DOKTORA TEZİ ANKARA. Her hakkı saklıdır

66  Download (0)

Full text

(1)

ANKARA ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U

DOKTORA TEZ˙I

BAER ALTMOD ¨ULLER˙IN˙IN BEL˙IRLED˙I ˘G˙I MOD ¨UL AYRIS¸IMLARI

Tu˘g¸ce C¸ ALCI

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

ANKARA 2021

Her hakkı saklıdır

(2)

OZET¨

Doktora Tezi

BAER ALTMOD ¨ULLER˙IN˙IN BEL˙IRLED˙I ˘G˙I MOD ¨UL AYRIS¸IMLARI

Tu˘g¸ce C¸ ALCI

Ankara ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Anabilim Dalı

Danı¸sman: Prof. Dr. Sait HALICIO ˘GLU

Bu ¸calı¸sma be¸s b¨ol¨umden olu¸smaktadır. Birinci b¨ol¨um giri¸s kısmına ayrılmaktadır ve bu b¨ol¨umde ¸calı¸smanın amacı anlatılmaktadır. ˙Ikinci b¨ol¨umde ¸calı¸sma i¸cin gerekli olan ¨on bilgiler verilmektedir. Ayrıca Baer, dual Baer, F -ters par¸calı ve dual F - ters par¸calı mod¨ullerin bir sonraki b¨ol¨umlerde kullanılacak ¨ozellikleri yer almak- tadır. ¨U¸c¨unc¨u b¨ol¨umde ise F -Baer mod¨ul sınıfı tanımlanmakta ve ¨ozellikleri ince- lenmektedir. Ayrıca F -Baer mod¨ullerin di˘ger mod¨ul sınıfları ile ili¸skileri verilmek- tedir. F -Baer mod¨ul sınıflarında, F altmod¨ul¨u olarak M nin Z2(M ) altmod¨ul¨u d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde F -Baer mod¨ullerin bir ¨ozel hali olan t-Baer mod¨uller elde edilmek- tedir. D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde F -Baer mod¨ullerin dualle¸stirilmesi sonucunda elde edilen mod¨ul sınıfı ara¸stırılmaktadır. Dual F -Baer mod¨ul olarak adlandırılan bu mod¨uller bir dual Baer mod¨ul ve F tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u yardımıyla bir par¸calanmaya sahiptir. Son b¨ol¨umde tez ¸calı¸sması boyunca elde edilen sonu¸clarla ilgili genel bir de˘gerlendirme yapılmaktadır.

Mart 2021, 63 sayfa

Anahtar Kelimeler: Baer mod¨ul, dual Baer mod¨ul, Rickart mod¨ul, dual Rickart mod¨ul, F -ters par¸calı mod¨ul, dual F -ters par¸calı mod¨ul, F -Baer mod¨ul, dual F -Baer mod¨ul

(3)

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

MODULE DECOMPOSITIONS DETERMINED BY BAER SUBMODULES

Tu˘g¸ce C¸ ALCI

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Sait HALICIO ˘GLU

This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction and the aim of the thesis. In the second chapter, basic concepts which are necessary for the thesis are given. Also, this chapter includes some properties of Baer, dual Baer, F -inverse split, and dual F -inverse split modules. In the third chapter, F - Baer modules are defined and properties of these modules are studied. Moreover, the relations between F -Baer modules and the other module classes are given. Also, by means of the notion of an F -Baer module, considering Z2(M ) as a submodule F of M , t-Baer modules which are a special case of F -Baer modules are obtained. In the fourth chapter, the dual notion of F -Baer modules is investigated. The module which is defined as a dual F -Baer module has a decomposition via a dual Baer module and the fully invariant submodule F . In the last part, there is a general evaluation of the results obtained in the thesis.

March 2021, 63 pages

Key Words: Baer module, dual Baer module, Rickart module, dual Rickart mod- ule, F -inverse split module, dual F -inverse split module, F -Baer module, dual F - Baer module

(4)

TES¸EKK ¨UR

Canım kızım Zeynep’e...

Akademik hayata ba¸sladı˘gım ilk g¨unden itibaren her konuda deste˘gini g¨osteren,

¸calı¸smalarımın her a¸samasında bilgi ve yardımlarını esirgemeyerek akademik or- tamda oldu˘gu kadar insani ili¸skilerde de ¨ornek olan danı¸smanım, de˘gerli hocam Sayın Prof. Dr. Sait HALICIO ˘GLU’na (Ankara ¨Universitesi Fen Fak¨ultesi Mate- matik B¨ol¨um¨u); tezimde ¸cok ¨onemli katkıları olan, ¨uzerimde ¸cok eme˘gi bulunan, hem matemati˘ge hem de hayata yakla¸sımıyla bizlere ¨ornek olan, bilgisini ve deneyim- lerini her zaman ¸cok c¨omertce bizlerle payla¸san, birlikte ¸calı¸smaktan onur duydu˘gum saygıde˘ger hocam Sayın Prof. Dr. Abdullah HARMANCI’ya (Hacettepe ¨Universitesi Fen Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u); tez ¸calı¸smamı ¨ozveriyle izleyen, tenkit ve ¨oneri- leriyle destekte bulunan de˘gerli hocam Sayın Prof. Dr. Ay¸se C¸ i˘gdem ¨OZCAN’a (Hacettepe ¨Universitesi Fen Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u); ¸calı¸smalarım s¨uresince bilgi ve deneyimlerinden yararlandı˘gım kıymetli hocam Sayın Do¸c. Dr. Burcu UNG ¨¨ OR’e (Ankara ¨Universitesi Fen Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u); doktora ¸calı¸sma- larım sırasında yapmı¸s oldu˘gum yurt dı¸sı ara¸stırma s¨urecimde, her t¨url¨u soru ve sorunlarımla ilgilenen Sayın Prof. Dr. Huanyin Chen’e (Hangzhou Normal Univer- sity); tez ¸calı¸smamı 2211-E Do˘grudan Yurt ˙I¸ci Doktora Burs Programı ve 2214-A Yurt Dı¸sı Doktora Sırası Ara¸stırma Bursu ile destekleyerek maddi olanak sa˘glayan T ¨UB˙ITAK’a te¸sekk¨urlerimi sunarım.

Hayatıma girdi˘gi ilk g¨unden bu yana sevgisini, anlayı¸sını, her konuda deste˘gini ben- den esirgemeyen sevgili hayat arkada¸sım Dr. Mete Burak C¸ ALCI’ya; her zor anımda y¨uz¨um¨u g¨uld¨uren biricik kızım Zeynep C¸ ALCI’ya; bug¨unlere gelmemde en b¨uy¨uk paya sahip olan, her zaman deste˘gini, sevgisini hissetti˘gim sevgili aileme y¨urekten te¸sekk¨ur ederim.

Tu˘g¸ce C¸ ALCI Ankara, Mart 2021

(5)

İÇİNDEKİLER

TEZ ONAY SAYFASI

ETİK ... i

ÖZET ... ii

ABSTRACT ... iii

TEŞEKKÜR ... iv

SİMGELER DİZİNİ ... vi

1. GİRİŞ ... 1

2. KURAMSAL TEMELLER ... 6

2.1 Bazı Tanım ve Teoremler... 6

2.2 Bazı Modül Sınıfları ve Özellikleri... 13

3. F-BAER MODÜLLER ... 19

3.1 F-Baer Modüllerin Genel Özellikleri ... 19

3.2 F-Baer Modüllerin Halkalar Üzerine Uygulamaları ... 28

3.3 F-Baer Modüllerin Direkt Toplamları ... 30

3.4 F-Baer Modüllerin Uygulamaları ... 36

4. DUAL F-BAER MODÜLLER ... 40

4.1 Dual F-Baer Modüllerin Genel Özellikleri ... 40

4.2 Dual F-Baer Modüllerin Halkalar Üzerine Uygulamaları ... 46

4.3 Dual F-Baer Modüllerin Direkt Toplamları ... 48

4.4 Dual 𝒁(.)-Baer Modüller ... 53

5. TARTIŞMA ve SONUÇ ... 57

KAYNAKLAR ... 58

ÖZGEÇMİŞ ... 61

(6)

S˙IMGELER D˙IZ˙IN˙I

N Do˘gal sayılar k¨umesi

Hom(M, N ) {f|f : M → N sa˘g R-mod¨ul homomorfizması} k¨umesi I−1(F ) F ≤ M, I ⊆ S olmak ¨uzere {m ∈ M|Im ⊆ F } k¨umesi rM(K) K ⊆ S nin M deki sa˘g sıfırlayanı

MR M bir sa˘g R-mod¨ul

Z(M ) M mod¨ul¨un¨un e¸s tekil altmod¨ul¨u

Z2(M ) M mod¨ul¨un¨un Goldie burulmalı altmod¨ul¨u E(M ) M mod¨ul¨un¨un injektif zarfı

Rad(M ) M mod¨ul¨un¨un radikali

S =End(M ) M mod¨ul¨un¨un sa˘g R-mod¨ul endomorfizmalarının halkası Soc(M ) M mod¨ul¨un¨un sokulu

Z(M ) M mod¨ul¨un¨un tekil altmod¨ul¨u

lS(N ) N ≤ M nin S halkasındaki sol sıfırlayanı N ≤ M N , M nin bir altmod¨ul¨u

N ≪ M N , M nin bir dar altmod¨ul¨u N essM N , M nin bir esas altmod¨ul¨u Z+ Pozitif tamsayılar k¨umesi (Zp) Pr¨ufer p-grup

Q Rasyonel sayılar k¨umesi J (R) R halkasının Jacobson radikali P (R) R halkasının asal radikali

i∈I

Ri Ri halkalarının direkt ¸carpımı

i∈I

Ri Ri halkalarının direkt toplamı

R(R)

R

R

Z Tamsayılar k¨umesi

Kerθ θ homomorfizmasının ¸cekirde˘gi

Imθ θ homomorfizmasının g¨or¨unt¨u k¨umesi α|P α d¨on¨u¸s¨um¨un¨un P ye kısıtlanması

(7)

1. G˙IR˙IS¸

Bu tez ¸calı¸smasında, R birimli bir halka ve M bir sa˘g R-mod¨ul olmak ¨uzere, M nin endomorfizma halkası S ile g¨osterilmektedir.

Direkt toplanan kavramı cebir alanında ¨onemli bir yere sahiptir. Bir cebirsel yapının direkt toplananları yardımıyla, yapı hakkında bir¸cok bilgi edinilmektedir. Direkt toplanan kavramı yardımıyla mevcut cebirsel yapılar daha detaylı incelenebilmekte ve bu yapılar hakkında yeni teoriler geli¸stirilmektedir. Mod¨uller teorisi alanında

¸calı¸smakta olan bir¸cok ara¸stırmacı, mod¨ullerin direkt toplananları ¨uzerine ara¸stırma- lar yapmakta ve mod¨ulleri direkt toplananlarının sa˘gladı˘gı ¨ozelliklere g¨ore sınıflandır- maktadır. Bu konu ¨uzerinde ¸calı¸san bilim insanları “Mod¨ullerin bazı altmod¨ulleri yardımıyla par¸calanması” problemini de ele almaktadır. Orne˘¨ gin; Hattori 1960 yılına ait ¸calı¸smasında, verilen bir mod¨ul¨u burulmalı (torsion) ve burulmalı olmayan (torsion free) altmod¨ullerinin direkt toplamı olarak ifade etmi¸stir. Bu ¸calı¸smaların verdi˘gi motivasyon ile bu tez ¸calı¸smasında mod¨uller i¸cin yeni bir par¸calanma elde edilmektedir.

Fonksiyonel analiz ile yakından ilgili olanC-cebir ve von Neuman cebir kavramları halka ve mod¨ul teorisi alanlarında ¸calı¸san bilim insanları i¸cin bir¸cok ¸calı¸sma sahası olu¸sturmaktadır. ¨Orne˘gin; Baer ve Rickart halka kavramlarının ortaya ¸cıkı¸sları bu yapılara dayanmaktadır. Baer halka kavramı 1955 yılında Kaplansky tarafından cebir literat¨ur¨une kazandırılmı¸stır. R bir halka olmak ¨uzere, e˘ger R nin bo¸stan farklı her altk¨umesinin sol (sa˘g) sıfırlayanı, sol (sa˘g) ideal olarak bir e¸skare (idempotent) eleman tarafından ¨uretiliyorsa o zaman R ye sol (sa˘g) Baer halka denir (Kaplansky 1955). Bir halkanın sol Baer halka olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart sa˘g Baer halka olmasıdır. Maeda, Kaplansky’nin Baer halkalar ¨uzerine olan ¸calı¸smasından ilham alarak 1960 yılında Rickart halkaları tanımlamı¸stır. Bir R halkasının her elemanının sol (sa˘g) sıfırlayanı bir e¸skare eleman tarafından ¨uretiliyor ise o zaman R halkası sol (sa˘g) Rickart halka olarak adlandırılmaktadır (Maeda 1960). Hattori tarafından 1960 yılında Rickart halkaların temel projektif (principally projective) halka adı altında homolojik karakterizasyonu da yapılmı¸stır. E˘ger bir R halkasının her sol

(8)

(sa˘g) temel (principal) ideali projektif ise o zaman R ye sol (sa˘g) temel projektif (left (right) principally projective) halka adı verilmi¸stir (Hattori 1960).

2004 yılında, Baer halka kavramı bir mod¨ul¨un endomorfizma halkası yardımıyla mod¨ul teorisine ta¸sınmı¸stır. Bir M mod¨ul¨un¨un endomorfizma halkası S olmak ¨uzere, e˘ger her N ≤ M i¸cin lS(N ) k¨umesi S nin bir direkt toplananı oluyorsa (lS(N ) = Se olacak ¸sekilde bir e2 = e∈ S varsa) o zaman M ye Baer mod¨ul denir (Rizvi ve Ro- man 2004). Ayrıca M nin bir Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul S nin her I sol ideali i¸cin rM(I) = eM olacak ¸sekilde bir e2 = e∈ S olmasıdır. 2005 yılında, Baer mod¨ullerin bir genelle¸stirmesi olarak Rickart mod¨ul kavramı ortaya konulmu¸stur.

Ayrıca bu kavram Rickart halkaların mod¨ul teorisindeki kar¸sılı˘gı olmaktadır. S en- domorfizma halkasının her elemanının ¸cekirde˘gi S nin bir e¸skare elemanı tarafından

¨

uretiliyor ise, di˘ger bir ifadeyle, e˘ger her f ∈ S i¸cin Kerf = rM(f ) = f−1(0) alt- mod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı ise o zaman M ye Rickart mod¨ul adı verilmektedir (Rizvi ve Roman 2005). Bu kavram mod¨ul teorisi alanındaki bir¸cok ara¸stırmacı i¸cin yeni fikirlerin olu¸smasında temel te¸skil etmektedir. M bir mod¨ul ve F ≤ M olsun.

ger her f ∈ S i¸cin f(F ) ⊆ F oluyorsa F ye M nin bir tam de˘gi¸smez (fully in- variant) altmod¨ul¨u denir (Goodearl 1976). M nin tam de˘gi¸smez altmod¨ullerinden bazıları Z(M ), Z2(M ), Z(M ), Soc(M ), Rad(M ) ¸seklindedir. ¨Ung¨or vd., M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olmak ¨uzere e˘ger her f ∈ S i¸cin f−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨un¨u F -ters par¸calı mod¨ul olarak adlandırmı¸stır ( ¨Ung¨or vd. 2016a). Ayrıca s¨oz konusu ¸calı¸smada, M nin F - ters par¸calı mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun N bir Rickart mod¨ul olmak

¨

uzere M = F⊕N ¸seklinde par¸calanmasının var olması oldu˘gu ispatlanmaktadır. Bu karakterizasyon sayesinde tam de˘gi¸smez altmod¨uller ve Rickart mod¨uller aracılı˘gıyla, bir mod¨ul¨un yapısının daha iyi anla¸sılması sa˘glanmaktadır.

Dualle¸stirme, matematik alanında ¨onemli y¨ontemlerden biridir. Kategori teorisinde dualite kavramı ¨uzerine ilk ara¸stırma MacLane tarafından yapılmı¸stır. MacLane, 1950 yılındaki bu ¸calı¸smasında grupların direkt ¸carpımı ile grupların serbest ¸carpımı (free product) kavramlarının birbirlerinin duali oldu˘gunu g¨ostermi¸stir. Bu tarih- ten sonra matemati˘gin bir¸cok alanında dualite kavramı ilgi g¨ormeye ba¸slamı¸stır.

(9)

Bazı kavramların dualinin olu¸sturulması m¨umk¨un olmamasına ra˘gmen, bu y¨ontem sayesinde var olan bir yapıdan yeni bir yapı elde edilmesi, bu olgunun pop¨uler ol- masını sa˘glamaktadır. Bir¸cok ara¸stırmacı bu y¨ontemi kullanarak var olan yapılardan yeni sınıflar elde ederek bu alanların geli¸smesini sa˘glamaktadır. Bilinen dualle¸stirme

¨

orneklerinden bazıları epimorfizma-monomorfizma (epimorphism-monomorphism),

¸cekirdek-e¸s¸cekirdek (kernel-cokernel), projektif mod¨ul-injektif mod¨ul (projective mo- dule-injective module), direkt toplam-direkt ¸carpım (direct sum-direct product)

¸seklindedir.

Baer mod¨ul kavramı T¨ut¨unc¨u ve Tribak tarafından dualle¸stirilmi¸stir. E˘ger bir M mod¨ul¨un¨un her N altmod¨ul¨u i¸cin D(N ) = {f ∈ S : Imf ⊆ N} k¨umesi sa˘g ideal olarak S nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u dual Baer mod¨ul olarak isimlendirilmektedir (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010). Aynı ¸calı¸smada bir M mod¨ul¨un¨un dual Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun S nin her I sa˘g ideali i¸cin ∑

f∈I

Imf nin M nin bir direkt toplananı olması oldu˘gu ispatlanmaktadır.

Ayrıca bu ¸calı¸smada S endomorfizma halkasının sa˘g idealleri i¸cin verilen bu sonu- cun, S nin bo¸stan farklı keyfi altk¨umeleri i¸cin de sa˘glandı˘gı g¨osterilmi¸stir. Daha sonra, Lee vd. tarafından dual Baer mod¨ullerin bir genelle¸stirmesi, aynı zamanda Rickart mod¨ullerin dualle¸stirmesi olarak dual Rickart mod¨ul kavramı verilmi¸stir. Bu kavram aracılı˘gıyla von Neumann d¨uzenli halkalar mod¨ul teorisine ta¸sınmı¸stır. E˘ger her f ∈ S i¸cin Imf = eM olacak ¸sekilde S halkasının bir e e¸skare elemanı mevcut ise o zaman M ye dual Rickart mod¨ul denir (Lee vd. 2011). Dual Rickart mod¨ul tanımından esinlenerek F -ters par¸calı mod¨uller sınıfının duali ¨Ung¨or vd. tarafından elde edilmi¸stir. Bir M mod¨ul¨un¨un bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olmak ¨uzere her f ∈ S i¸cin Imf + F altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u dual F -ters par¸calı mod¨ul olarak adlandırılmı¸stır ( ¨Ung¨or vd. 2018). Aynı

¸calı¸smada bir M mod¨ul¨un¨un dual F -ters par¸calı mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun N bir dual Rickart mod¨ul olmak ¨uzere M = F⊕N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahip olması oldu˘gu g¨osterilmektedir. B¨oylece, tam de˘gi¸smez altmod¨uller ve dual Rickart mod¨uller yardımıyla mod¨ul¨un yapısının daha detaylı incelenmesi m¨umk¨un olmaktadır.

(10)

Bu mod¨ul sınıflarından alınan ilhamla, bu tez ¸calı¸smasında F -Baer mod¨uller ve dual F -Baer mod¨uller tanımlanmaktadır. F -ters par¸calı mod¨ul tanımında bir M mod¨ul¨un¨un F tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨un¨un M nin bir endomorfizması altındaki ters g¨or¨unt¨us¨un¨un direkt toplanan oldu˘gu durum incelenmi¸stir. Burada akla “S nin bir elemanı yerine bir sol ideali alındı˘gında mod¨ul¨un yapısı nasıl olmaktadır?”

sorusu gelmektedir. Bu sorunun cevabı ara¸stırılırken tam de˘gi¸smez altmod¨uller ve Baer altmod¨uller yardımıyla par¸calanan bir mod¨ul sınıfı elde edilmektedir. F - Baer mod¨ul olarak adlandırılan bu mod¨uller, F -ters par¸calı mod¨ul sınıfının bir genelle¸stirilmesi olmaktadır. M bir mod¨ul ve M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olsun. E˘ger S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) = {m ∈ M : Im ⊆ F } altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u F -Baer mod¨ul olarak adlandırılmaktadır. F -Baer mod¨uller i¸cin ¨onemli bir karakterizasyon verilmektedir.

M nin bir F -Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart N bir Baer altmod¨ul ol- mak ¨uzere M = F ⊕ N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahip olmasıdır. 2011 yılında Asgari ve Haghany tarafından t-Baer mod¨ul sınıfı tanımlanmı¸stır. E˘ger S nin her I sol ideali i¸cin tM(I) = {m ∈ M | Im ≤ Z2(M )} altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyorsa M ye t-Baer mod¨ul adı verilmi¸stir (Asgari ve Haghany 2011).

Bu durumda, F -Baer mod¨ul sınıfı t-Baer mod¨ul sınıfının da bir genelle¸stirmesi ol- maktadır. C¸ alı¸smanın devamında, F -Baer mod¨ullerin ¨ozellikleri incelenmektedir.

F -ters par¸calı mod¨ullerin hangi ¸sartlar altında F -Baer oldu˘gu ispatlanmaktadır.

Bir R halkası sa˘g R-mod¨ul olarak g¨oz ¨on¨une alındı˘gında RR nin tam de˘gi¸smez alt- mod¨ulleri R nin idealleridir. Bu bilgi do˘grultusunda, F -Baer mod¨ul tanımı ideal kavramı yardımıyla halka teorisine ta¸sınmaktadır. Ayrıca F tam de˘gi¸smez alt- mod¨ul¨u olarak Z2(M ) altmod¨ul¨u alınarak t-Baer mod¨ullerin yapısının anla¸sılmasına katkı sa˘glayan sonu¸clar elde edilmektedir.

Daha sonra F -Baer mod¨ullerin duali ¨uzerine ara¸stırmalar yapılmaktadır. M bir mod¨ul ve M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olsun.ger S halkasının her sa˘g I ideali i¸cin

f∈I

Imf + F altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyorsa M ye dual F -Baer mod¨ul denir. F -Baer mod¨ullerin karakterizasyonu ve dualle¸stirme y¨ontemi sayesinde dual F -Baer mod¨uller i¸cin de ¨onemli ve kullanı¸slı bir sonu¸c or-

(11)

taya ¸cıkmaktadır. Bu sayede, tam de˘gi¸smez altmod¨uller ve dual Baer mod¨uller yardımıyla ortaya ¸cıkan bir mod¨ul sınıfı elde edilmektedir. Bir M mod¨ul¨un¨un dual F -Baer olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul N mod¨ul¨u M nin bir dual Baer alt- mod¨ul¨u olmak ¨uzere M = F ⊕ N ¸seklinde par¸calanmaya sahip olmasıdır. Dual F - Baer mod¨uller yardımıyla dual F -ters par¸calı mod¨ullerin bir genelle¸stirmesi de elde edilmektedir. Dual F -Baer mod¨ullerin ¨ozellikleri incelenmekte ve halkalar ¨uzerine uygulamaları ¸calı¸sılmaktadır. Tez ¸calı¸smasının son b¨ol¨um¨unde bir M mod¨ul¨un¨un F tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olarak Z(M ) tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u alınarak dual Z(M )-Baer mod¨ul¨u detaylarıyla incelenmektedir.

(12)

2. KURAMSAL TEMELLER

Bu b¨ol¨umde, ¸calı¸smada kullanılacak olan temel tanım ve sonu¸clar verilmektedir.

2.1 Bazı Tanım ve Teoremler

Tanım 2.1.1 M bir mod¨ul H, K ve L mod¨ulleri M nin altmod¨ulleri olsun. E˘ger K ⊆ H ise o zaman H ∩ (K + L) = K + (H ∩ L) dir. Bu ¨ozelli˘ge mod¨ularite (modularity) kuralı denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.2 M bir mod¨ul olsun. M nin bir altmod¨ul¨u A ve S nin bir altk¨umesi K olarak verilsin. rM(K) = {m ∈ M|Km = 0} k¨umesine K nın M i¸cindeki sa˘g sıfırlayanı (right annihilator), lS(A) = {g ∈ S| gA = 0} k¨umesine de A nın S deki sol sıfırlayanı (left annihilator) denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.3 Bir M mod¨ul¨un¨un iki (keyfi sayıda) direkt toplananının ara kesiti M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u SIP (SSIP) ye sahiptir denir (Wilson 1986).

Tanım 2.1.4 Bir M mod¨ul¨un¨un iki (keyfi sayıda) direkt toplananının toplamı M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u SSP (SSSP) ye sahiptir denir.

(Valcan 2003).

Tanım 2.1.5 M bir mod¨ul ve F ≤ M olsun. E˘ger her f ∈ S i¸cin f(F ) ⊆ F oluyor ise o zaman F ye M nin bir tam de˘gi¸smez (fully invariant) altmod¨ul¨u denir (Goodearl 1976).

Uyarı 2.1.6 Bir R halkasının kendisi ¨uzerindeki mod¨ul yapısı d¨u¸s¨un¨uld¨u˘g¨unde RR

nin tam de˘gi¸smez altmod¨ulleri R halkasının ideallerine kar¸sılık gelmektedir (Birken- meier vd. 2013).

Onerme 2.1.7¨ I bir indeks k¨umesi, {Mi}i∈I, R-mod¨ullerin bir sınıfı ve M =

i∈IMi

olmak ¨uzere N altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olsun. Bu durumda, N =

i∈I(N∩ Mi) ¸seklindedir ( ¨Ozcan vd. 2006).

(13)

Tanım 2.1.8 Bir M mod¨ul¨un¨un her altmod¨ul¨u M de tam de˘gi¸smez ise o zaman M ye duo mod¨ul denir (Nicholson vd. 1999).

Tanım 2.1.9 R bir halka olsun. R̸= 0 olmak ¨uzere e˘ger R nin 0 ve R ideallerinden farklı bir ideali mevcut de˘gil ise o zaman R ye basit (simple) halka denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.10 M bir mod¨ul olsun. M ̸= 0 olmak ¨uzere e˘ger M nin 0 ve M altmod¨ullerinden ba¸ska altmod¨ul¨u mevcut de˘gil ise o zaman M ye basit (simple) mod¨ul denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.11 M bir mod¨ul olsun. M ̸= 0 olmak ¨uzere e˘ger M nin 0 ve M den farklı direkt toplananı bulunmuyor ise o zaman M mod¨ul¨u par¸calanamaz (indecomposable) mod¨ul olarak adlandırılır (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.12 R bir halka olsun.

J (R) =

{M : M, R nin bir maksimal ideali}

¸seklinde tanımlı k¨umeye R nin Jacobson radikali (Jacobson radical) adı verilir (Good- earl 1976).

Lemma 2.1.13 R bir halka ve y∈ R olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) y ∈ J(R) dir.

(2) Her x∈ R i¸cin 1 − xy sol terse sahiptir.

(3) Her basit sol R-mod¨ul M i¸cin yM = 0 dır (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.14 R bir halka ve P k¨umesi R nin bir ideali olsun. E˘ger her a, b∈ R i¸cin aRb⊆ P iken a ∈ P veya b ∈ P oluyorsa o zaman P idealine R halkasının bir asal ideali (prime ideal) denir. E˘ger 0 ideali R halkasının bir asal ideali ise o zaman R ye asal (prime) halka denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.15 R bir halka ve I k¨umesi R nin bir ideali olsun. E˘ger I ideali asal ideallerin kesi¸simi ise o zaman I ya yarı asal (semiprime) ideal denir. E˘ger 0 ideali R halkasının bir yarı asal ideali ise o zaman R ye yarı asal (semiprime) halka denir (Goodearl 1976).

(14)

Tanım 2.1.16 R bir halka olsun.

P (R) =

{P : P ideali R nin bir asal ideali}

¸seklinde tanımlı k¨umeye R nin asal radikali (prime radical) adı verilir (Goodearl 1976).

Uyarı 2.1.17 Bir R halkasının yarı asal olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul P (R) = 0 olmasıdır (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.18 M bir mod¨ul ve K ≤ M olsun. E˘ger her 0 ̸= L ≤ M i¸cin L ∩ K = 0 olması L = 0 olmasını gerektiriyor ise o zaman K altmod¨ul¨u M nin esas (essential) altmod¨ul¨u olarak adlandırılır ve K ess M ¸seklinde ifade edilir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.19 M bir mod¨ul ve K ≤ M olsun. E˘ger her 0 ̸= L ≤ M i¸cin K+L = M olması L = M olmasını gerektiriyor ise o zaman K altmod¨ul¨u M nin dar (small) altmod¨ul¨u olarak adlandırılır ve K ≪ M ¸seklinde ifade edilir (Leonard 1966).

Tanım 2.1.20 M bir mod¨ul olsun.

Rad(M ) =

{K ≤ M : K mod¨ul¨u M nin bir maksimal altmod¨ul¨u}

=∑

{L ≤ M : L mod¨ul¨u M nin bir dar altmod¨ul¨u}

¸seklinde tanımlı k¨umeye M nin radikali (radical) denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.21 M bir mod¨ul olsun.

Soc(M ) =

{K ≤ M : K mod¨ul¨u M nin bir esas altmod¨ul¨u}

=∑

{L ≤ M : L mod¨ul¨u M nin bir basit altmod¨ul¨u}

¸seklinde tanımlı k¨umeye M nin sokulu (socle) denir (Goodearl 1976).

Onerme 2.1.22 Bir M mod¨¨ ul¨un¨un Rad(M ) ve Soc(M ) altmod¨ulleri M nin tam de˘gi¸smez altmod¨ulleridir (Birkenmeier vd. 2013).

Tanım 2.1.23 M bir mod¨ul olsun. E˘ger Soc(M )=M ise o zaman M ye yarı basit (semisimple) mod¨ul denir (Goodearl 1976).

(15)

Uyarı 2.1.24 Bir M mod¨ul¨un¨un yarı basit olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin her altmod¨ul¨un¨un M nin bir direkt toplananı olmasıdır (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.25 M bir mod¨ul olsun. E˘ger her f ∈ S, e2 = e ∈ S ve m ∈ M i¸cin f em = ef m oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u Abel (Abelian) mod¨ul olarak adlandırılır (Roos 1967).

Tanım 2.1.26 B bir indeks k¨umesi ve her b ∈ B i¸cin Rb ∼= R olmak ¨uzere e˘ger F ∼= ⊕

b∈B

Rb ise o zaman F ye serbest (free) mod¨ul denir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.1.27 V bir mod¨ul ve W da V nin bir altmod¨ul¨u olmak ¨uzere W dan M ye tanımlı her R-mod¨ul homomorfizması V den M ye geni¸sletilebiliyor ise, yani, her f : W → V R-mod¨ul monomorfizması ve her g : W → M R-mod¨ul homomorfizması i¸cin a¸sa˘gıdaki diyagram de˘gi¸smeli olacak bi¸cimde h : V → M R-mod¨ul homomorfizması varsa M ye V -injektif (V -injective) mod¨ul denir. E˘ger M mod¨ul¨u her V mod¨ul¨u i¸cin V -injektif ise o zaman M ye injektif (injective) mod¨ul denir (Faith 1967).

M

0 - W V



g

-

f

pppp pppp6

h

Tanım 2.1.28 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) M bir injektif mod¨uld¨ur.

(2) (Baer Kriteri ) R nin her sa˘g idealinden M ye olan R-mod¨ul homomorfizması R den M ye geni¸sler (Faith 1967).

Tanım 2.1.29 M bir mod¨ul olsun. M yi kapsayan en dar injektif geni¸slemeye M nin injektif zarfı (injective hull) denir ve E(M ) ile g¨osterilir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.30 E˘ger M mod¨ul¨u E(M ) nin bir dar altmod¨ul¨u ise o zaman M ye dar (small) mod¨ul denir (Leonard 1966).

Tanım 2.1.31 Bir M mod¨ul¨u M -injektif ise o zaman M ye yarı-injektif (quasi- injective) mod¨ul denir (Goodearl 1976).

(16)

Onerme 2.1.32 Bir M mod¨¨ ul¨un¨un yarı-injektif olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin E(M ) nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olmasıdır (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.33 R bir halka olmak ¨uzere e˘ger RR(RR) bir injektif mod¨ul ise o zaman R halkasına sa˘g (sol) ¨oz-injektif (right (left) self-injective) halka denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.34 Bir R halkasının sa˘g ideallerinin bo¸stan farklı bir k¨umesi A ileosterilsin. M bir mod¨ul olmak ¨uzere e˘ger her A ∈ A i¸cin her g : A → M homo- morfizması R ye geni¸sliyorsa M yeA-injektif denir (Smith 1981).

Tanım 2.1.35 Her f : A → A ¸seklinde tanımlı R-mod¨ul epimorfizması ve her h : P → A ¸seklinde tanımlı R-mod¨ul homomorfizması i¸cin a¸sa˘gıdaki diyagram de˘gi¸smeli olacak bi¸cimde g : P → A bir R-mod¨ul homomorfizması varsa P ye A- projektif (A-projective) mod¨ul denir. E˘ger P mod¨ul¨u her A mod¨ul¨u i¸cin A-projektif ise o zaman P ye projektif (projective) mod¨ul adı verilir (Anderson ve Fuller 1992).

P

A A 0

pp pp p pp

g

?

h

-

f -

Tanım 2.1.36 M bir mod¨ul olsun. E˘ger her A mod¨ul¨u, her q : M → A ¸seklinde tanımlı R-mod¨ul epimorfizması ve her f : M → A R-mod¨ul homomorfizması i¸cin qf = f olacak ¸sekilde bir f ∈ S var ise o zaman M ye yarı-projektif (quasi- projective) mod¨ul denir (Anderson ve Fuller 1992).

Lemma 2.1.37 S bir T -projektif mod¨ul olmak ¨uzere M = S⊕T = N +T olsun. Bu durumda, N nin bir S altmod¨ul¨u vardır ¨oyle ki M = S⊕ T ¸seklindedir (Mohamed ve M¨uller 1990).

Tanım 2.1.38 M bir mod¨ul olsun. E˘ger P bir projektif mod¨ul ve f : P → M

¨

orten d¨on¨u¸s¨um olmak ¨uzere Kerf k¨umesi P nin bir dar altmod¨ul¨u ise o zaman (P, f ) ikilisine M nin bir projektif ¨ort¨us¨u (projective cover) denir (Anderson ve Fuller 1992).

(17)

Tanım 2.1.39 F bir mod¨ul olsun. E˘ger her f : A→ B sol R-mod¨ul monomorfiz- ması i¸cin f : F⊗ A → F ⊗ B bir monomorfizma oluyor ise o zaman F ye d¨uz (flat) mod¨ul denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.40 R bir halka olsun. E˘ger her d¨uz sa˘g R-mod¨ul projektif ise o zaman R halkasına m¨ukemmel (perfect) halka denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.41 M bir mod¨ul olsun. Z(M ) = {m ∈ M | rR(m)≤ess RR} k¨umesine M nin tekil (singular) altmod¨ul¨u denir. E˘ger Z(M ) = M ise o zaman M mod¨ul¨u tekil (singular) mod¨ul ve Z(M ) = 0 ise o zaman M mod¨ul¨u tekil olmayan (nonsingular) mod¨ul olarak adlandırılır (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.42 M bir mod¨ul olsun. Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )) ¸sartını sa˘glayan Z2(M ) altmod¨ul¨une M nin ikincil tekil (second singular) veya Goldie burulmalı (Goldie torsion) altmod¨ul¨u denir (Dung vd. 1994).

Tanım 2.1.43 M bir mod¨ul olsun. E˘ger Z2(M ) = M ise o zaman M ye Z2- burulmalı (Z2-torsion) veya Goldie burulmalı (Goldie torsion) mod¨ul denir (Dung vd. 1994).

Teorem 2.1.44 R halkası sa˘g tekil olmayan bir halka ve M de sa˘g R-mod¨ul olsun.

Bu durumda, Z(M/Z(M )) = 0 dır (Goodearl 1976).

Uyarı 2.1.45 Bir M mod¨ul¨un¨un Z(M ) ve Z2(M ) altmod¨ulleri tam de˘gi¸smez alt- mod¨ullerdir (Birkenmeier vd. 2013).

Tanım 2.1.46 M bir mod¨ul olmak ¨uzere, Z(M ) = {m ∈ M | mR dar mod¨ul}

altmod¨ul¨u M nin e¸s tekil (cosingular) altmod¨ul¨u olarak adlandırılır. Bir R halkası sa˘g R-mod¨ul olarak e¸s tekil ise o zaman R ye e¸s tekil (cosingular) halka denir (Harada 1979).

Tanım 2.1.47 M bir mod¨ul olsun. E˘ger Z(M ) = M ise o zaman M ye e¸s tekil (cosingular) mod¨ul denir (Harada 1979).

(18)

Uyarı 2.1.48 Rad(M ) altmod¨ul¨u M nin t¨um dar altmod¨ullerin toplamı oldu˘gundan, Rad(M )⊆ Z(M ) dir. Ayrıca E bir injektif mod¨ul olmak ¨uzere Z(E) = Rad(E) ve E0 mod¨ul¨u M yi i¸ceren injektif bir mod¨ul olmak ¨uzere Z(M ) = M∩ Rad(E(M)) = M∩ Rad(E0) dir ( ¨Ozcan 2002).

Tanım 2.1.49 M bir mod¨ul olsun.

X ={M ∈ Mod(R) | Z(M ) = 0}

X ={M ∈ Mod(R) | her U ⊆ V ⊆ M i¸cin Z(V /U ) ̸= 0}

¸seklinde tanımlanmaktadır. X k¨umesindeki mod¨ullere e¸s tekil olmayan (cononsin- gular mod¨uller) denir. (X, X) ikilisine dual Goldie burulmalı teori (dual Goldie torsion theory) denir ( ¨Ozcan ve Harmancı 1997).

Lemma 2.1.50 M bir mod¨ul ve N de M nin bir altmod¨ul¨u olsun. Bu durumda, Z(N ) = N ∩ Z(M ) dir ( ¨Ozcan 2002).

Lemma 2.1.51 {Mi}i∈Iumesi R-mod¨ullerin bir sınıfı ve M =

i∈I

Mi olsun. Bu durumda, Z(M ) =

i∈I

Z(Mi) dir ( ¨Ozcan 2002).

Tanım 2.1.52 M bir mod¨ul olsun. E˘ger sıfırdan farklı her f ∈ S i¸cin Imf altmod¨ul¨u M nin bir dar altmod¨ul¨u de˘gil ise M ye T -e¸s tekil olmayan (T -non- cosingular) mod¨ul denir (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2009).

Tanım 2.1.53 R bir halka olsun. E˘ger R halkasının her sa˘g (sol) ideali projektif ise o zaman R ye bir sa˘g (sol) kalıtsal (right (left) hereditary) halka denir (Goodearl 1976).

Tanım 2.1.54 M bir mod¨ul ve K da M nin bir altmod¨ul¨u olsun. E˘ger K nın M i¸cerisinde a¸sikar esas geni¸slemesi yoksa o zaman K ya M nin kapalı (closed) altmod¨ul¨u denir (Lam 1999).

Tanım 2.1.55 E˘ger bir M mod¨ul¨un¨un her kapalı altmod¨ul¨u bir direkt toplanan ise o zaman M ye geni¸sleyen (extending) mod¨ul veya CS-mod¨ul denir (Dung vd. 1994).

(19)

Onerme 2.1.56 M bir mod¨¨ ul olsun. M nin bir geni¸sleyen mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M ve Z2(M ) geni¸sleyen mod¨uller ve Z2(M ) mod¨ul¨u M-injektif olmak

¨

uzere M = Z2(M )⊕ M olmasıdır (Dung vd. 1994).

Tanım 2.1.57 M bir mod¨ul olsun. E˘ger M nin her N altmod¨ul¨u i¸cin M = K⊕K, K ≤ N ve N ∩ K ≪ K olacak ¸sekilde M nin K ve K altmod¨ulleri mevcut ise o zaman M ye y¨ukselen (lifting) mod¨ul denir (Mohamed ve M¨uller 1990).

Uyarı 2.1.58 M nin bir y¨ukselen mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart M nin her N altmod¨ul¨u i¸cin N/K ≪ M/K nın dar altmod¨ul¨u olacak ¸sekilde M nin bir K direkt toplananı olmasıdır (Mohamed ve M¨uller 1990).

Tanım 2.1.59 M bir mod¨ul olsun. E˘ger M nin kopyalarının direkt toplamı bir y¨ukselen mod¨ul ise o zaman M ye

-y¨ukselen (

-lifting) mod¨ul denir (Crivei 2008).

2.2 Bazı Mod¨ul Sınıfları ve ¨Ozellikleri

Bu b¨ol¨umde, ¸calı¸smada kullanılan Baer, dual Baer, F -ters par¸calı ve dual F -ters par¸calı mod¨ul sınıflarının tanımları ve ¨ozellikleri verilmektedir.

Tanım 2.2.1 R bir halka olsun. E˘ger R nin her I sol ideali i¸cin rR(I) = eR olacak

¸sekilde e2 = e ∈ R mevcut ise o zaman R halkasına Baer halka denir (Kaplansky 1955).

Tanım 2.2.2 R bir halka olsun.ger R halkasının her elemanının sol (sa˘g) sıfırlayanı bir e¸skare eleman tarafından ¨uretiliyor ise o zaman R halkasına sol (sa˘g) Rickart halka denir (Maeda 1960).

Tanım 2.2.3 M bir mod¨ul olsun. E˘ger M nin her N altmod¨ul¨u i¸cin lS(N ) = Se olacak ¸sekilde e2 = e ∈ S mevcut ise o zaman M ye Baer mod¨ul denir (Rizvi ve Roman 2004).

Ornek 2.2.4 R bir Baer halka ve e¨ 2 = e ∈ R olsun. Bu durumda, M = eR bir Baer R-mod¨uld¨ur (Rizvi ve Roman 2004).

(20)

Tanım 2.2.5 M bir mod¨ul olsun. E˘ger her f ∈ S i¸cin rM(f ) = eM olacak ¸sekilde e2 = e∈ S varsa M ye Rickart mod¨ul denir (Rizvi ve Roman 2004).

Tanım 2.2.6 M ve N birer mod¨ul olmak ¨uzere e˘ger her g : M → N ¸seklinde tanımlı R-mod¨ul homomorfizması i¸cin Kerg altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u N -Rickart mod¨ul olarak adlandırılmaktadır (Rizvi ve Roman 2009).

Tanım 2.2.7 M bir mod¨ul olsun. E˘ger S nin her sol I ideali i¸cin tM(I) = {m ∈ M | Im ≤ Z2(M )} altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M ye t-Baer mod¨ul denir (Asgari ve Haghany 2011).

Tanım 2.2.8 M bir mod¨ul olsun. E˘ger her f ∈ S i¸cin tM(f ) ={m ∈ M | f(m) ≤ Z2(M )} altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M ye T -Rickart mod¨ul denir (Ebrahimi Atani vd. 2012).

Onerme 2.2.9 Bir M mod¨¨ ul¨un¨un Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin SSIP ye sahip olması ve her ϕ ∈ S i¸cin Kerϕ nin M nin bir direkt toplananı olmasıdır (Rizvi ve Roman 2004).

Ornek 2.2.10 g¨¨ ostermektedir ki Baer mod¨ullerin direkt toplamları bir Baer mod¨ul olmak zorunda de˘gildir.

Ornek 2.2.10¨ Z ve Z2 birer Baer Z-mod¨uld¨ur. Fakat, ϕ(n, m) = (0, n) ¸seklinde tanımlı ϕ∈ End(Z⊕Z2) i¸cin Kerϕ = 2Z⊕Z2 k¨umesiZ⊕Z2 nin bir direkt toplananı de˘gildir. Bu durumda, Z ⊕ Z2 bir Baer Z-mod¨ul de˘gildir (Rizvi ve Roman 2004).

Teorem 2.2.11 M bir Baer mod¨ul olsun. Bu durumda, M nin her direkt toplananı bir Baer mod¨uld¨ur (Rizvi ve Roman 2004).

Uyarı 2.2.12 R bir halka olsun. E˘ger R halkası sayılabilir (countable) bir halka ise o zaman ⊕

N

R bir Baer mod¨ul de˘gildir (Rizvi ve Roman 2009).

Teorem 2.2.13 n ∈ N olmak ¨uzere {Mi}1≤i≤n Baer mod¨ullerin bir sınıfı olsun.

ger her i̸= j i¸cin Mi ve Mj mod¨ulleri birbirlerine g¨ore Rickart ve birbirlerine g¨ore injektif ise o zaman

n i=1

Mi bir Baer mod¨uld¨ur (Rizvi ve Roman 2009).

(21)

Tanım 2.2.14 M bir mod¨ul olmak ¨uzere e˘ger M nin her N altmod¨ul¨u i¸cin D(N ) = {f ∈ S : Imf ⊆ N} k¨umesi sa˘g ideal olarak S nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M ye dual Baer mod¨ul denir (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010).

Onerme 2.2.15 M bir dual Baer mod¨¨ ul olsun. Bu durumda, M nin her direkt toplananı dual Baer mod¨uld¨ur (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010).

Tanım 2.2.16 M bir mod¨ul olsun. E˘ger M nin her devirli altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı ise o zaman M ye temel yarı basit (principally semisimple) mod¨ul denir. Her yarı basit mod¨ul temel yarı basit mod¨uld¨ur (Acar ve Harmancı 2010).

Onerme 2.2.17 M bir mod¨¨ ul olsun. E˘ger M temel yarı basit dual Baer mod¨ul ise o zaman M yarı basittir (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010).

Teorem 2.2.18 R bir Dedekind b¨olgesi ve K da R nin kesir cismi olsun. Bu durumda bir M mod¨ul¨u i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) M bir dual Baer mod¨uld¨ur.

(2) Her (i, j) ∈ I × J i¸cin Pi ̸= Qj olmak ¨uzere (Pi)(i∈I) ve (Qj)(j∈J) idealleri R halkasının sıfırdan farklı asal idealleri olsun. M mod¨ul¨u K, (R(Pi))i∈I ve (R/Qj)j∈J nin kopyalarının direkt toplamlarına izomorftur (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010).

Sonuc. 2.2.19 M bir Z-mod¨ul olmak ¨uzere M nin dual Baer olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul her (i, j)∈ I ×J i¸cin pi ̸= qj ve (pi)(i∈I), (qj)(j∈J) asal olmak ¨uzere M nin Q, (Z(pi ))i∈I ve (Z/qjZ)j∈J mod¨ullerinin keyfi sayıda kopyasının direkt toplamına izomorf olmasıdır (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010).

Tanım 2.2.20 M bir mod¨ul olsun. E˘ger M nin dar olmayan her N altmod¨ul¨u i¸cin D(N ) = {f ∈ S : Imf ⊆ N} ̸= 0 ise o zaman M ye K-mod¨ul denir (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010).

Teorem 2.2.21 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

1. M bir y¨ukselen T -e¸s tekil olmayan mod¨uld¨ur.

(22)

2. M bir dual Baer ve K-mod¨uld¨ur (T¨ut¨unc¨u ve Tribak 2010).

Uyarı 2.2.22 Bir M mod¨ul¨un¨un bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F ve S k¨umesinin bir altk¨umesi olan I i¸cin I−1(F ) ={m ∈ M : Im ⊆ F } ¸seklinde tanımlanmaktadır.

Tanım 2.2.23 M bir mod¨ul ve F de M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olmak

¨

uzere e˘ger her f ∈ S i¸cin f−1(F ) altmod¨ul¨u M de bir direkt toplanan oluyor ise o zaman M ye F -ters par¸calı (F -inverse split) mod¨ul denir ( ¨Ung¨or vd. 2016a).

Onerme 2.2.24 M bir mod¨¨ ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) M bir F -ters par¸calı mod¨uld¨ur ve F altmod¨ul¨un¨u kapsayan direkt toplananları i¸cin SSIP ye sahiptir.

(2) S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.

(3) S nin her I altk¨umesi i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır ( ¨Ung¨or vd. 2016a).

Teorem 2.2.25 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) M bir F -ters par¸calı mod¨uld¨ur.

(2) S nin sonlu ¨uretilmi¸s (finitely generated) her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.

(3) S nin sonlu her I altk¨umesi i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.

Ayrıca, S k¨umesi sıfırdan farklı dik (orthogonal) e¸skare elemanların sonsuz bir k¨umesine sahip de˘gilse yukarıdaki ifadeler a¸sa˘gıdaki ifadeye denktir.

(4) S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır ( ¨Ung¨or vd. 2016a).

Onerme 2.2.26 M bir F -ters par¸calı mod¨¨ ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdaki ifadeler sa˘glanır.

(1) M nin herhangi bir K direkt toplananı i¸cin F ∩ K mod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.

(23)

(2) M mod¨ul¨u F altmod¨ul¨un¨u kapsayan direkt toplananları i¸cin SIP ye sahiptir ( ¨Ung¨or vd. 2016a).

Lemma 2.2.27 I bir indeks k¨umesi ve {Mi}i∈I, R-mod¨ullerin bir sınıfı olsun. Bu durumda, ⊕

i∈I

Mi nin bir tam de˘gi¸smez F altmod¨ul¨un¨un olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul her i ∈ I i¸cin Mi nin j ∈ I ve f ∈ HomR(Mi, Mj) olmak ¨uzere f Fi ⊆ Fj

¸sartını sa˘glayan bir tam de˘gi¸smez Fi altmod¨ul¨un¨un olmasıdır ( ¨Ung¨or vd. 2016a).

Teorem 2.2.28 R bir sa˘g kalıtsal halka olmak ¨uzere M , M mod¨ulleri birer R- mod¨uller ve f : M → M bir epimorfizma olsun. M bir Z(M )-ters par¸calı mod¨ul olmak ¨uzere e˘ger Z(Kerf ) =Kerf ise o zaman M bir Z(M)-ters par¸calı mod¨uld¨ur ( ¨Ung¨or vd. 2016b).

Onerme 2.2.29 R bir sa˘¨ g kalıtsal ve sa˘g m¨ukemmel halka ve M bir R-mod¨ul olsun. E˘ger X sınıfı esas geni¸slemelere g¨ore kapalı ise o zaman her Z(M )-ters par¸calı mod¨ul Rickart mod¨uld¨ur ve Rad(M ) = 0 dır ( ¨Ung¨or vd. 2016b).

˙Ispat: R bir sa˘g kalıtsal, sa˘g m¨ukemmel halka ve M bir R-mod¨ul olsun. M nin Z(M )-ters par¸calı oldu˘gu kabul edilsin. Rad(M ) ⊆ Z(M ) oldu˘gu a¸cıktır. M bir Z(M )-ters par¸calı mod¨ul oldu˘gundan M = Z(M )⊕ N olacak ¸sekilde bir Rickart N mod¨ul¨u vardır. Buradan E(M ) = E(Z(M )) ⊕ E(N) dir. Z(M ), E(Z(M )) nin bir esas altmod¨ul¨u ve Z(M )∈ X dir. Hipotezden X sınıfı esas geni¸slemelere g¨ore kapalı oldu˘gundan E(Z(M )) ∈ X olup E(Z(M )) ⊆ Z(E(M )) elde edilir.

oylece, Z(E(M )) = E(Z(M )) ⊕ (Z(E(M )) ∩ E(N)) olur. N ∈ X ve X sınıfı esas geni¸slemeler altında kapalı oldu˘gundan E(N ) ∈ X dir. Bu durumda, Z(E(M )∩ E(N) ∈ X ∩ X = 0 dır. Sonu¸c olarak Z(E(M )) = E(Z(M )) elde edilir. R bir sa˘g m¨ukemmel halka oldu˘gundan Rad(E(M )) mod¨ul¨u E(M ) nin bir dar altmod¨ul¨ud¨ur. Ayrıca E(M ) bir injektif mod¨ul oldu˘gundan Uyarı 2.1.48 gere˘gince Z(E(M )) =Rad(E(M )) dir. B¨oylece, Z(E(M )) = 0 dır. Z(M ) ⊆ Z(E(M )) oldu˘gundan Z(M ) = 0 olur ve istenilen elde edilir.

Tanım 2.2.30 M bir mod¨ul ve F de M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olsun.

ger her f ∈ S i¸cin Imf + F altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M ye dual F -ters par¸calı mod¨ul denir ( ¨Ung¨or vd. 2018).

(24)

Teorem 2.2.31 M bir dual F -ters par¸calı mod¨ul olmak ¨uzere M mod¨ul¨u F alt- mod¨ul¨un¨u i¸ceren direkt toplananları i¸cin SSP ye sahiptir ( ¨Ung¨or vd. 2018).

Teorem 2.2.32 R bir halka olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) Her serbest R-mod¨ul M dual Z(M )-ters par¸calı mod¨uld¨ur.

(2) Her projektif R-mod¨ul M dual Z(M )-ters par¸calı mod¨uld¨ur.

(3) Her serbest R-mod¨ul R(R) dual Z(R(R))-ters par¸calı mod¨uld¨ur.

(4) I bir yarı basit sa˘g ideal olmak ¨uzere R = Z(RR)⊕ I ¸seklindedir.

(5) Z(RR) ideali ve K ∈ X olacak ¸sekilde her K sa˘g ideali R halkasının bir direkt toplananıdır ( ¨Ung¨or vd. 2018).

(25)

3. F -BAER MOD ¨ULLER

Bu b¨ol¨umde bir M mod¨ul¨un¨un bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olmak ¨uzere F -Baer mod¨ul kavramı tanımlanmakta ve bir M mod¨ul¨un¨un F -Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ¸sartlar ara¸stırılmaktadır. F -Baer mod¨ullerin ¨ozellikleri incelenmekte ve bazı mod¨ul sınıfları ile olan ba˘glantıları g¨osterilmektedir. F -Baer mod¨ullerin direkt toplananlarının bu ¨ozelli˘gi sa˘gladı˘gı ispatlanmakta, fakat direkt toplamlarının her zaman bu ¨ozelli˘gi sa˘glamadı˘gı ¨ornek verilerek a¸cıklanmaktadır. F -Baer mod¨ul kavramı idealler yardımıyla halka teorisine ta¸sınmaktadır. M mod¨ul¨un¨un F tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olarak Z2(M ) Goldie burulmalı altmod¨ul¨u g¨oz ¨on¨une alınıp, t-Baer mod¨ullerle ilgili ¨onemli sonu¸clar elde edilmektedir.

3.1 F -Baer Mod¨ullerin Genel ¨Ozellikleri

Tanım 3.1.1 M bir mod¨ul ve M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u F olsun. E˘ger S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) ={m ∈ M : Im ⊆ F } altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oluyor ise o zaman M mod¨ul¨u F -Baer mod¨ul olarak adlandırılmaktadır.

Her M mod¨ul¨u M -Baer mod¨uld¨ur. E˘ger M bir yarı basit mod¨ul ise o zaman F - Baerdir. Bu nedenle, yarı basit halkalar ¨uzerindeki mod¨uller F -Baerdir. S nin bir sol ideali I olmak ¨uzere I−1(0) = rM(I) oldu˘gundan, bir M mod¨ul¨un¨un 0-Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir Baer mod¨ul olmasıdır.

A¸sa˘gıdaki ¨ornek F -Baer mod¨ul olup Baer mod¨ul olmayan ve Baer mod¨ul olup F - Baer mod¨ul olmayan mod¨ullerin mevcut oldu˘gunu g¨ostermektedir.

Ornek 3.1.2 (1) F bir cisim olmak ¨¨ uzere, R =

F F 0 F

 olsun. Bu durumda,

Ornek 2.2.4 gere˘¨ gince M =

F F 0 0

 bir Baer R-mod¨uld¨ur. B¨oylece, ¨Onerme

2.2.9 gere˘gince M mod¨ul¨u SSIP ye sahiptir. Fakat, Soc(M ) =

0 F 0 0

 altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı olmadı˘gından, M bir Soc(M )-Baer mod¨ul de˘gildir.

(2) Z4 halkası Z-mod¨ul olarak g¨oz ¨on¨une alınsın. Bu durumda, Z(Z4) = Z4 = Z2(Z4) oldu˘gundanZ4bir Z2(Z4)-Baer mod¨uld¨ur. Fakat,Z4bir Baer mod¨ul de˘gildir.

(26)

f (1) = 2 olacak ¸sekilde f ∈ EndZ(Z4) olsun. Buradan, I = EndZ(Z4)f sol ideali i¸cin, rZ4(I) = 2Z4 k¨umesi Z4 ¨un bir direkt toplananı de˘gildir. Sonu¸c olarak, Z4 bir Z2(Z4)-Baer mod¨ul olup Baer mod¨ul de˘gildir.

A¸sa˘gıdaki teorem yardımıyla F -Baer mod¨ullerin kullanı¸slı bir karakterizasyonu yapıl- maktadır. Bu sayede F -Baer mod¨ullerin yapısı daha kolay anla¸sılmaktadır.

Teorem 3.1.3 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) M bir F -Baer mod¨uld¨ur.

(2) N bir Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = F ⊕ N ¸seklindedir.

˙Ispat: (1) ⇒ (2) M bir F -Baer mod¨ul olsun. Bu durumda, S−1(F ) = F altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı oldu˘gundan, M = F ⊕ N olacak ¸sekilde M nin bir N altmod¨ul¨u vardır. N nin Baer oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin I, End(N ) nin bir sol ideali, A = {1 ⊕ f | f ∈ I} ve I = SA olsun. Bu durumda, I−1(F ) = F ⊕ rN(I)

¸seklindedir. M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. B¨oylece, rN(I) altmod¨ul¨u N nin bir direkt toplananı olur ve istenilen elde edilir.

(2) ⇒ (1) N bir Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = F ⊕ N olsun. Ayrıca I k¨umesi S nin bir sol ideali, πN do˘gal izd¨u¸s¨um ve ιN i¸cerim d¨on¨u¸s¨um¨u olmak ¨uzere, A = Nf ιN | f ∈ I } ve I= End(N )A ¸seklinde tanımlansın. Bu durumda, I−1(F ) = F ⊕ rN(I) ¸seklindedir. N bir Baer mod¨ul oldu˘gundan, rN(I) altmod¨ul¨u N nin bir direkt toplananıdır. B¨oylece, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananı olup, M bir F -Baer mod¨uld¨ur.

Onerme 3.1.4 E˘¨ ger M bir par¸calanamaz F -Baer mod¨ul ise o zaman M bir Baer mod¨uld¨ur ya da F = M dir.

˙Ispat: M bir par¸calanamaz F -Baer mod¨ul ve F ̸= M olsun. Bu durumda, F = 0 oldu˘gundan S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) = I−1(0) = rM(I) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. B¨oylece, M bir Baer mod¨ul olarak bulunur.

(27)

Tanım 3.1.5 M bir mod¨ul olmak ¨uzere e˘ger S nin her I sol ideali i¸cin rM(I) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananı ise o zaman M mod¨ul¨u kuvvetli Baer (strongly Baer) mod¨ul olarak adlandırılmaktadır.

Onerme 3.1.6 M bir mod¨¨ ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananıdır.

(2) N mod¨ul¨u M nin bir kuvvetli Baer altmod¨ul¨u olmak ¨uzere M mod¨ul¨u M = F ⊕ N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahiptir.

(3) M bir F -Baer mod¨uld¨ur ve M nin F yi kapsayan her direkt toplananı bir tam de˘gi¸smez altmod¨uld¨ur.

(4) M = F ⊕ N olmak ¨uzere S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F )∩ N altmod¨ul¨u N nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananıdır.

˙Ispat: (1) ⇒ (2) S nin her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananı olsun. Teorem 3.1.3 gere˘gi, M mod¨ul¨u N bir Baer mod¨ul olmak ¨uzere M = F ⊕ N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahiptir. End(N) nin bir sol ideali I olsun. E˘ger rN(I) altmod¨ul¨un¨un N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u oldu˘gu g¨osterilirse ispat tamamlanır. g ∈ End(N) ve n ∈ rN(I) olsun. A ={0|F⊕f | f ∈ I}

olmak ¨uzere I1 = SA olsun. Bu durumda hipotez gere˘gi I1−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez direkt toplananıdır. Buradan, (0|F ⊕ g)(I1−1(F )) ⊆ I1−1(F ) elde edilir. Ayrıca her f ∈ I ve 0 + n ∈ I1−1(F ) i¸cin (0|F⊕ f)(0|F⊕ g)(0 + n) ∈ F dir. Bu durumda, f gn∈ F ∩N = 0 olur. B¨oylece, rN(I) altmod¨ul¨u N nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olup N bir kuvvetli Baer mod¨uld¨ur.

(1) ⇒ (3) M nin F -Baer mod¨ul oldu˘gu a¸cıktır. M nin F yi kapsayan bir direkt toplananı N olsun. Bu durumda, N = eM olacak ¸sekilde e2 = e ∈ S vardır.

(S(1− e))−1(F ) = eM oldu˘gu a¸cık¸ca g¨or¨ulmektedir. Hipotez gere˘gi N altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olup istenilen elde edilir.

(3) ⇒ (1) S nin bir sol ideali I olsun. M bir F -Baer mod¨ul oldu˘gundan, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır. F tam de˘gi¸smez altmod¨ul oldu˘gundan,

(28)

F ⊆ I−1(F ) dir. B¨oylece, ispat tamamlanır.

(2)⇒ (4) N bir kuvvetli Baer altmod¨ul olmak ¨uzere M mod¨ul¨u M = F ⊕N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahip ve I da S nin bir sol ideali olsun. Bu durumda, N = eM olacak ¸sekilde e2 = e∈ S vardır. B¨oylece, End(N) = eSe dir. A = {efe | f ∈ I} ve I1 =End(N )A olarak se¸cilsin. E˘ger rN(I1) = I−1(F )∩ N oldu˘gu g¨osterilirse ispat biter. x ∈ rN(I1) alınsın. B¨oylece, her g ∈ End(N) i¸cin gefex = 0 olup efx = 0 elde edilir. f x ∈ M oldu˘gundan fx = a + b olacak ¸sekilde a ∈ F ve b ∈ N vardır.

Bu durumda, 0 = ef x = ea + eb = ea + b olup ea =−b ∈ F ∩ N = 0 dır. Buradan, f x = a ∈ F elde edilir. O halde, x ∈ I−1(F )∩ N bulunur. I−1(F )∩ N ⊆ rN(I1) oldu˘gu a¸cıktır. Sonu¸c olarak, rN(I1) altmod¨ul¨u bir tam de˘gi¸smez direkt toplanan oldu˘gundan, I−1(F )∩ N de bir tam de˘gi¸smez direkt toplanandır.

(4)⇒ (1) M mod¨ul¨u M = F ⊕ N ¸seklinde bir par¸calanmaya sahip ve I da S nin bir sol ideali olsun. Mod¨ularite kuralı gere˘gi, I−1(F ) = F⊕(I−1(F )∩N) dir. I−1(F )∩N altmod¨ul¨u N nin bir direkt toplananı oldu˘gundan, I−1(F ) de M nin bir direkt toplananıdır. g∈ S ve πN : M → N do˘gal izd¨u¸s¨um olsun. Ayrıca 1 − πN : M → F nin de do˘gal izd¨u¸s¨um oldu˘gu a¸cıktır. Buradan, g = (1− πN)g + πNg olarak ifade edilebilir. B¨oylece, (1− πN)g(I−1(F )) ⊆ F dir. Ayrıca πNg(I−1(F )) = πNg(F ) + πNg(I−1(F )∩ N) oldu˘gu da g¨or¨ulmektedir. F ve I−1(F )∩ N altmod¨ulleri sırasıyla M ve N nin tam de˘gi¸smez altmod¨ulleri oldu˘gundan, πNg(F ) = 0 ve πN(I−1(F )∩ N ) = I−1(F )∩ N bulunur. Bu durumda, πNg(I−1(F )∩ N) = πNN(I−1(F )∩ N ) ≤ I−1(F ) ∩ N elde edilir. Ayrıca her x ∈ I−1(F ) i¸cin gx = (1 − πN)gx + πNgx ∈ (1 − πN)g(I−1(F )) + πNg(I−1(F )) ≤ F + (I−1(F )∩ N) = I−1(F ) olarak ifade edilebildi˘ginden g(I−1(F )) ≤ I−1(F ) oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Sonu¸c olarak, I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir tam de˘gi¸smez altmod¨ul¨u olarak bulunmu¸s olur.

Teorem 3.1.7 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) M bir F -ters par¸calı mod¨ul ve F yi kapsayan her direkt toplananı i¸cin SSIP ye sahiptir.

(2) M bir F -Baer mod¨uld¨ur.

(3) S nin her I altk¨umesi i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.

(29)

˙Ispat: I−1(F ) =

f∈If−1(F ) oldu˘gundan ¨Onerme 2.2.24 gere˘gince istenilen elde edilir.

A¸sa˘gıdaki sonu¸c F = Z2(M ) alınması durumunda Teorem 3.1.7’nin direkt sonu- cudur.

Sonuc. 3.1.8 M bir mod¨ul olmak ¨uzere M nin bir t-Baer mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir T -Rickart mod¨ul olması ve Z2(M ) yi kapsayan her direkt toplananı i¸cin SSIP ye sahip olmasıdır (Asgari ve Haghany 2011).

Teorem 3.1.9 M bir mod¨ul olmak ¨uzere a¸sa˘gıdakiler denktir.

(1) M bir F -ters par¸calı mod¨uld¨ur.

(2) S nin sonlu ¨uretilmi¸s her I sol ideali i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.

(3) S nin her sonlu I altk¨umesi i¸cin I−1(F ) altmod¨ul¨u M nin bir direkt toplananıdır.

Ayrıca, S nin sıfırdan farklı dik e¸skare elemanlarının her altk¨umesi sonlu ise o zaman yukarıdaki ifadeler a¸sa˘gıdaki ¨onermeye denktir.

(4) M bir F -Baer mod¨uld¨ur.

˙Ispat: I−1(F ) =

f∈I

f−1(F ) oldu˘gundan Teorem 2.2.25 gere˘gince istenilen elde edilir.

Teorem 3.1.9’da F = Z2(M ) alınarak elde edilen sonu¸clar a¸sa˘gıda verilmektedir.

Sonuc. 3.1.10 M bir mod¨ul ve S nin sıfırdan farklı dik e¸skare elemanlarının her altk¨umesi sonlu olsun. Bu durumda, M nin bir T -Rickart mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul M nin bir t-Baer mod¨ul olmasıdır (Ebrahimi Atani vd. 2012).

Sonuc. 3.1.11 M bir mod¨ul olmak ¨uzere M nin bir T -Rickart mod¨ul olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul S nin sonlu ¨uretilmi¸s her I sol ideali i¸cin tM(I) altmod¨ul¨un¨un M nin bir direkt toplananı olmasıdır (Ebrahimi Atani vd. 2012).

Figure

Updating...

References

Related subjects :