Riemannian E˘grilik Tensörü

Tanım 2.5.1.(Riemannian e˘grilik tensörü) (M, g) Riemanian manifoldu olsun, Levi-Civita konneksiyonu D = ∇ olmak üzere,

R: χ(M ) × χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X, Y, Z) → R(X, Y ).Z

R(X, Y, Z) = R(X, Y ).Z = ∇^X∇^YZ− ∇^Y∇^XZ − ∇^{[X,Y ]}Z

fonksiyonu (1,3) tipinde tensör alanıdır. Bu tensör alanına M üzerindeki Rie-mannian e˘grilik tensör alanı denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 2.5.2. (Riemannian Christoffel e˘grilik tensörü) M bir n-boyutlu (n≥4) Riemann manifoldu ve ,  de M nin g metri˘gi olsun.

K : χ(M ) × χ(M) × χ(M) × χ(M) → C^∞(M, R)

(X, Y, Z, W ) → K(X, Y, Z, W )

K(X, Y, Z, W ) = R(Z, W )Y, X

olarak tanımlanan 4 mertebeden kovaryant tensöre , M üzerinde Riemannian Christoffel e˘grilik tensörü denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 2.5.2.Kesitsel e˘grilik (Sectional Curvature)

(M, , ) bir yarı-Riemannian manifoldu boyM≥2 olsun. Bir p ∈ M noktasındaki TM(p) tanjant uzayının iki boyutlu alt uzayı F olsun. F nin bir bazı {X, Y } ise X, Y ∈ F tanjant vektörleri için Al alan fonksiyonu

Al(X, Y ) = 

X, X . Y, Y  − X, Y ²¹₂

biçiminde tanımlansın

K : χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X, Y ) → K(X, Y ) = K(X, Y, X, Y ) Al² K(X, Y, X, Y ) = R(X, Y ).Y, X

olarak tanımlanan K(F )reel sayısına F nin “Kesitsel e˘grili˘gi”denir ve K(X, Y ) ile de gösterilir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 2.5.3. Uzay Formları (Sabit e˘grilikli Uzay)

∀ X, Y ∈ χ(M) için (M, g) Riemannian manifoldunda

K(X, Y ) = c (sbt)

ise bu uzaya sabit e˘grilikli uzay formu denir ve M(c) ile gösterilir. c nin özel de˘gerleri için a¸sa˘gıdaki örnekler verilebilir.

i) c = 0 ise Mⁿ(c) = Eⁿ, Öklid uzayıdır.

ii) c = _r¹2 ise Mⁿ(c) = Sⁿ(r) ⊂ Eⁿ⁺¹ hiperküredir.

iii) c = −_r¹² ise Mⁿ(c) = Hⁿ(r) ⊂ Eⁿ⁺¹ hiperbolik küredir (Hacısaliho˘glu 2004).

2.6 Hiperyüzeyler Üzerinde Levi-Civita Anlamında Paralellik

M bir hiperyüzey ve α : I → M bir parametrik e˘gri olsun. Bir X vektör alanına α boyunca M ye te˘gettir denir, e˘ger X vektör alanı α e˘grisine kısıtlanmı¸s ve ∀t ∈ I için X(t) ∈ TM(α(t)) ise, X in ^dX_dt türevini X (t) ile gösterelim.^. X (t) genel olarak^. M ye te˘get de˘gildir. FakatX (t) nin T^. M(α(t)) üzerine ortogonal izdü¸sümünü almak

suretiyle ∀t ∈ I için yeni bir vektör alanı elde ederiz.

Önce diferensiyel almak ve sonra M nin tanjant uzayına izdü¸sürmekten ibaret olan bu yöntem diferensiyel ile aynı özeliklere sahip olan bir operatör tanımlar. Sadece bir fark vardır; o da M ye te˘get olan vektör alanlarının diferensiyelleri gene M ye te˘get kalan vektör alanları verir. Bu yeni operasyona M üzerinde Kovaryant dife-rensiyel operatörü denir.

Eⁿ⁺¹ de bir hiperyüzey M olsun. M üzerinde parametrik bir e˘gri α : I → M ve αboyunca M ye te˘get ve diferensiyellenebilen bir vektör alanı X olsun. X in Ko-varyant türevi X
, α boyunca M ye te˘get olan bir vektör alanıdır ve

.

X= X
+ λN

her iki tarafı N ile iç çarparsak

 _. X, N



= X
, N



+ λ N, N

λ= _. X, N



ifadesi tekrar yerine yazılırsa

X
=X^. − _. X, N

 .N

olarak tanımlanır. Burada N ile M nin birim normal vektör alanı gösterilmektedir.

Kovaryant diferensiyel operatörünün a¸sa˘gıdaki özeliklerini göstermek kolaydır.

Bir α : I → M e˘grisi boyunca M ye te˘get olan X ve Y diferensiyellenebilir vektör alanları ve α boyunca diferensiyellenebilir bir f fonksiyonu için ,

i) (X + Y )
= X
+ Y
ii) (fX)
= f
.X + f.X
iii) X, Y 
=

X
, Y +

X, Y
 (Hacısaliho˘glu 2004).

Kovaryant türev bir hiperyüzey üzerinde paralelizm kavramı ile ilgilidir.

Eⁿ⁺¹ de −→V _p = (p, V ) ∈ T^En+1(p)

−→

W_q = (q, W ) ∈ T^En+1(q)

tanjant vektörleri için −→V =−W→ise bu iki tanjant vektöre Öklid anlamında paraleldirler denir.

Bir α : I → Eⁿ⁺¹ parametrik e˘grisi boyunca bir X vektör alanı için

X(t₁) = X(t₂), ∀ t1, t₂ ise X vektör alnına Öklid anlamında paraleldir denir. Bu-rada α(t) ∈ α noktasındaki bir tanjant vektörü (α(t), X(t))dir. O halde X vektör alanı için

.

X= dX dt = 0

ise X vektör alanına α e˘grisi boyunca Öklid anlamında paraleldir denir.

Eⁿ⁺¹ de bir hiperyüzey M üzerindeki bir parametrik e˘gri α : I → M olsun. α e˘grisi boyunca M ye te˘get olan bir X diferensiyellenebilir vektör alanı için X
= 0 ise bu X vektör alanına Levi-Civita anlamında paraleldir denir. E˘ger α boyunca X bir sabit vektör alanı ise, M den bakıldı˘gına göre, X vektör alanı α boyunca paraleldir.

Teorem 2.6.1. Levi-Civita (L.C) anlamında paralelizmin a¸sa˘gıdaki özelikleri vardır.

i) E˘ger α boyunca X vektör alanı Levi-Civita anlamında paralel ise X in uzunlu˘gu sabittir.

ii) α boyunca X ve Y vektör alanı L.C paralel ise X, Y  sabittir.

iii) α boyunca X ile Y L.C paralel ise X ile Y arasındaki açı α boyunca sabittir.

iv) α boyunca X ve Y vektör alanı Levi-Civita anlamında paralel ise X +Y ve ∀c ∈ R için cX de α boyunca Levi-civita anlamında paraleldir.

v) M hiperyüzeyi üzerinde bir parametrik α e˘grisi boyunca hız vektör alanı LC anlamında paraleldir⇔ α bir hiperyüzeyi üzerinde geodeziktir (Hacısaliho˘glu 2004).

Teorem 2.6.2. E³de bir yüzey M olsun. M üzerinde α : I → M e˘grisi bir geodezik veα^. = 0 ise α boyunca M ye te˘get olan bir X vektör alanının α boyunca Levi-Civita anlamında paralel olabilmesi için gerek ve yeter ¸sart α boyunca X =sbt ve X ile α arasındaki açının sabit olmasıdır (Hacısaliho˘glu 2004).

2.7 Hiperyüzeyler Üzerindeki Bir E˘gri ˙Için Frenet Türev Formülleri

M, Eⁿ de bir hiperyüzey ve bu hiperyüzey üzerinde α : I → M e˘grisi verilsin. Eⁿ nin konneksiyonu D ve Riemannian metri˘gi g olsun.M hiperyüzeyinin Riemannian konneksiyonu D ve Riemannian metri˘gi g olsun.

D: χ(M) × χ(M) → χ(M)

(X, Y ) → D^XY

DXY = DXY − g(D^XY, N)N Gauss denklemi ile belli olan D operatörüne M üzerinde bir Riemann anlamında Kovaryant türev operatörü denir.

DXY + λN = DXY (2.8.1)

(2.8.1) denkleminin her iki taraf N ile iç çarpılırsa

g(DXY, N) + λg(N, N) = g(DXY, N) (2.8.2)

D_XY te˘get uzayda oldu˘gundan g(DXY, N) = 0 dır.

λ= g(DXY, N) (2.8.2) de yerine yazılırsa

DXY = DXY − g(D^XY, N).N (2.8.3)

elde edilir. D , M üzerinde Riemann konneksiyondur. α e˘grisinin D türev yardımıyla, M üzerinde Frenet vektörlerini hesaplayabiliriz. α : I → M birim hızlı e˘gri olsun

v₁ = α
(s)

e˘grinin te˘get vektörü olsun.

Dv^v11 = α

(t) nın te˘get uzayı üzerine dik izdü¸sümünü D^v1_v1 ile gösterelim. D^v1_v1 ∈ χ(M ) oldu˘gundan tekrar türev alırsak Dv1(D^v1_v1) vektörünü elde ederiz. Bu vektörün te˘get uzaya izdü¸sümünü Dv1(D^v1_v1) = D²_v^v1₁ ile gösterelim. Dv1(D^v1_v1) ∈ χ(M) oldu˘gu görülür. Bu ¸sekilde devam edersek, v1, D^v1_v1, D²_v^v1₁ , ..., D^p−1_v1 ^v1 vektörlerini

elde ederiz.

S =

v1, D^v1_v1, D²_v^v1₁ , ..., D^p−1_v1 ^v1



⊂ χ(M)

cümlesi χ(M) uzayında lineer ba˘gımsız olsun. S cümlesine Gram-Schmidt ortonor-malle¸stirme metodu uygulanabilir.

E₁ = α
= v1

ve

E_i = .Dⁱ⁻¹_v1 ^v1 − p−1

j=1

g(Dⁱ⁻¹_v1 ^vi, Ej) g(Ej, E_j) E_j

olmak üzere {E1, ..., E_p} ortogonal vektör sistemidir. Bu sistem normlanırsa,

v1 = E1

E1 . . . vp = Ep

Ep

{v¹, ..., v_p} ortonormal sistemi elde edilir. Bu, p-vektör sistemine M yüzeyi üz-erindeki α e˘grisinin Frenet p-ayaklısı denir.

Tanım 2.7.1. (E˘grilik fonksiyonu) M ⊂ Eⁿ yüzeyi üzerinde {v1, ..., v_p} orto-normal sistemi verilsin.

k_i = g(D^vi_v1, v_i+1), 1 ≤ i ≤ p − 1 , p ≤ n − 1

¸seklinde tanımlı ki fonksiyonuna M deki α e˘grisinin i-yinci e˘grilik fonksiyonu denir.

E⁴deki bir M uzay formunda bir e˘grinin Frenet türev formüllerini elde edelim.

M³(c) ⊂ E⁴ uzay formunda α : I → M³(c) ⊂ E⁴(birim hızlı), E⁴ ün konneksi-yonu D ve Riemannian metrik g olsun. M³(c) uzay formundaki konneksiyonu D ve Riemannian metrik g = g|_M olsun. α nın E⁴ deki Frenet vektörleri v1, v2, v3, v4 e˘gri-likleri k1, k₂, k₃ ve α nın M³(c) deki Frenet vektörleri v₁, v₂, v₃ e˘grilikleri κ, τ olsun.

v₁ = v1 = α
(s)

Dv^v11 = α

(t) nin te˘get uzaya dik izdü¸sümü D^v1_v1dir. Tekrar türev alırsak Dv1(D^v1_v1) vektörünü elde ederiz. Bu vektörün te˘get uzaya tekrar dik izdü¸sümünü alırsak,Dv1(D^v1_v1)

elde edilir. Dv1(D^v1_v1) ∈ χ(M) oldu˘gu görülür.



v1, D^v1_v1, D²_v1^v1



cümlesi lineer ba˘gımsızdır.

D³_v^v1₁ ∈ S^p

v1, D^v1_v1, D²_v^v1₁



dir. Gramm-Schmidth metodu uygulanırsa,

E₁ = v1

E2 = D^v1_v1 −g(D^v_v¹₁, E1) g(E₁, E₁) E1

E3 = D²_v1^v1 − g(D²_v^v1₁ , E₁)

g(E1, E1) E1− g(D²_v^v1₁ , E₂) g(E2, E2) E2

{E¹, E2, E3} ortogonal vektörleri elde edilir.

v1 = E1 = v1

v₂ = E₂

g(E₂, E₂) = E₂

E² v₃ = E3

g(E3, E3) = E3

E³ {v¹, v2, v3} ortonormaldir.

κ= g(D^v1_v1, v₂) τ = g(D^v2_v1, v₃)

olarak tanımlayalım. ¸Simdi a¸sa˘gıdaki teoremi verebiliriz.

Teorem 2.7.1. M ⊂ E⁴ Uzay formunda α : I → M³ birim hızlı e˘grisinin α(s) nok-tasındaki e˘grilikleri κ, τ olmak üzere Frenet ayaklısı {v1, v₂, v₃} olsun . Bu durumda,

D_v^v1₁ = κ.v2

D_v^v2₁ = −κ.v1+ τ .v₃ D_v^v3₁ = −τ.v²

dir.

˙Ispat: α : I → M³ birim hızlı e˘gri olmak üzere,

v1 = v1 = α
(s)

dir.

g(v1, v1) = 1 (2.8.3)

(2.8.3) ün M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v1_v1, v₁) + g(v₁, D^v1_v1) = 0

g(D^v1_v1, v1) = 0 (2.8.4)

dır.(2.8.4),(2.8.5) de yerine yazılırsa

E₂ = D^v1_v1 − g(D^v1_v1, E₁)

g(E1, E1) E₁ (2.8.5)

E₂ = D^v1_v1 (2.8.6)

elde edilir.

v₂ = E2

E² ifadesi düzenlenirse,

D^v1_v1 = E² .v² (2.8.7)

elde edilir,(2.8.7) nin her iki tarafını v2 ile iç çarparsak,

g(D^v1_v1, v₂) = E2 = κ (2.8.8)

oldu˘gundan (2.8.8), (2.8.7) de yerine yazılırsa,

D^v1_v1 = κ.v2 (2.8.9)

elde edilir.

D^v2_v1 = λ1.v1+ λ2.v2+ λ3.v3 (2.8.10)

g(v2, v2) = 1 (2.8.11)

(2.8.11) ifadesinin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v2_v1, v₂) + g(v₂, D^v2_v1) = 0 (2.8.12)

g(D^v2_v1, v2) = 0 (2.8.13) elde edilir.(2.8.10) v2 ile iç çarparsak

g(D^v2_v1, v₂) = λ₁.g(v₁, v₂) + λ₂.g(v₂, v₂) + λ₃.g(v₃, v₂)

elde edilir.Buradan,

λ2 = 0 dır.

λ3 = g(D^v2_v1, v3) = τ λ1 = g(D^v2_v1, v1) =?

oldu˘gundan, Ayrıca

g(v2, v₁) = 0 (2.8.14)

(2.8.14) ifadesinin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v2_v1, v1) + g(v2, D^v1_v1) = 0 (2.8.15)

(2.815) denklemi elde edilir.

g(D^v2_v1, v1) = −κ = λ¹

(2.8.10) da yerine yazılırsa,

D^v2_v1 = −κ.v¹+ τ .v3

elde edilir.

D^v3_v1 = µ₁.v₁+ µ₂.v₂+ µ₃.v₃ (2.8.16)

g(v3, v₃) = 1 (2.8.17)

(2.8.17) nin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v3_v1, v3) + g(v3, D^v3_v1) = 0

g(D^v3_v1, v₃) = 0 elde edilir. (2.8.16) denklemini v3 ile iç çarparsak

λ3 = 0

bulunur.

g(v3, v1) = 1 (2.8.18)

(2.8.18) nin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v3_v1, v₁) + g(v₃, D^v1_v1) = 0

g(D^v3_v1, v₁) = −g(v³, D^v1_v1) elde edilir.(2.8.16) denklemini v1 ile iç çarparsak,

µ₁ = −g(v³, D^v1_v1) (2.8.19)

elde edilir. (2.8.9), (2.8.19) de yerine yazılırsa,

µ₁ = −g(v³, κv2)

µ₁ = −κg(v³, v₂) µ₁ = 0 dır.

g(v2, v3) = 0 (2.8.20)

(2.8.20) nin M ye göre kovaryant türevini alırsak,

g(D^v2_v1, v₃) + g(v2, D^v3_v1) = 0

g(D^v3_v1, v2) = −g(D^v2v1, v3) = 0

µ₂ = −g(D^v2v1, v3) = −τ (2.8.21) (2.8.21), (2.8.16) da yerine yazılırsa

D^v3_v1 = −τ .v²

elde edilir ve ispat biter. Buradan, a¸sa˘gıdaki ifade yazılabilir.





 D^v1_v1 D^v2_v1 D^v3_v1





=







0 κ 0

−κ 0 τ

0 −τ 0











 v₁ v2

v₃







Bundan sonra gösterim kolaylı˘gı olması açısından D konneksiyonu, D = ∇ ile gös-terilecektir.

3. UZAY FORMLARINDA HEL˙ISLER

3.1 Üç Boyutlu Uzayda Helis Tanımı

Literatürde çe¸sitli helis tanımları verilmi¸stir. Bu bölümde Uzay formları için Barros tarafından verilen helis tanımını ele aldık, çe¸sitli teoremler verdik. Bu bölümde son olarak di˘ger helis tanımlarını tanıtarak bunlar arasındaki ili¸skiyi verelim.

Tanım 3.1.1. M kesitsel e˘grili˘gi sabit olan uzay formunda γ = γ (t) : I ⊂ R → M e˘grisini gözönüne alalım. γ nın te˘get vektör alanını γ
(t), birim te˘get vektör alanını T = T (t) ve hızını da v (t) = γ
(t) = γ
(t) , γ
(t) ¹² olarak alalım. M deki Levi-Civita konneksiyonu ∇ olmak üzere γ nın Frenet formülleri

∇^TT = κN

∇^TN = −κT + τ B

∇^TB = −τ N

olur. Burada κ > 0 ve τ sırasıyla α nın M de e˘grilik ve burulması (torsiyon) olur.

M de γ nın varyasyonunu

Γ : I × (−ε, ε) → M (t, z) → Γ (t, z) Γ (t, 0) = γ(t) olarak tanımlarız.

∂Γ

∂z





z=0

= V (t)

¸seklinde tanımlı vektör alanı da varyasyon vektör alanıdır. Bundan sonra

v = V (t, z), T = T (t, z), V = V (t, z) notasyonlarını kullanaca˘gız. Burada t keyfi, s de γ nın yay parametresi olarak kullanılacaktır.

E˘ger,

¸sartı sa˘glanıyorsa γ (s) boyunca V (s) vektör alanına Killing vektör alanı denir.¸Sayet

∂v elde ederiz (Barros 1997).

Tanım 3.1.2. Bir γ (s) e˘grisi boyunca tanımlanan V Killing vektör alanıyla e˘grinin te˘geti arasındaki açı her noktada sıfırdan farklı sabit bir açıya e¸sitse γ e˘grisine genel helis denir (Barros 1997).

3.2 Uzay Formlarında Helis E˘grileri ˙Için Yeni Karakterizasyonlar

Teorem 3.2.1. a ve b sabit reel sayılar ve κ ve τ da e˘grilikler olmak üzere

α M de genel helistir ⇔ τ = bκ + a

(Barros 1997).

Teorem 3.2.2. M bir uzay formu, γ e˘grisi de M üzerinde regüler bir e˘gri olsun.Bu durumda a¸sa˘gıdaki denklem sa˘glanır.

∇³TT−

˙Ispat :

bulunur. B ve N çekilip türevler alınırsa

B = 1

bulunur. Frenet denkleminden ∇^BT = −^τk∇^TT ifadesi çekilip e¸sitlenirse ve ifade düzenlenirse

bulunur,I ve II nin katsayıları sadele¸stirilirse. elde edilir ve denklemde yerine yazılırsa,

∇³TT−

diferensiyel denklemi elde edilir.

Teorem 3.2.3. M bir uzay formu, γ da M üzerinde regüler bir e˘gri olsun. Bu durumda γ e˘grisi genel helis e˘grisidir ancak ve ancak

∇³TT−κ

˙Ispat. (⇒) γ e˘grisi genel helis e˘grisi olsun. γ regüler bir e˘gri oldu˘gundan (3.1) denklemini sa˘glar. Ayrıca τ = bκ + a dır. (3.1) denklemini açalım.

−

κτκ τ



= aκκ
bκ+ a

oldu˘gundan yukarıdaki e¸sitlikleri (3.1) da yerlerine yazarsak (3.2) elde edilir.

(⇐) Kabul edelim ki γ regüler e˘grisi (3.2) e¸sitli˘gini sa˘glasın. γ e˘grisi regüler oldu˘gun-dan (3.1) e¸sitli˘gi de sa˘glanır. (3.1) den (3.2) yi çıkarırsak

X = κ
ifadeleri yerlerine yazılır ve düzenlenirse

Z − κ²X T +

κ
X+ κY

N + Xκτ B = 0

elde edilir.

{T, N, B} lineer ba˘gımsız olup katsayılar sıfıra e¸sitlenir.

X= 0

τ = bκ + a elde edilir ve ispat tamamlanır.

3.3 Uzay Formlarında Farklı Helis Tanımları

Tanım 3.3.1. α : I → Eⁿ e˘grisi için n tek iken, oranları sabit ise α ya helis denir (Hayden 1931).

Örnek 3.3.1.

n= 3 , k2

k₁ oranı sabit olmalı, n= 5 , k2

k₁ , k4

k₃ oranları sabit olmalı.

Tek boyutlu uzayda, tüm Frenet vektörleriyle sabit açı yapan bir W vektörü bula-biliriz,

W = v1+ H1v₃+ H3v₅+ ... + H_2n−1v_2n+1

¸seklindeki W vektörüne helisin ekseni denir.

H₁ = k₁

W = v1+ H1v₃+ H3v₅+ ... + H_2n−1v_2n+1

Çift boyutta bütün Frenet vektörleriyle sabit açı yapan e˘gri yoktur. Çift boyutta e˘grilikleri oranını vererek yeni bir tanım verece˘giz.

Tanım 3.3.2. ( C.C.R Anlamında helis) α : I → Eⁿ regüler e˘grisi üzerinde {V¹, V2, ..., Vn} Frenet çatısı ve kⁱ = Vi
, Vi+1 olmak üzere, ∀i ∈ {1, 2, ..., n − 2} için

ki+1

ki oranları sabit ise α ya C.C.R curve (sabit e˘grilik oranları) tipinde helis denir (Monterde 2004).

E⁴ de k₂ k₁ , k₃

k₂ oranları sabit olmalı E⁵ de k₂

k1

, k₃ k2

, k₄ k3

oranları sabit olmalı

Eⁿ de de aynı helis tanımı verilebilir fakat burada çok e˘grilikler oldu˘gu için farklı tanımlar kar¸sımıza çıkar.

Tanım 3.3.3. (Yüksek mertebeden harmonik e˘grilikler) α e˘grisi {(I, α)} at-lası ile verilsin. s ∈ I, α nın e˘grilik fonksiyonları, sırasıyla, κ1, κ₂, ....κ_n−1olsun.α nın birim te˘get vektör alanı v1 olmak üzere,

Hi : I → R

H_i =











0 i= 0

κ1

κ2 i= 1

{V¹[H_i−1] + H_i−2κi} ._κi+1¹ 1 < i ≤ n − 2

¸seklinde tanımlı Hifonksiyonuna α nın i-yinci mertebeden harmonik e˘grilik fonksi yonu denir.

Tanım 3.3.4. α e˘grisinin birim te˘get vektör alanı v1olmak üzere, X ∈ χ(Eⁿ) de sabit bir birim vektör alanı olsun.

v¹, X = cos ϕ = sbt , ϕ= π 2

ise α e˘grisine e˘gilim çizgisi, ϕ açısına da e˘gilim açısı ve Sp{X} uzayına da α nın e˘gilim ekseni denir. E˘gilim çizgilerinin harmonik e˘grilik fonksiyonları için a¸sa˘gıdaki teorem geçerlidir (Hacısaliho˘glu 1983).

Bu helisleri H-helisler olarak adlandıralım.

Teorem 3.3.1.

α , Eⁿde H-helistir. ⇒ n−2

i=1

H_i² = sbttir.

(Hacısaliho˘glu 1983).

Teorem 3.3.2. E³ de α,C.C.R helistir ⇒ α, H-helistir.

˙Ispat. E³ de α e˘grisi C.C.R helis ⇒ ^k_k²₁ = sbt dir. Bu ise α nın H-helis oldu˘gunu söyler.

Teorem 3.3.3. α , Eⁿ de C.C.R tipinde helistir ⇒ α Hayden tipi helistir (Mon-terde 2004).

C.C.R tipindeki helislerin uzay formunda verilen helislerle ilgisini S³küresi için bir teoremle verelim.

Teorem 3.3.4. α , S³ de Barros anlamında helistir ⇔ α nın k1, k₂, k₃e˘grilikleri sabittir (Monterde 2004).

3.4 Darboux Helislerinin Küresel Göstergeleri

Tanım 3.4.1. (Öklid anlamında genel helisler) E³ uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α e˘grisinin te˘get do˘grultuları sabit bir do˘grultu ile sabit açı yapıyorsa α e˘grisine genel helis denir. Sabit do˘grultuya genel helisin ekseni denir.

Teorem 3.4.1. E³de α e˘grisi Öklid anlamında helistir ⇔ σ(s) = ^τ_κ fonksiyonu her noktada sabittir.

˙Ispat: α nın küresel te˘getler göstergesi (T ) nin parametresi sT ve birim te˘get vetörü TT olsun. (T ) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi κT olsun.

α(sT) = T dα

ds_T = dT ds

ds ds_T dα

dsT

= κN ds dsT

T_T = dα dsT

= κN ds dsT

TT = κN ds ds_T Her iki tarafın normunu alalım,

T^T =

$$

$$κN ds dsT

$$

$$

1 = κ ds dsT

ds ds_T = 1

κ TT = N T_T(s_T) = N(s)

dir.

Buradan norma geçersek, (T ) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κT =$ ve S² için birim normal vektör alanı T olaca˘gından

D_T^TT_T = ∇^TT^TT − T

dir. (T ) nin S² deki geodezik e˘grili˘gi

κg = τ κ

dir. (T ) nin küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır. Çemberin 1. e˘grili˘gi sabit oldu˘gundan κT =sbt buradanda κg =sbt elde edilir.

κ_g = τ

κ = σ(s) dersek

σ(s) = τ κ

sabit fonksiyonu elde edilir tersi de do˘grudur ve ispat tamamlanır.

Tanım 3.4.2. (Yatık (Slant) helisler) E³uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α e˘grisinin asli normal do˘grultuları sabit bir do˘grultu ile sabit açı yapıyorsa α e˘grisine yatık (slant) helis denir. Sabit do˘grultuya da yatık (slant) helisin ekseni denir.

Teorem 3.4.2. E³ uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. Bu durumda, α e˘grisi yatık (slant) helistir

⇔ σ(s) = _(κ²_+τ^κ22₎³

2

_τ

κ



sabit bir fonksiyondur (Yaylı 2005).

˙Ispat: α nın küresel asli normaller göstergesi (N) nin parametresi sN ve birim te˘get vetörü TN olsun. (N) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gine κN dersek,

α(sN) = N (s) dα

ds_N = dN ds

ds ds_N T_N = dα

dsN = (−κT + τ B) ds dsN

Her iki tarafın normunu alalım.

T^N =

$$

$$(−κT + τ B) ds ds_N

$$

$$

1 = W  ds Buradan da (c) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κ_N =

olarak hesaplanır. Gauss dönü¸sümünden,

D_T^T_N^N = ∇^TT^Nn − s(T^N), TN N^N(s)

dir.

elde edilir. O halde, S²deki αN nin geodezik e˘grili˘gi σ(s) ile verilebilir. Böylece asli normallerinin (N) nin S²deki küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır.

Çemberin 1. e˘grili˘gi sabit oldu˘gundan κN =sbt buradanda κg =sbt elde edilir.

κ_g = κ²

sabit fonksiyonu elde edilir ve ispat tamamlanır.

Teorem 3.4.3. α Yatık helis , α nın te˘getlerinin küresel göstergesi (T ), küre-sel helistir (Yaylı 2005).

Teorem 3.4.4. α Yatık helis , α nın binormallerinin küresel göstergesi (B), küre-sel helistir (Yaylı 2005).

Tanım 3.4.3. (Sabit Dalgalanmalı (precessionlu) e˘griler) E³uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α nın w = τT +κB Darboux vektörü uzayda sabit bir do˘gru etrafında sabit açı ve sabit hız ile dönerek hareket ediyorsa bu e˘griye Sabit Dalgalanmalı (precessionlu) e˘gri denir. Burada, κ ve τ α e˘grisinin e˘grilik ve burulmasıdır.

{T, N, B} α e˘grisinin Frenet vektör alanlarının bir bazıdır. Sabit precessionlu bir e˘gri ,

κ(s) = 8 sin µs τ(s) = 8 cos µs

ile karakterize edilir. Burada, 80 ve 8, µ sabitlerdir (Scofield 1995).

Teorem 3.4.5. α sabit dalgalanmalı e˘gridir. ⇒ α yatık helistir (Yaylı 2005).

Tanım 3.4.4. (Darboux helisleri) α e˘grisi Öklid anlamında _τ

κ = 0

helis ol-mayan regüler bir e˘gri olsun.

c(s) = τ T + κB

√τ²+ κ²

Darboux vektörünü tanımlayalım. Her noktada c(s) ile sabit açı yapan sabit bir do˘grultu var ise bu tür α e˘grilerine Darboux helisi denir.

Teorem 3.4.6. α e˘grisi Darboux helistir ⇔ σ^∗(s) = (τ²+ κ²)³² κ²

"τ1

κ

#
fonksiyonu her noktada sabittir.

˙Ispat: (c) nin parametresi s_c ve birim te˘get vetörü Tc olsun. (c) nin E³ deki geo-dezik e˘grili˘gi κc olsun.

α(sc) = c (s) = τ

√τ²+ κ²T + κ

√τ²+ κ²B

α(sc) = sin ΦT + cos ΦB dα

dsc

= dc ds

ds dsc

dα ds_c =

Φ
cos ΦT − Φ
sin ΦB + κ sin ΦN − τ cos ΦN ds ds_c Tc= dα

ds_c = (Φ^cos ΦT − Φ^sin ΦB) ds ds_c

T^c = Buradan da (c) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κ_c=

olarak hesaplanır. Gauss dönü¸sümünden,

D^T_Tc^c = ∇^TT^cc − s(T^c), Tc c(s)

dir.

(c) nin küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır. Çemberin 1. e˘grili˘gi sabit oldu˘gundan κc =sbt buradan da κg =sbt elde edilir.

κg = (κ²+ τ²)³₂ sabit fonksiyonu elde edilir ve ispat tamamlanır.

Teorem 3.4.7. Öklid anlamındaki helislerin Darboux vektörlerinin küresel göstergeleri noktadır.

˙Ispat: α Öklid anlamında bir helis olsun, c(s) = τ T + κB

c(s) = 1

1 + λ² (λT + B)

c
(s) = 1

1 + λ²(λκN − τ N) λ= _κ^τ yerine yazılırsa

c
(s) = 0 c(s) = sbt

noktanın küresel göstergesi de yine noktadır. 1. ve 2. e˘griliklerden bahsede-meyiz geodezik e˘grili˘gi yoktur.

κ_g = (κ²+ τ²)³₂ κ²

_τ1

κ


= σ^∗(s)

formulünden açıktır ki helis olmayan e˘griler için daima mevcuttur bu da yukarıdaki yaptı˘gımız i¸slemlerle çakı¸sır.

Lemma 3.4.1. α : I → E³ e˘grisi için^κ_τ = sbt olsun

α yatık helistir. ⇒ α Darboux helisidir.

˙Ispat: α yatık helis ise σ(s) = κ² (κ² + τ²)³₂

 τ κ



α Darboux helis σ^∗(s) = (τ² + κ²)³² κ²

"τ1

κ

#
oldu˘gundan

σ(s)σ^∗(s) = sbt

σ(s) = sbt ⇔ σ^∗(s) = sbt ispat tamamlanır.

4. UZAY FORMLARINDA BERTRAND Ç˙IFTLER˙I

4.1 Bertrand Çifti

Tanım 4.1.1. M(c), 3-boyutlu uzay formu olsun. (I, α), (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilen e˘grilerin s ∈ I daki Frenet vektörleri, sırasıyla, {T, N, B} ve {T^∗, N^∗, B^∗} olsun. ¸Sayet {N, N^∗} lineer ba˘gımlı ise (α, β) e˘gri ikilisine birBertrand çifti denir.

Teorem 4.1.1. (I, α), (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilen (α, β) e˘gri çifti Bertrand çiftidir

⇔ ∀s ∈ I için d (α(s), β(s)) = β(s) − α(s) = sbt dir.

˙Ispat.

β(s) = α(s) + λN yazabiliriz.∇^Tβ(s) = ∇^Tα(s) + λ∇^TN(s) , ∇^Tα(s) = α
(s) = T ,∇^TN(s) = N
diyelim,

αnın yay parametresi s

βnın yay parametresi s^∗olsun.

d

ds^∗β(s)ds^∗

ds = T + λN
+ λ
N T^∗ds^∗

ds = T + λ(−κT + τ B) + λ
N {N, N^∗} lineer ba˘gımlı ise λ
= 0 ⇒ λ sbt olur.

Teorem 4.1.2. α, β e˘grileri (I, α), (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilsin. α nın e˘grilik ve burulması κ ve τ olmak üzere,

(α, β) e˘gri çifti Bertrand çiftidir ⇔ ∃λ, µ ∈ R için λκ + µτ = 1

˙Ispat. (⇒) α(s) ve β(s) noktalarında α ve β nın Frenet vektörleri, sırasıyla, {T, N, B} ve {T^∗, N^∗, B^∗}olsun. Buna göre T^∗ ile T arasındaki açı θ olmak üzere,

T^∗(s) = cos θ T (s) + sin θ B(s)

T^∗ = aT + bN + cB

Her iki taraf N ile iç çarpılırsa T^∗, N = b elde edilir.

N^∗ = λN (lineer ba˘gımlı oldu˘gundan)

N = 1

λN^∗

T^∗, N = b (

T^∗,1 λN^∗

)

= b 1

λT^∗, N^∗ = b

T^∗, N^∗ = λb = 0 b = 0

T^∗ = aT + cB, T^∗ birim vektör, a = cos θ, b = sin θ alınırsa

T^∗, T = a = cos θ

T^∗, B = c = sin θ

T^∗(s) = cos θ T (s) + sin θ B(s)

yazılabilir. Türev almak suretiyle, d

dsT^∗(s) = d

ds^∗T^∗ds^∗

ds = κ^∗N^∗ds^∗ ds

= ds^∗

ds κ^∗N^∗ = cos θ T
(s) + sin θ B
(s) (4.1.1) ds^∗

dsκ^∗N^∗ = cos θ κN + sin θ (−κN) + d

dscos θ T (s) + d

ds sin θ B(s) elde edilir. {N^∗, N} lineer ba˘gımlı oldu˘gundan N^∗ = λN yazılabilir. (1) e¸sitli˘gini T ile çarparsak

0 = d

ds cos θ 0 = − sin θ.θ

olur. Benzer ¸sekilde (1) ifadesi B ile çarpılırsa

0 = cos θ.θ
θ
= 0

θ = sbt

bulunur. Buna göre,

T^∗ = cos θ T + sin θ B β(s) = α(s) + λN

∇^Tβ(s) = ∇^Tα(s) + λ∇^TN(s) β
(s) = T + λ(−κT + τB) T^∗ds^∗

ds = (1 − λκ)T + λτB T^∗ = ds

ds^∗(1 − λκ)T + ds ds^∗λτ B T^∗ = cos θ T + sin θ B

cos θ = ds

ds^∗(1 − λκ) sin θ = ds

ds^∗λc 1 − λκ

cos θ = λτ sin θ 1 − λκ

λτ = cot θ 1 − λκ = λ cot θ τ λ cot θ τ + λκ = 1

µ= λ cot θ yazarsak

λκ+ µτ = 1 sonucu elde edilir.

(⇐) ¸Sartın yeterlili˘gi, gerek ¸sartın ispatındaki i¸slemlerin tersi takip edilerek yapıla-bilir.

4.2 Uzay Formlarında Bertrand E˘gri Çiftleri ˙Ile ˙Ilgili ˙Iki Teorem

Teorem 4.2.1. M, kesitsel e˘grili˘gi c olan 3-boyutlu uzay form olsun. γ, M üzerinde regüler e˘gri olsun. γ, Bertrand çiftine sahip olan ve Bertrand çiftinin te˘get vektörü ile ekseni ortonormal olmayan genel bir helistir ⇔ γ nın e˘grilik ve burulması sabittir.

˙Ispat. (⇒)Kabul edelim ki (I, α) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilen e˘grimizin Bertrand çifti (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilsin. E˘grimizin te˘geti ile Bertrand çiftinin te˘getiyle yaptı˘gı açı θ ve helis ekseni ile yaptı˘gı açı ϕ olsun. T^∗(s) ve Z(s) sırasıyla, β nın birim te˘geti ve α nın ekseni ise

T^∗(s) = cos θ T + sin θ B Z(s) = cos ϕ T + sin ϕ B

oldu˘gunu biliyoruz. E˘grimiz helis e˘grisi ise

τ = bκ + a (b = cot ϕ , a² = c) (4.1.2)

dir. Ayrıca e˘grimizin Bertrand çifti var ise

λκ+ µτ = 1 (4.1.3)

olacak ¸sekilde λ, µ ∈ R vardır. Burada µ = λ cot θ dır. Böylece (2) ve (3) den,

κ= 1 − µa

λ+ µb , τ = λa+ b λ+ µb elde edilir. Burada µ = λ cot θ ve b = cot ϕ oldu˘gundan

κ = 1 − λa cot θ λ(1 + cot ϕ cot θ) τ = λa+ cot ϕ

λ(1 + cot ϕ cot θ)

elde edilir. Burada T^∗ ile Z ortonormal olmadı˘gından

1 + cot ϕ cot θ = 0

dır. Ayrıca λ, a, ϕ, θ de˘gerleri sabit oldu˘gundan κ ve τ de˘gerleri sabittir.

(⇐) Kabul edelim ki (I, γ) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilmi¸s olan e˘grimizin κ ve τe˘grilikleri sabit olsun. Bu durumda

Z(s) = −κT + τB√ κ²+ τ²

olarak tanımladı˘gımız vektör alanı e˘grimizin Killing vektör alanıdır. Gerçekten,

∇^TZ = −√

olur. M. Barros’da Killing vektör alanı olmak ¸sartlarında bu e¸sitsizlikleri yerine yazarsak

elde edilir ki bu da Z nin Killing vektör alanı oldu˘gunu gösterir. Burada

Z, T  = − κ

olur. κ ve τ sabit oldu˘gundan θ da sabittir. Böylece γ bir helistir. Ayrıca β e˘grisini

β(s) = γ(s) + 1 κN(s)

olarak tanımlayalım. Kabul edelim ki β nın yay parametresi s^∗ olsun. Burada γyönünde türev alırsak

β
(s) = T^∗ds^∗

ds = T + 1

κ (−κT + τB) ve

T^∗ds^∗ ds = τ

κB olur. Burada,

ds^∗ ds = τ

κ

ve T^∗ = B oldu˘gu görülür. (T^∗ , B birim vektör katsayıları aynı olur.) T^∗ = B den tekrar türev alırsak,

κ^∗N^∗ds^∗

ds = −τ N

olur. Böylece, {N^∗, N} nin lineer ba˘gımlı oldu˘gu görülür. ({N^∗, N} lineer ba˘gımlı Bertrand çiftidir). Dolayısıyla γ ile β e˘grileri Bertrand çiftleridir.

Teorem 4.2.2. M, kesitsel e˘grili˘gi c olan 3-boyutlu uzay formu olsun. γ Bertrand çiftine sahip ve γ nın Bertrand çiftinin te˘get vektörü ile ekseni ortonormal olan genel bir helistir ⇔ A¸sa˘gıdaki e¸sitlik sa˘glanır.

λκ+ τ

√c = 1.

Burada λ, γ nın Bertrand çifti ile γ arasındaki uzaklıktır ve λ sabittir. 

ϕ− θ = ^π2



˙Ispat. Kabul edelim ki γ genel helis, Bertrand çifti var ve helis ekseniyle Bertrand çiftinin te˘geti dik olsun. γ nın Frenet vektörleri T, N, B ve γ nın Bertrand çifti olan β nın Frenet vektörleri T^∗, N^∗, B^∗ olsun. Ayrıca γ nın ve β nın e˘grilikleri de, sırasıyla, κ, τ ile κ^∗, τ^∗ olsun. T ile T^∗ arasındaki açıya θ, e˘grinin ekseni Z(s) olmak üzere T

ile Z arasındaki açıya ϕ diyelim.Dolayısıyla,

T^∗ = cos θ T + sin θ B (4.1.4)

olur. Burada ϕ = ^π₂ + θ oldu˘gundan

Z = − sin θ T + cos θ B (4.1.5)

olur. Burada θ sabit bir açıdır. (4.1.5) den

∇^TZ = −(κ sin θ + τ cos θ)N

olur. Ayrıca e˘grimizin Bertrand çifti oldu˘gunda λ = d(α, β) ve µ = λ cot θ için 1 − λκ

cos θ = λτ sin θ ve

κsin θ + τ cos θ = sin θ

λ (sbt) olur. Böylece,

∇^TZ = −sin θ

λ N (4.1.6)

olur. Tekrar türev alırsak

∇²TZ = −sin θ

λ (−κT + τ B)

∇³TZ = −sin θ λ

*−

κ²+ τ²

N − κ
T + τ
B+

olur. Killing vektör alanı olma ¸sartlarını sa˘glatırsak

∂ϕ

∂z





z=0

=

∇^TZ, T ϕ= 0

∂κ²

∂z





z=0

= 2κ

∇²TZ, N

− 4κ²

∇^TZ, T

+ 2cκ Z, N = 0

oldu˘gu görülür. Ayrıca olur. Bu e¸sitli˘gi düzenlersek

∂τ²

elde edilir. Ayrıca γ nın Bertrand çifti olmasından

λκ+ µτ = 1 elde edilir. (8) ifadesini (7) de yerine yazarsak

∂τ²

elde edilir. κ sabit de˘gilse κ¹ da sabit de˘gildir. Dolayısıyla κ¹ = 0 dır. Ayrıca Z vektör alanı Killing vektör alanı ise

∂τ²

olur. Buradan

cot θ = 1 λ√c elde edilir. E˘grimiz Bertrand çifti oldu˘gundan

λκ+ λ cot θ τ = 1

e¸sitli˘gini sa˘glar. cot θ = _λ^√1_c oldu˘gundan

λκ+ τ

√c = 1

e¸sitli˘gi sa˘glanır.

(⇐) Kabul edelim ki γ e˘grisi için

λκ+ τ

√c = 1

e¸sitli˘gi sa˘glansın. Teorem (*) dan e˘grimizin Bertrand çifti oldu˘gu görülür. Bu e˘gri helis e˘grisi midir?

Z(s) = − λ√

 c

1 + cλ²T + 1

1 + cλ²B vektör alanını tanımlayalım Böylece,

∇^TZ =

olur. Tekrar türev alırsak

∇²TZ = −

elde ederiz. Bu e¸sitlikleri Killing vektör alanı olma ¸sartlarıyla ilgili denklemlerde

yerlerine yazarsak

oldu˘gu kolayca görülür. ∂τ²

∂z olur. Her iki tarafın türevini alırsak

 τ

elde edilir. Dolayısıyla γ e˘grisi ekseni Z olan bir helistir.

5. UZAY FORMLARINDA LC HEL˙ISLER

Bu bölümde LC-helisleri tanıtaca˘gız (LC helisler Prof. Dr. H.H. Hacısaliho˘glu tarafından isimlendirilmi¸stir). Bu helislerin özeliklerini inceleyece˘giz.

5.1 Uzay Formunda LC Helisler ve Karakterizasyonları

Tanım 5.1.1. Bir γ (s) e˘grisi boyunca tanımlanan V Killing vektör alanıyla e˘grinin te˘geti arasındaki açı her noktada sıfırdan farklı sabit bir açıya e¸sitse γ e˘grisine genel helis denir (Barros 1997).

Tanım 5.1.2. Eⁿ de α : I → Eⁿ parametre e˘grisi boyunca bir X vektör alanı için

.

X= dX dt = 0

ise X vektör alanına α e˘grisi boyunca Öklid anlamında paraleldir denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 5.1.3. Eⁿ⁺¹ de bir hiperyüzey M ve M üzerinde bir parametre e˘grisi α: I → M olsun. α e˘grisi boyunca M ye te˘get olan bir X diferensiyellenebilir vektör alanı için

X^ = 0

ise bu X vektör alanına Levi-Civita anlamında paraleldir denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 5.1.4. M(c) 3 boyutlu kesitsel e˘grili˘gi c olan sabit uzay formu ve α : I → M e˘grisi verilsin. V , M de Levi-Civita anlamında birim paralel vektör alanı olsun.

∀s ∈ I için,

T, V  = cos θ

oluyorsa , α ya M de bir LC helis denir. E˘ger, M uzay formunda c = 0 , alırsak

uzay formumuz M(c) = E³ ⊂ E⁴ olur. E³ de α e˘grisini gözönüne alalım. V sabit oldu˘gundanV = 0 olur.^.

V^ =V^. − _. V , N

 N

e¸sitli˘ginden V^ = 0 olur.Bu ise, V nin α e˘grisi boyunca Levi-Civita anlamında paralel vektör alanı oldu˘gunu gösterir. Öklid anlamındaki helisler ile LC-helisler özel durumda çakı¸sır. ¸Simdi Lancert teoremini LC helisler için genelle¸stirelim.

Teorem 5.1.1. M(c) ,E⁴de bir uzay formu(veya hiper yüzey) olsun.

α, M(c) üzerinde LC helistir ⇔ κ

τ = sbt dir.

˙Ispat: α , M(c) de LC helis ise V Levi-Civita paralel birim vektör alanı vardır.

T, V  = cos θ

türev alırsak,

türev alırsak,

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER. Ali ŞENOL ANKARA Her hakkı saklıdır (sayfa 15-0)