Say¬sal türev

(1)

Temel Kavramlar

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Eylül, 2014

(2)

Özet

Bu bölümde Say¬sal türev

olu¸san yakla¸s¬m hatalar¬n¬inceliyoruz.

(3)

Özet

Çe¸sitli say¬sal türev yakla¸s¬mlar¬,

(4)

Özet

Çe¸sitli say¬sal türev yakla¸s¬mlar¬, Yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar ve

(5)

Çe¸sitli say¬sal türev yakla¸s¬mlar¬, Yüksek basamaktan yakla¸s¬mlar ve olu¸san yakla¸s¬m hatalar¬n¬inceliyoruz.

(6)

Say¬sal türev nedir?

Tan¬m

Bir f fonksiyonunun tan¬m kümesinde bulunan bir ti noktas¬ndaki say¬sal türevi, t_i noktas¬ve/veya kom¸su noktalardaki fonksiyon de¼gerlerinin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebilen ve genelde hata içeren bir türev yakla¸s¬m¬d¬r.

Bir yöntemi di¼gerlerinden ay¬ran özellik, yöntemin

(7)

Tan¬m

(8)

Tan¬m

(9)

Tan¬m

Bir yöntemi di¼gerlerinden ay¬ran özellik, yöntemin hatas¬ve

(10)

Bir yöntemi di¼gerlerinden ay¬ran özellik, yöntemin hatas¬ve

hesaplanmas¬gereken fonksiyon de¼ger say¬s¬d¬r.

(11)

Birinci basamaktan türev için yakla¸s¬mlar

f0(^t) = lim_h_!₀(f(t+h) f(t))/h

= limh!⁰(f(t) f(t h))/h

= lim_h_!₀(f(t+h) f(t h))/2h

f⁰(t) = (f(t+h) f(t))/h (ileri fark)

= (^f(t) f(t h))/h (geri fark)

= (f(t+h) f(t h))/2h (merkezi fark)

(12)

f0(^t) = lim_h_!₀(f(t+h) f(t))/h

= limh!⁰(f(t) f(t h))/h

= lim_h_!₀(f(t+h) f(t h))/2h h n¬n yeterince küçük ve pozitif de¼geri için

f⁰(t) = (f(t+h) f(t))/h (ileri fark)

= (^f(t) f(t h))/h (geri fark)

= (f(t+h) f(t h))/2h (merkezi fark)

(13)

Say¬sal türev

->

f(t) =at+b fonksiyonunun t₀ noktas¬ndaki birinci basamaktan say¬sal türevini h ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplayay¬n¬z

D_i(f , t₀, h) = (f(t₀+h) f(t₀))/h

= (a(t₀+h) +b a(t₀) b)/h=a

(14)

Say¬sal türev

->

Örnek (1)

(15)

->

Örnek (1)

D_i(f , t₀, h) = (f(t₀+h) f(t₀))/h

= (a(t₀+h) +b a(t₀) b)/h=a

(16)

Say¬sal türev

->

türevini h ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark, geri fark ve merkezi fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

·Ileri fark yöntemi ile

Di(f , t0, h) = (f(t0+h) f(t0))/h

= (a(t₀+h)² a(t₀)²)/h=a(h+2t₀), geri fark yöntemiyle

Dg(f , t0, h) = (f(t0) f(t0 h))/h

= (a(t₀)² a(t₀ h)²)/h= a( h+2t₀)

(17)

Say¬sal türev

->

Örnek (2)

f(t) =at² fonksiyonunun t₀ noktas¬ndaki birinci basamaktan say¬sal türevini h ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark, geri fark ve merkezi fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

Di(f , t0, h) = (f(t0+h) f(t0))/h

Dg(f , t0, h) = (f(t0) f(t0 h))/h

= (a(t₀)² a(t₀ h)²)/h= a( h+2t₀)

(18)

Say¬sal türev

->

Örnek (2)

Di(f , t0, h) = (f(t0+h) f(t0))/h

= (a(t₀+h)² a(t₀)²)/h=a(h+2t₀),

= (a(t₀)² a(t₀ h)²)/h= a( h+2t₀)

(19)

->

Örnek (2)

Di(f , t0, h) = (f(t0+h) f(t0))/h

Dg(f , t0, h) = (f(t0) f(t0 h))/h

= (a(t₀)² a(t₀ h)²)/h=a( h+2t₀)

(20)

merkezi fark yöntemiyle ise

Dm(f , t0, h) = (f(t0+h) f(t0 h))/2h

= (a(t0+h)^2 a(t0 h)²)/2h

= 2at₀ elde ederiz.

(21)

Örnek (3)

f(t) =t³ fonksiyonunun t =1 noktas¬ndaki türevinde olu¸san hatay¬

h =0.2 ve h=0.1 ad¬m uzunluklar¬için ileri fark

geri fark

merkezi fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

(22)

·Ileri fark yöntemi ile türev

D_i(f , 1, h) = (f(1+h) f(1))/h

= ((1+h)³ (1)³)/h

= h²+3h+3 olup, hata

f⁰(1) D_i(f , 1, h) = (h²+3h)

olarak elde edilir. h=0.2 için hata de¼geri 0.64 olarak bulunur.

h =0.1 için ise hata de¼geri 0.31 olarak elde edilir. Bu de¼gerin h =0.2 için elde edilen hatan¬n yakla¸s¬k olarak yar¬s¬kadar oldu¼guna dikkat edelim.

(23)

Geri fark yöntemi ile türev

D_g(f , 1, h) = (f(1) f(1 h))/h

= ((1)³ (1 h)³)/h

= h² 3h+3 olup, hata

f⁰(1) Dg(f , 1, h) = h²+3h

olarak elde edilir. h=0.2 için hata de¼geri 0.56 olarak bulunur.

h =0.1 için ise hata de¼geri 0.29 olarak elde edilir. Bir önceki ¸s¬kta oldu¼gu gibi bu de¼ger, h =0.2 için elde edilen hatan¬n yakla¸s¬k olarak yar¬s¬kadard¬r.

(24)

Merkezi fark yöntemi ile türev

D_m(f , 1, h) = (f(1+h) f(1 h))/2h

= ((1+h)³ (1 h)³)/2h

= h²+3 olup, hata

f⁰(1) D_m(f , 1, h) = h²

elde edilir. h=0.2 için hata de¼geri 0.04 olarak bulunur. h=0.1 için ise hata de¼geri 0.01 olarak elde edilir. ·Ilk ¸s¬klarda elde edilen sonuçlar¬n aksine bu de¼ger h=0.2 için elde edilen hatan¬n dörtte biri kadard¬r.

(25)

Say¬sal türev

Özetle burada sunulan örnekler ve benzer di¼ger örnekler sonucunda

·Ileri fark ve geri fark yakla¸s¬mlar¬nda olu¸san hatalar¬n mutlak de¼gerce birbirlerine yak¬n olduklar¬n¬,

Ad¬m uzunlu¼gunun h=0.2 den h=0.1 ’e yani yar¬s¬na

dü¸sürülmesiyle, ileri fark ve geri fark yakla¸s¬m hatalar¬n¬n da yakla¸s¬k olarak yar¬ya indirgendi¼gini,

Merkezi fark formülünde ise ad¬m uzunlu¼gunun yar¬ya dü¸sürülmesiyle hatan¬n yakla¸s¬k olarak 4 kat azald¬¼g¬n¬gözlemliyoruz.

(26)

Say¬sal türev

Özetle burada sunulan örnekler ve benzer di¼ger örnekler sonucunda Merkezi fark yakla¸s¬m¬nda olu¸san hatan¬n mutlak de¼gerce di¼ger yakla¸s¬m hatalar¬ndan daha küçük oldu¼gunu,

(27)

Say¬sal türev

olarak yar¬ya indirgendi¼gini,

(28)

Say¬sal türev

(29)

(30)

O(Büyük O) notasyonu

t =a noktas¬kom¸sulu¼gunda tan¬ml¬f ve g fonksiyonlar¬için e¼ger lim_t_!_a (f(t))/(g(t)) =sabit 6=0 ise bu taktirde f(t) fonksiyonuna, t =a noktas¬kom¸sulu¼gunda g inci mertebedendir denir. Bu durum f(t) =O(g(t)), t !a gösterimi ile ifade edilir ve f(t)büyük o g(t) diye okunur ve bu durumda f(t)~g(t), t !a notasyonu da kullan¬l¬r.

(31)

t =a noktas¬kom¸sulu¼gunda tan¬ml¬f ve g fonksiyonlar¬için e¼ger lim_t_!_a (f(t))/(g(t)) =sabit 6=0 ise bu taktirde f(t) fonksiyonuna, t =a noktas¬kom¸sulu¼gunda g inci mertebedendir denir. Bu durum f(t) =O(g(t)), t !a gösterimi ile ifade edilir ve f(t)büyük o g(t) diye okunur ve bu durumda f(t)~g(t), t !a notasyonu da kullan¬l¬r.

Yukar¬daki tan¬mda a=∞ olmas¬durumunda, bu noktan¬n kom¸sulu¼gu olarak yeterince büyük c >0 için(c,∞)aral¬¼g¬al¬n¬r.

(32)

O(Büyük O) notasyonu

sin(t) =O(t), t !0 d¬r, çünkü limt!⁰(sin(t))/t =16=^{0 d¬r. Bu} durumda t =0 noktas¬kom¸sulu¼gunda sin(t)fonksiyonu t fonksiyonu ile benzer davran¬¸s gösterir, o halde bu nokta kom¸sulu¼gunda sin(t)~t al¬nabilir.

sinh(t) = 1/2(e^t e ^t) =1/2(e^t) 1/2(e ^t)

= 1/2(1+t+t²/2!+t³/3! . . .) 1/2(1 t+t²/2! t³/3! . . .)

= t+t³/3! . . .

= O(t), t !⁰

O halde t =0 noktas¬n¬n küçük kom¸sulu¼gunda sinh(t)~t al¬nabilir.

(33)

O(Büyük O) notasyonu

sin(t) =O(t), t !0 d¬r, çünkü limt!⁰(sin(t))/t =16=^{0 d¬r. Bu} durumda t =0 noktas¬kom¸sulu¼gunda sin(t)fonksiyonu t fonksiyonu ile benzer davran¬¸s gösterir, o halde bu nokta kom¸sulu¼gunda sin(t)~t al¬nabilir.

3t²+3t+1=O(t²), t !∞ çünkü limt!∞((3t²+3t+1))/t² =36=⁰ dir. O halde yeterince büyük t ler için 3t²+3t+1~t² al¬nabilir.

= 1/2(1+t+t /2!+t /3! . . .) 1/2(1 t+t²/2! t³/3! . . .)

= t+t³/3! . . .

= O(t), t !⁰

O halde t =0 noktas¬n¬n küçük kom¸sulu¼gunda sinh(t)~t al¬nabilir.

(34)

! ! 6=

durumda t =0 noktas¬kom¸sulu¼gunda sin(t)fonksiyonu t fonksiyonu ile benzer davran¬¸s gösterir, o halde bu nokta kom¸sulu¼gunda sin(t)~t al¬nabilir.

3t²+3t+1=O(t²), t !∞ çünkü limt!∞((3t²+3t+1))/t² =36=⁰ dir. O halde yeterince büyük t ler için 3t²+3t+1~t² al¬nabilir.

sinh(t) = 1/2(e^t e ^t) =1/2(e^t) 1/2(e ^t)

= 1/2(1+t+t²/2!+t³/3! . . .) 1/2(1 t+t²/2! t³/3! . . .)

= t+t³/3! . . .

= O(t), t !⁰

(35)

O(Büyük O) notasyonu

Benzer biçimde

e^t 1=^O(t), t !⁰

e^t 16=^O(t), t !^∞

(36)

O(Büyük O) notasyonu

Benzer biçimde

cos(t) =O(1), t !⁰

e^t 16=^O(t), t !^∞

(37)

O(Büyük O) notasyonu

Benzer biçimde

cos(t) =O(1), t !⁰

e^t 1=^O(t), t !⁰

(38)

Benzer biçimde

cos(t) =O(1), t !⁰

e^t 1=^O(t), t !⁰

e^t 16=^O(t), t !^∞

(39)

S¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gunda f(t) =e^t 1 ve g(t) =t fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri a¸sa¼g¬da görülmektedir.

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 1 2

x y

S¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gunda f(t) =e^t 1 ve g(t) =t fonksiyonlar¬

(40)

Say¬sal türev

->

taktirde

f⁰(t) = (f(t+h) f(t))/h+O(h) d¬r.

Taylor teoreminden

f(t+h) =f(t) +hf0(^t) +h²f⁰⁰(c)/2 f0(^t) = (f(t+h) f(t))/h hf⁰⁰(c)

f 2 ^C²[a, b]oldu¼gundan f⁰⁰ fonksiyonu[a, b]aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬d¬r ve dolay¬s¬yla h/2f⁰⁰(c) =O(h)d¬r.

(41)

Say¬sal türev

->

Teorem

f 2^C²[a, b]ve küçük pozitif h sabiti için, t ve t+h2 (^{a, b})olsun. Bu taktirde

f⁰(t) = (f(t+h) f(t))/h+O(h) d¬r.

f 2 ^C²[a, b]oldu¼gundan f⁰⁰ fonksiyonu[a, b]aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬d¬r ve dolay¬s¬yla h/2f⁰⁰(c) =O(h)d¬r.

(42)

Teorem

f 2^C²[a, b]ve küçük pozitif h sabiti için, t ve t+h2 (^{a, b})olsun. Bu taktirde

f⁰(t) = (f(t+h) f(t))/h+O(h) d¬r.

Taylor teoreminden

f 2^C²[a, b]oldu¼gundan f⁰⁰ fonksiyonu [a, b]aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬d¬r ve

(43)

Say¬sal türev

Sat¬r fonksiyonu(inline function) olarak tan¬mlanan bir f

fonksiyonunun, verilen bir noktadaki say¬sal türevini verilen bir ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplayan MATLAB/OCTAVE program¬geli¸stiriniz.

ifark=(f(a+h)-f(a))/h;

mfark=(f(a+h)-f(a-h))/(2*h); gfark=(f(a)-f(a-h))/h;

sonuc=[ifark,mfark,gfark]; end

(44)

Sat¬r fonksiyonu(inline function) olarak tan¬mlanan bir f

fonksiyonunun, verilen bir noktadaki say¬sal türevini verilen bir ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplayan MATLAB/OCTAVE program¬geli¸stiriniz.

Program¬m¬z¬sturev olarak adland¬ral¬m:

function sonuc=sturev(f,a,h) ifark=(f(a+h)-f(a))/h;

mfark=(f(a+h)-f(a-h))/(2*h);

gfark=(f(a)-f(a-h))/h;

sonuc=[ifark,mfark,gfark];

end

(45)

>> f=inline(’x^2’) veya>> f=@(x) x^2;

2.1000 2.0000 1.9000 elde ederiz.

(46)

sonuc =

2.1000 2.0000 1.9000 elde ederiz.

(47)

Aral¬k üzerinde Say¬sal türev

·Ileri fark yontemi: [a, b] aral¬¼g¬üzerinde y =f(t)verilsin.

t_i =a+ (i 1)h, i =1, 2, , n+1 ve

T = [t₁, t₂, , t_n+1] ile

f(T) = [f(t₁), f(t₂), . . . , f(t_n₊₁)] tan¬mlayal¬m.

(48)

·Ileri fark yontemi: [a, b] aral¬¼g¬üzerinde y =f(t)verilsin.

h = (b a)/n için

t_i =a+ (i 1)h, i =1, 2, , n+1 ve

T = [t₁, t₂, , t_n+1] ile

f(T) = [f(t₁), f(t₂), . . . , f(t_n₊₁)]

tan¬mlayal¬m.

(49)

Aral¬k üzerinde Say¬sal türev

T nin ilk n noktas¬nda, yani, T = [t₁, t₂, ..., t_n]noktalar¬nda ileri fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_i(f , T , h) = (f(T+h) f(T))/h olarak tan¬mlan¬r.

E(T) = f⁰(T) D_i(f , T , h)

= h/2f⁰⁰(C)

= O(h), h!⁰ C = [c1, c2, . . . , cn], c_i 2 (^tⁱ^{, t}ⁱ⁺¹), i =1, 2, , n olarak tahmin edilir.

(50)

T nin ilk n noktas¬nda, yani, T = [t₁, t₂, ..., t_n]noktalar¬nda ileri fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_i(f , T , h) = (f(T+h) f(T))/h olarak tan¬mlan¬r.

T vektöründe ileri fark yöntemiyle say¬sal türevde olu¸san hata ise E(T) = f⁰(T) D_i(f , T , h)

= h/2f⁰⁰(C)

= O(h), h!⁰ C = [c1, c2, . . . , cn], c_i 2 (^tⁱ^{, t}ⁱ⁺¹), i =1, 2, , n olarak tahmin edilir.

(51)

Aral¬k üzerinde say¬sal türev(geri fark)

Geri fark yöntemi

D_g(f , T , h) = (f(T) f(T h))/h her noktada geri fark yöntemiyle olu¸san hata O(h), h!⁰ kadard¬r(Kontrol ediniz!)

t_i noktas¬ndaki ileri fark yakla¸s¬m¬n¬n t_i₊₁ noktas¬ndaki geri fark yakla¸s¬m¬na e¸sit oldu¼guna dikkat ediniz!

(52)

Aral¬k üzerinde say¬sal türev(geri fark)

Geri fark yöntemi

·Ilk nokta hariç, T = [t₂, t₃, ..., t_n₊₁]noktalar¬nda geri fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_g(f , T , h) = (f(T) f(T h))/h

i i+1

yakla¸s¬m¬na e¸sit oldu¼guna dikkat ediniz!

(53)

Aral¬k üzerinde say¬sal türev(geri fark)

Geri fark yöntemi

(54)

Geri fark yöntemi

t_i noktas¬ndaki ileri fark yakla¸s¬m¬n¬n t_i₊₁ noktas¬ndaki geri fark yakla¸s¬m¬na e¸sit oldu¼guna dikkat ediniz!

(55)

Aral¬k üzerinde say¬sal türev(merkezi fark)

Merkezi fark yöntemi

noktalar¬nda merkezi fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m D_m(f , T , h) = (f(T +h) f(T h))/(2h) her noktada merkezi fark yöntemiyle olu¸san hata O(h²), h!⁰ kadard¬r(Kontrol ediniz!).

(56)

Aral¬k üzerinde say¬sal türev(merkezi fark)

Merkezi fark yöntemine göre aral¬k uç noktalar¬olan t₁ ve t_n+1

noktalar¬aras¬nda kalan n 1 noktada, yani T = [t₂, t₃, ..., t_n] noktalar¬nda merkezi fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_m(f , T , h) = (f(T +h) f(T h))/(2h)

(57)

Merkezi fark yöntemine göre aral¬k uç noktalar¬olan t₁ ve t_n+1

noktalar¬aras¬nda kalan n 1 noktada, yani T = [t₂, t₃, ..., t_n] noktalar¬nda merkezi fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_m(f , T , h) = (f(T +h) f(T h))/(2h) her noktada merkezi fark yöntemiyle olu¸san hata O(h²), h!⁰ kadard¬r(Kontrol ediniz!).

(58)

Say¬sal türev

f(t) =t³, t 2 [ ^{1, 1}], h=0.2 ad¬m uzunlu¼gu ile belirtilen T noktalar¬nda birinci türev için ileri fark ve merkezi fark yakla¸s¬m¬, gerçek türev de¼geri ve her noktada olu¸san hatay¬hesaplayarak tablo halinde sunal¬m.

noktalar¬

t_i =a+ (i 1)h = 1+ (i 1)0.2, i =1, 2, , 11 .olarak tan¬mlan¬r. Uç noktalar vektörü

T = [ 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1]

(59)

Say¬sal türev

f(t) =t³, t 2 [ ^{1, 1}], h=0.2 ad¬m uzunlu¼gu ile belirtilen T noktalar¬nda birinci türev için ileri fark ve merkezi fark yakla¸s¬m¬, gerçek türev de¼geri ve her noktada olu¸san hatay¬hesaplayarak tablo halinde sunal¬m.

h= (b a)/n=2/n=0.2)ⁿ =10

t_i =a+ (i 1)h = 1+ (i 1)0.2, i =1, 2, , 11 .olarak tan¬mlan¬r. Uç noktalar vektörü

T = [ 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1]

(60)

f(t) =t , t 2 [ ^{1, 1}], h=0.2 ad¬m uzunlu¼gu ile belirtilen T noktalar¬nda birinci türev için ileri fark ve merkezi fark yakla¸s¬m¬, gerçek türev de¼geri ve her noktada olu¸san hatay¬hesaplayarak tablo halinde sunal¬m.

h= (b a)/n=2/n=0.2)ⁿ =10

Bu durumda nokta say¬s¬ise n+1=11 adet olup, alt aral¬k uç noktalar¬

t_i =a+ (i 1)h= 1+ (i 1)0.2, i =1, 2, , 11 .olarak tan¬mlan¬r. Uç noktalar vektörü

T = [ 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1]

(61)

ileri fark yöntemi ile yakla¸s¬mlar ilk 10 noktada, merkezi fark yöntemi ile ise ilk ve son nokta d¬¸s¬ndaki noktalarda hesaplanmaktad¬r.

·Ileri Fark Merkezi Fark

T Türev Yakla¸s¬m Hata Yakla¸s¬m Hata -1.0000 3.0000 2.4400 0.5600

-0.8000 1.9200 1.4800 0.4400 1.9600 -0.0400 -0.6000 1.0800 0.7600 0.3200 1.1200 -0.0400 -0.4000 0.4800 0.2800 0.2000 0.5200 -0.0400 -0.2000 0.1200 0.0400 0.0800 0.1600 -0.0400 0.0000 0.0000 0.0400 0.0400 0.0400 -0.0400 0.2000 0.1200 0.2800 -0.1600 0.1600 -0.0400 0.4000 0.4800 0.7600 -0.2800 0.5200 -0.0400 0.6000 1.0800 1.4800 -0.4000 1.1200 -0.0400 0.8000 1.9200 2.4400 -0.5200 1.9600 -0.0400 Tablo: Verilen Örnek için ·Ileri Fark ve Merkezi Fark yakla¸s¬mlar¬

(62)

Say¬sal Türev

Yukar¬da belirtilen i¸slemler a¸sa¼g¬da verilen Program ile gerçekle¸stirilmi¸stir.

Tg=T(2:end); Tm=T(2:n);

ifark=(f(Ti+h)-f(Ti))/h;

mfark=(f(Tm+h)-f(Tm-h))/(2*h); gfark=(f(Tg)-f(Tg-h))/h

subplot(3,1,1);

plot(Ti,ifark,’-o’);hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2); subplot(3,1,2);

plot(Tg,gfark,’-d’); hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2); subplot(3,1,3);

plot(Tm,mfark,’-*’); hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

(63)

Say¬sal Türev

function asturev(f,df,a,b,n)

Tg=T(2:end); Tm=T(2:n);

subplot(3,1,1);

(64)

Say¬sal Türev

function asturev(f,df,a,b,n) h=(b-a)/n; T=a:h:b;

subplot(3,1,1);

(65)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

subplot(3,1,1);

(66)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

gfark=(f(Tg)-f(Tg-h))/h subplot(3,1,1);

(67)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

(68)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

(69)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

mfark=(f(Tm+h)-f(Tm-h))/(2*h);

(70)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

gfark=(f(Tg)-f(Tg-h))/h

(71)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

(72)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

plot(Ti,ifark,’-o’);hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

(73)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

subplot(3,1,2);

(74)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

subplot(3,1,2);

plot(Tg,gfark,’-d’); hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

(75)

Say¬sal Türev

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

subplot(3,1,2);

subplot(3,1,3);

(76)

gerçekle¸stirilmi¸stir.

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

subplot(3,1,2);

subplot(3,1,3);

(77)

Önerilen kaynaklar

Sewell, G. The numerical solution of ordinary and partial di¤erential equations, Academic Press, 1988.

(78)

Sewell, G. The numerical solution of ordinary and partial di¤erential equations, Academic Press, 1988.

Co¸skun, E. Diferensiyel Denklemler için Sonlu fark yöntemleri, KTÜ Ders Notu.