Say¬sal Analiz

Say¬sal Analiz

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:[email protected]

Eylül, 2019

Matematiksel Analiz

Analitik

Say¬sal

Kalitatif

Sembolik

Matematiksel Analiz

Analitik Say¬sal

Kalitatif

Sembolik

Matematiksel Analiz

Analitik Say¬sal Kalitatif

Sembolik

Matematiksel Analiz

Analitik

Say¬sal

Kalitatif

Sembolik

Analitik Analiz

x

3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi ?

a

x + a

y = b

a

x + a

y = b

denklem sisteminin çözümü? R

0

sin ( x ) dx integralinin sonucu?

( x

, y

) , ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen do¼ gru denkleminin belirlenmesi? y

= t y , t 2 ( ^{a, b} ) , y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin

çözümünün belirlenmesi?

Analitik Analiz

x

3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi ?

a

x + a

y = b

a

x + a

y = b

denklem sisteminin çözümü?

R

sin ( x ) dx integralinin sonucu?

( x

, y

) , ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen do¼ gru denkleminin belirlenmesi? y

= t y , t 2 ( ^{a, b} ) , y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin

çözümünün belirlenmesi?

Analitik Analiz

x

3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi ?

a

x + a

y = b

a

x + a

y = b

denklem sisteminin çözümü?

R

sin ( x ) dx integralinin sonucu?

( x

, y

) , ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen do¼ gru denkleminin belirlenmesi? y

= t y , t 2 ( ^{a, b} ) , y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin

çözümünün belirlenmesi?

Analitik Analiz

x

3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi ?

a

x + a

y = b

a

x + a

y = b

denklem sisteminin çözümü?

R

sin ( x ) dx integralinin sonucu?

( x

, y

) , ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen do¼ gru denkleminin belirlenmesi?

y

= t y , t 2 ( ^{a, b} ) , y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin

çözümünün belirlenmesi?

Analitik Analiz

x

3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi ?

a

x + a

y = b

a

x + a

y = b

denklem sisteminin çözümü?

R

sin ( x ) dx integralinin sonucu?

( x

, y

) , ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen do¼ gru denkleminin belirlenmesi?

Say¬sal Analiz

a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x + a

= 0 denkleminin çözümü?

(Derecesi be¸s veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(Niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli

Matematikçi, Genellle¸stirme: Évariste Galois(1811-1832) Frans¬z Matematikçi).

AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F ( X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü?

R

sin ( x

) dx integralinin sonucu?

Gra…¼ gi, verilen (x

, y

) , ( x

, y

) , ..., ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen polinomun belirlenmesi?

y 0 = ^{t y}

^{, t} 2 ( ^{a, b} ) y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

Say¬sal Analiz

a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x + a

= 0 denkleminin çözümü?

(Derecesi be¸s veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(Niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli

Matematikçi, Genellle¸stirme: Évariste Galois(1811-1832) Frans¬z Matematikçi).

AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak

F ( X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? R

0

sin ( x

) dx integralinin sonucu?

Gra…¼ gi, verilen (x

, y

) , ( x

, y

) , ..., ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen polinomun belirlenmesi?

y 0 = ^{t y}

^{, t} 2 ( ^{a, b} ) y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

Say¬sal Analiz

a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x + a

= 0 denkleminin çözümü?

(Derecesi be¸s veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(Niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli

Matematikçi, Genellle¸stirme: Évariste Galois(1811-1832) Frans¬z Matematikçi).

AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F ( X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü?

R

sin ( x

) dx integralinin sonucu?

Gra…¼ gi, verilen (x

, y

) , ( x

, y

) , ..., ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen polinomun belirlenmesi?

y 0 = ^{t y}

^{, t} 2 ( ^{a, b} ) y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

Say¬sal Analiz

a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x + a

= 0 denkleminin çözümü?

(Derecesi be¸s veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(Niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli

Matematikçi, Genellle¸stirme: Évariste Galois(1811-1832) Frans¬z Matematikçi).

AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F ( X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü?

R

sin ( x

) dx integralinin sonucu?

Gra…¼ gi, verilen (x

, y

) , ( x

, y

) , ..., ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen polinomun belirlenmesi?

y 0 = ^{t y}

^{, t} 2 ( ^{a, b} ) y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

Say¬sal Analiz

a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x + a

= 0 denkleminin çözümü?

(Derecesi be¸s veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(Niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli

Matematikçi, Genellle¸stirme: Évariste Galois(1811-1832) Frans¬z Matematikçi).

AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F ( X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü?

R

sin ( x

) dx integralinin sonucu?

Gra…¼ gi, verilen (x

, y

) , ( x

, y

) , ..., ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen polinomun belirlenmesi?

y 0 = ^{t y}

^{, t} 2 ( ^{a, b} ) y ( a ) = y

ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünün belirlenmesi?

Say¬sal Analiz

a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x

+ a

x + a

= 0 denkleminin çözümü?

(Derecesi be¸s veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(Niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli

Matematikçi, Genellle¸stirme: Évariste Galois(1811-1832) Frans¬z Matematikçi).

AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F ( X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü?

R

sin ( x

) dx integralinin sonucu?

Gra…¼ gi, verilen (x

, y

) , ( x

, y

) , ..., ( x

, y

) noktalar¬ndan geçen

polinomun belirlenmesi?

Kalitatif Analiz

Çözümü elde etmeden, çözüm hakk¬nda bilgi edinmek. Örne¼ gin y

= y ( 1 y )

y ( 0 ) = y

problemini gözönüne alal¬m. y

> 1 için denklemin sa¼ g taraf¬negatif olup, y 0 < 0 d¬r. Dolay¬s¬yla çözüm e¼ grileri artan t de¼ gerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

0 < y

< 1 için denklemin sa¼ g taraf¬pozitif, yani y 0 > 0 olup, çözüm e¼ grileri artarak y = 1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

Öte yandan y

< 0 için denklemin sa¼ g yan¬negatif olaca¼ g¬için çözüm

e¼ grilerinin devaml¬olarak azalmas¬gerekti¼ gi, çözüm belirlenmeksizin

anla¸s¬lmaktad¬r.

Kalitatif Analiz

Çözümü elde etmeden, çözüm hakk¬nda bilgi edinmek. Örne¼ gin y

= y ( 1 y )

y ( 0 ) = y

problemini gözönüne alal¬m. y

> 1 için denklemin sa¼ g taraf¬negatif olup, y 0 < 0 d¬r. Dolay¬s¬yla çözüm e¼ grileri artan t de¼ gerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

0 < y

< 1 için denklemin sa¼ g taraf¬pozitif, yani y 0 > 0 olup, çözüm e¼ grileri artarak y = 1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

Öte yandan y

< 0 için denklemin sa¼ g yan¬negatif olaca¼ g¬için çözüm

e¼ grilerinin devaml¬olarak azalmas¬gerekti¼ gi, çözüm belirlenmeksizin

anla¸s¬lmaktad¬r.

Kalitatif Analiz

Çözümü elde etmeden, çözüm hakk¬nda bilgi edinmek. Örne¼ gin y

= y ( 1 y )

y ( 0 ) = y

problemini gözönüne alal¬m. y

> 1 için denklemin sa¼ g taraf¬negatif olup, y 0 < 0 d¬r. Dolay¬s¬yla çözüm e¼ grileri artan t de¼ gerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

0 < y

< 1 için denklemin sa¼ g taraf¬pozitif, yani y 0 > 0 olup, çözüm e¼ grileri artarak y = 1 asimtotuna yakla¸s¬rlar.

Öte yandan y

< 0 için denklemin sa¼ g yan¬negatif olaca¼ g¬için çözüm

e¼ grilerinin devaml¬olarak azalmas¬gerekti¼ gi, çözüm belirlenmeksizin

Kalitatif Analiz

Gerçekten de a¸sa¼ g¬da Maxima’n¬n plotdf fonksiyonu yard¬m¬yla elde etti¼ gimiz çözüm e¼ grileri tahmin edilen davran¬¸s¬sergilemektedirler.

-1 0 1 2

y

Sembolik analiz

Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortam¬nda Bilgisayar Cebir Sistemi ad¬verilen yaz¬l¬mlar yard¬m¬yla geçekle¸stirilen analiz yöntemidir.

Analitik çözümü kolayca elde edilebilen a¸sa¼ g¬daki ba¸slang¬ç de¼ ger

probleminin Maxima ortam¬nda çözümünün nas¬l elde edildi¼ gini

izleyelim:

Sembolik analiz

Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortam¬nda Bilgisayar Cebir Sistemi ad¬verilen yaz¬l¬mlar yard¬m¬yla geçekle¸stirilen analiz yöntemidir.

Analitik çözümü kolayca elde edilebilen a¸sa¼ g¬daki ba¸slang¬ç de¼ ger

probleminin Maxima ortam¬nda çözümünün nas¬l elde edildi¼ gini

izleyelim:

Sembolik analiz

y

+ y

= x

y ( 0 ) = 0, y

( 0 ) = 0

Sembolik analiz

y

+ y

= x

y ( 0 ) = 0, y

( 0 ) = 0

Bir problemin Say¬sal Analiz a¸samalar¬

1

Uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem,

2

problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem,

3

söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma,

4

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬(kodu),

5

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve

6

sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼ gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse

alternatif yöntem aray¬¸ slar¬n¬içeren a¸ samalardan olu¸ sur.

Bir problemin Say¬sal Analiz a¸samalar¬

1

Uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem,

2

problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem,

3

söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma,

4

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬(kodu),

5

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve

6

sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼ gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse

alternatif yöntem aray¬¸ slar¬n¬içeren a¸ samalardan olu¸ sur.

Bir problemin Say¬sal Analiz a¸samalar¬

1

Uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem,

2

problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem,

3

söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma,

4

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬(kodu),

5

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve

6

sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼ gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse

alternatif yöntem aray¬¸ slar¬n¬içeren a¸ samalardan olu¸ sur.

Bir problemin Say¬sal Analiz a¸samalar¬

1

Uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem,

2

problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem,

3

söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma,

4

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬(kodu),

5

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve

6

sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼ gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse

alternatif yöntem aray¬¸ slar¬n¬içeren a¸ samalardan olu¸ sur.

Bir problemin Say¬sal Analiz a¸samalar¬

1

Uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem,

2

problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem,

3

söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma,

4

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬(kodu),

5

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve

6

sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼ gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse

alternatif yöntem aray¬¸ slar¬n¬içeren a¸ samalardan olu¸ sur.

Bir problemin Say¬sal Analiz a¸samalar¬

1

Uygun bir matematiksel dille ifade edilmi¸s bir problem,

2

problemin çözümü için gerekli say¬sal yöntem,

3

söz konusu say¬sal yöntem için geli¸stirilen algoritma,

4

algoritman¬n uygun bir programlama diline dönü¸stürülmü¸s program¬(kodu),

5

Program¬n örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve

6

sonuç, yorum ve yöntemin kriti¼ gi(k¬s¬tlamalar¬) ile mümkünse

alternatif yöntem aray¬¸ slar¬n¬içeren a¸ samalardan olu¸ sur.

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

Problem:Verilen bir x

noktas¬kom¸sulu¼ gunda sürekli olan

fonksiyonun, söz konusu nokta kom¸sulu¼ gunda reel s¬f¬r yerini(e¼ ger mevcutsa) içeren [ a, b ] aral¬¼ g¬n¬belirleme problemi

Say¬sal yöntem(sa¼ g veya sol yönde tarama): x

noktas¬n¬içeren uygun bir [ xmin, xmax ] = [ x

R, x

+ R ] , R > 0 sabit, kümesine s¬f¬ryeri tarama aral¬¼ g¬ ad¬verelim. x = x

noktas¬ndan ba¸slayarak önce sa¼ ga do¼ gru, uygun bir h ad¬m uzunluklu

x, x + h, x + 2h, ... ile tan¬mlanan noktalarda,

f ( x ) f ( x + h ) <= 0

e¸sitsizli¼ gini sa¼ glayan ilk ( x, x + h ) nokta çiftini belirleyelim. Bu

durumda s¬f¬r yerini içeren aral¬k X = [ x, x + h ] d¬r.

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

Problem:Verilen bir x

noktas¬kom¸sulu¼ gunda sürekli olan

fonksiyonun, söz konusu nokta kom¸sulu¼ gunda reel s¬f¬r yerini(e¼ ger mevcutsa) içeren [ a, b ] aral¬¼ g¬n¬belirleme problemi

Say¬sal yöntem(sa¼ g veya sol yönde tarama): x

noktas¬n¬içeren uygun bir [ xmin, xmax ] = [ x

R, x

+ R ] , R > 0 sabit, kümesine s¬f¬ryeri tarama aral¬¼ g¬ ad¬verelim. x = x

noktas¬ndan ba¸slayarak önce sa¼ ga do¼ gru, uygun bir h ad¬m uzunluklu

x, x + h, x + 2h, ...

ile tan¬mlanan noktalarda,

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

E¼ ger belirtilen kriterleri sa¼ glayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x = x

noktas¬ndan ba¸slayarak,

x, x h, x 2h, ...

ile tan¬mlanan noktalarda

f ( x h ) f ( x ) <= 0

yukar¬daki e¸sitsizli¼ gin sa¼ gland¬¼ g¬ilk ( x h, x ) nokta çiftini

belirleyelim. Bu durumda s¬f¬r yerini içeren aral¬k X = [ x h, x ] dir.

E¼ ger sol yönde tarama i¸sleminde de belirtilen kriteri sa¼ glayan nokta

çifti bulunamaz ise bu durumda [ x_ min, x_ max ] tarama aral¬¼ g¬nda

s¬f¬ryerini içeren alt aral¬k belirlenememi¸s olur.

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:S¬f¬r yerini içeren aral¬¼ g¬

belirleme problemi)

E¼ ger belirtilen kriterleri sa¼ glayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x = x

noktas¬ndan ba¸slayarak,

x, x h, x 2h, ...

ile tan¬mlanan noktalarda

f ( x h ) f ( x ) <= 0

yukar¬daki e¸sitsizli¼ gin sa¼ gland¬¼ g¬ilk ( x h, x ) nokta çiftini

belirleyelim. Bu durumda s¬f¬r yerini içeren aral¬k X = [ x h, x ] dir.

Örnek-I:Algoritma

Algoritma say¬sal yöntemin hangi ad¬mlar takip edilerek, nas¬l uygulanaca¼ g¬n¬ifade eder. Algoritma

1

kullan¬c¬dan Girdi(input) ad¬verilen verilerin al¬nmas¬,

2

yöntemin uygulanmas¬için gerekli her bir ad¬m ile

3

kullan¬c¬ya iletilecek sonuçlar¬n(Ǭkt¬ veya Output) aç¬k ve net bir

biçimde ifade edildi¼ gi komutlar kümesidir.

Örnek-I:Algoritma

Algoritma say¬sal yöntemin hangi ad¬mlar takip edilerek, nas¬l uygulanaca¼ g¬n¬ifade eder. Algoritma

1

kullan¬c¬dan Girdi(input) ad¬verilen verilerin al¬nmas¬,

2

yöntemin uygulanmas¬için gerekli her bir ad¬m ile

3

kullan¬c¬ya iletilecek sonuçlar¬n(Ǭkt¬ veya Output) aç¬k ve net bir

biçimde ifade edildi¼ gi komutlar kümesidir.

Örnek-I:Algoritma

Algoritma say¬sal yöntemin hangi ad¬mlar takip edilerek, nas¬l uygulanaca¼ g¬n¬ifade eder. Algoritma

1

kullan¬c¬dan Girdi(input) ad¬verilen verilerin al¬nmas¬,

2

yöntemin uygulanmas¬için gerekli her bir ad¬m ile

3

kullan¬c¬ya iletilecek sonuçlar¬n(Ǭkt¬ veya Output) aç¬k ve net bir

biçimde ifade edildi¼ gi komutlar kümesidir.

Örnek-I:Algoritma

Algoritma say¬sal yöntemin hangi ad¬mlar takip edilerek, nas¬l uygulanaca¼ g¬n¬ifade eder. Algoritma

1

kullan¬c¬dan Girdi(input) ad¬verilen verilerin al¬nmas¬,

2

yöntemin uygulanmas¬için gerekli her bir ad¬m ile

3

kullan¬c¬ya iletilecek sonuçlar¬n(Ǭkt¬ veya Output) aç¬k ve net bir

biçimde ifade edildi¼ gi komutlar kümesidir.

Örnek-I:Algoritma

1 Girdi : f , x

2 Varsay¬lan parametre: R = 10 varsay¬lan s¬f¬r yeri tarama yar¬çap¬ 3 xmin = x

R, xmax = x

+ R olmak üzere [ xmin, xmax s¬f¬r yeri

tarama aral¬¼ g¬

4 h = 0.1 (tarama ad¬m uzunlu¼ gu), yani ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x = x

ilk tahmini de¼ ger

5 x < xmax oldu¼ gu sürece (Sa¼ g yönde tarama:)

e¼ ger f ( x ) f ( x + h ) 0 ise X = [ x, x + h ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x + h olarak tan¬mla ve 5 e git

Örnek-I:Algoritma

1 Girdi : f , x

2 Varsay¬lan parametre: R = 10 varsay¬lan s¬f¬r yeri tarama yar¬çap¬

3 xmin = x

R, xmax = x

+ R olmak üzere [ xmin, xmax s¬f¬r yeri tarama aral¬¼ g¬

4 h = 0.1 (tarama ad¬m uzunlu¼ gu), yani ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x = x

ilk tahmini de¼ ger

5 x < xmax oldu¼ gu sürece (Sa¼ g yönde tarama:)

e¼ ger f ( x ) f ( x + h ) 0 ise X = [ x, x + h ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x + h olarak tan¬mla ve 5 e git

Örnek-I:Algoritma

1 Girdi : f , x

2 Varsay¬lan parametre: R = 10 varsay¬lan s¬f¬r yeri tarama yar¬çap¬

3 xmin = x

R, xmax = x

+ R olmak üzere [ xmin, xmax s¬f¬r yeri tarama aral¬¼ g¬

4 h = 0.1 (tarama ad¬m uzunlu¼ gu), yani ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x = x

ilk tahmini de¼ ger

5 x < xmax oldu¼ gu sürece (Sa¼ g yönde tarama:)

e¼ ger f ( x ) f ( x + h ) 0 ise X = [ x, x + h ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x + h olarak tan¬mla ve 5 e git

Örnek-I:Algoritma

1 Girdi : f , x

2 Varsay¬lan parametre: R = 10 varsay¬lan s¬f¬r yeri tarama yar¬çap¬

3 xmin = x

R, xmax = x

+ R olmak üzere [ xmin, xmax s¬f¬r yeri tarama aral¬¼ g¬

4 h = 0.1 (tarama ad¬m uzunlu¼ gu), yani ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x = x

ilk tahmini de¼ ger

5 x < xmax oldu¼ gu sürece (Sa¼ g yönde tarama:)

e¼ ger f ( x ) f ( x + h ) 0 ise X = [ x, x + h ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x + h olarak tan¬mla ve 5 e git

Örnek-I:Algoritma

1 Girdi : f , x

2 Varsay¬lan parametre: R = 10 varsay¬lan s¬f¬r yeri tarama yar¬çap¬

3 xmin = x

R, xmax = x

+ R olmak üzere [ xmin, xmax s¬f¬r yeri tarama aral¬¼ g¬

4 h = 0.1 (tarama ad¬m uzunlu¼ gu), yani ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x = x

ilk tahmini de¼ ger

5 x < xmax oldu¼ gu sürece (Sa¼ g yönde tarama:)

e¼ ger f ( x ) f ( x + h ) 0 ise X = [ x, x + h ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x + h olarak tan¬mla ve 5 e git

Örnek-I:Algoritma

1 Girdi : f , x

2 Varsay¬lan parametre: R = 10 varsay¬lan s¬f¬r yeri tarama yar¬çap¬

3 xmin = x

R, xmax = x

+ R olmak üzere [ xmin, xmax s¬f¬r yeri tarama aral¬¼ g¬

4 h = 0.1 (tarama ad¬m uzunlu¼ gu), yani ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x = x

ilk tahmini de¼ ger

5 x < xmax oldu¼ gu sürece (Sa¼ g yönde tarama:)

e¼ ger f ( x ) f ( x + h ) 0 ise X = [ x, x + h ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x + h olarak tan¬mla ve 5 e git

Örnek-I:Algoritma

1 Girdi : f , x

2 Varsay¬lan parametre: R = 10 varsay¬lan s¬f¬r yeri tarama yar¬çap¬

3 xmin = x

R, xmax = x

+ R olmak üzere [ xmin, xmax s¬f¬r yeri tarama aral¬¼ g¬

4 h = 0.1 (tarama ad¬m uzunlu¼ gu), yani ard¬¸s¬k noktalar aras¬mesafe, x = x

ilk tahmini de¼ ger

5 x < xmax oldu¼ gu sürece (Sa¼ g yönde tarama:)

e¼ ger f ( x ) f ( x + h ) 0 ise X = [ x, x + h ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x + h olarak tan¬mla ve 5 e git

Örnek-I:Algoritma

6 x = x

,

7 x > xmin oldu¼ gu sürece Sol yönde tarama

e¼ ger f ( x h ) f ( x ) 0 ise X = [ x h, x ] tan¬mla ve ç¬k, de¼ gilse x = x h olarak tan¬mla ve 7 ye git

8 S¬f¬r yeri için tahmini aral¬k bulunamad¬yaz, X = [] tan¬mla ve ç¬k.

9 Ǭkt¬: X

Örnek-I:Algoritma

6 x = x

,

7 x > xmin oldu¼ gu sürece Sol yönde tarama

e¼ ger f ( x h ) f ( x ) 0 ise X = [ x h, x ] tan¬mla ve ç¬k, de¼ gilse x = x h olarak tan¬mla ve 7 ye git

8 S¬f¬r yeri için tahmini aral¬k bulunamad¬yaz, X = [] tan¬mla ve ç¬k.

9 Ǭkt¬: X

Örnek-I:Algoritma

6 x = x

,

7 x > xmin oldu¼ gu sürece Sol yönde tarama

e¼ ger f ( x h ) f ( x ) 0 ise X = [ x h, x ] tan¬mla ve ç¬k,

de¼ gilse x = x h olarak tan¬mla ve 7 ye git

8 S¬f¬r yeri için tahmini aral¬k bulunamad¬yaz, X = [] tan¬mla ve ç¬k.

9 Ǭkt¬: X

Örnek-I:Algoritma

6 x = x

,

7 x > xmin oldu¼ gu sürece Sol yönde tarama

e¼ ger f ( x h ) f ( x ) 0 ise X = [ x h, x ] tan¬mla ve ç¬k, de¼ gilse x = x h olarak tan¬mla ve 7 ye git

8 S¬f¬r yeri için tahmini aral¬k bulunamad¬yaz, X = [] tan¬mla ve ç¬k.

9 Ǭkt¬: X

Örnek-I:Algoritma

6 x = x

,

7 x > xmin oldu¼ gu sürece Sol yönde tarama

e¼ ger f ( x h ) f ( x ) 0 ise X = [ x h, x ] tan¬mla ve ç¬k, de¼ gilse x = x h olarak tan¬mla ve 7 ye git

8 S¬f¬r yeri için tahmini aral¬k bulunamad¬yaz, X = [] tan¬mla ve ç¬k.

9 Ǭkt¬: X

Örnek-I:Algoritma

6 x = x

,

7 x > xmin oldu¼ gu sürece Sol yönde tarama

e¼ ger f ( x h ) f ( x ) 0 ise X = [ x h, x ] tan¬mla ve ç¬k, de¼ gilse x = x h olarak tan¬mla ve 7 ye git

8 S¬f¬r yeri için tahmini aral¬k bulunamad¬yaz, X = [] tan¬mla ve ç¬k.

9 Ǭkt¬: X

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

13

x = x h; end

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

14

end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

12

else

x = x h; end

15

disp (

sifir yerini iceren aralik bulunamadi

) ; X = [] ;

Örnek-I:Program(Kod)

1

function X=bul(f,x0)

2

x = x0; R = 10;

3

xmin = x0 R; xmax = x0 + R; h = 0.1;

4

while x < xmax

5

if f ( x ) f ( x + h ) <= 0 X = [ x, x + h ] ; return;

6

else

7

x = x + h; end

8

end

9

x = x0;

10

while x > xmin

11

if f ( x h ) f ( x ) <= 0 X = [ x h, x ] ; return;

Örnek-I:Test ve uygulama

f ( x ) = exp ( x ) x 4 fonksiyonunun x

= 0 noktas¬kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [ a, b ] aral¬¼ g¬n¬belirleyiniz.

>> f=@(x) exp(x)-x-4

>> X=bul(f,0)

X= 1.7000 1.8000

Örnek-I:Test ve uygulama

f ( x ) = exp ( x ) x 4 fonksiyonunun x

= 0 noktas¬kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [ a, b ] aral¬¼ g¬n¬belirleyiniz.

>> f=@(x) exp(x)-x-4

>> X=bul(f,0)

X= 1.7000 1.8000

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:Test)

f ( x ) = log ( x ) x + 4 fonksiyonunun x

= 10 noktas¬

kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [ a, b ] aral¬¼ g¬n¬

belirleyiniz.

>> f=@(x) log(x)-x+4

>> X=bul(f,10)

X=5.7000 5.8000

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-I:Test)

f ( x ) = log ( x ) x + 4 fonksiyonunun x

= 10 noktas¬

kom¸sulu¼ gundaki s¬f¬r yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [ a, b ] aral¬¼ g¬n¬

belirleyiniz.

>> f=@(x) log(x)-x+4

>> X=bul(f,10)

X=5.7000 5.8000

Örnek-I:K¬s¬tlamalar, alternatif aray¬¸slar

Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalar¬n¬içeren aral¬k yukar¬da tan¬mlanan yöntem ile yanl¬¸sl¬kla s¬f¬r yeri olarak yorumlanabilir.

Örne¼ gin f ( x ) = 1/x fonsiyonuna s¬f¬r noktas¬n¬içeren bir aral¬kta yöntem uyguland¬¼ g¬taktirde bu tür bir yanl¬¸s sonuç olu¸sabilir.

Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ ger teoremini esas ald¬¼ g¬için sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yine arade¼ ger teoremi gere¼ gi, yöntem sadece s¬f¬r noktas¬ kom¸ sulu¼ gunda i¸ saret de¼ gi¸ stiren s¬f¬r yerlerini( tek katl¬ s¬f¬r yerlerini) belirlemek amac¬yla kullan¬labilir, fakat f ( x ) = x

gibi çift katl¬s¬f¬r yerlerine sahip olan, yani s¬f¬r yeri kom¸sulu¼ gunda i¸saret de¼ gi¸stirmeyen fonksiyonlar¬n s¬f¬r yerlerinin belirlenmesinde

kullan¬lamaz.

Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde

geli¸stirilebilir.

Örnek-I:K¬s¬tlamalar, alternatif aray¬¸slar

Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalar¬n¬içeren aral¬k yukar¬da tan¬mlanan yöntem ile yanl¬¸sl¬kla s¬f¬r yeri olarak yorumlanabilir.

Örne¼ gin f ( x ) = 1/x fonsiyonuna s¬f¬r noktas¬n¬içeren bir aral¬kta yöntem uyguland¬¼ g¬taktirde bu tür bir yanl¬¸s sonuç olu¸sabilir.

Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ ger teoremini esas ald¬¼ g¬için sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yine arade¼ ger teoremi gere¼ gi, yöntem sadece s¬f¬r noktas¬ kom¸ sulu¼ gunda i¸ saret de¼ gi¸ stiren s¬f¬r yerlerini( tek katl¬ s¬f¬r yerlerini) belirlemek amac¬yla kullan¬labilir, fakat f ( x ) = x

gibi çift katl¬s¬f¬r yerlerine sahip olan, yani s¬f¬r yeri kom¸sulu¼ gunda i¸saret de¼ gi¸stirmeyen fonksiyonlar¬n s¬f¬r yerlerinin belirlenmesinde

kullan¬lamaz.

Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde

geli¸stirilebilir.

Örnek-I:K¬s¬tlamalar, alternatif aray¬¸slar

Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalar¬n¬içeren aral¬k yukar¬da tan¬mlanan yöntem ile yanl¬¸sl¬kla s¬f¬r yeri olarak yorumlanabilir.

Örne¼ gin f ( x ) = 1/x fonsiyonuna s¬f¬r noktas¬n¬içeren bir aral¬kta yöntem uyguland¬¼ g¬taktirde bu tür bir yanl¬¸s sonuç olu¸sabilir.

Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ ger teoremini esas ald¬¼ g¬için sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir.

Yine arade¼ ger teoremi gere¼ gi, yöntem sadece s¬f¬r noktas¬ kom¸ sulu¼ gunda i¸ saret de¼ gi¸ stiren s¬f¬r yerlerini( tek katl¬ s¬f¬r yerlerini) belirlemek amac¬yla kullan¬labilir, fakat f ( x ) = x

gibi çift katl¬s¬f¬r yerlerine sahip olan, yani s¬f¬r yeri kom¸sulu¼ gunda i¸saret de¼ gi¸stirmeyen fonksiyonlar¬n s¬f¬r yerlerinin belirlenmesinde

kullan¬lamaz.

Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde

geli¸stirilebilir.

Örnek-I:K¬s¬tlamalar, alternatif aray¬¸slar

Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalar¬n¬içeren aral¬k yukar¬da tan¬mlanan yöntem ile yanl¬¸sl¬kla s¬f¬r yeri olarak yorumlanabilir.

Örne¼ gin f ( x ) = 1/x fonsiyonuna s¬f¬r noktas¬n¬içeren bir aral¬kta yöntem uyguland¬¼ g¬taktirde bu tür bir yanl¬¸s sonuç olu¸sabilir.

Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ ger teoremini esas ald¬¼ g¬için sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir.

Yine arade¼ ger teoremi gere¼ gi, yöntem sadece s¬f¬r noktas¬

kom¸ sulu¼ gunda i¸ saret de¼ gi¸ stiren s¬f¬r yerlerini( tek katl¬

s¬f¬r yerlerini) belirlemek amac¬yla kullan¬labilir, fakat f ( x ) = x

gibi çift katl¬s¬f¬r yerlerine sahip olan, yani s¬f¬r yeri kom¸sulu¼ gunda i¸saret de¼ gi¸stirmeyen fonksiyonlar¬n s¬f¬r yerlerinin belirlenmesinde

Yöntem yukar¬da bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek ¸sekilde

geli¸stirilebilir.

Örnek-I:K¬s¬tlamalar, alternatif aray¬¸slar

Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalar¬n¬içeren aral¬k yukar¬da tan¬mlanan yöntem ile yanl¬¸sl¬kla s¬f¬r yeri olarak yorumlanabilir.

Örne¼ gin f ( x ) = 1/x fonsiyonuna s¬f¬r noktas¬n¬içeren bir aral¬kta yöntem uyguland¬¼ g¬taktirde bu tür bir yanl¬¸s sonuç olu¸sabilir.

Yöntem sürekli fonksiyonlar için arade¼ ger teoremini esas ald¬¼ g¬için sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir.

Yine arade¼ ger teoremi gere¼ gi, yöntem sadece s¬f¬r noktas¬

kom¸ sulu¼ gunda i¸ saret de¼ gi¸ stiren s¬f¬r yerlerini( tek katl¬

s¬f¬r yerlerini) belirlemek amac¬yla kullan¬labilir, fakat f ( x ) = x

gibi çift katl¬s¬f¬r yerlerine sahip olan, yani s¬f¬r yeri kom¸sulu¼ gunda i¸saret de¼ gi¸stirmeyen fonksiyonlar¬n s¬f¬r yerlerinin belirlenmesinde

kullan¬lamaz.

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-II)

Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [ a, b ] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸ saret de¼gi¸ stiren ( f ( a ) f ( b ) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [ a, b ] aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yeri için uygun bir yakla¸ s¬m¬belirleyiniz.

Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ ger teoremi gere¼ gi problemin çözümü

mevcuttur.

Say¬sal Analiz süreci(Örnek-II)

Problem(S¬f¬ryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [ a, b ] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve aral¬¼g¬n¬n uç noktalar¬nda i¸ saret de¼gi¸ stiren ( f ( a ) f ( b ) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [ a, b ] aral¬¼g¬ndaki s¬f¬r yeri için uygun bir yakla¸ s¬m¬belirleyiniz.

Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ ger teoremi gere¼ gi problemin çözümü

mevcuttur.

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [ a, b ] aral¬¼ g¬ile ba¸slayarak,

aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve

fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni [ a, b ] alt aral¬¼ g¬belirlenir,

aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni aral¬k ile ve e > 0 küçük sabiti için

j ^{b a} j > ^{e veya c} = ( a + b ) /2 olmak üzere j ^f ( c )j > ^{e oldu¼ gu} sürece devam edilir,

elde edilen en son aral¬¼ g¬n orta noktas¬s¬f¬r yeri olarak kabul edilir.

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [ a, b ] aral¬¼ g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve

fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni [ a, b ] alt aral¬¼ g¬belirlenir,

aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni aral¬k ile ve e > 0 küçük sabiti için

j ^{b a} j > ^{e veya c} = ( a + b ) /2 olmak üzere j ^f ( c )j > ^{e oldu¼ gu} sürece devam edilir,

elde edilen en son aral¬¼ g¬n orta noktas¬s¬f¬r yeri olarak kabul edilir.

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [ a, b ] aral¬¼ g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve

fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni [ a, b ] alt aral¬¼ g¬belirlenir,

aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni aral¬k ile ve e > 0 küçük sabiti için

j ^{b a} j > ^{e veya c} = ( a + b ) /2 olmak üzere j ^f ( c )j > ^{e oldu¼ gu} sürece devam edilir,

elde edilen en son aral¬¼ g¬n orta noktas¬s¬f¬r yeri olarak kabul edilir.

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [ a, b ] aral¬¼ g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve

fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni [ a, b ] alt aral¬¼ g¬belirlenir,

aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni aral¬k ile ve e > 0 küçük sabiti için

j ^{b a} j > ^{e veya c} = ( a + b ) /2 olmak üzere j ^f ( c )j > ^{e oldu¼ gu} sürece devam edilir,

elde edilen en son aral¬¼ g¬n orta noktas¬s¬f¬r yeri olarak kabul edilir.

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [ a, b ] aral¬¼ g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve

fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni [ a, b ] alt aral¬¼ g¬belirlenir,

aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni aral¬k ile ve e > 0 küçük sabiti için

j ^{b a} j > ^{e veya c} = ( a + b ) /2 olmak üzere j ^f ( c )j > ^{e oldu¼ gu} sürece devam edilir,

elde edilen en son aral¬¼ g¬n orta noktas¬s¬f¬r yeri olarak kabul edilir.

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

Bu yöntem ile [ a, b ] aral¬¼ g¬ile ba¸slayarak, aral¬k her ad¬mda iki e¸sit parçaya bölünür ve

fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni [ a, b ] alt aral¬¼ g¬belirlenir,

aral¬k bölme i¸slemine fonksiyonun i¸saret de¼ gi¸stirdi¼ gi yeni aral¬k ile ve e > 0 küçük sabiti için

j ^{b a} j > ^{e veya c} = ( a + b ) /2 olmak üzere j ^f ( c )j > ^{e oldu¼ gu} sürece devam edilir,

elde edilen en son aral¬¼ g¬n orta noktas¬s¬f¬r yeri olarak kabul edilir.

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

f ( x ) = x

2, [ a, b ] = [ 0, 5 ] ile ikiye bölme yöntemi alt aral¬klar¬ve yakla¸s¬mlar¬:

0 1 2 3 4 5

-10 0 10 20 30

[0,5],c=2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-5 0 5

[0,2.5],c=1.25

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 -5

0 5

[1.25,2.5],c=1.875

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 -2

-1 0 1 2

[1.25,1.875],c=1.5625

Örnek-II:Say¬sal yöntem(ikiye bölme yöntemi)

f ( x ) = x

2, [ a, b ] = [ 0, 5 ] ile ikiye bölme yöntemi alt aral¬klar¬ve yakla¸s¬mlar¬:

0 1 2 3 4 5

-10 0 10 20 30

[0,5],c=2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-5 0 5

[0,2.5],c=1.25

0 5

0 1 2

Örnek-II:Algoritma

1

Girdi: f , a, b, e.

2

c = ( a + b ) /2

3

E¼ ger f ( a ) f ( c ) < 0 ise b = c, de¼ gilse a = c

4

j ^f ( c )j > ^{e oldu¼} gu sürece a, c, b, f ( c ) de¼ gerlerini yaz ve (2) ye git

de¼ gilse i¸slemi durdur.

Örnek-II:Algoritma

1

Girdi: f , a, b, e.

2

c = ( a + b ) /2

3

E¼ ger f ( a ) f ( c ) < 0 ise b = c, de¼ gilse a = c

4

j ^f ( c )j > ^{e oldu¼} gu sürece a, c, b, f ( c ) de¼ gerlerini yaz ve (2) ye git

de¼ gilse i¸slemi durdur.

Örnek-II:Algoritma

1

Girdi: f , a, b, e.

2

c = ( a + b ) /2

3

E¼ ger f ( a ) f ( c ) < 0 ise b = c, de¼ gilse a = c

4

j ^f ( c )j > ^{e oldu¼} gu sürece a, c, b, f ( c ) de¼ gerlerini yaz ve (2) ye git

de¼ gilse i¸slemi durdur.

Örnek-II:Algoritma

1

Girdi: f , a, b, e.

2

c = ( a + b ) /2

3

E¼ ger f ( a ) f ( c ) < 0 ise b = c, de¼ gilse a = c

4

j ^f ( c )j > ^{e oldu¼} gu sürece a, c, b, f ( c ) de¼ gerlerini yaz ve (2) ye git

de¼ gilse i¸slemi durdur.

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

11

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

12

end

Örnek-II:Program(Kod)

1

function c=ikibol(f,a,b, epsilon)

2

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

3

fprintf ( Format, a, c, b, fc ) ;

4

while abs ( fc ) > epsilon

5

if f ( a ) fc < 0

6

b = c;

7

else

8

a = c;

9

end

10

c = ( a + b ) /2; fc = f ( c ) ;

fprintf ( ) ;

Örnek-II:Test ve uygulama

f ( x ) = e

( x + 2 ) fonksiyonunun [ 0, 2 ] aral¬¼ g¬ndaki s¬f¬r yerini ikiye bölme yöntemi yard¬m¬yla belirleyelim. f fonksiyonunu

f = @ ( x ) exp ( x ) ( x + 2 ) ; komutu ile tan¬mlayal¬m.

0.5 1.0 1.5 2.0

-1 0 1 2 3

x

y

Örnek-II:Test ve uygulama

f ( x ) = e

( x + 2 ) fonksiyonunun [ 0, 2 ] aral¬¼ g¬ndaki s¬f¬r yerini ikiye bölme yöntemi yard¬m¬yla belirleyelim. f fonksiyonunu

f = @ ( x ) exp ( x ) ( x + 2 ) ; komutu ile tan¬mlayal¬m.

0.5 1.0 1.5 2.0

-1 0 1 2 3

x

y