Bir lineer denklem sisteminde denklem say¬s¬m ve de¼ gi¸ sken say¬s¬n olmak üzere

(1)

L· INEER DENKLEM S· ISTEMLER· I

I¸ · sletme problemlerinin matematiksel modellerinde n de¼ gi¸ sken taraf¬ndan ayn¬anda sa¼ glanmas¬gereken m adet lineer denklemden olu¸ san sistemlerle s¬kl¬kla kar¸ s¬la¸ s¬l¬r.

Bu bölümde bir lineer denklem sisteminde yaln¬z bir çözüm bulunmas¬, sonsuz çözüm olmas¬veya çözüm olmamas¬gibi durumlar¬n hangi ¸ sartlar alt¬nda meydana geldi¼ gi incelenecektir.

Bir lineer denklem sisteminde denklem say¬s¬m ve de¼ gi¸ sken say¬s¬n olmak üzere

1) m = n ise sistemin tek çözümü olabilir veya çözümü yoktur.

2) m < n ise sonsuz çözüm vard¬r.

3) m > n ise belirli bir ko¸ sulla tek çözüm mevcuttur. Aksi durumda çözüm yoktur.

Lineer denklem sistemleri matrisler yard¬m¬yla ifade edilebilir. Örne¼ gin,

a

₁

x + b

₁

y = c

₁

a

₂

x + b

₂

y = c

₂

lineer denklem sistemi 2 4 a

₁

b

₁

a

₂

b

₂

3 5

2 4 x

y 3 5 =

2 4 c

₁

c

₂

3 5

¸ seklinde yaz¬labilir.

Lineer denklem sistemlerini sistematik ve h¬zl¬¸ sekilde çözen Cramer Metodu a¸ sa¼ g¬da tan¬mlanm¬¸ st¬r.

1

(2)

Cramer Kural¬

n denklemden olu¸ san n de¼ gi¸ skenli bir lineer denklem sistemi 2

6 6 6 6 6 6 4

a

11

a

12

a

1n

a

₂₁

a

₂₂

a

_2n

: : : : : : : : : : : : a

_n1

a

_n2

a

_nn

3 7 7 7 7 7 7 5

2 6 6 6 6 6 6 4

x

1

x

₂

.. . x

_n

3 7 7 7 7 7 7 5

= 2 6 6 6 6 6 6 4

b

1

b

₂

.. . b

_n

3 7 7 7 7 7 7 5

veya katsay¬lar matrisi A, bilinmeyenler x ve sabit say¬lar b olmak üzere

Ax = b

¸ seklinde yaz¬labilir. Bilinmeyenlerin hesaplanmas¬nda

x

₁

= jAj

¹

b

₁

a

₁₂

a

_1n

b

₂

a

₂₂

a

_2n

b

_n

a

_n2

a

_nn

formülünden yararlan¬l¬r ve benzer ¸ sekilde x

2

; x

₃

; :::; x

_{n 1}

elde edildikten sonra son olarak

x

_n

= jAj

¹

a

₁₁

a

₁₂

b

₁

a

₂₁

a

₂₂

b

₂

a

_n1

a

_n2

b

_n

olarak verilir.

Örnek

2x + 3y z = 10 x + 2y = 4 3x + 2z = 0

2

(3)

denklem sistemini çözünüz.

Çözüm: Sistemin katsay¬lar matrisinin determinant¬

jAj =

2 3 1

1 2 0 3 0 2

= 8

elde edilir. Cramer Kural¬’ndaki formüllerden yararlan¬larak

x = jAj

¹

10 3 1

4 2 0

0 0 2

= 1

8 :16 = 2

elde edilir. Benzer ¸ sekilde

y = jAj

¹

2 10 1

1 4 0

3 0 2

= 1 8 :8 = 1

ve

z = jAj

¹

2 3 10 1 2 4 3 0 0

= 1

8 ( 24) = 3

bulunur. x de¼ gi¸ skeni bulunduktan sonra Cramer Kural¬ile devam etmeyip x bilin- meyeni denklemlerde yerine konularak iki bilinmeyen iki denklem sisteminden y ve z de¼ gi¸ skenlerinin bulunabilece¼ gine dikkat ediniz.