Beta Fonksiyonu a¸ sa¼ g¬daki ¸ sekilde tan¬mlanabilir.

Beta Fonksiyonu

Beta Fonksiyonu a¸ sa¼ g¬daki ¸ sekilde tan¬mlanabilir.

1) B(x; y) = Z 1

0

t ^{x 1} (1 t) ^{y 1} dt

2) B(x; y) = 2 Z =2

0

(sin ) ^{2x 1} (cos ) ^{2y 1} d

3) B(x; y) = Z 1

0

u ^{x 1} (1 + u) ^x+y du

4) B(x; y) = (x) (y) (x + y)

5) B(x; 1 x) = (x) (1 x) =

sin x Örnek 1.

A¸ sa¼ g¬daki integrallerin de¼ gerlerini hesaplay¬n¬z.

a) Z a

0

x ⁵ p

a xdx b)

Z =6

0

q

(sin 3 ) ¹¹ (cos 3 ) ⁹ d

Çözüm:

a) Bu integrali hesaplayabilmek için x = at dönü¸ sümü yapal¬m. Buna göre, Z a

0

x ⁵ p

a xdx = a ¹³⁼² Z 1

0

t ⁵ (1 t)

dt

= a ¹³⁼² B 6; 3 2

= a ¹³⁼² (6) ³ ₂

15 2

= a ¹³⁼² 2 ⁹ 9009 bulunur.

1

b) 3 = t dönü¸ sümü yap¬l¬p, Beta fonksiyonunun 2) tan¬m¬kullan¬l¬rsa, Z =6

0

q

(sin 3 ) ¹¹ (cos 3 ) ⁹ d = 1 6 :2

Z =2

0

(sin t)

(cos t)

dt

= 1

6 B 13 4 ; 11

4

= 1 6

1:3:5:7:9 2 ¹⁰ :5!

1 4

3 4 elde edilir. 5) in kullan¬lmas¬yla

Z =6

0

q

(sin 3 ) ¹¹ (cos 3 ) ⁹ d = 21 p 2 2 ¹⁴

bulunur.

Örnek 2.

n + ¹ ₂ = (2n)! p

2 ²ⁿ :n! (n = 0; 1; 2:::) ba¼ g¬nt¬s¬n¬n do¼ grulu¼ gunu gösterdikten sonra bu ba¼ g¬nt¬- dan yararlanarak a¸ sa¼ g¬daki e¸ sitliklerin do¼ grulu¼ gunu gösteriniz.

a) B n; 1

2 = 2 ²ⁿ : (n!) ²

n: (2n)! b) B n + 1

2 ; 1

2 = (2n)!

2 ²ⁿ : (n!) ² Çözüm:

n + 1

2 = n 1

2 n 1

2

= n 1

2 n 3

2 n 3

2

= n 1

2 n 3

2 n 5

2 ::: 3 2 1 2

1 2

= (2n 1)(2n 3):::3:1 2 ⁿ

p

= (2n)! p 2 ²ⁿ :n!

elde edilir.

2

a) B n; 1

2 =

(n) 1 2 n + 1

2

= 2 ²ⁿ :n!(n 1)!

(2n)! = 2 ²ⁿ : (n!) ² n: (2n)!

b) B n + 1 2 ; 1

2 =

n + 1 2

1 2

(n + 1) = (2n)! p 2 ²ⁿ :n!

p

n! = (2n)!

2 ²ⁿ : (n!) ²

¸ seklindedir.

3