Integral Yard¬m¬ile Tan¬mlanan Fonksiyonlar ve Leibnitz Kural¬ ·

(1)

Integral Yard¬m¬ile Tan¬mlanan Fonksiyonlar ve Leibnitz Kural¬ ·

f (x; t) bir R = f(x; t) : a x b; c t d g dikdörtgeninde tan¬ml¬, u ⁰ (x) ve u 1 (x) de a x b de tan¬ml¬iki fonksiyon olmak üzere,

(x) =

u Z

1

(x)

u

0

(x)

f (x; t) dt

¸ seklinde ifade edilen (x) fonksiyonu integral yard¬m¬yla tan¬mlanm¬¸ s bir fonksiyondur.

Integral yard¬m¬yla tan¬mlanm¬¸ · s (x) fonksiyonunun ⁰ (x) türevi,

0 (x) = f [x; u ₁ (x)] u ⁰ ₁ (x) f [x; u ₀ (x)] u ⁰ ₀ (x) +

u Z

1

(x)

u

0

(x)

@f (x; t)

@x dt

dir. Bu formül integral yard¬m¬yla tan¬mlanan fonksiyonlarda Leibnitz kural¬olarak bilinir.

Örnek 1.

(x) =

x

⁴

Z

k=x

³

1 t cos t ²

x ⁶ dt fonksiyonunun türevini hesaplay¬n¬z.

Çözüm:

f (x; t) = 1

t cos t ²

x ⁶ ; u ₀ (x) = k

x ³ ; u ₁ (x) = x ⁴ olmak üzere,

f [x; u 1 (x)] = 1

x ⁴ cos x ² f [x; u ₀ (x)] = x ³

k cos k ² x ¹²

@f (x; t)

@x = 6t

x ⁷ sin t ² x ⁶

1

(2)

¸ seklindedir. · Integral yard¬m¬yla tan¬mlanan fonksiyonlar için Leibnitz kural¬uygulan¬rsa,

0 (x) = f [x; u ₁ (x)] u ⁰ ₁ (x) f [x; u ₀ (x)] u ⁰ ₀ (x) +

u Z

1

(x)

u

0

(x)

@f (x; t)

@x dt

= 4

x cos x ² + 3

x cos k ²

x ¹² + 3 x

x

⁴

Z

k=x

³

6t

x ⁷ sin t ² x ⁶ dt

= 1

x cos x ² + 6

x cos k ² x ¹² elde edilir.

Örnek 2. f sürekli bir fonksiyon olmak üzere bir u fonksiyonu u(x) = 1 2 Z x

0 (x t) ² f (t)dt olarak verilmektedir. Buna göre u ⁰⁰⁰ (x) = f (x) oldu¼ gunu gösteriniz.

Çözüm:

F (x; t) = 1

2 (x t) ² f (t); u ₀ (x) = 0; u ₁ (x) = x olmak üzere u(x) fonksiyonu için Leibnitz kural¬uygulan¬rsa,

u ⁰ (x) = F [x; u ₁ (x)] u ⁰ ₁ (x) F [x; u ₀ (x)] u ⁰ ₀ (x) +

u Z

1

(x)

u

0

(x)

@F (x; t)

@x dt

= F [x; x] :1 F [x; 0] :0 + Z x

0 (x t)f (t) dt

bulunur. u ⁰ (x) fonksiyonu ve elde edilecek u ⁰⁰ (x) fonksiyonu için bir kez daha Leibnitz kural¬

uyguland¬¼ g¬nda,

u ⁰⁰ (x) = F [x; x] :1 F [x; 0] :0 + Z x

0 f (t) dt u ⁰⁰⁰ (x) = f (x)

elde edilir.

2

(3)

Örnek 3.

(x) = Z x

0 2t

x ² + t ² dt fonksiyonunun türevini hesaplay¬n¬z.

Çözüm: f (x; t) = 2t

x ² + t ² ; u ₀ (x) = 0; u ₁ (x) = x olmak üzere,

f [x; u ₁ (x)] = 1 x f [x; u ₀ (x)] = 0

@f (x; t)

@x = 4xt

(x ² + t ² ) ²

¸ seklindedir. · Integral yard¬m¬yla tan¬mlanan fonksiyonlar için Leibnitz kural¬uygulan¬rsa,

Integral Yard¬m¬ile Tan¬mlanan Fonksiyonlar ve Leibnitz Kural¬ ·

Integral Yard¬m¬ile Tan¬mlanan Fonksiyonlar ve Leibnitz Kural¬ ·

f (x; t) bir R = f(x; t) : a x b; c t d g dikdörtgeninde tan¬ml¬, u 0 (x) ve u 1 (x) de a x b de tan¬ml¬iki fonksiyon olmak üzere,

(x) =

u Z

(x)

u

(x)

f (x; t) dt

¸ seklinde ifade edilen (x) fonksiyonu integral yard¬m¬yla tan¬mlanm¬¸ s bir fonksiyondur.

Integral yard¬m¬yla tan¬mlanm¬¸ · s (x) fonksiyonunun 0 (x) türevi,

0 (x) = f [x; u 1 (x)] u 0 1 (x) f [x; u 0 (x)] u 0 0 (x) +

u Z

(x)

u

(x)

@f (x; t)

@x dt

dir. Bu formül integral yard¬m¬yla tan¬mlanan fonksiyonlarda Leibnitz kural¬olarak bilinir.

Örnek 1.

(x) =

x

Z

k=x

1

t cos t 2

x 6 dt fonksiyonunun türevini hesaplay¬n¬z.

Çözüm:

f (x; t) = 1

t cos t 2

x 6 ; u 0 (x) = k

x 3 ; u 1 (x) = x 4 olmak üzere,

f [x; u 1 (x)] = 1

x 4 cos x 2 f [x; u 0 (x)] = x 3

k cos k 2 x 12

@f (x; t)

@x = 6t

x 7 sin t 2 x 6

1

¸ seklindedir. · Integral yard¬m¬yla tan¬mlanan fonksiyonlar için Leibnitz kural¬uygulan¬rsa,

0 (x) = f [x; u 1 (x)] u 0 1 (x) f [x; u 0 (x)] u 0 0 (x) +

u Z

(x)

u

(x)

@f (x; t)

@x dt

= 4

x cos x 2 + 3

x cos k 2

x 12 + 3 x

x

Z

k=x

6t

x 7 sin t 2 x 6 dt

= 1

x cos x 2 + 6

x cos k 2 x 12 elde edilir.

Örnek 2. f sürekli bir fonksiyon olmak üzere bir u fonksiyonu u(x) = 1 2 Z x

0

(x t) 2 f (t)dt olarak verilmektedir. Buna göre u 000 (x) = f (x) oldu¼ gunu gösteriniz.

Çözüm:

F (x; t) = 1

2 (x t) 2 f (t); u 0 (x) = 0; u 1 (x) = x olmak üzere u(x) fonksiyonu için Leibnitz kural¬uygulan¬rsa,

u 0 (x) = F [x; u 1 (x)] u 0 1 (x) F [x; u 0 (x)] u 0 0 (x) +

u Z

(x)

u

(x)

@F (x; t)

@x dt

= F [x; x] :1 F [x; 0] :0 + Z x

0

(x t)f (t) dt

bulunur. u 0 (x) fonksiyonu ve elde edilecek u 00 (x) fonksiyonu için bir kez daha Leibnitz kural¬

uyguland¬¼ g¬nda,

u 00 (x) = F [x; x] :1 F [x; 0] :0 + Z x

0

f (t) dt u 000 (x) = f (x)

f (x; t) bir R = f(x; t) : a x b; c t d g dikdörtgeninde tan¬ml¬, u ⁰ (x) ve u 1 (x) de a x b de tan¬ml¬iki fonksiyon olmak üzere,

Integral yard¬m¬yla tan¬mlanm¬¸ · s (x) fonksiyonunun ⁰ (x) türevi,

0 (x) = f [x; u ₁ (x)] u ⁰ ₁ (x) f [x; u ₀ (x)] u ⁰ ₀ (x) +

t cos t ²

x ⁶ dt fonksiyonunun türevini hesaplay¬n¬z.

t cos t ²

x ⁶ ; u ₀ (x) = k

x ³ ; u ₁ (x) = x ⁴ olmak üzere,

x ⁴ cos x ² f [x; u ₀ (x)] = x ³

k cos k ² x ¹²

x ⁷ sin t ² x ⁶

0 (x) = f [x; u ₁ (x)] u ⁰ ₁ (x) f [x; u ₀ (x)] u ⁰ ₀ (x) +

x cos x ² + 3

x cos k ²

x ¹² + 3 x

x ⁷ sin t ² x ⁶ dt

x cos x ² + 6

x cos k ² x ¹² elde edilir.

(x t) ² f (t)dt olarak verilmektedir. Buna göre u ⁰⁰⁰ (x) = f (x) oldu¼ gunu gösteriniz.

2 (x t) ² f (t); u ₀ (x) = 0; u ₁ (x) = x olmak üzere u(x) fonksiyonu için Leibnitz kural¬uygulan¬rsa,

u ⁰ (x) = F [x; u ₁ (x)] u ⁰ ₁ (x) F [x; u ₀ (x)] u ⁰ ₀ (x) +

bulunur. u ⁰ (x) fonksiyonu ve elde edilecek u ⁰⁰ (x) fonksiyonu için bir kez daha Leibnitz kural¬

u ⁰⁰ (x) = F [x; x] :1 F [x; 0] :0 + Z x

f (t) dt u ⁰⁰⁰ (x) = f (x)

x ² + t ² dt fonksiyonunun türevini hesaplay¬n¬z.

x ² + t ² ; u ₀ (x) = 0; u ₁ (x) = x olmak üzere,

f [x; u ₁ (x)] = 1 x f [x; u ₀ (x)] = 0

(x ² + t ² ) ²

0 (x) = f [x; u ₁ (x)] u ⁰ ₁ (x) f [x; u ₀ (x)] u ⁰ ₀ (x) +

4xt (x ² + t ² ) ² dt

x ² + t ²