileşik Faiz

4.3. Logaritmik Fonksiyonlar. Üstel fonksiyonların tanımına veya grafiklerine baktığımız takdirde, tanım kümesinin tüm reel sayılar kümesi R, değer kümesinin de (0 , ∝) aralığı olduğunu ve her y ∈ (0,∝) reel sayısının bir ve yalnız bir x reel sayısının görüntüsü olduğu-nu görürüz. Başka bir deyimle, her y ∈ (0 , ∝) için y = bx

olan bir ve yalnız bir x ∈ R vardır.

Verilen bir y∈ (0 , ∝) için y = bx olan x ∈ R sayısına y nin b tabanında logaritması denir ve x=log_b y yazılır.

Böylece x

b y y b

x = log ⇔ = olduğunu görüyoruz. Son ifadede x ve y sembollerine yer değiştiriterek y bx x b y = log ⇔ = (1) elde edilir. x

y=log_b denklemi ile tanımlanan log fonksiyonuna b tabanında logaritma fonksiyonu _b denir. Bu fonksiyonun tanım kümesi (0 , ∝) aralığı, değer kümesi R dir.

b

log fonksiyonunun tanımını özetleyen (1) ifadesi, logaritmik ve üstel fonksiyonları birbirine bağlayan en temel bağıntıdır. Logaritmik ve üstel fonksiyonlarla ilgili hesaplarda çoğu zaman bu temel bağıntı kullanılır. Örneğin, bu bağıntıdan, b>0 ve b≠1olan her b için log_b1=0 olduğu görülür. Çünkü,

. 0 1 1 log ⇔ = ⇔ = = b y y _b y

Logaritmik fonksiyonun değerleri ile ilgili birkaç alıştırma yapalım.

Örnek 1. log₄16 sayısını belirleyelim. Bunun için, y =log₄16 alırsak, (1) bağıntısından

y

4

16= ve dolayısıyla, y=2 olduğunu görürüz. O halde, log₄16=2 dir. Benzer düşünce ile, aşağıdakileri kanıtlayabilirsiniz:

2 9 log 3 1 =− , log327= , 3 4 81 1 log₃ =− , 2 1 10 log₁₀₀ = .

Örnek 2. log_b25=2 olduğuna göre b sayısı kaçtır? Bu sorunun yanıtı için logaritma fonksiyonunun tanımını kullanalım ve (1) bağıntısından

2 25 2

25

log_b = ⇔ =b

Örnek 3.

2 1

log₃x = olan x sayısı nedir? Bu sorunun yanıtı da tanım kullanılarak kolayca bulunur: 3 3 2 1 log 2 1 3x= ⇔ x = = .

Logaritma fonksiyonunun tanımından çıkarılabilecek diğer önemli bir sonuç ta şudur: Eğer (u , v) noktası b tabanında logaritma fonksiyonunun grafiği üzerinde ise, (v , u) noktası da b tabanında üstel fonksiyonun grafiği üzerindedir; ve karşıt olarak, eğer (u , v) noktası b tabanında üstel fonksiyonun grafiği üzerinde ise, (v , u) noktası da b tabanında logaritma fonksiyonunun grafiği üzerindedir. Gerçekten, (u , v) noktasının b tabanında logaritma fonksiyonunun grafiği üzerinde bulunması demek v=log_bu denkleminin sağlanması demektir. (1) bağıntısına göre,

v

bu u b

v= log ⇔ =

olduğundan, bu durumda (v , u) noktası da b tabanında üstel fonksiyonun grafiği üzerinde bulunur. (1) bağıntısı çift yönlü olduğundan, karşıt önermenin doğruluğu da açıktır.

Bu gözlemin faydası şu ki, (u , v) ve (v , u) noktaları, yandaki şekilde görül- düğü üzere, y = x doğrusuna göre simetrik noktalardır. Dolayısıyla, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. b>1 olması durumunda üstel ve logaritmik fonksiyonların grafikleri aşağıda aynı düzlem üzerinde gösterilmiştir.

x y (0,0) (u , v) (v , u) x y (0,0) 1 1 1 , log > = x b y _b y = x 1 , > =b b y x

1

0< b < olması durumunda grafikler aşağıdaki gibidir.

Üstel fonksiyonun bazı grafik özellikleri logaritma fonksiyonunun grafiğine yansır. x = 0 doğrusu(y-ekseni) logaritma fonksiyonu için düşey asimtottur. Logaritma fonksiyonunun grafiği x-eksenini (1,0) noktasında keser. Logaritmik fonksiyonların diğer önemli özelliklerini ileride listeleyeceğiz. Önce birkaç grafik çizimi yapacağız.

Logaritmik fonksiyon içeren ifadelerle tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini çizerken ikinci derste gördüğümüz(2.5 e bakınız) elemanter dönüşümlerden yararlanabiliriz.

Örnek 4. f(x) =log₂(x−1) in grafiğini çizelim. Kolayca görülebileceği üzere, bu fonk-siyonun grafiği, y=log₂x in grafiğinin 1 birim sağa kaydırılmasıyla elde edilir.

2 x y 1 x y = log ₂ y = log 2(x −1) (0,0) x y (0,0) 1 0 , < < = b b y x 1 1 1 0 , log < < = x b y _b y = x

Örnek 5. f(x) =3+log₂x in grafiğini çizelim Bu fonksiyonun grafiği, y=log₂x in grafiğinin 3 birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edilir.

Örnek 6. f(x)=3+log₂(x+1) in grafiğini çizelim. y=log₂x in grafiği ile başlayıp önce bu grafiği 1 birim sola ve sonra da elde edilen grafiği 3 birim yukarıya kaydırırsak

) 1 ( log 3 ) (x = + ₂ x+

f in grafiğini elde ederiz.

x y (0,0) 1 x y = log ₂ ) 1 ( log 3 + ₂ + = x y (0,3) -1 x y (0,0) 1 x y = log ₂ x y = 3+ log ₂ (1,3)

Logaritma fonksiyonunun bazı temel özelliklerini aşağıda listeliyoruz. Bu özellikler, üstel fonksiyonun özellikleri, logaritma fonksiyonunun tanımı ve bu tanımı özetleyen (1) bağıntısı kullanılarak kanıtlanabilir. Aşağıda, 1b> b0, ≠ ; M,N >0 kabul edilmektedir.

• x-kesişimi (1 , 0) dır. logb1=0. • log_bb=1

• log_bbx = x • blogbM =M

• log_b(MN)=log_bM +log_bN

• M N N M b b b log log log ⎟= − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • log_bMp = plog_bM • log_bM = log_bN ⇔M = N

• Grafik, b >1 için artan ; 0 < b < 1 için azalandır. Örneğin, baştan üçüncü özellik

x y b b y bx y x b = ⇔ = ⇒ = log biçiminde; dördüncü özellik M b y bM y M b M b log log = ⇔ = ⇒ =

biçiminde ve bir çarpımın logaritması ile ilgili olan beşinci özellik de

blogbM+logbN =blogbMbllogbN =MN =blogbMN ⇒ log_bMN =log_bM +log_bN

biçiminde kanıtlanır. Bu kanıtlarda her adımda üstel ve logaritmik fonksiyonların hangi özelliklerinin kullanıldığını görmeye çalışınız.

Logaritma ile ilgili hesaplar yaparken yukarıda listelenen özelliklerden yararlanılabilir. Örnek 7. log₆4+log₆9 toplamının değeri, çarpımın logaritması ile ilgili özellikten yarar-lanılarak 2 6 log 36 log 9 log 4 log 2 6 6 6 6 + = = =

biçiminde; 15log₁₀1500−log₁₀ farkının değeri de bölümün logaritması ile ilgili özellik kulla-nılarak 2 100 log 15 1500 log 15 log 1500 log₁₀ − ₁₀ = ₁₀ = ₁₀ = biçiminde hesaplanır.

e tabanında logaritmik fonksiyona doğal logaritma fonksiyonu denir ve logex=lnx yazılır. Böylece, y e x x y= ln ⇔ = (2) Doğal logaritmanın temel özelliklerinden bir kaçını yeni gösterimle ifade edelim:

. , ln , 1 ln , 0 1 ln ln x e x e e = x = x = =

10 tabanında logaritma da çok kullanılan bir logaritma olduğundan onun için de özel bir gösterim kullanılır : log10 x yerine sadece log x yazılır. Böylece,

y

x x

y=log ⇔ =10 .

10 tabanında logaritmanın temel özelliklerinden birkaçını yeni gösterimle ifade edelim: . 10 , 10 log , 1 10 log , 0 1 log log x x x x = = = =

Logaritmik veya üstel fonksiyonlar içeren denklemlerin çözümünde de ilgili fonksiyonların özellikleri kullanılır.

4.4. Logaritmik Denklemler. Logaritmik fonksiyonlar içeren birkaç denklem örneği vereceğiz.

Örnek 1. b logb8 logb2 logbx 3 2 4 log 2 3 _{− + =}

denklemini çözelim. Logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak bu denkleme denk olan aşağıdaki denklemleri yazıyoruz:

x

b b

b

b log 2 log 2 log

3 2 2 log 2 3 2₋ 3_{+ =} x b b b

b2 2log 2 log 2 log

log 3 − + = x b b2 log log 2 = x b b2 log log 2 ₌ x b b4 log log =

Örnek 2. logx+log

(

x+1

)

=log6 denklemini çözmek için de yine bu denkleme denk olan denklemler yazıyoruz: logx+log(x+1)=log

(

x

(

x+1

)

)

olduğundan

(

)

(

1

)

log6 log x x+ = ve buradan

(

₊1

)

₌6_⇒ 2_{+ −}6₌0 x x x x

-3 sayısı logaritma fonksiyonunun tanım kümesi içinde bulunmadığından, verilen denklemin çözüm kümesi {2} dir.

Örnek 3. ln(3x-3)-ln(x-1)=lnx denklemini çözerken, x≠1 kabul edebiliriz. Logaritma

fonksdiyonunun özelliklerini kullanarak

3 ln 3 ln ln 1 3 3 ln ln ) 1 ( ln -) 3 3 ( ln = ⇒ = ⇒ = − − ⇒ = x x x x x x

x-elde edebileceğimiz gibi başka özellikler kullanarak da aynı sonuca ulaşabiliriz:

x x-x x-x x-x-3)-ln( 1) ln ln[3( 1)]-ln( 1) ln ln[3( 1)]-ln( 1) ln 3 ( ln = ⇒ = ⇒ = . x x x x-x-1)-ln( 1) ln ln3 ln 3 ( ln 3 ln + = ⇒ = ⇒ = ⇒ Örnek 4. 1 1 2 ln ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x

denklemini çözelim. 1=lne olduğundan

1 2 2 1 2 ln 1 2 ln 1 1 2 ln − − = ⇒ − = − ⇒ = − − ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − e e x e ex x e x x e x x x x .

4.5. Üstel Denklemler. Üstel fonksiyon içeren denklemlere kısaca üstel denklemler diyoruz. Örnek 1. 10x =2 _{denkleminin çözümü logaritma fonksiyonunun tanımından} =_log2

x

olarak elde edilir.

Örnek 2. 3x+1₋ 23x ₌0 x

x denklemini çözelim. Soldaki ifade 3 parantezine alınıp x 0

3x ≠

olduğu kullanılarak çözüm bulunur.

}. 3 , 0 { 0 3 0 ) 3 ( 3 0 3 3 +1₋ 2 _{= ⇒ −} 2 _{= ⇒ −} 2 _{= ⇒ ∈} x x x x x x x x x x

(

+3

)(

−2

)

=0⇒ ∈

{

2,−3

}

. ⇒ x x x

Örnek 3. ₄x−1₌₂x+1 _{denklemini çözelim.} . 3 1 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 4 1 1 2 1 1 2 2 1 = ⇒ + = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = + − + − + − x x x x x x x x x Örnek 4. 2 ( 1) 7 e e ex ⋅ x+ = denklemini çözelim. ( 1) 7 2 e e ex ⋅ x+ = ⇒ex2+x+1=e7 ⇒x2+x+1=7⇒x2+x−6=0

(

+3

)(

−2

)

=0⇒ ∈

{ }

2,−3 ⇒ x x x .

4.6. Faiz Hesabı. Faiz hesabında kullandığımız formüllerdeki her bir değişken için diğer değişkenlere değerler atandığında o değişkenin hangi değeri alacağını belirlemek bu bağlamdaki önemli problemlerden biridir. Örneğin, belli bir faiz oranı ile belli bir zaman sonunda ulaşacağı değer, yani gelecekteki değeri bilinen paranın bu günkü değeri nedir? Bu problem, şimdiki değer problemi olarak bilinir. Benzer şekilde, belli bir anaparanın belli bir faiz oranıyla ne kadar zamanda iki katı değere ulaşacağı problemi de önemli bir problemdir. Bu probleme de ikiye katlanma zamanı problemi denir.

Örnek 1(Şimdiki Değer). Basit faizle, yıllık faiz oranı %6 ise, bir yıl sonunda hesabınızda 100 YTL olabilmesi için bu gün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır?

Çözüm. Verilen değerler (B = 100, t = 1 , r =0.06) basit faiz formülünde yerine konursa

elde edilir.

Örnek 2. Yıllık birleştirilen bileşik faizle, faiz oranı %6 ise 10 yıl sonunda hesabınızda 100 YTL olabilmesi için bu gün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır?

Çözüm. B = 100, t =10, m = 1, r = 0.06 değerleri formüle yerleştirilirse

(

)

(

) (

)

94.34 YTL. 06 . 1 100 06 . 1 06 . 0 1 100 1+ ⇒ = + = ⇒ = ≈ = A rt A A A B

(

)

₍

₎

55.84 YTL. 06 . 1 100 06 . 1 1 06 . 0 1 100 1 10 ₁₀ 10 ≈ = ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = A A A m r A B mt

Örnek 3. Faiz oranı %6 ise, sürekli bileşik faizle bir yıl sonunda hesabınızda 100 YTL olabilmesi için bu gün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır?

Çözüm. Verilen değerler (B = 100 , t = 1 , r =0.06) formülde yerine konursa

Örnek 4(İkiye Katlanma Zamanı). Faiz oranı %2 olan bir yatırım sürekli bileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır?

Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülünde B = 2A , r =0.02 alınırsa

yıl.

Örnek 5. Faiz oranı %2 olan bir yatırım yıllık birleştirilerek bileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır?

Çözüm. Bileşik faiz formülünde B = 2 A , m = 1, r =0.02 alınırsa

yıl.

Örnek 6. 10 000 YTL parası bulunan bir kişi 8 yıl sonunda, 20 000 YTL lik bir ev satın alabilmek amacıyla bu parayı sürekli bileşik faizle bankaya yatırmak istiyor. Faiz oranı ne olursa bu kişinin isteği gerçekleşir?

Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülü ile

Örnek 7. 10 000 YTL parası bulunan bir kişi, 15 000 YTL lik bir ev satın alabilmek amacıyla bu parayı sürekli bileşik faizle bankaya yatırmak istiyor. Faiz oranı %8 olursa bu kişinin isteği kaç yıl sonra gerçekleşir?

Çözüm. Sürekli bileşik faiz formülü ile

5 08 . 0 5 . 1 ln ln 08 . 0 5 . 1 ln 5 . 1 10000 15000₌ 0.08 _{⇒ =} 0.08 _{⇒ = ⇒ = ≈} ⇒ = Ae e e t e t B rt t t yıl. . YTL 18 . 94 100 100 100 0.06 06 . 0 06 . 0 _{⇒ = = ≈} = ⇒ = − e e A Ae Ae B rt ( ) ( ) _34.65 02 . 0 2 ln ln ) 02 . 0 ( 2 ln 2 2 ₌ 0.02 _{⇒ =} 0.02 _{⇒ = ⇒ = ≈} ⇒ = Ae A Ae e t e t B rt t t

(

)

(

)

(

)

₍

₎

35.00 02 . 1 ln 2 ln 02 . 1 ln 2 ln 02 . 1 2 1 02 . 0 1 2 1 ≈ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = t t A A m r A B t t t m . 087 . 0 8 2 ln ln 8 2 ln 2 10000 20000₌ 8 _{⇒ =} 8 _{⇒ = ⇒ = ≈} ⇒ = ⋅ r e r e e Ae B rt r r

Problemler 4

1. Verilen fonksiyonun gösterilen aralık üzerinde grafiğini çiziniz.

a) y=5x ,

[

−2,2

]

b) ) ,

[

2,2

]

5 1 ( − = x y c) =−5x ,

[

−2,2

]

y ç) y =5x−1+1 ,

[

−1,3

]

2. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.

a)

( )

42x 3y b) ₄ 3 − − x x e e c)

(

3 ( 1.4x)

)

2 e− ç) 103x-2 102-2x

3. Verilen fonksiyonun grafiğini çiziniz.

a) =2x+2 y b) ₌ x−2 ₊2 e y c) x e y=− ç) =2− x−2 e y d) x e y= − e) x e y=

4. 2 500 YTL, %5 yıllık faiz oranı ile her ay birleştirilerek faizde kalırsa, 10 yıl sonunda kaç YTL ye ulaşır?

5. 2 500 YTL, %5 yıllık faiz oranı ve sürekli bileşik faizle bankaya yatırılırsa, 10 yıl sonunda kaç YTL olarak geri döner?

6. Dünya nüfusu başlangıçtan itibaren 1830 yılında 1 milyara; 100 yıl sonra, yani 1930 yılında 2 milyara ve 60 yıl sonra da 3 milyara ulaşmıştı. 1995 yılında dünya nüfusu 5.7 milyar olarak tahmin ediliyordu. Dünya Bankası, 1994 yılında, 1995 ten 2030 yılına kadar, dünya nüfusunun sürekli birleştirilmek üzere, %1.14 oranında artacağı tahmininde bulundu. Buna göre,

a) 1995 yılını başlangıç yılı, yani 0, alarak, 1995 ten 2030 a kadar olan sürede dünya nüfus artışını ifade eden bir denklem yazınız.

b) Yazdığınız denklemi kullanarak dünya nüfusunun 2010 yılında ve 2030 yılında yaklaşık olarak (örneğin, yüz binler mertebesinde) ne olacağını tahmin ediniz.

7. Hesap makinesi kullanmadan x , y , veya b değerlerini bulunuz:

a) log₃x=2 b) log_b104 =4 c) log b2 _{= 4}

ç) 2 1 log₄x= d) log 9= y 3 1 e) ln x = 2 1

8. Aşağıdaki denklemlerin her birinin grafiğini çiziniz.

a) y=ln(x−2) b) y=2+ln(x−2) c) y=−ln(x+2) ç) y=ln( x− ) d) y=ln x| | e) y=|lnx|

9. Logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak, aşağıdaki ifadeleri mümkün olduğu kadar daha basit logaritmalar cinsinden yazınız.

a) ₃ 5 log y x b b) logb(x2⋅3 y) c) log10(67⋅10−0.12x) 10. x i bulunuz. a) log 9 log 6 2 1 8 log 3 2

log_bx = _b + _b − _b b) log_bx+log_b(x−4)=log_b21

c) log₁₀(x+1)−log₁₀(x−1)=1 ç) ln(x−1)+ln(x+1)=ln(2x) 11. Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a) 102−3x =105x−6 _{b) 4}5x−x2 ₌₄−6 c) 3 −x + 2 −x =0 e x xe ç) (1−x)5 =(2x−1)5

12. Sürekli bileşik faizle, yıllık faiz oranı %6 ise, bir yıl sonunda hesabınızda 100 YTL olabilmesi için bu gün bankaya yatırmanız gereken miktar ne kadardır?

13. Faiz oranı %12 olan bir yatırım yıllık birleştirilerek bileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır?

14. Paranın sürekli bileşik faizle %8 getiri sağladığı bir dönemde, 10 yıllık vadesi dolunca 30 000 YTL nakit ödemeyi garanti eden bir hazine bonosu için bu gün kaç YTL ödenmesi uygun olur?

15. Sürekli bileşik faizle bankaya yatırılan 10 000 YTL nin 17 yıl sonra 50 000 YTL olarak geri dönmesi için yıllık faiz oranı ne olmalıdır?

16. Yeni evli bir çift gelecekte bir ev sahibi olmak için gerekli ödemeleri yapmak üzere 8 yıl sonunda 20 000 YTL sahibi olmak istiyorlar. Bu amaçla, aile yakınlarının düğün hediyesi olarak verdiği 10 000 YTL parayı sürekli bileşik faizle bankaya yatırmağa karar veriyorlar. Faiz oranı ne olmalı ki, 8 yıl sonunda istekleri gerçekleşsin? (ln2≈0.6931 alınız)