a, b ∈ R ve her ε &gt

02/10/2013 Analiz I

Ödev 1

Son Teslim: 09/10/2013 1. A³a§daki ifadelerin do§ru veya yanl³ oldu§unu belirleyiniz.

a. a, b ∈ R ise a² + b² ≥ 2ab ve |a.b| ≤ |a|.|b| dir.

b. a, b ∈ R ve her ε > 0 için a ≤ b + ε ise a < b dir.

c. a, b ∈ R − {0} ise |^a_b + ^b_a| ≥ 2 dir.

d. f⁻¹(B) = ∅ ise B = ∅ dir.

2. a1, a₂, b₁, b₂ ∈ R ise

(a₁b₁+ a₂b₂)² ≤ (a₁²+ a²₂).(b²₁+ b²₂) (Cauchy-Schwarz E³itsizli§i) ve

p(a1+ b1)²+ (a2 + b2)² ≤ q

a²₁+ a²₂+ q

b²₁+ b²₂ (Minkowski E³itsizli§i) oldu§unu gösteriniz.

3. A³a§daki her bir kümenin inmumunu ve supremumunu bulunuz.

a. E = {x ∈ R | x²− 2x + 3 > x² ve x > 0}.

b. E = {^p_q | p² < 5q² ve p, q > 0}.

c. E = {x ∈ R | her n ∈ N için x = 1 + ⁽⁻¹⁾_nⁿ}.

d. E = {x ∈ R | her n ∈ N için x = ¹_n+ (−1)ⁿ}.

e. E = {2 − ⁽⁻¹⁾_n2ⁿ | n ∈ N}.

4. Her bir a ∈ R ve her bir n ∈ N için |a − rn| < _n¹ ko³ulunu sa§layan bir rasyonel saynn bulunabilece§ini ispatlaynz.

5. A, B ⊆ Y ve f : X → Y olsun. A³a§dakileri gerçekleyiniz.

a. f⁻¹(A ∪ B) = f⁻¹(A) ∪ f⁻¹(B)dir.

b. f⁻¹(A ∩ B) = f⁻¹(A) ∩ f⁻¹(B)dir.

c. f⁻¹(A/B) = f⁻¹(A)/f⁻¹(B) dir.