2.1 Grünwald-Letnikov Kesirli Türevleri
2.1.1 Türev ve · Integralin Ortak · Ifadesi:
Bu bölümde, klasik analizde farkl¬ olarak verilen iki notasyonun ortak ifadesine yakla¸ s¬mlar ifade edilecektir. Bunlar n: basamaktan türev ve n katl¬integrallerdir.
¸
Simdi sürekli bir y = f (t) fonksiyonu alal¬m. f (t) fonksiyonunun birinci basamaktan türevi
f 0 (t) = df
dt = lim
h!0
f (t) f (t h) h
¸ seklinde tan¬mlan¬r. Bu ifadenin ard¬¸ s¬k olarak türevleri al¬n¬rsa f 00 (t) = d 2 f
dt 2 = lim
h!0
f (t) 2f (t h) + f (t 2h) h 2
f 000 (t) = d 3 f
dt 3 = lim
h!0
f (t) 3f (t h) + 3f (t 2h) f (t 3h) h 3
ve tümevar¬mla
f (n) (t) = d n f
dt n = lim
h!0
1 h n
X n r=0
( 1) r n
r f (t rh) bulunur. Burada
n
r = n(n 1)(n 2):::(n r + 1) r!
ifadesi Binom sabitleri için genel gösterimdir. Dolay¬s¬yla f h (p) (t) = 1
h p X n
r=0
( 1) r p
r f (t rh) elde edilir.
Burada p key… bir tamsay¬ve n de bir tamsay¬d¬r. p n için
h!0 lim f h (p) (t) = f (p) (t) = d p f dt p dir.
¸
Simdi p < 0 alal¬m. Uygunluk için p
r = p(p + 1)::::::(p + r 1) r!
7
al¬rsak
p
r = p( p 1):::( p r + 1)
r! = ( 1) r p
r buluruz.
p yerine p al¬rsak
f h ( p) (t) = 1 h p
X n r=0
p
r f (t rh) elde edilir ve burada p, pozitif tam say¬d¬r.
E¼ ger n sabitlenirse,h ! 0 oldu¼ gunda f h ( p) (t) s¬f¬ra gider. S¬f¬rdan farkl¬bir limite gitmesi için h ! 0 iken n ! 1 oldu¼ gunu kabul etmemiz gerekir. Bunun için a IRolmak üzere h = t a n al¬nmal¬d¬r. Burada
h!0 lim
nh=t a
f h ( p) (t) = a D ( p) t f (t) gösterimini kullanaca¼ g¬z.
¸
Simdi baz¬özel durumlar¬ele alal¬m.
p=1 için
f h ( 1) (t) = h X n
r=0
1
r f (t rh) ve
lim
nh=t
h!0
af h ( 1) (t) = a D t 1 f (t) = Z t a
0
f (t z)dz = Z t
a
f ( )d dir.
p = 2 için
f h ( 2) (t) = h X n
r=0
(r + 1) hf (t rh) olup burada
2
r = 2:3::::::(2 + r 1)
r! = r + 1
dir. Buradan lim
nh=t
h!0
af h ( 2) (t) = a D t 2 f (t) = Z t a
0
zf (t z)dz = Z t
a
f (t )f ( )d
elde edilir. Bu ¸ sekilde i¸ slemlere devam edilirse
a D t p f (t) = lim
nh=t
h!0
ah p X n h!0
p
r f (t rh) = 1 (p 1)!
Z t
a
(t ) p 1 f ( ) d
8
elde edilir.Bu ifade p-katl¬integrali temsil etmektedir. Çünkü d
dt ( a D t p f (t)) = 1 (p )!
Z t
a
(t ) p f ( )d = a D t p+1 f (t)
ifadeninin a dan t ye integre edilmesiyle
a D t p f (t) = Z t
a
( a D t p+1 f (t))dt
a D t p+1 f (t) = Z t
a
( a D t p+2 f (t))dt
ve
a D t p f (t) = Z t
a
dt Z t
a
( a D t p+2 f (t))dt
= Z t
a
dt Z t
a
dt Z t
a
( a D t p+3 f (t))dt
= Z t
a
dt Z t
a
dt Z t
a
dt::::::::
Z t
a
f (t)dt
elde edilir. Dolay¬s¬yla
a D p t f (t) = lim
nh=t
h!0
ah p X n
r=0
( 1) r p
r f (t rh) dir.
E¼ ger p = m al¬rsak m inci basamaktan türevi, e¼ ger p = m al¬rsak m katl¬integrali elde ederiz.Key… Basamaktan · Integraller
p < 0 olma durumunu dü¸ sünelim. Uygunluk için, p yerine p yazarsak
a D t p f (t) = lim
nh=t
