ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER. Ali ŞENOL ANKARA Her hakkı saklıdır

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER

Ali ŞENOL

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2008

(2)

ÖZET

Doktora Tezi

UZAY FORMLARINDA GENEL HEL˙ISLER

Ali ¸SENOL

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danı¸sman: Prof.Dr. Yusuf YAYLI

Bu doktora tezi be¸s bölümden olu¸smaktadır. Birinci bölüm giri¸s kısmına ayrılmı¸stır.

˙Ikinci bölümde, temel tanım ve kavramlar kaynaklarıyla verilmi¸stir.

Üçüncü bölümde, uzay formlarında helisler tanımlanmı¸s ve çe¸sitli karakterizasyonlar verilmi¸stir.

Dördüncü bölümde, uzay formlarında Bertrand çiftleri incelenmi¸stir.

Son bölümde, uzay formlarında LC helisler tanıtılmı¸s ve bu helislerin özelikleri incelenmi¸stir.

Mayıs 2008, 67 sayfa

Anahtar Kelimeler : Genel helis, uzay formları, killing vektör alanları, yatık (slant) helis

(3)

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

GENERAL HELICES ˙IN SPACE FORMS Ali ¸SENOL

Ankara University

Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof.Dr. Yusuf YAYLI

This thesis consists of five chapters. The first chapter is the introduction.

In the second chapter, some basic and fundamental definitions and theorems have been presented.

The third chapter has been devoted to the presentation of uzay forms and fundamental definitions.

The fourth chapter has been investigated Bertrand couple in space form.

In the last chapter, LC helices in space form have been examined and some results have been founded.

May 2008, 67 pages

Key Words: General helix, Space forms, Killing vector fields, Slant helix

(4)

TE¸SEKKÜR

Bana ara¸stırma olana˘gı sa˘glayan ve çalı¸smamın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren danı¸sman hocam, Sayın Prof.Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniver- sitesi Fen Fakültesi)’ya, fikirleriyle ve sorularıyla yardımlarını benden esirgemeyen de˘gerli hocalarım Sayın Prof.Dr. H.Hilmi HACISAL˙IHO ˘GLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’na, Sayın Prof.Dr. H.Hüseyin U ˘GURLU (Gazi Üniversitesi E˘gitim Fakültesi)’ya, her zaman yardım ve deste˘gini gördü˘güm Ara¸s.Gör.Dr.Çetin CAMCI (Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi)’ya te¸sekkürlerimi bir borç bilirim.

Çalı¸smam sırasında ellerinden gelen her türlü deste˘gi bana veren e¸sim Sebil ¸SENOL’a, kızım S.Rabia ¸SENOL’a ve ailemin fertlerine minnet ve ¸sükranlarımı sunarım.

Ali ¸SENOL

Ankara, Mayıs 2008

(5)

˙IÇ˙INDEK˙ILER

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

TE¸SEKKÜR . . . iii

S˙IMGELER D˙IZ˙IN˙I . . . v

¸SEK˙ILLER D˙IZ˙IN˙I . . . vi

1. G˙IR˙I¸S . . . 1

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR . . . 2

2.1 Eⁿ de E˘gilim Çizgileri . . . 2

2.2 Riemannian Manifoldu . . . 6

2.3 Kovaryant Türev (Konneksiyon) . . . 6

2.4 Gauss Denklemi . . . 7

2.5 Riemannian E˘grilik Tensörü . . . 8

2.6 Hiperyüzeyler Üzerindeki Levi-Civita Anlamında Paralellik . . . 10

2.7 Hiperyüzeyler Üzerindeki Bir E˘gri ˙Için Frenet Türev Formülleri . 13 3. UZAY FORMLARINDA HEL˙ISLER . . . 21

3.1 Üç Boyutlu Uzayda Helis Tanımı . . . 21

3.2 Uzay Formlarında Helis E˘grileri ˙Için Yeni Karakterizasyonlar . . . . 22

3.3 Uzay Formlarında Farklı Helis Tanımları . . . 26

3.4 Darboux Helislerinin Küresel Göstergeleri . . . 29

4 . UZAY FORMLARINDA BERTRAND Ç˙IFTLER˙I . . . 38

4.1 Berdrand Çifti . . . 38

4.2 Uzay Formlarında Bertrand E˘gri Çiftleri ile ˙Ilgili ˙Iki Teorem . . . 41

5. UZAY FORMLARINDA L.C HEL˙ISLER . . . 48

5.1 Uzay Formunda L.C Helisler ve Karakterizasyonları . . . 48

5.2 n−Boyutlu Uzay Formlarında E˘gilim Çizgileri (L.C Helisler) ve Karakterizasyonları . . . 55

KAYNAKLAR . . . 66

ÖZGEÇM˙I¸S . . . 67

(6)

S˙IMGELER D˙IZ˙IN˙I

M(c) Uzay formu

ki i −yinci e˘grilik fonksiyonu

H Harmonik e˘grilik

D Eⁿde Riemannian konneksiyon D, ∇− Mde Riemannian konneksiyon R Riemannian e˘grilik tensörü

K Riemannian Christoffel e˘grilik tensörü K− Kesitsel e˘grilik

(M, g) Riemannian manifold

Eⁿ Öklid uzayı

(7)

¸SEK˙ILLER D˙IZ˙IN˙I

¸Sekil 2.1 Kovaryant türev operatörü . . . ... 10

¸Sekil 2.2 Kovaryant türev operatörü . . . 13

¸Sekil 2.3 Kovaryant türev operatörü . . . ... 15

(8)

1. G˙IR˙I¸S

Uzay e˘grilerinin en ilginç e˘grilerinden biri genel helislerdir. Biliyoruz ki, helisler, günlük hayatımızda sıkça kar¸sıla¸stı˘gımız e˘grilerdir. Örnek olarak; ani küresel ve uzay hareketlerinde, D.N.A nın yapısında, fasulyenin çubu˘ga sarılırken çizdi˘gi e˘gri olarak helis e˘grisini görebiliriz. ˙Ilk olarak, dairesel helisler adı verilen bir dik dairesel silindir üzerindeki e˘griler ele alınmı¸stır. Bunların k1ve k2 e˘griliklerinin ayrı ayrı birer sabit oldukları ilk tespit edilebilen bir karakterizasyon olmu¸stur. Daha sonra, genel helis adı verilen daha genel bir helis e˘grisinin var oldu˘gu ke¸sfedildi. Bu cins e˘griler için, k1ve k2 sabit olmadı˘gı halde k₁

k2

oranının sabit oldu˘gu tesbit edildi.

Bu orana harmonik e˘grilik adı verildi. Bu cins helislerin, artık bir dik dairesel silindir üzerine çizilmi¸s olma zorunlulu˘gunun olmadı˘gı görüldü. Bir koni veya bir küre yüzeyi üzerine çizilebilen helislerin olup olmadı˘gı fikri, helislerin tanımını daha da genelle¸stirmek gerekti˘gine sevketmi¸s ve Alman matematikçi E. Müller helisleri

“Her noktasında sabit bir do˘grultu ile sabit açı yapan e˘griler” olarak tanımlamı¸s ve bunlara E˘gilim çizgileri adını vermi¸stir (Blaschke 1950). Ertu˘grul Özdamar (1975) ın çalı¸smaları ile silindirden farklı yüzeyler üzerindeki e˘gilim çizgileri ve Remzi Öztürk (1980) ün doktora çalı¸sması ile helisler için n > 3 halinde Eⁿ deki en genel karakterizasyonlar verilmi¸stir. Eⁿ yerine, bir M hiperyüzeyi veya Uzay Formu alınırsa helis tanımı çe¸sitli ¸sekillerde verilmektedir. Bunlardan ilki, M. Barros tarafından E⁴de bir M Uzay Formu için verilmi¸s ve çe¸sitli karakterizasyonlar elde edilmi¸stir.

Tamura, M 3 boyutlu Uzay Formunda κ ve τ nun her ikiside sabit olması halinde helis tanımını vermi¸stir.

Bu tezde, Uzay Formunda yeni bir helis tanımını verdik. Bu helisleri, LC helisler olarak tanımladık. Bu helisler için çe¸sitli karakterizasyonlar verdik.

(9)

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR

2.1 Eⁿde E˘gilim Çizgileri

Tanım 2.1.1. α ⊂ Eⁿ e˘grisi (I, α) kom¸sulu˘gu ile verilsin. ∀ s ∈ I ya kar¸sılık gelen α(s) noktasındaki Frenet ayaklısı {v1, v2, ...vn}olsun. Buna göre,

k_i : I → R

s→ kⁱ(s) =

v_i(s), vi+1(s)

¸seklinde tanımlı ki fonksiyonuna α e˘grisinin i−yinci e˘grilik fonksiyonu denir.

∀ s ∈ I için kⁱ(s) reel sayısına da α(s) noktasındaki M nin i−yinci e˘grili˘gi denir (Hacısaliho˘glu 1983).

Tanım 2.1.2. α ⊂ Eⁿ e˘grisi (I, α) kom¸sulu˘gu ile verilsin.

∀ s ∈ I ya kar¸sılık gelen α(s) noktasındaki Frenet ayaklısı {v1, v₂, ...v_n} ve i−yinci e˘grili˘gi ki(s) ise

v₁(s) = k₁(s).v2(s)

v_i(s) = −ki−1(s).v_i−1(s) + ki(s).vi+1(s) 1ip v_p(s) = −kp−1(s).v_p−1(s)

dır (Hacısaliho˘glu 1983).

Tanım 2.1.3. α ⊂ Eⁿ e˘grisi (I, α) kom¸sulu˘gu ile verilsin.

∀ s ∈ I ya kar¸sılık gelen α(s) ∈ α noktasında α nın 1. ve 2. e˘grilikleri κ¹(s), κ2(s) olmak üzere

H1 : I → R H1(s) = κ1(s)

κ₂(s)

(10)

¸seklinde tanımlı H1 fonksiyonuna, M nin 1−inci harmonik e˘grili˘gi denir (Hacısaliho˘glu 1983).

Teorem 2.1.1. α ⊂ E³ e˘grisi (I, α) kom¸sulu˘gu ile verilsin.Bu durumda,

α bir e˘gilim çizgisidir ⇔ ∀ s ∈ I için H1(s) = sbt

(Hacısaliho˘glu 1983).

Tanım 2.1.4. α ⊂ Eⁿ e˘grisinin birim te˘get vektör alanı v1ve X ∈ χ(Eⁿ) sabit birim vektör alanı olsun. ∀p ∈ α için, ϕ = ^π₂ olmak üzere,

v¹, X = cos ϕ=sbt

ise α e˘grisine Eⁿ de bir e˘gilim çizgisi ϕ açısına α nın e˘gilim açısı ve Sp{X}

uzayına da α nın e˘gilim ekseni denir (Hacısaliho˘glu 1983).

Tanım 2.1.5. (Yüksek mertebeden harmonik e˘grilikler)

α ⊂ Eⁿ e˘grisi (I, α) kom¸sulu˘gu ile verilsin. ∀ s ∈ I ya kar¸sılık gelen α(s) nok- tasındaki yüksek mertebeden e˘grilik fonksiyonları, sırasıyla k1, k2, ...k_n−1 olsun. α e˘grisinin birim te˘get vektör alanı v1olmak üzere,

H_i : I → R

Hi =











0 i= 0

κ1

κ2 i= 1

{v¹[H_i−1] + H_i−2κ_i} .κi+1¹ 1 < i ≤ n − 2

¸seklinde tanımlı Hifonksiyonuna α nın i-yinci mertebeden harmonik e˘grilik fonksiyonu denir (Hacısaliho˘glu 1983). Bu tanımdaki Hifonksiyonlarının V1yönün-

(11)

deki kovaryant türevlerini matrisel formda yazmak gerekirse







V1[H1] V1[H2] V1[H3] . . .

V₁[H_n−4] V₁[H_n−3] V₁[H_n−2]







=







0 k3 0 0 . . . 0 0 0 0

−k³ 0 k4 0 . . . 0 0 0 0

0 −k⁴ 0 k5 . . . 0 0 0 0

. . .

0 0 0 0 . . . 0 0 k_n−2 0

0 0 0 0 . . . 0 −kn−2 0 k_n−1

0 0 0 0 . . . 0 0 −kn−1 0











 H1

H2

H3

H_n−4 H_n−3 H_n−2







dir.

Teorem 2.1.2. α ⊂ Eⁿ de bir e˘gilim çizgisi ve Sp{X} uzayı da α nın e˘gilim ekseni olsun. α nın Frenet n-ayaklısı {v1, v₂, ...v_n} , harmonik e˘grilikleri de H¹, H₂, ....H_n−2 olmak üzere,

vⁱ⁺², X = Hⁱ.v¹, X , 1 < i ≤ n − 2 dir (Hacısaliho˘glu 1983).

Sonuç 2.1.1. Helis e˘grisinin e˘gilim ekseni X ise

X = λ1v₁+ λ2v₂+ ... + λnv_n

¸seklinde yazabiliriz. Buradan,

λ_i = vi, X = Hi−2v1, X

olur. Ayrıca,

v1, X = cos ϕ = 0

X = cos ϕ(v₁+ H₁v₃+ ... + H_n−2v_n)

(12)

elde edilir.

W = v1+ H1v3+ ... + H_n−2vn

diyelim (Camcı 2007). Ozaman

X = cos ϕW

olur.

Teorem 2.1.3. α : I → Eⁿ n-mertebeden regüler e˘gri, {v1, v₂, ...v_n} Frenet vektör- leri, ve k1, k2, ....k_n−1 de e˘grinin e˘grilikleri olsun. Bu durumda,

“ α bir e˘gilim çizgisidir ”⇔“ W = v1 + H1v₃+ ... + H_n−2v_n vektörü sabittir ” (Camcı 2007).

Teorem 2.1.4. α ⊂ Eⁿ bir e˘gilim çizgisi ve Sp{X} uzayı da α nın e˘gilim ekseni olsun. α nın Frenet n-ayaklısı {v1, v2, ...vn} , harmonik e˘grilikleri de H¹, H2, ....H_n−2 olmak üzere,

α , Eⁿde bir e˘gilim çizgisidir. ⇒ n−2

i=1

H_i² = sbt

dir (Hacısaliho˘glu 1983).

Teorem 2.1.5. α : I → Eⁿ n-mertebeden regüler e˘grisi olsun. Bu durumda, αe˘gilim çizgisidir.⇔ V¹[H_n−2] + k_n−1H_n−3 = 0 dır (Camcı 2007).

(13)

2.2 Riemannian Manifold

Tanım 2.2.1. ( Riemann manifold)

M bir C^∞manifold olsun. M üstünde vektör alanlarının uzayı χ(M) ve reel de˘gerli C^∞ fonksiyonlarının halkası C^∞(M, R) olmak üzere

, : χ(M) × χ(M) → C^∞(M, R)

¸seklinde bir iç-çarpım tanımlı ise M ye bir Riemanian manifold denir. Burada,

, i¸slemine M üzerinde iç çarpım veya Riemann metri˘gi denir ve g ile gösterilir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 2.2.2. ( Yarı-Riemann manifoldu)

M bir C^∞manifold olsun. M üstünde vektör alanlarının uzayı χ(M) ve reel de˘gerli C^∞ fonksiyonlarının halkası C^∞(M, R) olmak üzere

, : χ(M) × χ(M) → C^∞(M, R)

fonksiyonu, i) 2-Lineer ii) Simetri

iii) ∀ X ∈ χ(M) için X, Y = 0 ⇒ Y = 0

özeliklerini sa˘glıyorsa, M ye Yarı-Riemann manifoldu denir (Hacısaliho˘glu 2004).

2.3 Kovaryant türev (Koneksiyon)

Tanım 2.3.1. (Koneksiyon)

Diferensiyellenebilir bir M manifoldu üzerinde,

D: χ(M ) × χ(M) → χ(M)

(X, Y ) → D(X, Y ) = D^XY

(14)

¸seklinde tanımlanan dönü¸süm, ∀ f, g ∈ C^∞(M, R) için 1)DX(Y + Z) = DXY + DXZ

2) D (X+Y) Z = DXZ+ DYZ 3) Df XY = f.DXY

4) DX(f Y ) = X [f ] .Y + f.DXY

¸sartlarını sa˘glıyorsa D ye (M, g) üzerinde bir Lineer-konneksiyon(Afin konneksiyonu) denir. DX e de X göre kovaryant türev operatörü denir.

5) DX[Y, Z] = D^XY, Z + Y, D^XZ (konneksiyonun metrikle ba˘gda¸sma ¸sartı) 6) T orD(X, Y ) = DXY − D^YX− [X, Y ](sıfır torsion özeli˘gi)

olmak üzere

[X, Y ] = DXY − D^YX

yukarıdaki 6 ¸sarta Levi-civita konneksiyonu ¸sartı denir (Hacısaliho˘glu 2004).

2.4 Gauss Denklemi

Bu kısımda, Eⁿin Riemann koneksiyonu ile Eⁿdeki hiperyüzeylerin Riemann koneksiyonu arasındaki ilgiyi vermeye çalı¸saca˘gız. Bunun için Gauss anlamında kovaryant türevi ve Gauss denklemini tanımlayaca˘gız.

Tanım 2.4.1. (Gauss anlamında kovaryant türev ve Gauss denklemi):

Eⁿ in bir hiperyüzeyi M olsun. Eⁿ in Riemann konneksiyonu D ile gösterilmek üzere,

∀ X, Y ∈ χ(M) için D^XY = DXY + D^XN, Y N (2.4.1) (2.4.1) ¸seklinde tanımlı D operatörüne M üzerinde Gauss anlamında kovaryant türev operatörü (2.4.1) denklemine de M üzerinde Gauss denklemi denir (Hacısali- ho˘glu 2004).

Teorem 2.4.1. Eⁿ in bir hiperyüzeyi M olsun. (1) Gauss denklemi ile tanımlı D fonksiyonuna M üzerinde bir Riemann konneksiyonu (Riemann anlamında kovaryant türev) dur (Hacısaliho˘glu 2004).

(15)

2.5 Riemannian E˘grilik Tensörü

Tanım 2.5.1.(Riemannian e˘grilik tensörü) (M, g) Riemanian manifoldu olsun, Levi-Civita konneksiyonu D = ∇ olmak üzere,

R: χ(M ) × χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X, Y, Z) → R(X, Y ).Z

R(X, Y, Z) = R(X, Y ).Z = ∇^X∇^YZ− ∇^Y∇^XZ − ∇^{[X,Y ]}Z

fonksiyonu (1,3) tipinde tensör alanıdır. Bu tensör alanına M üzerindeki Rie- mannian e˘grilik tensör alanı denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 2.5.2. (Riemannian Christoffel e˘grilik tensörü) M bir n-boyutlu (n≥4) Riemann manifoldu ve , de M nin g metri˘gi olsun.

K : χ(M ) × χ(M) × χ(M) × χ(M) → C^∞(M, R)

(X, Y, Z, W ) → K(X, Y, Z, W )

K(X, Y, Z, W ) = R(Z, W )Y, X

olarak tanımlanan 4 mertebeden kovaryant tensöre , M üzerinde Riemannian Christoffel e˘grilik tensörü denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 2.5.2.Kesitsel e˘grilik (Sectional Curvature)

(M, , ) bir yarı-Riemannian manifoldu boyM≥2 olsun. Bir p ∈ M noktasındaki TM(p) tanjant uzayının iki boyutlu alt uzayı F olsun. F nin bir bazı {X, Y } ise X, Y ∈ F tanjant vektörleri için Al alan fonksiyonu

Al(X, Y ) =

X, X . Y, Y − X, Y ²¹₂

(16)

biçiminde tanımlansın

K : χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X, Y ) → K(X, Y ) = K(X, Y, X, Y ) Al² K(X, Y, X, Y ) = R(X, Y ).Y, X

olarak tanımlanan K(F )reel sayısına F nin “Kesitsel e˘grili˘gi”denir ve K(X, Y ) ile de gösterilir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 2.5.3. Uzay Formları (Sabit e˘grilikli Uzay)

∀ X, Y ∈ χ(M) için (M, g) Riemannian manifoldunda

K(X, Y ) = c (sbt)

ise bu uzaya sabit e˘grilikli uzay formu denir ve M(c) ile gösterilir. c nin özel de˘gerleri için a¸sa˘gıdaki örnekler verilebilir.

i) c = 0 ise Mⁿ(c) = Eⁿ, Öklid uzayıdır.

ii) c = _r¹2 ise Mⁿ(c) = Sⁿ(r) ⊂ Eⁿ⁺¹ hiperküredir.

iii) c = −_r¹² ise Mⁿ(c) = Hⁿ(r) ⊂ Eⁿ⁺¹ hiperbolik küredir (Hacısaliho˘glu 2004).

2.6 Hiperyüzeyler Üzerinde Levi-Civita Anlamında Paralellik

M bir hiperyüzey ve α : I → M bir parametrik e˘gri olsun. Bir X vektör alanına α boyunca M ye te˘gettir denir, e˘ger X vektör alanı α e˘grisine kısıtlanmı¸s ve ∀t ∈ I için X(t) ∈ TM(α(t)) ise, X in ^dX_dt türevini X (t) ile gösterelim.^. X (t) genel olarak^. M ye te˘get de˘gildir. FakatX (t) nin T^. M(α(t)) üzerine ortogonal izdü¸sümünü almak

(17)

suretiyle ∀t ∈ I için yeni bir vektör alanı elde ederiz.

Önce diferensiyel almak ve sonra M nin tanjant uzayına izdü¸sürmekten ibaret olan bu yöntem diferensiyel ile aynı özeliklere sahip olan bir operatör tanımlar. Sadece bir fark vardır; o da M ye te˘get olan vektör alanlarının diferensiyelleri gene M ye te˘get kalan vektör alanları verir. Bu yeni operasyona M üzerinde Kovaryant diferensiyel operatörü denir.

Eⁿ⁺¹ de bir hiperyüzey M olsun. M üzerinde parametrik bir e˘gri α : I → M ve αboyunca M ye te˘get ve diferensiyellenebilen bir vektör alanı X olsun. X in Ko- varyant türevi X, α boyunca M ye te˘get olan bir vektör alanıdır ve

.

X= X+ λN

her iki tarafı N ile iç çarparsak

_. X, N

= X, N

+ λ N, N

(18)

λ= _. X, N

ifadesi tekrar yerine yazılırsa

X =X^. − _. X, N

.N

olarak tanımlanır. Burada N ile M nin birim normal vektör alanı gösterilmektedir.

Kovaryant diferensiyel operatörünün a¸sa˘gıdaki özeliklerini göstermek kolaydır.

Bir α : I → M e˘grisi boyunca M ye te˘get olan X ve Y diferensiyellenebilir vektör alanları ve α boyunca diferensiyellenebilir bir f fonksiyonu için ,

i) (X + Y ) = X + Y ii) (fX) = f.X + f.X iii) X, Y =

X, Y +

X, Y (Hacısaliho˘glu 2004).

Kovaryant türev bir hiperyüzey üzerinde paralelizm kavramı ile ilgilidir.

Eⁿ⁺¹ de −→V _p = (p, V ) ∈ T^Eⁿ⁺¹(p)

−→

W_q = (q, W ) ∈ T^Eⁿ⁺¹(q)

tanjant vektörleri için −→V =−W→ise bu iki tanjant vektöre Öklid anlamında paraleldirler denir.

Bir α : I → Eⁿ⁺¹ parametrik e˘grisi boyunca bir X vektör alanı için

X(t₁) = X(t₂), ∀ t1, t₂ ise X vektör alnına Öklid anlamında paraleldir denir. Bu- rada α(t) ∈ α noktasındaki bir tanjant vektörü (α(t), X(t))dir. O halde X vektör alanı için

.

X= dX dt = 0

ise X vektör alanına α e˘grisi boyunca Öklid anlamında paraleldir denir.

(19)

Eⁿ⁺¹ de bir hiperyüzey M üzerindeki bir parametrik e˘gri α : I → M olsun. α e˘grisi boyunca M ye te˘get olan bir X diferensiyellenebilir vektör alanı için X = 0 ise bu X vektör alanına Levi-Civita anlamında paraleldir denir. E˘ger α boyunca X bir sabit vektör alanı ise, M den bakıldı˘gına göre, X vektör alanı α boyunca paraleldir.

Teorem 2.6.1. Levi-Civita (L.C) anlamında paralelizmin a¸sa˘gıdaki özelikleri vardır.

i) E˘ger α boyunca X vektör alanı Levi-Civita anlamında paralel ise X in uzunlu˘gu sabittir.

ii) α boyunca X ve Y vektör alanı L.C paralel ise X, Y sabittir.

iii) α boyunca X ile Y L.C paralel ise X ile Y arasındaki açı α boyunca sabittir.

iv) α boyunca X ve Y vektör alanı Levi-Civita anlamında paralel ise X +Y ve ∀c ∈ R için cX de α boyunca Levi-civita anlamında paraleldir.

v) M hiperyüzeyi üzerinde bir parametrik α e˘grisi boyunca hız vektör alanı LC anlamında paraleldir⇔ α bir hiperyüzeyi üzerinde geodeziktir (Hacısaliho˘glu 2004).

Teorem 2.6.2. E³de bir yüzey M olsun. M üzerinde α : I → M e˘grisi bir geodezik veα^. = 0 ise α boyunca M ye te˘get olan bir X vektör alanının α boyunca Levi-Civita anlamında paralel olabilmesi için gerek ve yeter ¸sart α boyunca X =sbt ve X ile α arasındaki açının sabit olmasıdır (Hacısaliho˘glu 2004).

(20)

2.7 Hiperyüzeyler Üzerindeki Bir E˘gri ˙Için Frenet Türev Formülleri

M, Eⁿ de bir hiperyüzey ve bu hiperyüzey üzerinde α : I → M e˘grisi verilsin. Eⁿ nin konneksiyonu D ve Riemannian metri˘gi g olsun.M hiperyüzeyinin Riemannian konneksiyonu D ve Riemannian metri˘gi g olsun.

D: χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X, Y ) → D^XY

DXY = DXY − g(D^XY, N)N Gauss denklemi ile belli olan D operatörüne M üzerinde bir Riemann anlamında Kovaryant türev operatörü denir.

DXY + λN = DXY (2.8.1)

(2.8.1) denkleminin her iki taraf N ile iç çarpılırsa

g(DXY, N) + λg(N, N) = g(DXY, N) (2.8.2)

D_XY te˘get uzayda oldu˘gundan g(DXY, N) = 0 dır.

(21)

λ= g(DXY, N) (2.8.2) de yerine yazılırsa

DXY = DXY − g(D^XY, N).N (2.8.3)

elde edilir. D , M üzerinde Riemann konneksiyondur. α e˘grisinin D türev yardımıyla, M üzerinde Frenet vektörlerini hesaplayabiliriz. α : I → M birim hızlı e˘gri olsun

v₁ = α(s)

e˘grinin te˘get vektörü olsun.

Dv^v11 = α(t) nın te˘get uzayı üzerine dik izdü¸sümünü D^v1_v₁ ile gösterelim. D^v1_v₁ ∈ χ(M ) oldu˘gundan tekrar türev alırsak Dv1(D^v1_v₁) vektörünü elde ederiz. Bu vektörün te˘get uzaya izdü¸sümünü Dv1(D^v1_v₁) = D²_v^v1₁ ile gösterelim. Dv1(D^v1_v₁) ∈ χ(M) oldu˘gu görülür. Bu ¸sekilde devam edersek, v1, D^v1_v₁, D²_v^v1₁ , ..., D^p−1_v₁ ^v1 vektörlerini

elde ederiz.

S =

v1, D^v1_v₁, D²_v^v1₁ , ..., D^p−1_v₁ ^v1

⊂ χ(M)

cümlesi χ(M) uzayında lineer ba˘gımsız olsun. S cümlesine Gram-Schmidt ortonor- malle¸stirme metodu uygulanabilir.

E₁ = α = v1

ve

E_i = .Dⁱ⁻¹_v₁ ^v1 − p−1

j=1

g(Dⁱ⁻¹_v₁ ^vi, Ej) g(Ej, E_j) E_j

olmak üzere {E1, ..., E_p} ortogonal vektör sistemidir. Bu sistem normlanırsa,

v1 = E1

E1 . . . vp = Ep

Ep

(22)

{v¹, ..., v_p} ortonormal sistemi elde edilir. Bu, p-vektör sistemine M yüzeyi üz- erindeki α e˘grisinin Frenet p-ayaklısı denir.

Tanım 2.7.1. (E˘grilik fonksiyonu) M ⊂ Eⁿ yüzeyi üzerinde {v1, ..., v_p} ortonormal sistemi verilsin.

k_i = g(D^vi_v₁, v_i+1), 1 ≤ i ≤ p − 1 , p ≤ n − 1

¸seklinde tanımlı ki fonksiyonuna M deki α e˘grisinin i-yinci e˘grilik fonksiyonu denir.

E⁴deki bir M uzay formunda bir e˘grinin Frenet türev formüllerini elde edelim.

M³(c) ⊂ E⁴ uzay formunda α : I → M³(c) ⊂ E⁴(birim hızlı), E⁴ ün konneksiyonu D ve Riemannian metrik g olsun. M³(c) uzay formundaki konneksiyonu D ve Riemannian metrik g = g|_M olsun. α nın E⁴ deki Frenet vektörleri v1, v2, v3, v4 e˘grilikleri k1, k₂, k₃ ve α nın M³(c) deki Frenet vektörleri v₁, v₂, v₃ e˘grilikleri κ, τ olsun.

v₁ = v1 = α(s)

Dv^v11 = α(t) nin te˘get uzaya dik izdü¸sümü D^v1_v₁dir. Tekrar türev alırsak Dv1(D^v1_v₁) vektörünü elde ederiz. Bu vektörün te˘get uzaya tekrar dik izdü¸sümünü alırsak,Dv1(D^v1_v₁)

(23)

elde edilir. Dv1(D^v1_v₁) ∈ χ(M) oldu˘gu görülür.

v1, D^v1_v₁, D²_v₁^v1

cümlesi lineer ba˘gımsızdır.

D³_v^v1₁ ∈ S^p

v1, D^v1_v₁, D²_v^v1₁

dir. Gramm-Schmidth metodu uygulanırsa,

E₁ = v1

E2 = D^v1_v₁ −g(D^v_v¹₁, E1) g(E₁, E₁) E1

E3 = D²_v₁^v1 − g(D²_v^v1₁ , E₁)

g(E1, E1) E1− g(D²_v^v1₁ , E₂) g(E2, E2) E2

{E¹, E2, E3} ortogonal vektörleri elde edilir.

v1 = E1 = v1

v₂ = E₂

g(E₂, E₂) = E₂

E² v₃ = E3

g(E3, E3) = E3

E³ {v¹, v2, v3} ortonormaldir.

κ= g(D^v1_v₁, v₂) τ = g(D^v2_v₁, v₃)

olarak tanımlayalım. ¸Simdi a¸sa˘gıdaki teoremi verebiliriz.

Teorem 2.7.1. M ⊂ E⁴ Uzay formunda α : I → M³ birim hızlı e˘grisinin α(s) nok- tasındaki e˘grilikleri κ, τ olmak üzere Frenet ayaklısı {v1, v₂, v₃} olsun . Bu durumda,

(24)

D_v^v1₁ = κ.v2

D_v^v2₁ = −κ.v1+ τ .v₃ D_v^v3₁ = −τ.v²

dir.

˙Ispat: α : I → M³ birim hızlı e˘gri olmak üzere,

v1 = v1 = α(s)

dir.

g(v1, v1) = 1 (2.8.3)

(2.8.3) ün M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v1_v₁, v₁) + g(v₁, D^v1_v₁) = 0

g(D^v1_v₁, v1) = 0 (2.8.4)

dır.(2.8.4),(2.8.5) de yerine yazılırsa

E₂ = D^v1_v₁ − g(D^v1_v₁, E₁)

g(E1, E1) E₁ (2.8.5)

E₂ = D^v1_v₁ (2.8.6)

elde edilir.

v₂ = E2

E² ifadesi düzenlenirse,

D^v1_v₁ = E² .v² (2.8.7)

elde edilir,(2.8.7) nin her iki tarafını v2 ile iç çarparsak,

g(D^v1_v₁, v₂) = E2 = κ (2.8.8)

(25)

oldu˘gundan (2.8.8), (2.8.7) de yerine yazılırsa,

D^v1_v₁ = κ.v2 (2.8.9)

elde edilir.

D^v2_v₁ = λ1.v1+ λ2.v2+ λ3.v3 (2.8.10)

g(v2, v2) = 1 (2.8.11)

(2.8.11) ifadesinin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v2_v₁, v₂) + g(v₂, D^v2_v₁) = 0 (2.8.12)

g(D^v2_v₁, v2) = 0 (2.8.13) elde edilir.(2.8.10) v2 ile iç çarparsak

g(D^v2_v₁, v₂) = λ₁.g(v₁, v₂) + λ₂.g(v₂, v₂) + λ₃.g(v₃, v₂)

elde edilir.Buradan,

λ2 = 0 dır.

λ3 = g(D^v2_v₁, v3) = τ λ1 = g(D^v2_v₁, v1) =?

oldu˘gundan, Ayrıca

g(v2, v₁) = 0 (2.8.14)

(2.8.14) ifadesinin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v2_v₁, v1) + g(v2, D^v1_v₁) = 0 (2.8.15)

(26)

(2.815) denklemi elde edilir.

g(D^v2_v₁, v1) = −κ = λ¹

(2.8.10) da yerine yazılırsa,

D^v2_v₁ = −κ.v¹+ τ .v3

elde edilir.

D^v3_v₁ = µ₁.v₁+ µ₂.v₂+ µ₃.v₃ (2.8.16)

g(v3, v₃) = 1 (2.8.17)

(2.8.17) nin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v3_v₁, v3) + g(v3, D^v3_v₁) = 0

g(D^v3_v₁, v₃) = 0 elde edilir. (2.8.16) denklemini v3 ile iç çarparsak

λ3 = 0

bulunur.

g(v3, v1) = 1 (2.8.18)

g(D^v3_v₁, v₁) + g(v₃, D^v1_v₁) = 0

g(D^v3_v₁, v₁) = −g(v³, D^v1_v₁) elde edilir.(2.8.16) denklemini v1 ile iç çarparsak,

µ₁ = −g(v³, D^v1_v₁) (2.8.19)

(27)

elde edilir. (2.8.9), (2.8.19) de yerine yazılırsa,

µ₁ = −g(v³, κv2)

µ₁ = −κg(v³, v₂) µ₁ = 0 dır.

g(v2, v3) = 0 (2.8.20)

g(D^v2_v₁, v₃) + g(v2, D^v3_v₁) = 0

g(D^v3_v₁, v2) = −g(D^v2v1, v3) = 0

µ₂ = −g(D^v2v1, v3) = −τ (2.8.21) (2.8.21), (2.8.16) da yerine yazılırsa

D^v3_v₁ = −τ .v²

elde edilir ve ispat biter. Buradan, a¸sa˘gıdaki ifade yazılabilir.





 D^v1_v₁ D^v2_v₁ D^v3_v₁





=







0 κ 0

−κ 0 τ

0 −τ 0











 v₁ v2

v₃







Bundan sonra gösterim kolaylı˘gı olması açısından D konneksiyonu, D = ∇ ile gös- terilecektir.

(28)

3. UZAY FORMLARINDA HEL˙ISLER

3.1 Üç Boyutlu Uzayda Helis Tanımı

Literatürde çe¸sitli helis tanımları verilmi¸stir. Bu bölümde Uzay formları için Barros tarafından verilen helis tanımını ele aldık, çe¸sitli teoremler verdik. Bu bölümde son olarak di˘ger helis tanımlarını tanıtarak bunlar arasındaki ili¸skiyi verelim.

Tanım 3.1.1. M kesitsel e˘grili˘gi sabit olan uzay formunda γ = γ (t) : I ⊂ R → M e˘grisini gözönüne alalım. γ nın te˘get vektör alanını γ(t), birim te˘get vektör alanını T = T (t) ve hızını da v (t) = γ(t) = γ(t) , γ(t) ¹² olarak alalım. M deki Levi-Civita konneksiyonu ∇ olmak üzere γ nın Frenet formülleri

∇^TT = κN

∇^TN = −κT + τ B

∇^TB = −τ N

olur. Burada κ > 0 ve τ sırasıyla α nın M de e˘grilik ve burulması (torsiyon) olur.

M de γ nın varyasyonunu

Γ : I × (−ε, ε) → M (t, z) → Γ (t, z) Γ (t, 0) = γ(t) olarak tanımlarız.

∂Γ

∂z

z=0

= V (t)

¸seklinde tanımlı vektör alanı da varyasyon vektör alanıdır. Bundan sonra

v = V (t, z), T = T (t, z), V = V (t, z) notasyonlarını kullanaca˘gız. Burada t keyfi, s de γ nın yay parametresi olarak kullanılacaktır.

(29)

E˘ger,

∂v

∂z

z=0

= ∂κ²

∂z

z=0

= ∂τ²

∂z

z=0

= 0

¸sartı sa˘glanıyorsa γ (s) boyunca V (s) vektör alanına Killing vektör alanı denir.¸Sayet

∂v

∂z,∂κ²

∂z ,∂τ²

∂z de˘gerlerini hesaplarsak

∂v

∂z = ∇TV, Tv

∂κ²

∂z = 2κ∇²TV, N − 4κ²∇^TV, T + 2cκV, N

∂τ²

∂z = 2τ

κ ∇³TV, B −2κτ

κ² ∇²TV + cV, B + 2τ (c + κ²)

κ ∇^TV, B − 2τ²∇^TV, T elde ederiz (Barros 1997).

Tanım 3.1.2. Bir γ (s) e˘grisi boyunca tanımlanan V Killing vektör alanıyla e˘grinin te˘geti arasındaki açı her noktada sıfırdan farklı sabit bir açıya e¸sitse γ e˘grisine genel helis denir (Barros 1997).

3.2 Uzay Formlarında Helis E˘grileri ˙Için Yeni Karakterizasyonlar

Teorem 3.2.1. a ve b sabit reel sayılar ve κ ve τ da e˘grilikler olmak üzere

α M de genel helistir ⇔ τ = bκ + a

(Barros 1997).

Teorem 3.2.2. M bir uzay formu, γ e˘grisi de M üzerinde regüler bir e˘gri olsun.Bu durumda a¸sa˘gıdaki denklem sa˘glanır.

∇³TT−

2κ

κ +τ τ

∇²TT+

−κ

κ +κ κ

τ τ + 2

κ κ

²

+ κ²+ τ²

∇^TT+κτκ τ

T = 0 (3.1)

(30)

˙Ispat :

∇^TT = κN

∇^TN = −κT + τ B

∇^TB = −τ N

Frenet denklemlerinden yararlanarak

∇²TT = −k²T + kN+ kτ B

∇³TT = −2kkT − k²∇^TT + kN + k∇^NT + (kτ )B+ kτ ∇^BT

bulunur. B ve N çekilip türevler alınırsa

B = 1

τ∇^NT +k τT N = 1

k∇^TT

∇^NT =

1 k

∇^TT + 1 k∇²TT

B = 1 τ

−k k²

∇^TT + 1

kτ∇²TT + k τT

∇^BT = −

k τ k²

∇^TT − k

τ k²∇²TT +

1 kτ

∇²TT + 1

kτ∇³TT +

k τ

T + k

τ∇^TT

bulunur. Frenet denkleminden ∇^BT = −^τk∇^TT ifadesi çekilip e¸sitlenirse ve ifade düzenlenirse

1

kτ∇³TT +

1

(kτ ) − k τ k²

∇²TT +

−

k τ k²

+k

τ +τ k

∇^TT +

k τ

T = 0

∇³TT+kτ

1 kτ

− k τ k²

!

I

∇²TT+kτ

−

k τ k²

+k

τ + τ k

!

II

∇^TT+

k τ

T+k

τ∇^TT = 0

(31)

bulunur,I ve II nin katsayıları sadele¸stirilirse.

kτ

1 kτ

− k τ k²

!

I

= kτ

"

−(kτ ) (kτ )²

#

− k τ k²

!

II

kτ

− kτ

τ²k² − kτ τ²k² − k

τ k²

−k k − τ

τ − k k

= −

2k

k +τ τ

kτ

−

k τ k²

+k

τ +τ k

= −kτ

k τ k²

+ k²+ τ²

kτ

−

k τ k²

+k

τ +τ k

= −k

k + k k

τ τ + 2

k k

²

+ k²+ τ² elde edilir ve denklemde yerine yazılırsa,

∇³TT−

2κ

κ +τ τ

∇²TT+

−κ

κ +κ κ

τ τ + 2

κ κ

²

+ κ²+ τ²

∇^TT+κτκ τ

T = 0

diferensiyel denklemi elde edilir.

Teorem 3.2.3. M bir uzay formu, γ da M üzerinde regüler bir e˘gri olsun. Bu durumda γ e˘grisi genel helis e˘grisidir ancak ve ancak

∇³TT−κ κ

3bκ + 2a bκ+ a

∇²TT+

−κ

κ +

κ κ

2

3bκ + 2a bκ+ a

+ κ²+ τ²

∇^TT+ aκκ

bκ+ aT = 0 (3.2) denklemi sa˘glanır.

˙Ispat. (⇒) γ e˘grisi genel helis e˘grisi olsun. γ regüler bir e˘gri oldu˘gundan (3.1) denklemini sa˘glar. Ayrıca τ = bκ + a dır. (3.1) denklemini açalım.

−

2κ

κ + τ τ

= −κ κ

3bκ + 2a bκ+ a

−κ

κ +κ κ

τ τ + 2

κ κ

2

+ κ²+ τ² = −κ

κ +

κ κ

2

3bκ + 2a bκ+ a

+ κ²+ τ²

(32)

κτκ τ

= aκκ bκ+ a

oldu˘gundan yukarıdaki e¸sitlikleri (3.1) da yerlerine yazarsak (3.2) elde edilir.

(⇐) Kabul edelim ki γ regüler e˘grisi (3.2) e¸sitli˘gini sa˘glasın. γ e˘grisi regüler oldu˘gundan (3.1) e¸sitli˘gi de sa˘glanır. (3.1) den (3.2) yi çıkarırsak

X = κ κ

3bκ + 2a bκ+ a

−

2κ

κ + τ τ

Y = κ κ

τ τ + 2

κ κ

2

−

κ κ

2

3bκ + 2a bκ+ a

Z = κτκ τ

− aκκ bκ+ a olmak üzere

X∇³TT + Y ∇^TT + ZT = 0 dır. Burada

∇^TT = κN

∇²TT = −κ²T + κN + κτ B ifadeleri yerlerine yazılır ve düzenlenirse

Z − κ²X T +

κX+ κY

N + Xκτ B = 0

elde edilir.

{T, N, B} lineer ba˘gımsız olup katsayılar sıfıra e¸sitlenir.

X= 0

denklemini çözersek

−2κ κ − τ

τ + κ κ

3bκ + 2a bκ+ a

= 0

−2κ κ − τ

τ +κ κ

3 − a bκ+ a

= 0 τ

τ = κ κ −κ

κ

a

bκ+ a

(33)

τ = bκ + a elde edilir ve ispat tamamlanır.

3.3 Uzay Formlarında Farklı Helis Tanımları

Tanım 3.3.1. α : I → Eⁿ e˘grisi için n tek iken, k₂

k1

, k₄ k3

, k₆ k5

, ... , k_n−1 k_n−2 oranları sabit ise α ya helis denir (Hayden 1931).

Örnek 3.3.1.

n= 3 , k2

k₁ oranı sabit olmalı, n= 5 , k2

k₁ , k4

k₃ oranları sabit olmalı.

Tek boyutlu uzayda, tüm Frenet vektörleriyle sabit açı yapan bir W vektörü bula- biliriz,

W = v1+ H1v₃+ H3v₅+ ... + H_2n−1v_2n+1

¸seklindeki W vektörüne helisin ekseni denir.

H₁ = k₁ k2

H2 = 0 H₃ = H1.k₃

k4

= k₁ k2

.k₃ k4

= sbt H₄ =

H₃ + k₄.H₂ .1

k₅ = 0 H5 =

H₄ + k5.H3

.1

k6

= k5

k6

.k3

k4

.k1

k2

= sbt

H2i = 0 H2i+1 = k1

.k3

...k2i+1

= sbt

(34)

W = v1+ H1v₃+ H3v₅+ ... + H_2n−1v_2n+1

Çift boyutta bütün Frenet vektörleriyle sabit açı yapan e˘gri yoktur. Çift boyutta e˘grilikleri oranını vererek yeni bir tanım verece˘giz.

Tanım 3.3.2. ( C.C.R Anlamında helis) α : I → Eⁿ regüler e˘grisi üzerinde {V¹, V2, ..., Vn} Frenet çatısı ve kⁱ = Vi, Vi+1 olmak üzere, ∀i ∈ {1, 2, ..., n − 2} için

ki+1

ki oranları sabit ise α ya C.C.R curve (sabit e˘grilik oranları) tipinde helis denir (Monterde 2004).

E⁴ de k₂ k₁ , k₃

k₂ oranları sabit olmalı E⁵ de k₂

k1

, k₃ k2

, k₄ k3

oranları sabit olmalı

Eⁿ de de aynı helis tanımı verilebilir fakat burada çok e˘grilikler oldu˘gu için farklı tanımlar kar¸sımıza çıkar.

Tanım 3.3.3. (Yüksek mertebeden harmonik e˘grilikler) α e˘grisi {(I, α)} at- lası ile verilsin. s ∈ I, α nın e˘grilik fonksiyonları, sırasıyla, κ1, κ₂, ....κ_n−1olsun.α nın birim te˘get vektör alanı v1 olmak üzere,

Hi : I → R

H_i =











0 i= 0

κ1

κ2 i= 1

{V¹[H_i−1] + H_i−2κi} ._κ_i+1¹ 1 < i ≤ n − 2

¸seklinde tanımlı Hifonksiyonuna α nın i-yinci mertebeden harmonik e˘grilik fonksi yonu denir.

Tanım 3.3.4. α e˘grisinin birim te˘get vektör alanı v1olmak üzere, X ∈ χ(Eⁿ) de sabit bir birim vektör alanı olsun.

v¹, X = cos ϕ = sbt , ϕ= π 2

(35)

ise α e˘grisine e˘gilim çizgisi, ϕ açısına da e˘gilim açısı ve Sp{X} uzayına da α nın e˘gilim ekseni denir. E˘gilim çizgilerinin harmonik e˘grilik fonksiyonları için a¸sa˘gıdaki teorem geçerlidir (Hacısaliho˘glu 1983).

Bu helisleri H-helisler olarak adlandıralım.

Teorem 3.3.1.

α , Eⁿde H-helistir. ⇒ n−2

i=1

H_i² = sbttir.

(Hacısaliho˘glu 1983).

Teorem 3.3.2. E³ de α,C.C.R helistir ⇒ α, H-helistir.

˙Ispat. E³ de α e˘grisi C.C.R helis ⇒ ^k_k²₁ = sbt dir. Bu ise α nın H-helis oldu˘gunu söyler.

Teorem 3.3.3. α , Eⁿ de C.C.R tipinde helistir ⇒ α Hayden tipi helistir (Mon- terde 2004).

C.C.R tipindeki helislerin uzay formunda verilen helislerle ilgisini S³küresi için bir teoremle verelim.

Teorem 3.3.4. α , S³ de Barros anlamında helistir ⇔ α nın k1, k₂, k₃e˘grilikleri sabittir (Monterde 2004).

(36)

3.4 Darboux Helislerinin Küresel Göstergeleri

Tanım 3.4.1. (Öklid anlamında genel helisler) E³ uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α e˘grisinin te˘get do˘grultuları sabit bir do˘grultu ile sabit açı yapıyorsa α e˘grisine genel helis denir. Sabit do˘grultuya genel helisin ekseni denir.

Teorem 3.4.1. E³de α e˘grisi Öklid anlamında helistir ⇔ σ(s) = ^τ_κ fonksiyonu her noktada sabittir.

˙Ispat: α nın küresel te˘getler göstergesi (T ) nin parametresi sT ve birim te˘get vetörü TT olsun. (T ) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi κT olsun.

α(sT) = T dα

ds_T = dT ds

ds ds_T dα

dsT

= κN ds dsT

T_T = dα dsT

= κN ds dsT

TT = κN ds ds_T Her iki tarafın normunu alalım,

T^T =

$$

$$κN ds dsT

$$

1 = κ ds dsT

ds ds_T = 1

κ TT = N T_T(s_T) = N(s)

(37)

dir.

D_T^T_T^T = dTT

dS_T = dTT

dS ds ds_T D^T_T_T^T = dN

ds ds dsT

D^T_T_T^T = (−κT + τ B) .1 κ D_T^T^T_T = −T + τ

κB

Buradan norma geçersek, (T ) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κT =$

$D^T_T_T^T$

$ =

% 1 + τ

κ

2

olarak hesaplanır.

κ²_T = 1 + τ κ

2

(T ) nin S³deki geodezik e˘grili˘gi κg olmak üzere, κg =$

$∇^TT^T^T

$$ dır. Gauss dönü¸sümün- den,

D^T_T_T^T = ∇^TT^T^T − s(T^T), TT T dir.

s(TT) = TT , s(T^T), TT = 1 ve S² için birim normal vektör alanı T olaca˘gından

D_T^T^T_T = ∇^TT^TT − T

$$D_T^T^T_T$

$ =$

$∇^TT^TT

$$ + 1

κ²_T = κ²_g+ 1 ve

κ²_T = 1 + τ κ

2

idi yerine yazılırsa

1 + τ κ

2

= κ²_g+ 1

(38)

dir. (T ) nin S² deki geodezik e˘grili˘gi

κg = τ κ

dir. (T ) nin küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır. Çemberin 1. e˘grili˘gi sabit oldu˘gundan κT =sbt buradanda κg =sbt elde edilir.

κ_g = τ

κ = σ(s) dersek

σ(s) = τ κ

sabit fonksiyonu elde edilir tersi de do˘grudur ve ispat tamamlanır.

Tanım 3.4.2. (Yatık (Slant) helisler) E³uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α e˘grisinin asli normal do˘grultuları sabit bir do˘grultu ile sabit açı yapıyorsa α e˘grisine yatık (slant) helis denir. Sabit do˘grultuya da yatık (slant) helisin ekseni denir.

Teorem 3.4.2. E³ uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. Bu durumda, α e˘grisi yatık (slant) helistir

⇔ σ(s) = _(κ²_+τ^κ²²₎³

2

_τ

κ

sabit bir fonksiyondur (Yaylı 2005).

˙Ispat: α nın küresel asli normaller göstergesi (N) nin parametresi sN ve birim te˘get vetörü TN olsun. (N) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gine κN dersek,

α(sN) = N (s) dα

ds_N = dN ds

ds ds_N T_N = dα

dsN = (−κT + τ B) ds dsN

Her iki tarafın normunu alalım.

T^N =

$$

$$(−κT + τ B) ds ds_N

$$

(39)

1 = W ds ds_N ds

dsN

= 1

W T_N = − κ

W T + τ

W B T_N = − cos ΦT + sin ΦB D^T_T_N^N = dT_N

dSN

= dT_N dS

ds dsN

D_T^T^N_N =

Φsin ΦT + Φcos ΦB − κ cos ΦN − τ sin ΦN 1

W D_T^T^N_N = 1

W

Φsin ΦT − W N + Φcos ΦB

$$D^T_T^N_N$

$ = 1

W

&

Φ²+ w² Buradan da (c) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κ_N = '

1 +

Φ

w

2

olarak hesaplanır. Gauss dönü¸sümünden,

D_T^T_N^N = ∇^TT^Nⁿ − s(T^N), TN N^N(s)

$$D^T_T_N^N$

$² =$

$∇^TT^NN

$$²+ 1

κ²_N = κ²_g+ 1 κ²_c = 1 +

w

Φ

2

idi

1 +

Φ^.

w

2

= κ²_g+ 1

κ_g = Φ