ile tan¬ml¬d¬r. F (s) fonksiyonunun ters Laplace dönü¸ sümü f (t) = L

(1)

TERS LAPLACE DÖNÜ¸ SÜMLER· I t 0 için f (t) fonksiyonunun Laplace dönü¸ sümü

L ff (t)g = F (s) = Z

1

0

e

^st

f (t) dt

ile tan¬ml¬d¬r. F (s) fonksiyonunun ters Laplace dönü¸ sümü f (t) = L

¹

fF (s)g

dir.

Teorem 1 (Lineerlik Özelli¼ gi): L

¹

fF

i

(s)g ; i = 1; 2; :::; n; mevcut olsun.

c

₁

; c

₂

; :::; c

_n

’ler key… sabitler olmak üzere

L

¹

fc

¹

F

1

(s) + c

2

F

2

(s) + ::: + c

n

F

n

(s)g = c

¹

L

¹

fF

¹

(s)g+c

²

L

¹

fF

²

(s)g+:::+c

ⁿ

L

¹

fF

ⁿ

(s)g dir.

Teorem 2: L

¹

fF (s)g = f (t) olsun.

i) L

¹

fF (s a)g = e

^at

f (t) dir.

ii) L

¹

F

⁽ⁿ⁾

(s) = ( 1)

ⁿ

t

ⁿ

f (t) dir.

iii) L

¹

fe

^as

F (s)g = u

^a

(t) f (t a) d¬r.

Örnek 1. L

¹

s 2

s

²

+ 4s + 12 =?

Çözüm.

L

¹

s 2

s

²

+ 4s + 12 = L

¹

( s + 2 4

(s + 2)

²

+ 2 p 2

²

)

= L

¹

( s + 2

(s + 2)

²

+ 2 p 2

²

) p

2L

¹

( 2 p

2 (s + 2)

²

+ 2 p

2

²

)

= e

^2t

cos 2 p

2t p

2e

^2t

sin 2 p 2t

Örnek 2. L

¹

2s 3

s (s 2) (s

²

2s + 5) =?

Çözüm. Basit kesirlerine ay¬rma yönteminden 2s 3

s (s 2) (s

²

2s + 5) = A s + B

s 2 + Cs + D

s

²

2s + 5

1

(2)

olarak yaz¬l¬rsa A = 3

10 ; B = 1

10 ; C = 2

5 ; D = 3

5 olur. Buradan

L

¹

2s 3

s (s 2) (s

²

2s + 5)

= 3

10 L

¹

1 s + 1

10 L

¹

1 s 2 + 1 5 L

¹

( 2s + 3 (s 1)

²

+ 2

²

)

= 3

10 L

¹

1 s + 1

10 L

¹

1 s 2

2 5 L

¹

( s 1

(s 1)

²

+ 2

²

)

+ 1 10 L

¹

( 2

(s 1)

²

+ 2

²

)

= 3

10 + 1

10 e

^2t

2 5 e

^t

cos 2t + 1

10 e

^t

sin 2t elde edilir.

Konvolüsyon Operatörü

f; g : R ! R fonksiyonlar¬n¬n konvolüsyonu

(f g) (x) = Z

x

0

f (t) g (x t) dt

olarak tan¬mlan¬r. Konvolüsyon operatörü (f g) (x) = (g f ) (x) de¼ gi¸ sme özel- li¼ gine sahiptir.

Teorem 3 (Konvolüsyon Teoremi): L ff (t)g = F (s) ve L fg (t)g = G (s) ise

L f(f g) (t)g = L ff (t)g L fg (t)g = F (s) G (s) dir. Ayr¬ca

L

¹

fF (s) G (s)g = (f g) (t) dir.

Örnek 3. L

¹

1 s

²

s =?

Çözüm. L

¹

1 s = 1 ve L

¹

1 s 1 = e

^x

oldu¼ gundan konvolüsyon teoreminden

L

¹

1 s

²

s = L

¹

1 s

1 s 1 = e

^x

1 = Z

x

0

e

^t

dt = e

^x

1 elde edilir.

2

(3)

Örnek 4. L

¹

1 s

²

(s

²

+ 1) =?

Çözüm. L

¹

1 s

²

= x ve L

¹

1 s

²

+ 1 = sin x oldu¼ gundan konvolüsyon teoreminden

L

¹

1 s

²

(s

²

+ 1) = sin x x

= Z

x

0

(x t) sin tdt

= ( (x t) cos t sin t)j

^x0

= sin x + x elde edilir.

3