Ayr¬ca MATLAB/Octave ortam¬nda gerçekle¸stirdi¼gimiz uygulamalarla say¬sal yak- la¸s¬m tablolar¬n¬elde ediyor ve say¬sal yakla¸s¬mlar¬n analitik çözümlere yak¬n- sakl¬¼g¬n¬ara¸st¬r¬yoruz

(1)

B ¨ol ¨um 5

S¬n¬r de¼ger problemleri

Bu bölümde aç¬k aral¬k üzerinde tan¬ml¬s¬n¬r-de¼ger problemlerini tan¬tarak, gerek Dirichlet ve gerekse Neumann s¬n¬r ¸sartl¬ problemlerin sonlu farklar yöntemi yard¬m¬yla çözümlerinin nas¬l elde edildi¼gini inceliyoruz. Ayr¬ca MATLAB/Octave ortam¬nda gerçekle¸stirdi¼gimiz uygulamalarla say¬sal yakla¸s¬m tablolar¬n¬elde ediyor ve say¬sal yakla¸s¬mlar¬n analitik çözümlere yak¬n- sakl¬¼g¬n¬ara¸st¬r¬yoruz. Gerçekle¸stiridi¼gimiz analiz iki veya daha yüksek boyutlu problemlere kolayca genelle¸stirilebilir, ancak bu tür problemlere artan kitap hacmi nedeniyle yer veremiyoruz.

5.1 S¬n¬r de¼ger problemleri hakk¬nda genel bilgiler

Bir aç¬k aral¬k üzerinde tan¬ml¬iki veya daha yüksek basamaktan bir diferen- siyel denklem ile aral¬¼g¬n uç(s¬n¬r) noktalar¬nda yan ¸sartlar içeren probleme s¬n¬r-de¼ger problemi ad¬verilir.

Önceki bölümlerde incelenen ba¸slang¬ç de¼ger problemlerinin aksine, s¬n¬r de¼ger problemlerinde her iki s¬n¬rda da yan ¸sart mevcuttur.

Örne¼gin

y⁰⁰+ y = 0; x2 (0; 1) y(0) = 1; y(1) = 0

(2)

bir s¬n¬r-de¼ger problemidir. Özel olarak bilinmeyen fonksiyonun aral¬¼g¬n uç noktalar¬ndaki s¬n¬r de¼gerlerini içeren bu probleme Dirichlet problemi ad¬

verilir.

Problemin analitik çözümü

y = c₁cos(x) + c₂sin(x)

genel çözümünden elde edilebilir. y(0) = 1 s¬n¬r ¸sart¬ndan 1 = c₁

olup

y = cos(x) + c₂sin(x) elde ederiz. y(1) = 0 ¸sart¬ile

0 = cos(1) + c₂sin(1) ve

c₂ = cot(1)

de¼gerini elde ederiz. O halde problemin tek bir çözümünü y = cos(x) cot(1) sin(x)

olarak elde ederiz.

Öteyandan s¬n¬rlarda bilinmeyen fonksiyonun de¼gerleri yerine, bilinmeyenin türevine ait de¼gerler verilmi¸s olabilir. Örne¼gin

y⁰⁰+ y = 0; x2 (0; 1) y⁰(0) = 1; y⁰(1) = 0

Bu probleme ise Neumann problemi ad¬verilmektedir. Genel çözümden y⁰(x) = c₁sin(x) + c₂cos(x)

elde ederiz. y⁰(0) = 1s¬n¬r ¸sart¬ndan 1 = c₂ olup,

y⁰(x) = c₁sin(x) + cos(x)

(3)

elde ederiz. y⁰(1) = 0¸sart¬ile

0 = c₁sin(1) + cos(1) ve

c₁ = cot(1) elde ederiz. O halde problemin tek çözümünü

y = cot(1) cos(x) + sin(x) olarak elde ederiz.

Bazen bir uçta Dirichlet ve di¼gerinde ise Neumann s¬n¬r ¸sart¬verilebilir:

Örne¼gin

y⁰⁰+ y = 0; x2 (0; 1) y(0) = 1; y⁰(1) = 0

Bu tür problemler Robin problemi olarak adland¬r¬l¬rlar. y(0) = 1 s¬n¬r

¸sart¬ndan

1 = c₁ olup, buradan

y = cos(x) + c₂sin(x) elde ederiz. y⁰(1) = 0¸sart¬ndan

0 = sin(1) + c₂cos(1)

olup, c2 = tan(1) elde ederiz. Buradan problemin tek çözümünü y = cos(x) + tan(1) sin(x)

olarak elde ederiz.

Yukar¬daki örneklerin aksine s¬n¬r-de¼ger problemlerinin her zaman tek bir çözümü mümkün olmayabilir. Bazen sonsuz say¬da çözüm olabildi¼gi gibi bazen hiç bir çözüm bulunmayabilir.

Örne¼gin

y⁰⁰+ y = 0

y(0) = 0; y( ) = 1

(4)

s¬n¬rde¼ger probleminin çözümü mevcut de¼gildir, çünkü y = c₁cos(x) + c₂sin(x)

genel çözümünde y(0) = 0 yan ¸sart¬ile c1 = 0 elde ederiz. Bu durumda y = c₂sin(x)

çözümü için

y( ) = c₂sin( ) = 06= 1 elde ederiz.

Öte yandan

y⁰⁰+ y = 0

y(0) = 0; y( ) = 0

probleminde ise y(0) = y( ) = 0 s¬n¬r ¸sartlar¬ ile y = c2sin(x); c₂ 2 R biçiminde sonsuz say¬da

çözüm elde ederiz.

Ancak key… p(x) ve q(x) ve f (x) fonksiyonlar¬için en genel y⁰⁰+ p(x)y⁰+ q(x)y = f (x)

y(a) = ; y(b) = (5.1)

s¬n¬r-de¼ger probleminin çözümünü (mevcut olmas¬durumunda) sonlu say¬da elemanter fonksiyonun lineer kombinasyonu yard¬m¬yla ifade edemeyebiliriz.

Bu durumda say¬sal çözüm yöntemi kullan¬l¬r.

5.2 Dirichlet problemlerinin say¬sal çözümü

ÖRNEK 5.1.

y⁰⁰+ 2y = x

y(0) = 1; y(1) = 2 s¬n¬rde¼ger problemi verilmi¸s olsun.

(a) problemin analitik çözümünü belirleyiniz.

(5)

(b) h = 1=3 için ilgili say¬sal yakla¸s¬mlar¬belirleyiniz.

(c) Her noktada olu¸san hatay¬ belirleyiniz ve Yakla¸s¬m Tablosunu olu¸sturunuz.

Çözüm.

(a) Homojen k¬sm¬n genel çözümünün u = c₁cos(p

2x) + c₂sin(p 2x)

oldu¼gunu ve v = x=2 nin ise özel çözüm oldu¼gunu kolayca görürüz. O halde genel çözümü

y = c1cos(p

2x) + c2sin(p

2x) + x=2 olarak elde ederiz. y(0) = 1 s¬n¬r ¸sart¬ndan

c₁ = 1 elde ederiz. y(1) = 2 ¸sart¬ile de

2 = cos(p

2) + c2sin(p

2) + 1=2 veya

c₂ = 3=2 cos(p 2) sin(p

2) elde ederiz. O halde analitik çözümü

y = cos(p

2x) + 3=2 cos(p 2) sin(p

2) sin(p

2x) + x 2 olarak elde ederiz.

(b) h = 1=3 için

x₁ = 0; x₂ = 1=3; x₃ = 2=3; x₄ = 1 Y₁ = 1; Y₂ = y(x2); Y₃ = y(x3); Y₄ = 2 elde ederiz. O halde iç noktalarda

Y_i+1 2Y_i+ Y_{i 1}

h² + p(x_i)Y_i = q(x_i); i = 2; 3 (5.2)

(6)

elde ederiz. Daha aç¬k olarak, örne¼gimizde p(x) = 2,q(x) = x oldu¼gun- dan

Y₃ 2Y₂+ Y₁

h² + 2Y₂ = x₂ Y4 2Y3+ Y2

h² + 2Y₃ = x₃ elde ederiz. Gerekli düzenlemeleri yaparak,

2(h² 1)Y₂+ Y₃ = h²x₂ Y₁ Y₂+ 2(h² 1)Y₃ = h²x₃ Y₄ veya

16

9 Y₂+ Y₃ = 26 27 Y₂ 16

9 Y₃ = 52 27 elde ederiz. Sistemi çözerek

Y₂ = 884=525 = 1:68381; Y3 = 1066=525 = 2:03048 elde ederiz.

(c) Say¬sal çözüm yakla¸s¬mlar tablosu a¸sa¼g¬da verilmektedir.

x_i Y_i y(x_i) Hata= jYⁱ y(x_i)j 0:00000 1:00000 1:00000 0:00000 0:33333 1:68381 1:67555 0:00826 0:66667 2:03048 2:02195 0:00853 1:00000 2:00000 2:00000 0:00000

¸

Süphesiz daha az hata içeren yakla¸s¬mlar için ikinci türev yakla¸s¬mda ihmal etti¼gimiz O(h²) teriminin küçük olmas¬ gerekmekedir. Bu amaçla h ad¬m uzunlu¼gunun küçük olmas¬ ve dolay¬s¬yla da n aral¬k say¬s¬n¬n büyük olmas¬gerekmektedir. Bu durumda çözülmesi gerekecek olan lineer sistemin boyutu büyük olaca¼g¬için bütün i¸slemlerin bilgisayar ortam¬nda gerçekle¸stir- ilmesi gerekmektedir.

(7)

5.2.0.0.1 Genel bir Dirichlet Problemi Öncelikle y⁰⁰+ p(x)y = q(x)

y(a) = ; y(b) = (5.3)

(5.3) ile verilen s¬n¬r-de¼ger problemini gözönüne alal¬m.[a; b] aral¬¼g¬n¬e¸sit uzunluklu n adet alt aral¬¼ga bölelim ve aral¬k uzunluklar¬n¬h = (b a)=n ile gösterelim. Elde edilen aral¬k uç noktalar¬n¬ise

x₁ = a; x₂ = a + h; ; x_n+1 = a + nh = b ile gösterelim.

x1 = anoktas¬nda çözüm bilinmektedir. Öte yandan xn+1 = bnoktas¬nda da çözüm bilinmektedir. O halde çözümün belirlenmesi gereken noktalar

x₂; x₃; ; x_n noktalar¬d¬r.

x = x₂ noktas¬nda ikinci türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬ile y(x₂+ h) 2y(x₂) + y(x₁)

h² + O(h²) + p(x₂)y(x₂) = q(x₂)

elde ederiz. O(h²)teriminin ihmal edilmesiyle elde edilecek olan yakla¸s¬m¬

Y₂ = y(x₂)ile göstererek,

Y₃ 2Y₂+ Y₁

h² + p(x₂)Y₂ = q(x₂) (5.4) elde ederiz. Bu notasyon ile

Y₁ = y(x₁) = y(a) = ve

Y_n+1= y(x_n+1) = y(b) = elde ederiz. O halde x = xi için

Y_i+1 2Y_i+ Y_{i 1}

h² + p(x_i)Y_i = q(x_i); i = 2; 3; ; n (5.5) elde ederiz.

(8)

(5.5) e¸sitli¼ginin her iki yan¬n¬h² ile çarparak,

Y_i+1+ (h²p(x_i) 2)Y_i+ Y_{i 1}= h²q(x_i); i = 2; 3; ; n elde ederiz.

Özel olarak i = 2 için

Y₃ 2Y₂+ Y₁+ h²p(x₂)Y₂ = h²q(x₂) veya

(h²p(x₂) 2)Y₂+ Y₃ = h²q(x₂) Y₁

= h²q(x₂) elde ederiz. i = n için ise

(h²p(x_n) 2)Y_n+ Y_{n 1} = h²q(x_n) Y_n+1

= h²q(x_n) ; i = 2; 3; ; n

elde ederiz. O halde özetle, (5.1) problemine kar¸s¬l¬k gelen fark denklem sistemini

(h²p(x₂) 2)Y₂+ Y₃ = h²q(x₂) ;

Y_i+1+ (h²p(x_i) 2)Y_i+ Y_{i 1} = h²q(x_i); i = 3; 4; ; n 1

(h²p(x_n) 2)Y_n+ Y_{n 1} = h²q(x_n) (5.6) olaraki elde ederiz.

(5.6) sistemi

A = 0 BB BB B@

h²p(x₂) 2 1

1 h²p(x₃) 2 1

. .. . .. . ..

1 h²p(x_{n 1}) 2 1 1 h²p(x_n) 2

1 CC CC CA

;

Y =

0 BB BB B@

Y₂ Y₃ ... Y_{n 1}

Y_n 1 CC CC CA

; b = 0 BB BB B@

h²q(x₂) h²q(x₃)

... h²q(x_{n 1}) h²q(x_n)

1 CC CC CA

(9)

matris-vektör notasyonu ile

AY = b (5.7)

biçiminde ifade edilebilir. Görüldü¼gü üzere A(n 1) (n 1) simetrik kö¸segen matris, Y(n 1) 1 bilinmeyenler vektörü ve b(n 1) 1 ise sa¼g yan vekörüdür.

Not:

1. S¬n¬r ¸sartlar¬b nin ilk ve son elemanlar¬nda yer almaktad¬r.

2. Dirichlet problemi denklemler sadece x2; x₃; ; x_n iç noktalar¬ için elde edilmektedir.

Bu amaçla yukar¬da verilen katsay¬matrisi ve sa¼g yan vektörünün etkin biçimde hesaplanmas¬gerekmektedir.

Algoritma 5.1 S¬n¬r-de¼ger problemi sonlu fark yöntemialgoritmas¬

1. Girdi: n

2. x uç noktalar vektörünü hesapla 3. xx iç noktalar vektörünü hesapla

4. sistem matrisi üst, ana ve alt kö¸segen elemanlar¬n¬belirle 5. sistem matrisini olu¸stur

6. sa¼g yan vektörünü olu¸stur 7. sistemi çöz

8. s¬n¬r de¼gerleri çözüme ilave et 9. yakla¸s¬m tablosunu olu¸stur 10. yakla¸s¬mlar gra…¼gini çizdir

Yukar¬da verilen Algoritma 5.1 ya ait Program 5.1 a¸sa¼g¬da verilmektedir.

spdiags(sparse diagonal) komutu ile bol s¬f¬rl¬(sparse) ve üç kö¸segenli ma- trisin nas¬l olu¸sturuldu¼guna dikkat ediniz.

Program¬çal¬¸st¬rarak,

(10)

function sdp(n)

%---

%y’’+2y=x;y(0)=1;y(1)=2;

h=1/n;

alfa=1;beta=2;

x=0:h:1;n1=n-1;x=x’;

e=ones(n1,1);xx=x(2:end-1);

ec=2*e*h^2-2;

A=full(spdiags([e ec e],[-1,0,1],n1,n1));

b=xx*h^2;b(1)=b(1)-alfa;b(n1)=b(n1)-beta;

Y = Anb;

Y=[alfa;Y;beta];k2=sqrt(2);

yg=cos(k2*x)+(3/2-cos(k2))/sin(k2)*sin(k2*x)+x/2;

hata=Y-yg;

sonuc=[x Y yg hata]

%--- Program 5.1: S¬n¬r-de¼ger problemi uygulamas¬.

>>sdp(4)

komutyla çal¬¸st¬rarak a¸sa¼g¬daki yakla¸s¬m tablosunu elde ederiz.

x_i Y_i y(x_i) hata=jy(xⁱ) Y_ij 0:00000 1:00000 1:00000 0:00000 0:25000 1:53806 1:53427 0:00379 0:50000 1:89948 1:89421 0:00528 0:75000 2:05473 2:05075 0:00397 1:00000 2:00000 2:00000 0:00000

Ancak daha çok noktada say¬sal ve gerçek çözümün davran¬¸s¬n¬görmek için

hata=Y-yg;

sonuc=[x Y yg hata]

sat¬rlar¬yerine plot(x,Y); hold on;

plot(x,yg,’r’) ;

komutlar¬n¬yazarak gerçek ve say¬sal çözümün gra…¼gini üstüste çizdire- biliriz.

(11)

5.3 Neumann-Drichlet problemlerinin say¬sal çözümü

Dirichlet s¬n¬r ¸sartlar¬yerine, bir veya iki uç noktada da Neumann s¬n¬r ¸sartlar¬n¬n kullan¬lmas¬durumu ayr¬ca incelenmesi gereken bir durumdur. Bunun için a¸sa¼g¬daki örne¼gi inceleyelim:

ÖRNEK 5.2.

y⁰⁰+ y = 1

y⁰(0) = 1; y(1) = 2

problemi için h > 0 ad¬m uzunlu¼gu ile sonlu fark sistemini olu¸sturarak, h = 1=2 yakla¸s¬m tablosunu olu¸sturunuz.

Çözüm.

h = 1=2 ad¬m uzunluklu noktalar¬

x₁ = 0; x₂ = 1=2; x₃ = 1 ile gösterelim. Bu noktalardaki çözümleri ise

Y_i; i = 1; 2; 3

ile gösterelim. Bilinmeyenlerimiz sadece Y1 ve Y2 de¼gerleridir, çünkü Y3 = y(x₃) = y(1) = 2 dir.

x₁ = 0 ve x2 = 1=2noktalar¬nda çözüm bilinmedi¼gi için bu noktalara ait fark denklemlerini yazmal¬y¬z.

x₁ noktas¬yla ba¸sl¬yoruz.:

Y₂ 2Y₁+ Y₀

h² + Y₁ = 1; (5.8)

burada Y0 de¼geri, gerçek problem aral¬¼g¬nda bulunmayan x0 = x₁ h = 1=2 noktas¬ndaki çözüm de¼gerini temsil etmektedir ve y0(0) = 1 s¬n¬r ¸sart¬

yard¬m¬yla a¸sa¼g¬da belirtildi¼gi üzere yok edilecektir:

y⁰(0) = y⁰(x₁) = y(x₂) y(x₀)

2h + O(h²) = 1 ba¼g¬nt¬s¬ndan,

(12)

Y₂ Y₀

2h = 1 (5.9)

elde ederiz. 5.9 den Y0 = Y2 2h de¼gerini 5.8 de yerine yazarak,

(h² 2)Y₁+ 2Y₂ = h²+ 2h (5.10) elde ederiz.

x₂ noktas¬için

Y₃ 2Y₂+ Y₁

h² + Y₂ = 1; (5.11)

elde ederiz. Y3 = 1 de¼gerini yukar¬da yerine yazar ve gerekli düzenlemeleri yaparsak,

Y₁+ (h² 2)Y₂ = h² 2 (5.12)

elde ederiz. 5.10 ve 5.12 denklemlerinde h = 1=2 de¼gerini yerine yazar ve gerekli i¸slemleri yaparsak,

7

4 Y₁+ 2Y₂ = 5 4 Y₁ 7

4Y₂ = 7 4 sistemini elde ederiz. Bu sistemi çözerek,

Y1 = 21=17 :

= 1:2353; Y2 = 29=17 :

= 1:7059 elde ederiz.

Öte yandan analitik çözümü

y = c₁cos(x) + c₂sin(x) + 1

olarak elde ederiz. y⁰(0) = 1 ¸sart¬ndan c2 = 1 ve y(1) = 2 ¸sart¬ndan ise c₁ = (1 sin(1))= cos(1)elde ederiz. O halde verilen s¬n¬r de¼ger probleminin çözümünü

y = 1 sin(1)

cos(1) cos(x) + sin(x) + 1 (5.13) olarak elde ederiz.

(13)

Yak¸sal¬m tablosu için gerçek çözümün x1 = 0 ve x2 = 1=2noktalar¬ndaki de¼gerlerini hesaplamal¬y¬z:

Hesap makinesi veya MATLAB/Octave ortam¬nda bu i¸slemi gerçekle¸stire- biliriz.

>> y=@(x) (1-sin(1))/cos(1)*cos(x)+sin(x)+1;

>> y(0) ans = 1.2934

>> y(1/2) ans = 1.7369 elde ederiz.

O halde yakla¸s¬m tablomuz a¸sa¼g¬daki gibidir:

i x_i y(x_i) Y_i hata=jy(xⁱ) Y_ij 1 0 1:2934 1:2353 0:0581

2 1=2 1:7369 1:7059 0:031

3 1 2 2 0

5.3.0.0.2 Genel bir Neumann-Dirichlet Problemi Örne¼gin y⁰⁰+ p(x)y = q(x); y0(0) = ; y(1) =

s¬n¬r de¼ger probleminin say¬sal çözümünü h = 1=n ad¬m uzunlu¼gu ile verecek olan fark denklemler sistemini elde edelim:

h ad¬m uzunluklu noktalar¬

x₁ = 0; x₂ = h; x₃ = 2h; :::; x_n= (n 1)h; x_n+1= nh = 1 ile gösterelim. Bu noktalardaki çözümleri ise

Yi; i = 1; 2; :::n + 1 ile gösterelim.

x = x₁ = 0 noktas¬nda çözüm bilinmedi¼gi için fark denklemlerine x1

noktas¬yla ba¸sl¬yoruz. Öte yandan xn+1 = 1noktas¬nda çözüm bilinmektedir.

O halde fark denklemlerini

x₁; x₂; ; x_n noktalar¬için yazmal¬y¬z.

(14)

x1 noktas¬için

y⁰⁰(x₁) + p(x₁)y(x₁)

= Y₀ 2Y₁+ Y₂

h² + p(x₁)Y₁

= q(x₁)

elde ederiz. Burada Y0 ise aral¬k d¬¸sar¬s¬nda yer alan x0 = x₁ h yapay noktas¬na kar¸s¬l¬k gelen say¬sal çözümü temsil etmektedir. Ancak x = x1

noktas¬nda birinci basamaktan türeve merkezi fark formülü ile yakla¸sarak

y⁰(0) = y⁰(x1)

= y(x₂) y(x₀) 2h

= Y₂ Y₀

2h =

ba¼g¬nt¬s¬ndan

Y₀ = Y₂ 2h elde ederiz. Y0 de¼gerini yukar¬da yerine yazarak,

Y₀ 2Y₁+ Y₂

h² + p(x₁)Y₁

= Y₀ 2Y₁+ Y₂

h² + p(x₁)Y₁ = q(x₁)

= 2Y₂ 2Y₁ 2h

h² + p(x₁)Y₁ = q(x₁) veya

2Y₂ 2Y₁ 2h + h²p(x₁)Y₁ = h²q(x₁) (h²p(x₁) 2)Y₁+ 2Y₂ = h²q(x₁) + 2h elde ederiz.

x = x_i(2 i < n) için

y⁰⁰(x_i) + p(x_i)y(x_i)

= Y_{i 1} 2Y_i+ Y_i+1

h² + p(xi)Yi

= q(x_i)

(15)

veya

Y_{i 1}+ (h²p(x_i) 2)Y_i+ Y_i+1= h²q(x_i); i = 2; 3; :::; n 1 elde ederiz.

x = x_n için

y⁰⁰(x_n) + p(x_n)y(x_n)

= Y_{n 1} 2Y_n+ Y_n+1

h² + p(x_n)Y_n

= q(xn)

elde ederiz. Ancak sa¼g yan s¬n¬r ¸sart¬gere¼gi Yn+1 = oldu¼gunu kullanarak, Y_{n 1} 2Y_n+ Y_n+1+ h²p(x_n)Y_n = h²q(x_n)

ba¼g¬nt¬s¬ndan

Y_{n 1}+ (h²p(x_n) 2)Y_n = h²q(x_n) elde ederiz. O halde fark denklem sistemimizi

A = 0 BB BB B@

h²p(x₁) 2 2

1 h²p(x₂) 2 1

. .. . .. . ..

1 h²p(x_{n 1}) 2 1 1 h²p(x_n) 2

1 CC CC CA

Y =

0 BB BB B@

Y1

Y₂ ... Y_{n 1}

Y_n 1 CC CC CA

; b = 0 BB BB B@

h²q(x1) + 2h h²q(x₂)

... h²q(x_{n 1}) h²q(x_n)

1 CC CC CA

olmak üzere

AY = b (5.14)

biçiminde elde ederiz.

Dirichlet problemindeki (5.7) ile Dirichlet-Neumann problemindeki (5.14) kar¸s¬la¸st¬r¬ld¬¼g¬nda

(16)

(5.7) sisteminin bilinmeyenlerinin x2; x3; :::; xn iç noktalar¬ndaki (n 1) adet Y2; Y₃; :::; Y_nde¼gerlerinden olu¸stu¼gunu görüyoruz. Oysa (5.14) sisteminde bilinmiyenler x1; x₂; :::; x_n noktalar¬ndaki n adet Y1; Y₂; :::; Y_n de¼gerlerinden olu¸smaktad¬r.

(5.7) sistemindeki katsay¬matrisi simetriktir ve (n 1) (n 1)boyutludur. Oysa (5.14) sistemindeki katsay¬ matrisi simetrik de¼gildir ve n n boyutludur.

ÖRNEK 5.3.

y⁰⁰+ ky = 1

y⁰(0) = 1; y(1) = 2

problemi için h > 0 ad¬m uzunlu¼gu ile sonlu fark sistemini olu¸sturarak, h = 1=4 yakla¸s¬m tablosunu olu¸sturunuz.

Çözüm.

(5.14) sisteminde p(x) k; q(x) 1alarak, = 1; = 2 için 0

BB BB B@

h²k 2 2

1 h²k 2 1

. .. . .. . ..

1 h²k 2 1

1 h²k 2 1 CC CC CA

0 BB BB B@

Y₁ Y₂ ... Y_{n 1}

Yn

1 CC CC CA

= 0 BB BB B@

h²+ 2h h²

... h² h² 2

1 CC CC CA

elde ederiz.

Problemin analitik çözümünü y = c₁cos(p

kx) + c₂sin(p

kx) + 1 k; c₁ = (2 1

pk sin(p k) 1

k)= cos(p k);

c2 = 1=p k olarak elde ederiz.

Probleme ait yakla¸s¬m tablosu h = 1=4 ve k = 1 için a¸sa¼g¬da verilmektedir:

(17)

x Y yg hata=jy(xⁱ) Y_ij 0 1:2796 1:2934 0:0138

0:2500 1:5209 1:5317 0:0108 0:5000 1:7296 1:7369 0:0073 0:7500 1:8927 1:8963 0:0036 1:0000 2:0000 2:0000 0

k = 200 ve farkl¬n de¼gerleri için elde edilen analitik çözüm ve say¬sal(- -) çözüm gra…¼gi ¸Sekil 5.1 de verilmektedir.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

n=100 n=200

n=400 n=800

¸

Sekil 5.1: Farkl¬n de¼gerleri için say¬sal yakla¸s¬mlar(- -) ve gerçek çözümler(-)

¸

Sekil 5.1 de görüldü¼gü üzere, artan n(veya küçülen h) de¼gerleri için say¬sal yakla¸s¬mlar analitik çözüme yak¬nsamaktad¬r. Ancak [0; 1] aral¬¼g¬ üzerinde iyi bir yakla¸s¬m için n = 800 gibi oldukça büyük bir de¼ger al¬nmas¬gerekti¼gine ve dolay¬s¬yla 800 bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözülmesi gerekti¼gine dikkat edelim.

Al¬¸st¬rmalar 5.1.

1.

y⁰⁰+ 10y = 4

y(0) = 1; y(1) = 4

(18)

s¬n¬r-de¼ger problemi verilmi¸s olsun.

(a) Problemin analitik çözümünü belirleyiniz

(b) h = 1=3 için yakla¸s¬m tablosunu hesap makinesi yard¬m¬yla belirleyiniz.

(c) h = 1=10 için yakla¸s¬m tablosunu bilgisayar ortam¬nda belirleyiniz.

2.

y⁰⁰+ 5y = 1

y⁰(0) = 1; y(1) = 4 s¬n¬r-de¼ger problemi verilmi¸s olsun.

3.

y⁰⁰+ 4y = 2

y(0) = 2; y⁰(1) = 3 s¬n¬r-de¼ger problemi verilmi¸s olsun.

4.

y⁰⁰+ y = 2

y⁰(0) = 2; y⁰(1) = 3 s¬n¬r-de¼ger problemi verilmi¸s olsun.

(19)

5.

y⁰⁰+ p(x)y = q(x) y(a) = ; y(b) =

s¬n¬r-de¼ger problemini kullan¬c¬ taraf¬ndan girilen [a; b]; [ ; ] ve programda uygun biçimde tan¬mlanacak olan p(x) ve q(x) ile kullan¬c¬

taraf¬ndan girilecek olan n adet alt aral¬k ile çözerek gra…¼gini çizdiren ve

sdpdd(a; b; alf; beta; n)

komutuyla çal¬¸san sdpdd isimli MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

Soru 1 de elde etti¼giniz sonuçlar¬ haz¬rlayaca¼g¬n¬z program ile kontrol ediniz.

6.

y⁰⁰+ p(x)y = q(x) y⁰(a) = ; y(b) =

sdpnd(a; b; alf; beta; n)

komutuyla çal¬¸san sdpnd isimli MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

7.

y⁰⁰+ p(x)y = q(x) y(a) = ; y⁰(b) =

(20)

sdpdn(a; b; alf; beta; n)

komutuyla çal¬¸san sdpdn isimli MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

8.

y⁰⁰+ p(x)y = q(x) y⁰(a) = ; y⁰(b) =

sdpnn(a; b; alf; beta; n)

komutuyla çal¬¸san sdpnn isimli MATLAB/Octave program¬haz¬rlay¬n¬z.

9.

y⁰⁰+ p(x)y = q(x) a₁₁y(a) + a₁₂y⁰(a) = ;

a₂₁y(b) + a₂₂y⁰(b) =

s¬n¬r-de¼ger problemini kullan¬c¬taraf¬ndan girilen

[a; b]; [ ; ]; a₁₁; a₁₂(a²₁₁+ a²₁₂ > 0); a₂₁; a₂₂(a²₂₁+ a²₂₂ > 0)

ve programda uygun biçimde tan¬mlanacak olan p(x) ve q(x) ile kullan¬c¬ taraf¬ndan girilecek olan n adet alt aral¬k ile çözerek gra…¼gini çizdiren ve

sdpgenel(a; b; alf; beta; n)

komutuyla çal¬¸san sdpgenel isimli MATLAB/Octave program¬ haz¬r- lay¬n¬z. Sol veya sa¼g s¬n¬r ¸sartlar¬ndaki katsay¬lardan birisinin s¬f¬r

(21)

olmas¬ durumunda Problem 5-8 ile tan¬ml¬ uygun program ça¼gr¬larak çözüm elde edilmelidir.

10.

y⁰⁰+ p(x)y⁰ + q(x)y = f (x) a₁₁y(a) + a₁₂y⁰(a) = ;

a₂₁y(b) + a₂₂y⁰(b) = s¬n¬r-de¼ger problemini kullan¬c¬taraf¬ndan girilen

[a; b]; [ ; ]; a₁₁; a₁₂(a²₁₁+ a²₁₂ > 0); a₂₁; a₂₂(a²₂₁+ a²₂₂ > 0)

ve programda uygun biçimde tan¬mlanacak olan p(x); q(x) ve f (x) ile kullan¬c¬taraf¬ndan girilecek olan n adet alt aral¬k ile çözerek gra…¼gini çizdiren ve

sdpengenel(a; b; alf; beta; n)

komutuyla çal¬¸san sdpengenel isimli MATLAB/Octave program¬haz¬r- lay¬n¬z. Problemde verilen y⁰ için merkezi fark yakla¸s¬m¬n¬kullan¬n¬z.

11. (Proje -1)

y⁰⁰+ y = 0 y(a) = 0;

y(b) = 0

s¬n¬r-de¼ger problemini kullan¬c¬ taraf¬ndan girilen [a; b] ve 0 > 0 ile çözümün mevcut oldu¼gu ilk > ₀de¼gerini belirleyerek kullan¬c¬taraf¬n- dan girilecek olan n adet alt aral¬k ile çözerek gra…¼gini çizdiren ve

sdplamda(a; b; 0; n)

komutuyla çal¬¸san sdplamda isimli MATLAB/Octave program¬ haz¬r- lay¬n¬z.

12. Proje-1 i y⁰(a) = 0; y(b) = 0 s¬n¬r ¸sart¬ile çal¬¸s¬n¬z 13. Proje-1 i y(a) = 0; y⁰(b) = 0 s¬n¬r ¸sart¬ile çal¬¸s¬n¬z.

14. Proje-1 i y⁰(a) = 0; y⁰(b) = 0 s¬n¬r ¸sart¬ile çal¬¸s¬n¬z.

(22)

15. (Proje-2) (E¼gik at¬¸s yöntemi)Soru 5 de verilen

y⁰⁰+ p(x)y = q(x) (5.15)

y(a) = ; y(b) =

problemini tekrar gözönüne alal¬m. Verielen bu s¬n¬r-de¼ger problemi ile ili¸skili

y⁰⁰+ p(x)y = q(x) y(a) = ; y⁰(a) =

ba¸slang¬ç de¼ger problemini gözönüne alal¬m. u = y; v = y⁰ dönü¸sümü ile

u⁰ = v

v⁰ = p(x)u + q(x) u(a) =

v(a) =

sistemini h = (b a)=n ad¬m uzunlu¼gu ile [a; b] aral¬¼g¬nda ileri Euler yöntemi ile çözelim. u(b) için bu yöntemle elde etti¼giniz mutlak yakla¸s¬m fark¬olan ju(b) y(b)j yi hesaplay¬n¬z.

(a) E¼ger ju(b) y(b)j > eps ve u(b) < y(b) ise de¼gerini eps = 0:01 kadar art¬rarak ayn¬i¸slemi tekrar ediniz.

(b) E¼ger ju(b) y(b)j > eps ve u(b) > y(b) ise de¼gerini eps = 0:01 kadar azaltarak ayn¬i¸slemi tekrar ediniz.

(c) E¼ger ju(b) y(b)j < eps ise u için elde etti¼giniz yakla¸s¬mlar¬

verilen 5.15 nin çözümü olarak kabul ediniz.

Bu proje ile incelen yöntem s¬n¬r de¼ger problemleri için e¼gik at¬¸s yöntemi olarak bilinir. de¼geri at¬¸s e¼gimi olarak dü¸sünüldü¼günde hede…n yukar¬s¬na at¬¸s yap¬ld¬¼g¬nda e¼gim dü¸sürülerek tekrar at¬¸s yap¬lmaktad¬r. Hede…n a¸sa¼g¬na ula¸s¬lmas¬ durumunda ise e¼gim art¬r¬larak at¬¸s tekrarlanmaktad¬r. Hede…n eps kom¸sulu¼guna yap¬lan at¬¸s ise isabet etmi¸s olarak kabul edilmektedir.