Darboux Helislerinin Küresel Göstergeleri

Tanım 3.4.1. (Öklid anlamında genel helisler) E³ uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α e˘grisinin te˘get do˘grultuları sabit bir do˘grultu ile sabit açı yapıyorsa α e˘grisine genel helis denir. Sabit do˘grultuya genel helisin ekseni denir.

Teorem 3.4.1. E³de α e˘grisi Öklid anlamında helistir ⇔ σ(s) = ^τ_κ fonksiyonu her noktada sabittir.

˙Ispat: α nın küresel te˘getler göstergesi (T ) nin parametresi sT ve birim te˘get vetörü TT olsun. (T ) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi κT olsun.

α(sT) = T dα

ds_T = dT ds

ds ds_T dα

dsT

= κN ds dsT

T_T = dα dsT

= κN ds dsT

TT = κN ds ds_T Her iki tarafın normunu alalım,

T^T =

$$

$$κN ds dsT

$$

$$

1 = κ ds dsT

ds ds_T = 1

κ TT = N T_T(s_T) = N(s)

dir.

Buradan norma geçersek, (T ) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κT =$ ve S² için birim normal vektör alanı T olaca˘gından

D_T^TT_T = ∇^TT^TT − T

dir. (T ) nin S² deki geodezik e˘grili˘gi

κg = τ κ

dir. (T ) nin küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır. Çemberin 1. e˘grili˘gi sabit oldu˘gundan κT =sbt buradanda κg =sbt elde edilir.

κ_g = τ

κ = σ(s) dersek

σ(s) = τ κ

sabit fonksiyonu elde edilir tersi de do˘grudur ve ispat tamamlanır.

Tanım 3.4.2. (Yatık (Slant) helisler) E³uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α e˘grisinin asli normal do˘grultuları sabit bir do˘grultu ile sabit açı yapıyorsa α e˘grisine yatık (slant) helis denir. Sabit do˘grultuya da yatık (slant) helisin ekseni denir.

Teorem 3.4.2. E³ uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. Bu durumda, α e˘grisi yatık (slant) helistir

⇔ σ(s) = _(κ²_+τ^κ22₎³

2

_τ

κ



sabit bir fonksiyondur (Yaylı 2005).

˙Ispat: α nın küresel asli normaller göstergesi (N) nin parametresi sN ve birim te˘get vetörü TN olsun. (N) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gine κN dersek,

α(sN) = N (s) dα

ds_N = dN ds

ds ds_N T_N = dα

dsN = (−κT + τ B) ds dsN

Her iki tarafın normunu alalım.

T^N =

$$

$$(−κT + τ B) ds ds_N

$$

$$

1 = W  ds Buradan da (c) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κ_N =

olarak hesaplanır. Gauss dönü¸sümünden,

D_T^T_N^N = ∇^TT^Nn − s(T^N), TN N^N(s)

dir.

elde edilir. O halde, S²deki αN nin geodezik e˘grili˘gi σ(s) ile verilebilir. Böylece asli normallerinin (N) nin S²deki küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır.

Çemberin 1. e˘grili˘gi sabit oldu˘gundan κN =sbt buradanda κg =sbt elde edilir.

κ_g = κ²

sabit fonksiyonu elde edilir ve ispat tamamlanır.

Teorem 3.4.3. α Yatık helis , α nın te˘getlerinin küresel göstergesi (T ), küre-sel helistir (Yaylı 2005).

Teorem 3.4.4. α Yatık helis , α nın binormallerinin küresel göstergesi (B), küre-sel helistir (Yaylı 2005).

Tanım 3.4.3. (Sabit Dalgalanmalı (precessionlu) e˘griler) E³uzayında α birim hızlı e˘gri olsun. α nın w = τT +κB Darboux vektörü uzayda sabit bir do˘gru etrafında sabit açı ve sabit hız ile dönerek hareket ediyorsa bu e˘griye Sabit Dalgalanmalı (precessionlu) e˘gri denir. Burada, κ ve τ α e˘grisinin e˘grilik ve burulmasıdır.

{T, N, B} α e˘grisinin Frenet vektör alanlarının bir bazıdır. Sabit precessionlu bir e˘gri ,

κ(s) = 8 sin µs τ(s) = 8 cos µs

ile karakterize edilir. Burada, 80 ve 8, µ sabitlerdir (Scofield 1995).

Teorem 3.4.5. α sabit dalgalanmalı e˘gridir. ⇒ α yatık helistir (Yaylı 2005).

Tanım 3.4.4. (Darboux helisleri) α e˘grisi Öklid anlamında _τ

κ = 0

helis ol-mayan regüler bir e˘gri olsun.

c(s) = τ T + κB

√τ²+ κ²

Darboux vektörünü tanımlayalım. Her noktada c(s) ile sabit açı yapan sabit bir do˘grultu var ise bu tür α e˘grilerine Darboux helisi denir.

Teorem 3.4.6. α e˘grisi Darboux helistir ⇔ σ^∗(s) = (τ²+ κ²)³² κ²

"τ1

κ

#
fonksiyonu her noktada sabittir.

˙Ispat: (c) nin parametresi s_c ve birim te˘get vetörü Tc olsun. (c) nin E³ deki geo-dezik e˘grili˘gi κc olsun.

α(sc) = c (s) = τ

√τ²+ κ²T + κ

√τ²+ κ²B

α(sc) = sin ΦT + cos ΦB dα

dsc

= dc ds

ds dsc

dα ds_c =

Φ
cos ΦT − Φ
sin ΦB + κ sin ΦN − τ cos ΦN ds ds_c Tc= dα

ds_c = (Φ^cos ΦT − Φ^sin ΦB) ds ds_c

T^c = Buradan da (c) nin E³ deki geodezik e˘grili˘gi,

κ_c=

olarak hesaplanır. Gauss dönü¸sümünden,

D^T_Tc^c = ∇^TT^cc − s(T^c), Tc c(s)

dir.

(c) nin küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır. Çemberin 1. e˘grili˘gi sabit oldu˘gundan κc =sbt buradan da κg =sbt elde edilir.

κg = (κ²+ τ²)³₂ sabit fonksiyonu elde edilir ve ispat tamamlanır.

Teorem 3.4.7. Öklid anlamındaki helislerin Darboux vektörlerinin küresel göstergeleri noktadır.

˙Ispat: α Öklid anlamında bir helis olsun, c(s) = τ T + κB

c(s) = 1

1 + λ² (λT + B)

c
(s) = 1

1 + λ²(λκN − τ N) λ= _κ^τ yerine yazılırsa

c
(s) = 0 c(s) = sbt

noktanın küresel göstergesi de yine noktadır. 1. ve 2. e˘griliklerden bahsede-meyiz geodezik e˘grili˘gi yoktur.

κ_g = (κ²+ τ²)³₂ κ²

_τ1

κ


= σ^∗(s)

formulünden açıktır ki helis olmayan e˘griler için daima mevcuttur bu da yukarıdaki yaptı˘gımız i¸slemlerle çakı¸sır.

Lemma 3.4.1. α : I → E³ e˘grisi için^κ_τ = sbt olsun

α yatık helistir. ⇒ α Darboux helisidir.

˙Ispat: α yatık helis ise σ(s) = κ² (κ² + τ²)³₂

 τ κ



α Darboux helis σ^∗(s) = (τ² + κ²)³² κ²

"τ1

κ

#
oldu˘gundan

σ(s)σ^∗(s) = sbt

σ(s) = sbt ⇔ σ^∗(s) = sbt ispat tamamlanır.

4. UZAY FORMLARINDA BERTRAND Ç˙IFTLER˙I

4.1 Bertrand Çifti

Tanım 4.1.1. M(c), 3-boyutlu uzay formu olsun. (I, α), (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilen e˘grilerin s ∈ I daki Frenet vektörleri, sırasıyla, {T, N, B} ve {T^∗, N^∗, B^∗} olsun. ¸Sayet {N, N^∗} lineer ba˘gımlı ise (α, β) e˘gri ikilisine birBertrand çifti denir.

Teorem 4.1.1. (I, α), (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilen (α, β) e˘gri çifti Bertrand çiftidir

⇔ ∀s ∈ I için d (α(s), β(s)) = β(s) − α(s) = sbt dir.

˙Ispat.

β(s) = α(s) + λN yazabiliriz.∇^Tβ(s) = ∇^Tα(s) + λ∇^TN(s) , ∇^Tα(s) = α
(s) = T ,∇^TN(s) = N
diyelim,

αnın yay parametresi s

βnın yay parametresi s^∗olsun.

d

ds^∗β(s)ds^∗

ds = T + λN
+ λ
N T^∗ds^∗

ds = T + λ(−κT + τ B) + λ
N {N, N^∗} lineer ba˘gımlı ise λ
= 0 ⇒ λ sbt olur.

Teorem 4.1.2. α, β e˘grileri (I, α), (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilsin. α nın e˘grilik ve burulması κ ve τ olmak üzere,

(α, β) e˘gri çifti Bertrand çiftidir ⇔ ∃λ, µ ∈ R için λκ + µτ = 1

˙Ispat. (⇒) α(s) ve β(s) noktalarında α ve β nın Frenet vektörleri, sırasıyla, {T, N, B} ve {T^∗, N^∗, B^∗}olsun. Buna göre T^∗ ile T arasındaki açı θ olmak üzere,

T^∗(s) = cos θ T (s) + sin θ B(s)

T^∗ = aT + bN + cB

Her iki taraf N ile iç çarpılırsa T^∗, N = b elde edilir.

N^∗ = λN (lineer ba˘gımlı oldu˘gundan)

N = 1

λN^∗

T^∗, N = b (

T^∗,1 λN^∗

)

= b 1

λT^∗, N^∗ = b

T^∗, N^∗ = λb = 0 b = 0

T^∗ = aT + cB, T^∗ birim vektör, a = cos θ, b = sin θ alınırsa

T^∗, T = a = cos θ

T^∗, B = c = sin θ

T^∗(s) = cos θ T (s) + sin θ B(s)

yazılabilir. Türev almak suretiyle, d

dsT^∗(s) = d

ds^∗T^∗ds^∗

ds = κ^∗N^∗ds^∗ ds

= ds^∗

ds κ^∗N^∗ = cos θ T
(s) + sin θ B
(s) (4.1.1) ds^∗

dsκ^∗N^∗ = cos θ κN + sin θ (−κN) + d

dscos θ T (s) + d

ds sin θ B(s) elde edilir. {N^∗, N} lineer ba˘gımlı oldu˘gundan N^∗ = λN yazılabilir. (1) e¸sitli˘gini T ile çarparsak

0 = d

ds cos θ 0 = − sin θ.θ

olur. Benzer ¸sekilde (1) ifadesi B ile çarpılırsa

0 = cos θ.θ
θ
= 0

θ = sbt

bulunur. Buna göre,

T^∗ = cos θ T + sin θ B β(s) = α(s) + λN

∇^Tβ(s) = ∇^Tα(s) + λ∇^TN(s) β
(s) = T + λ(−κT + τB) T^∗ds^∗

ds = (1 − λκ)T + λτB T^∗ = ds

ds^∗(1 − λκ)T + ds ds^∗λτ B T^∗ = cos θ T + sin θ B

cos θ = ds

ds^∗(1 − λκ) sin θ = ds

ds^∗λc 1 − λκ

cos θ = λτ sin θ 1 − λκ

λτ = cot θ 1 − λκ = λ cot θ τ λ cot θ τ + λκ = 1

µ= λ cot θ yazarsak

λκ+ µτ = 1 sonucu elde edilir.

(⇐) ¸Sartın yeterlili˘gi, gerek ¸sartın ispatındaki i¸slemlerin tersi takip edilerek yapıla-bilir.

4.2 Uzay Formlarında Bertrand E˘gri Çiftleri ˙Ile ˙Ilgili ˙Iki Teorem

Teorem 4.2.1. M, kesitsel e˘grili˘gi c olan 3-boyutlu uzay form olsun. γ, M üzerinde regüler e˘gri olsun. γ, Bertrand çiftine sahip olan ve Bertrand çiftinin te˘get vektörü ile ekseni ortonormal olmayan genel bir helistir ⇔ γ nın e˘grilik ve burulması sabittir.

˙Ispat. (⇒)Kabul edelim ki (I, α) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilen e˘grimizin Bertrand çifti (I, β) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilsin. E˘grimizin te˘geti ile Bertrand çiftinin te˘getiyle yaptı˘gı açı θ ve helis ekseni ile yaptı˘gı açı ϕ olsun. T^∗(s) ve Z(s) sırasıyla, β nın birim te˘geti ve α nın ekseni ise

T^∗(s) = cos θ T + sin θ B Z(s) = cos ϕ T + sin ϕ B

oldu˘gunu biliyoruz. E˘grimiz helis e˘grisi ise

τ = bκ + a (b = cot ϕ , a² = c) (4.1.2)

dir. Ayrıca e˘grimizin Bertrand çifti var ise

λκ+ µτ = 1 (4.1.3)

olacak ¸sekilde λ, µ ∈ R vardır. Burada µ = λ cot θ dır. Böylece (2) ve (3) den,

κ= 1 − µa

λ+ µb , τ = λa+ b λ+ µb elde edilir. Burada µ = λ cot θ ve b = cot ϕ oldu˘gundan

κ = 1 − λa cot θ λ(1 + cot ϕ cot θ) τ = λa+ cot ϕ

λ(1 + cot ϕ cot θ)

elde edilir. Burada T^∗ ile Z ortonormal olmadı˘gından

1 + cot ϕ cot θ = 0

dır. Ayrıca λ, a, ϕ, θ de˘gerleri sabit oldu˘gundan κ ve τ de˘gerleri sabittir.

(⇐) Kabul edelim ki (I, γ) koordinat kom¸sulu˘gu ile verilmi¸s olan e˘grimizin κ ve τe˘grilikleri sabit olsun. Bu durumda

Z(s) = −κT + τB√ κ²+ τ²

olarak tanımladı˘gımız vektör alanı e˘grimizin Killing vektör alanıdır. Gerçekten,

∇^TZ = −√

olur. M. Barros’da Killing vektör alanı olmak ¸sartlarında bu e¸sitsizlikleri yerine yazarsak

elde edilir ki bu da Z nin Killing vektör alanı oldu˘gunu gösterir. Burada

Z, T  = − κ

olur. κ ve τ sabit oldu˘gundan θ da sabittir. Böylece γ bir helistir. Ayrıca β e˘grisini

β(s) = γ(s) + 1 κN(s)

olarak tanımlayalım. Kabul edelim ki β nın yay parametresi s^∗ olsun. Burada γyönünde türev alırsak

β
(s) = T^∗ds^∗

ds = T + 1

κ (−κT + τB) ve

T^∗ds^∗ ds = τ

κB olur. Burada,

ds^∗ ds = τ

κ

ve T^∗ = B oldu˘gu görülür. (T^∗ , B birim vektör katsayıları aynı olur.) T^∗ = B den tekrar türev alırsak,

κ^∗N^∗ds^∗

ds = −τ N

olur. Böylece, {N^∗, N} nin lineer ba˘gımlı oldu˘gu görülür. ({N^∗, N} lineer ba˘gımlı Bertrand çiftidir). Dolayısıyla γ ile β e˘grileri Bertrand çiftleridir.

Teorem 4.2.2. M, kesitsel e˘grili˘gi c olan 3-boyutlu uzay formu olsun. γ Bertrand çiftine sahip ve γ nın Bertrand çiftinin te˘get vektörü ile ekseni ortonormal olan genel bir helistir ⇔ A¸sa˘gıdaki e¸sitlik sa˘glanır.

λκ+ τ

√c = 1.

Burada λ, γ nın Bertrand çifti ile γ arasındaki uzaklıktır ve λ sabittir. 

ϕ− θ = ^π2



˙Ispat. Kabul edelim ki γ genel helis, Bertrand çifti var ve helis ekseniyle Bertrand çiftinin te˘geti dik olsun. γ nın Frenet vektörleri T, N, B ve γ nın Bertrand çifti olan β nın Frenet vektörleri T^∗, N^∗, B^∗ olsun. Ayrıca γ nın ve β nın e˘grilikleri de, sırasıyla, κ, τ ile κ^∗, τ^∗ olsun. T ile T^∗ arasındaki açıya θ, e˘grinin ekseni Z(s) olmak üzere T

ile Z arasındaki açıya ϕ diyelim.Dolayısıyla,

T^∗ = cos θ T + sin θ B (4.1.4)

olur. Burada ϕ = ^π₂ + θ oldu˘gundan

Z = − sin θ T + cos θ B (4.1.5)

olur. Burada θ sabit bir açıdır. (4.1.5) den

∇^TZ = −(κ sin θ + τ cos θ)N

olur. Ayrıca e˘grimizin Bertrand çifti oldu˘gunda λ = d(α, β) ve µ = λ cot θ için 1 − λκ

cos θ = λτ sin θ ve

κsin θ + τ cos θ = sin θ

λ (sbt) olur. Böylece,

∇^TZ = −sin θ

λ N (4.1.6)

olur. Tekrar türev alırsak

∇²TZ = −sin θ

λ (−κT + τ B)

∇³TZ = −sin θ λ

*−

κ²+ τ²

N − κ
T + τ
B+

olur. Killing vektör alanı olma ¸sartlarını sa˘glatırsak

∂ϕ

∂z





z=0

=

∇^TZ, T ϕ= 0

∂κ²

∂z





z=0

= 2κ

∇²TZ, N

− 4κ²

∇^TZ, T

+ 2cκ Z, N = 0

oldu˘gu görülür. Ayrıca olur. Bu e¸sitli˘gi düzenlersek

∂τ²

elde edilir. Ayrıca γ nın Bertrand çifti olmasından

λκ+ µτ = 1 elde edilir. (8) ifadesini (7) de yerine yazarsak

∂τ²

elde edilir. κ sabit de˘gilse κ¹ da sabit de˘gildir. Dolayısıyla κ¹ = 0 dır. Ayrıca Z vektör alanı Killing vektör alanı ise

∂τ²

olur. Buradan

cot θ = 1 λ√c elde edilir. E˘grimiz Bertrand çifti oldu˘gundan

λκ+ λ cot θ τ = 1

e¸sitli˘gini sa˘glar. cot θ = _λ^√1_c oldu˘gundan

λκ+ τ

√c = 1

e¸sitli˘gi sa˘glanır.

(⇐) Kabul edelim ki γ e˘grisi için

λκ+ τ

√c = 1

e¸sitli˘gi sa˘glansın. Teorem (*) dan e˘grimizin Bertrand çifti oldu˘gu görülür. Bu e˘gri helis e˘grisi midir?

Z(s) = − λ√

 c

1 + cλ²T + 1

1 + cλ²B vektör alanını tanımlayalım Böylece,

∇^TZ =

olur. Tekrar türev alırsak

∇²TZ = −

elde ederiz. Bu e¸sitlikleri Killing vektör alanı olma ¸sartlarıyla ilgili denklemlerde

yerlerine yazarsak

oldu˘gu kolayca görülür. ∂τ²

∂z olur. Her iki tarafın türevini alırsak

 τ

elde edilir. Dolayısıyla γ e˘grisi ekseni Z olan bir helistir.

5. UZAY FORMLARINDA LC HEL˙ISLER

Bu bölümde LC-helisleri tanıtaca˘gız (LC helisler Prof. Dr. H.H. Hacısaliho˘glu tarafından isimlendirilmi¸stir). Bu helislerin özeliklerini inceleyece˘giz.

5.1 Uzay Formunda LC Helisler ve Karakterizasyonları

Tanım 5.1.1. Bir γ (s) e˘grisi boyunca tanımlanan V Killing vektör alanıyla e˘grinin te˘geti arasındaki açı her noktada sıfırdan farklı sabit bir açıya e¸sitse γ e˘grisine genel helis denir (Barros 1997).

Tanım 5.1.2. Eⁿ de α : I → Eⁿ parametre e˘grisi boyunca bir X vektör alanı için

.

X= dX dt = 0

ise X vektör alanına α e˘grisi boyunca Öklid anlamında paraleldir denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 5.1.3. Eⁿ⁺¹ de bir hiperyüzey M ve M üzerinde bir parametre e˘grisi α: I → M olsun. α e˘grisi boyunca M ye te˘get olan bir X diferensiyellenebilir vektör alanı için

X^ = 0

ise bu X vektör alanına Levi-Civita anlamında paraleldir denir (Hacısaliho˘glu 2004).

Tanım 5.1.4. M(c) 3 boyutlu kesitsel e˘grili˘gi c olan sabit uzay formu ve α : I → M e˘grisi verilsin. V , M de Levi-Civita anlamında birim paralel vektör alanı olsun.

∀s ∈ I için,

T, V  = cos θ

oluyorsa , α ya M de bir LC helis denir. E˘ger, M uzay formunda c = 0 , alırsak

uzay formumuz M(c) = E³ ⊂ E⁴ olur. E³ de α e˘grisini gözönüne alalım. V sabit oldu˘gundanV = 0 olur.^.

V^ =V^. − _. V , N

 N

e¸sitli˘ginden V^ = 0 olur.Bu ise, V nin α e˘grisi boyunca Levi-Civita anlamında paralel vektör alanı oldu˘gunu gösterir. Öklid anlamındaki helisler ile LC-helisler özel durumda çakı¸sır. ¸Simdi Lancert teoremini LC helisler için genelle¸stirelim.

Teorem 5.1.1. M(c) ,E⁴de bir uzay formu(veya hiper yüzey) olsun.

α, M(c) üzerinde LC helistir ⇔ κ

τ = sbt dir.

˙Ispat: α , M(c) de LC helis ise V Levi-Civita paralel birim vektör alanı vardır.

T, V  = cos θ

türev alırsak,

∇^TT, V +

T,∇^VT

= 0

∇^TT, V

= 0 κN, V  = 0 κ= 0 oldu˘gundan,

N, V  = 0 tekrar türev alırsak

∇^NT, V +

N,∇^VT

 = 0

−κT + τB, V  = 0

−κT, V  + τ B, V  = 0

V , {T, B} nin gerdi˘gi düzlemde oldu˘gundan,

−κ cos θ + τ sin θ = 0

κ

τ = sin θ

cos θ = (sbt) (⇐) ^κ_τ = sbt _{sin θ}

cos θ

olsun

V = cos θ T + sin θ B Levi-Civita paralel birim vektör alanıdır. Gerçekten,

V^ = ∇^VT = cos θ ∇^TT + sin θ ∇^BT

V^ = (κ cos θ − τ sin θ ) N

V^ = 0 dır. V Levi-Civita paralel birim vektör alanıdır. Bu yüzden, α , M (c) de Helistir. LC helis ile M.Barros anlamında helis arasındaki ili¸skiyi verelim.

Lemma 5.1.1.

α, M uzay formu(veya hiper yüzey) üzerinde bulunan bir e˘gri olsun.

α,M.Barros anlamında helis ve κ =sabit (veya τ =sabit) ise α , M(c) de LC helistir.

˙Ispat: α , M.Barros anlamında helis ise τ = bκ+a olacak ¸sekilde a, b ∈ R, sabitleri vardır. κ = sbt oldu˘gundan τ = sbt olur buradan,^κ_τ = sbt olaca˘gından α Teorem 5.1.1 den , M(c) de LC helistir.

Lemma 5.1.2.

α, M uzay formu(veya hiper yüzey) üzerinde bulunan bir e˘gri olsun.

α,M.Barros anlamında helis ve a = 0 ise α , M(c) de LC helistir.

˙Ispat: α , M.Barros anlamında helis ise τ = bκ+a olacak ¸sekilde a, b ∈ R sabitleri vardır. a = 0 ise τ = bκ dır. Buradan da, ^κ_τ = b = sbt olaca˘gından α , M(c) de LC anlamında helistir.

Sonuç 5.1.1: M(c) 3-boyutlu kesitsel e˘grili˘gi c olan sabit uzay formunda c = 0 alırsak

M nin E³ Öklid uzayı olması demektir. M(c) = E³ ⊂ E⁴ M(c) deki Barros an-lamında helis tanımı ile LC helis aynıdır.

Teorem 5.1.2. M(c) n- boyutlu kesitsel e˘grili˘gi c olan sabit uzay formunda α geodezik e˘gri ise α , M de LC helistir.

˙Ispat: V = T alalım, V, T = 1 = cos θ θ = 0 olup θ sabittir. Ayrıca,

∇^TV = V^ =V^. − _. V , N

 N

= d²α ds² −

(d²α ds², N

) N

yazılabilir. α geodezik ise d²α

ds² = λN dir.

∇^TV = V^ = d²α ds² −

(d²α ds², N

) N

= λN − λN, N N

= λN − λN = 0

V^ = 0 oldu˘gundan V Levi-Civita anlamında birim paralel vektör alanıdır. Buna göre α LC helistir.

Teoremin tersi, α dairesel helis ise do˘grudur. α dairesel helis ise τ = 0 dır. ∇^BT =

−τN = 0 olur.

α, LC helis ise ∇TV = ∇^T(cos θ.T + sin θ.B) = 0

cos θ ∇^TT + sin θ ∇^BT = 0

∇^BT = 0, oldu˘gundan ∇^TT = 0 elde edilir. Bu ise α nın geodezik olması demektir.

Teorem 5.1.3. M (c), kesitsel e˘grili˘gi c olan 3−boyutlu sabit uzay formu α: I → M (c) LC helis e˘grisidir ⇔ det (∇^TB,∇^T∇^TB,∇^T∇^T∇^TB) = 0 dır.

˙Ispat.(⇒) LC helis olsun. Bu durumda Teorem 5.1.1 den

κ

oldu˘gundan

 κ τ



= 0 dır.

κ τ = sbt ise

α: I → M (c) L.C helis olur.

Teorem 5.1.4. M (c), kesitsel e˘grili˘gi c olan 3−boyutlu sabit uzay formu

X : I → M (c) LC helis e˘grisidir ⇔ det

∇^T∇^TX,∇³TX,∇⁴TX

= 0 dır.

˙Ispat:

X : I → M (c) e˘grisinde,

X = 1.X

∇^TX = T

∇^T∇^TX = ∇^TT = κN

∇^T∇^T∇^TX = −κ²T + κ^.N + κτ B

∇^T∇^T∇^T∇^TX = −3κκ^.T +

−κ³− κτ²+ κ^..

N + (2κ^.τ+ κτ^.) B {T, N, B} baz vektörlerinin karma çarpımı determinantla verilebilir.

det

∇²TX,∇³TX,∇⁴TX

=











0 κ 0

−κ² κ
κτ

−3κκ
−κ³ − κτ²+ κ^.. 2κ^.τ + κτ^.











determinant açılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa,

det

∇²TX,∇³TX,∇⁴TX

= κ⁵ κ τ



elde edilir. X : I → M (c) LC helis oldu˘gundan, κ

τ = sbt

 κ τ



= 0 det

∇²TX,∇³TX,∇⁴TX

= 0 (⇐) E˘ger,

det

∇²TX,∇³TX,∇⁴TX

= 0 κ = 0 ,  τ

κ



= 0 burdan da τ

κ = sbt elde edilir. Buradan da X : I → M (c) LC helis oldu˘gu görülür.

5.2 n-boyutlu Uzay Formlarında E˘gilim Çizgileri (LC helisler) ve Karakterizasyonları

M(c) ⊂ Eⁿ kesitsel e˘grili˘gi c olan uzay formu(veya hiper yüzey) olsun. α : I → M(c) e˘grisinin birim te˘get vektör alanı v1ve X ∈ χ(M) Levi-Civita anlamında birim paralel vektör alanı olsun. E˘ger,

p∈ α ⊂ M(c)

v1, X = sbt = cos ϕ

ise α e˘grisine M (c) sabit uzay formunda e˘gilim çizgisi, ϕ açısına e˘gilim açısı ve Sp{X} uzayına da α nın e˘gilim ekseni denir. M (c) uzay formunda bir e˘griyi e˘gilim çizgisi olarak karakterize etmek için n=3 halinde

H1 = κ τ

olarak bilinen harmonik e˘grilik kavramını , M (c) deki bir e˘gri için yüksek mertebe-den harmonik e˘grilik kavramına genelle¸stirece˘giz.

Tanım 5.2.1. (Yüksek mertebeden harmonik e˘grilikler)

α ∈ M (c) e˘grisi {(I, α)} atlası ile verilsin. s ∈ I, α nın e˘grilik fonksiyonları, sırasıyla, κ1, κ2, ....κ_n−1olsun.α birim te˘get vektör alanı v1 olmak üzere,

H_i : I → R

H_i =





κ1

κ2, i= 1

,∇^Hv1ⁱ⁻¹+ H_i−2κi

-._κi+1¹ , ...1i ≤ n − 2





¸seklinde tanımlı Hifonksiyonuna α nın i-yinci mertebeden harmonik e˘grilik fonksi-yonu denir. E˘gilim çizgilerinin harmonik e˘grilik fonksiyonları için a¸sa˘gıdaki teoremi verebiliriz.

Teorem 5.2.1. M (c) ⊂ Eⁿ⁺¹ kesitsel e˘gri˘gi c olan uzay formu olsun. α : I → M(c) e˘grisinin birim te˘get vektör alanı v1ve X ∈ χ(M) Levi-Civita anlamında birim paralel vektör alanı olsun. α nın M deki n-ayaklısı {v1, v₂, ...v_n} , harmonik e˘grilikleri de H1, H2, ....H_n−2 olmak üzere,

vⁱ⁺², X = Hⁱ.v¹, X , 1 < i ≤ n − 2 dir.

˙Ispat:

X = λ₁v₁+ λ₂v₂+ ... + λ_nv_n

X, v¹ = λ¹ = cos θ

∇^v1X, v₁ +
X,∇^vv¹1

= 0

X
= 0 oldu˘gundan,

X, κv² = 0 burdan κ = 0 oldu˘gundan

X, v² = 0 elde edilir. Tekrar türev alınırsa

 X
, v2

+
X,∇^vv²1

= 0

X
= 0 oldu˘gundan,

X, −κ¹v1+ κ2v3 = 0 ve

−κ¹X, v¹ + κ²X, v³ = 0 ifadesi düzenlenirse,

λ₃ = κ1

κ₂.cos θ H1 = κ1

κ₂

v3, X = H1cos θ

v³, X = H¹v¹, X

i=1 için ispat tamamlanmı¸s olur. Tümevarımla i-için ispat edelim i-1 için teorem do˘gru oldu˘gundan

vⁱ⁺¹, X = Hi−1v¹, X kovaryant türev alınırsa,

∇^vvⁱ⁺¹1 , X +

X
, vi+1

= ∇^Hv1ⁱ⁻¹.v¹, X

−κⁱv_i+ κi+1v_i+2, X = ∇^Hv1ⁱ⁻¹.v¹, X ifade açılıp düzenlenirse,

−κⁱvⁱ, X + κⁱ⁺¹vⁱ⁺², X = ∇^Hv1ⁱ⁻¹.v¹, X

vi+2, X = 1

κ_ivi, X + ∇^Hv1ⁱ⁻¹.v1, X 1 κi+1

2 . Burada tümevarım hipotezindeki

vⁱ, X = Hi−2v¹, X

yerine yazılırsa,

vⁱ⁺², X =,

κiH_i−2+ ∇^Hv1ⁱ⁻¹.- 1

κi+1v¹, X

vⁱ⁺², X = Hⁱv¹, X ispat tamamlanmı¸s olur.

Teorem 5.2.2. M (c) ⊂ Eⁿ⁺¹ α∈ M (c) e˘grisinin Frenet n-ayaklısı {v1, v₂, ...v_n} , harmonik e˘grilikleri de H1, H2, ....H_n−2 olmak üzere,

α∈ M (c) de bir e˘gilim çizgisidir” ⇒ n−2

i=1

H_i² = sbt dir.

˙Ispat: α bir e˘gilim çizgisi olsun

v¹, X = cos ϕ = sbt

teorem gere˘gince

vⁱ⁺², X = Hⁱv¹, X . Ayrıca,

v1, X = sbt

∇^vv¹1, X +

X
, v₁

= 0

κv², X = 0

v², X = 0

{v¹, v2, ...vn} ortonormal sistemi χ(M) in bir ortonormal bazı olaca˘gından χ∈ Sp{v1, v₂, ...v_n}

veya X =3ⁿ

i=1 vi, X vi

yazılabilir. Yukarıdaki vi, X de˘gerleri yerine v¹, X = cos ϕ, v², X = 0,

v³, X = H¹cos ϕ alınırsa

X = cos ϕ.v1+

n−2

j=1

Hj.cos ϕ.vj+2

elde edilir. X ∈ X(M) Levi-Civita anlamında birim paralel vektör alanı ve X = 1 oldu˘gundan

cos²ϕ.+ n−2

j=1

H_j².cos²ϕ= 1

n−2 j=1

H_j² = tgϕ = sbt

n−2 j=1

H_j² = sbt

n−2 j=1

H_i² = sbt ispat tamamlanmı¸s olur.

Sonuç 5.2.1. Bir LC helis e˘grisinin e˘gilim ekseni X ise

X = λ1v₁+ λ2v₂+ ... + λnv_n

¸seklinde yazabiliriz. Burada,

λ_i = X, vⁱ = Hi−2v¹, X

burada,

v1, X = sbt = 0 = cos ϕ X = cos ϕ(v₁+ H₁v₃+ ... + H_n−2v_n) olur.

W = v1+ H1v3+ ... + H_n−2vn

dersek. Böylece α e˘grisinin e˘gilim eksenini,

X = W

W  = v₁+ H1v₃+ ... + H_n−2v_n

v¹+ H1v₃+ ... + H_n−2v_n olarak bulabiliriz. Burada,

“ X LC paralel vektör alanıdır”⇔“ W LC paralel vektör alanıdır” önermesini ko-layca ispatlayabiliriz.

Teorem 5.2.3. M (c) ⊂ Eⁿ⁺¹ kesitsel e˘grili˘gi c olan uzay formu olsun.

α: I → M(c) e˘grisi n-mertebeden regüler e˘gri{v¹, v2, ...vn} Frenet vektörleri k¹, k2, ....k_n−1 de e˘grinin e˘grilikleri olsun. Bu durumda,

“ α bir LC helistir ” ⇔ “ W = v¹+ H1v3+ ... + H_n−2vn olmak üzere W, LC paralel vektör alanıdır.”

˙Ispat:(⇐) W = v¹ + H1v₃ + ... + H_n−2v_n LC paralel vektör alanı oldu˘gundan

W  = sbt

X= W

W  = 1

W .W

LC paralel vektör alanı olur. (W , LC olup W nın katı da LC dir)

X, v¹ = 1

W  = sbt , X = 1 α bir LC helistir.

(⇒) α bir L.C helis olsun. α nın ekseni

X = λ₁v₁+ λ₂v₂+ ... + λ_nv_n

olsun,

λ1 = v¹, X = sbt ⇒ X
= 0 olacak olacak ¸sekilde X LC vektör alanı vardır.

∇^vv¹1, X +

X
, v₁

= 0

κ¹v2, X = 0 λ2 = v², X = 0

X, v² = 0 tekrar türev alırsak,



X
, v₂ +

X,∇^vv²1

= 0

X, −κ¹v₁+ κ2v₃ = 0

λ3 = v³, X = H¹v¹, X = H¹cos ϕ λi = vⁱ, X = Hi−2v¹, X ve

X = cos ϕ(v1+ H1v₃+ ... + H_n−2v_n)

elde edilir.

X = cos ϕ.W

X LC paralel vektör alanı oldu˘gundan X
= 0 ve cos ϕ = sbt oldu˘gundan

X
= cos ϕ.W

W
= 0

W, v¹ = 1 = sbt ve W
= 0 W LC paralel vektör alanıdır.

Teorem 5.2.4. M (c) ⊂ Eⁿ kesitsel e˘grili˘gi c olan uzay formu olsun. α : I → M(c) e˘grisi n-mertebeden regüler e˘gri olmak üzere.

“ α e˘grisi LC helistir ⇒ n−2

i=1

H_i² = sbt tir.”

Bu teoremin ispatı verildi. Böylece M (c) deki e˘gilim çizgileri için yeni bir karakter-izasyon verebiliriz.

Teorem 5.2.5. M (c) ⊂ Eⁿ kesitsel e˘grili˘gi c olan uzay formu olsun. α : I → M(c) e˘grisi n-mertebeden regüler e˘gri olsun. Bu durumda,

α e˘grisi LC helistir ⇔ V1[H_n−2] + k_n−1H_n−3 = 0

dır.

˙Ispat:

W = v₁+ H₁v₃+ ... + H_n−2v_n V₁[H_i−1] = −kⁱH_i−2+ ki+1H_i buradan da

Dv1W = ...

i= 1 için − k¹v₁

i= 2 için + (−k²H₀+ k3H₂) v3+ H1(−k²v₂+ k3v₄) i= 3 için + (−k³H1+ k4H3) v4+ H2(−k³v3+ k4v5) i= 4 için + (−k⁴H2+ k5H4) v5+ H3(−k⁴v4+ k5v6)

. . .

i = n − 3 için + (−kn−3H_n−5+ k_n−2H_n−3) v_n−2+ H_n−4(−kn−3v_n−3+ k_n−2v_n−1) i = n − 2 için + (−kn−2H_n−4+ k_n−1H_n−2) v_n−1+ H_n−3(−kn−2v_n−2+ k_n−1vn) +

v1[H_n−2] vn− Hn−2k_n−1v_n−1 Dv1W = (v1[H_n−2] + k_n−1H_n−3) vn

buradan,

“W LC paralel vektör alanı ” ⇔ V¹[H_n−2] + k_n−1H_n−3 = 0

oldu˘gu görülür. Böylece,

α e˘grisi e˘gilim çizgisi ⇔ W LC paralel vektör alanı ⇔ V1[H_n−2] + k_n−1H_n−3 = 0

oldu˘gundan ispat biter.

Yorumlar: n = 2m + 1 (yani boyut tek ise)

v1[H_n−2] + k_n−1H_n−3 = 0

denklemini yorumlayalım. n = 2m + 1 ise e˘grimizin k1, k₂, ...k_2m−1, k_2m

e˘grilik-lerinden bahsedebiliriz. Böylece, oranları vardır. Harmonik e˘grili˘ginin tanımından,

H_2m−2 = 1

k_2m−1v1[H_2m−3] +k_2m−2

k_2m−1H_2m−4 ifadesini k2mile çarparsak ve sırasıyla,

k_2m.H_2m−2 = k_2m

e¸sitliklerini elde ederiz. Bunları da üstteki denklemde yerlerine yazarsak,

Teorem 5.2.6. M (c) ⊂ Eⁿ kesitsel e˘grili˘gi c olan uzay formu olsun. n-mertebeden regüler α : I → M(c) e˘grisi için , ^k_k¹2,^k_k³₄, ...^k_k^2m−3

˙Ispat: ˙Ispatı tümevarımla yapalım.

i= 1 için H2 = 1

H₃ = 1

Sonuç 5.2.1. Teorem 5.2.5 ve 5.2.6 nın bir sonucu olarak k₁

oranları sabit ise α e˘grimizin bir e˘gilim çizgisi oldu˘gunu söyleyebiliriz.

Sonuç 5.2.2. k₁

oranlarının sabit olması durumunda e˘grinin ekseni

W = v₁+ H₁v₃+ H₃v₅+ H₅v₇..+ H_2m−1v_2m+1 W = v1+

H_2i−1v_2i+1 dir.

KAYNAKLAR

Barros, M.1997 General helices and a theorem Lancert. Proc. Amer. Math. Soc.,125

;1503-1509

Camcı, C, ˙Ilarslan K, Kula L, Hacısaliho˘glu, H.H.2007 Harmonic curvatures and generalized helices in Eⁿ.chaos,solutions and fractals,doi:10.1016 (Baskıda).

Hacısaliho˘glu, H.H.1983. Diferensiyel Geometri. Ertem Matbaası, Ankara.

Hacısaliho˘glu, H.H.2004 Diferensiyel Geometri 3-cilt. Ertem Matbaası, Ankara.

Kula, L and Yaylı Y. 2005 On slant helix and its spherical indicatrix. Applied Mathematics and computation 169, 600-607.

Klingberg, W.1974 A course in Differential Geometry, Springer-Verlag.

Langer, J. and Sınger, A.D.1993 The Total squared Curvature of closed curvaces. J.

Dıfferentıal Geometry 20, 1-22.

Monterde, J. 2004 Curves with Constant Curvature Ratıos. arxiv:math. DG /0412323 VI.

O. Neill, E.1983 Semi-Riemannian Geometry Academic Press.

Scofield, P.D. 1995 Curves of constant precession, Am. Math. Monthly 102, 531-537.

Tamura, M. 2003 Surfaces whıch contain Helical Geodesıcs in the 3-sphere. Mem.Fac.Sci.

Eng.Shimcne Unıv.Series B:Mathematıcal Scıence 37;59-65

ÖZGEÇM˙I¸S

Adı Soyadı : Ali ¸SENOL Do˘gum Yeri : ˙Izmir

Do˘gum Tarihi : 17.06.1974 Medeni Hali : Evli

Yabancı Dili : ˙Ingilizce

E˘gitim Durumu (Kurum ve Yıl)

Lise : Buca Lisesi (1991)

Lisans : Ege Üniversitesi Matematik Bölümü (1996)

Yüksek Lisans: Celal Bayar Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı (2000)

Çalı¸stı˘gı Kurum/Kurumlar ve yıl

Celal Bayar Üniversitesi Fen-Ed. Fak. Matematik Böl., Ar¸s Gör. 1997-2000.

18 Mart Üniversitesi Fen -Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü., Ar¸s Gör. 2000-2001.

Orta Do˘gu Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü., Ar¸s Gör 2001-2004.

Hacettepe Üniversitesi Polatlı Teknik Bilimler M.Y.O Ö˘gr. Gör. 2007-...

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER. Ali ŞENOL ANKARA Her hakkı saklıdır (sayfa 36-0)