(3)(0, 0)denge noktas¬n¬n kararl¬l¬¼g¬n¬çal¬¸smak için pertürbasyon yöntemi uygulayal¬m

S1(t) = B sin(wt+β)

= B sin wt cos β+B cos wt sin β

¸seklinde yaz¬labilir ki buradan B cos β= ^λ

c ra

kF₁₀ ve B sin β=S₁₀ olup, böylece

B = s

S₁₀² + ^aλ

2

kc²F₁₀² (11)

ve r

k cS

(9), (10), (11) ve (12) ifadelerinden, denge noktas¬kom¸sulu¼gunda nüfuslar¬n sabit genlikte sal¬n¬m yapt¬klar¬n¬görürüz ki bu etkisiz kararl¬

durumdur (II(B):

p =0, q = ( ck /λ)(aλ/c) =ka >0, 4 = ^4ka<0). Bu bir s¬n¬r durumu oldu¼gu için sonuç her zaman sa¼glanmayabilir. Lineerle¸stirmede gözard¬edilen lineer olmayan terimler muhtemelen küçük de¼gi¸sikliklere yol açar ki bu da çözümün yap¬sal davran¬¸s¬n¬tümüyle de¼gi¸stirmeye yeterlidir.

Lineer olmayan terimler çözümün küçük genlikte sal¬n¬m yapmas¬na ve denge nüfusunun kararl¬olmas¬na veya tersine büyük genlikte sal¬n¬m yapmas¬na ve denge nüfusunun karars¬z olmas¬na neden olabilir. Bu nedenle, lineer analizden bir sonuç elde edemeyiz.

(0, 0)denge noktas¬n¬n kararl¬l¬¼g¬n¬çal¬¸smak için pertürbasyon yöntemi uygulayal¬m. (2)-(3) sisteminde F =eF1, S =eS1 yaz¬p lineer olmayan terimleri atarsak

edF1

dt = eaF1=)^F1(t) =F10e^at (13) edS₁

dt = k eS1 =)^S1(t) =S₁₀e ^kt (14) elde ederiz. Bu çözümlerin anlam¬, köpekbal¬¼g¬nüfusu üstel olarak

azal¬rken, bal¬k nüfusunun da üstel olarak artmas¬d¬r. p = a k, q = ak <0,4 = (^a+k)² >0oldu¼gundan, I(C) karars¬z durumu olu¸sur. Yani, denge noktas¬bir semer noktas¬d¬r.

E¸syönlüleri ve basit yörüngeleri kullanarak veya faz düzlem denklemini çözerek yörüngeleri çizebiliriz ve hareket do¼grultusunu belirlemek için (13) ve (14) e¸sitliklerini kullanabiliriz.

Faz düzlem denklemi

dF₁ dS1

= ^aF1 kS1

(15) olup, çözülürse

lnj^F1j = ^a

k lnj^S1j +^lnj^F10j _k^{a ln}j^S10j

=) ^ln _F^F1

10

= ^a k ln S1

S10

=) ^F1=F₁₀ S1

S₁₀

a/k

elde edilir.

¸

Sekil: Lineerle¸stirilmi¸s kararl¬l¬k analizi.

¸ Simdi

dF

dS = (a cS)F (λF k)S

faz düzlem denklemini çözüp, F(0) =F₀ ve S(0) =S₀ ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬kullan¬l¬rsak

λF k lnj^Fj =^{a ln}j^Sj ^cS+λF0 k lnj^F0j ^{a ln}j^S0j +^cS0

λ(F F₀) +c(S S₀) =k ln F

F₀ +a ln S S₀

=) F

F₀

k S

S₀

a

=e^{λ(F F0)+c(S S0)} (16) elde ederiz.

(16) ile verilen e¼grilerin kapal¬e¼griler olduklar¬na dikkat edelim

¸

Sekil: Kapal¬ve aç¬k e¼griler aras¬ndaki olas¬fark.

Son denklemden,

F ^ke^λF = ^e

λF0+cS0

F₀^kS₀^a S^ae ^cS (17) yazabiliriz. K = e^λF0+cS0/F₀^kS₀^a olmak üzere, her iki tarafa Z dersek,

Z =F ^ke^λF ! +∞ cebirsel (F !⁰)

üstel (F ! +∞) ⁽¹⁸⁾

Z =KS^ae ^cS !^{0 cebirsel} (S !⁰)

üstel (S ! +^∞) ⁽¹⁹⁾ olur.

dZ

dF =e^λFF ^k( kF ¹+λ) =0 dan F =k /λminimum ve

dZ

dt =KS^ae ^cS(aS ¹ c) =0

dan S =a/c maksimum verir. (a/c, k/λ)n¬n bir denge noktas¬

oldu¼gunu not edelim.

¸

Simdi F de0,1 veya 2 de¼ger üretecek ¸sekildeS nin özel bir de¼gerini seçelim:

¸

Sekil: (17) fonksiyonun çözümünün gra…ksel gösterimi.

de¼ger çifti, S nin farkl¬bir de¼gerine kar¸s¬l¬k gelir. Böylece, bir çözüm verecek ¸sekilde K de¼gerinin yeterince büyük olmas¬durumunda faz düzlemindeki e¼gri, ¸sekildeki gibi, kapal¬bir e¼gri olmal¬d¬r.

K n¬n her bir de¼geri için en fazla bir yörünge vard¬r. ¸Sekilde, K n¬n üç farkl¬de¼gerine kar¸s¬l¬k gelen yörüngeler çizilmi¸stir.

¸

Sekil: Av-avc¬ekosisteminin yörüngeleri.

kapal¬d¬r. Bal¬k ve köpekbal¬¼g¬nüfuslar¬zaman¬n periyodik fonksiyonlar¬d¬r.

Kaba bir gra…k ¸sekildeki gibi verilebilir. Do¼gada gözlemlendi¼gi gibi, köpekbal¬¼g¬nüfusunun artmas¬, bal¬k nüfusunun art¬¸s¬n¬takip eder.

¸

Simdi, sal¬n¬m peryodlar¬s¬ras¬ileT ve τolan avc¬ve av nüfuslar¬n¬n, ba¸slang¬ç nüfuslar¬ndan ba¼g¬ms¬z olarak, ortalama nüfuslar¬n¬dü¸sünelim.

dS

dt = (k+λF)S olup, böylece

Z t0+T t0

1 SdS =

Z t0+T t0

( k+λF)dt ve S(t₀+T) =S(t₀) oldu¼gundan,

0= kT+

Z t0+T t0

λFdt yani,

1 T

Z _t0+T t0

F(t)dt = ^k λ olur. O halde av¬n ortalama nüfusu denge noktas¬d¬r.

Benzer ¸sekilde,

dF

dt = (a cS)F olup, buradan

Z t1+τ t1

1 FdF =

Z t1+τ t1

(a cS)dt ve F(t1+τ) =F(t1) oldu¼gundan,

0= aτ

Z t1+τ t1

cSdt

yani,

1 τ

Z t1+T t1

S(t)dt = ^a c