f(x) fonksiyonu [1, 2] aral§nda süreklidir

MB5002 NÜMERK ANALZ QUIZ I - SORU VE CEVAPLARI

1. tan x − 2x + 1 = 0 denkleminin [1, 2] aral§nda bir kökü oldu§unu gösteriniz. Bu kök de§erine ikiye bölme algoritmas ile 10⁻⁶ hassaslkla bir yakla³m yaplmak istenirse algoritmann en az kaç admn

gerçeklemek gerekir tespit ediniz.

Cevap. f(x) = tan x − 2x + 1 olsun. f(x) fonksiyonu [1, 2] aral§nda süreklidir. Ayrca f (1) = tan 1 − 2 + 1 = 0.55741 > 0 ve f(2) = tan 2 − 4 + 1 = −0.51850 × 10 < 0

sa§land§ndan Ara De§er Teoremi'ne göre f(x) fonksiyonunun verilen aralkta en az bir kökü vardr.

“imdi n iterasyon saysn göstermek üzere

|pn− p| ≤ 2⁻ⁿ(b − a) = 2⁻ⁿ≤ 10⁻⁶

e³itsizli§ini gerçekleyecek olan n saysn tespit edelim. Buna göre 10 tabannda gerekli logaritma i³lem- leri yaplrsa −n log 2 < −6 log 10 yani

n > 6

log 2 = 19.932 elde edilir. Buradan n ≥ 20 bulunur.

2. g(x) = (3x + 19)^1/3 fonksiyonunun [0, ∞) aral§nda tek türlü belirli bir sabit noktas oldu§unu gös- teriniz.

Cevap. g⁰(x) = (3x+19)^−2/3oldu§undan sürekli g(x) fonksiyonunun [0, ∞) aral§nda türevi mevcuttur.

Her x ∈ [0, ∞) için g⁰(x)de§eri pozitif oldu§undan g(x) verilen aralkta monoton artandr. Dolaysyla maksimum de§erini aral§n sa§ uç noktasnda minimum de§erini aral§n sol uç noktasnda alr.

g(∞) = ∞ ve g(0) = 19^1/3 = 0.26684 × 10

oldu§undan her x ∈ [0, ∞) için g(x) ∈ [0, ∞) elde edilir. Dolaysyla Sabit Nokta Teoremi'ne göre verilen aralkta fonksiyonun en az bir tane sabit noktas vardr (varlk ispat).

“imdi bu sabit noktann tektürlü belirli oldu§unu göstermek için foksiyonun türevini k gibi birden küçük bir say ile snrlamaya çal³alm: g⁰(x) = h(x) = (3x + 19)^−2/3 fonksiyonunun türevi h⁰(x) =

−2(3x + 19)^−5/3 her x ∈ [0, ∞) negatif oldu§undan h(x) fonksiyonu verilen aralkta monoton azalandr.

Dolaysyla maksimum ve minimum de§erlerini [0, ∞) aral§nn uç noktalarnda alr. Buna göre

|g⁰(0)| =

19^−2/3

= 0.14044 > |g⁰(∞)| = 0

oldu§undan türev fonksiyonunun mutlak de§erinin x = 0'da maksimumu vardr ve

|g⁰(x)| =

(3x + 19)^−2/3

≤ max

0≤x<∞

(3x + 19)^−2/3

= 19^−2/3= 0.14044 = k < 1

e³itsizli§i de gerçeklendi§inden [0, ∞) aral§nda yer alan sabit nokta tek türlü belirlidir (teklik ispat).

3.  sin_n¹² ∞

n=1 dizisinin yaknsama hzn hesaplaynz.

Cevap. limn→∞sin_n¹2 = 0 oldu§u yaknsama hz tanmnda kullanlrsa 

sin 1 n² − 0

=    

sin 1 n²

≤    

1 n²

    1

elde edilir. Buna göre

sin 1

n² = 0 + O 1 n²

 yazlr. Yani sin_n¹2

dizisi sfra _n¹2

'nin sfra yaknsama hznda yaknsar.

4. f(x) = (x − 1) ln x fonksiyonunun x0 = 1 civarnda üçüncü Taylor polinomunu hesaplaynz. Bu polinom yardm ile f(0.5) de§erine bir yakla³mda bulununuz ve yakla³mda olu³an hata için bir üst snr belirleyiniz.

Cevap. f ∈ C^∞(R) oldu§undan Taylor Teoremi her n ≥ 0 için uygulanabilir. Gerekli türevler ve x0 = 1 noktasnda ald§ de§erler a³a§daki ³ekilde hesaplanr:

f (1) = (1 − 1) ln 1 = 0, f⁰(x) = ln x + 1 − 1

x, f⁰(1) = 0, f⁰⁰(x) = 1 x + 1

x², f⁰⁰(1) = 2, f⁰⁰⁰(x) = − 1

x² − 2

x³, f⁰⁰⁰(1) = −3, f^(iv)(x) = 2 x³ + 6

x⁴.

Buna göre istenen üçüncü Taylor polinomu hata terimi ile beraber ξ(x) says x0 = 1 ile x arasnda olmak üzere

f (x) = P₃(x) + R₃(x)

(x − 1) ln x = f (1) + f⁰(1)(x − 1) + f⁰⁰(1)

2! (x − 1)²+f⁰⁰⁰(1)

3! (x − 1)³ +f^(iv)(ξ(x))

4! (x − 1)⁴

= (x − 1)²− (x − 1)³

2 +

 2

ξ(x)³ + 6 ξ(x)⁴

 (x − 1)⁴ 24

³eklinde bulunur.

f (0.5)de§erine bir yakla³m, yukardaki Taylor polinomunda x = 0.5 yazlmas sureti ile f (0.5) ≈ P₃(0.5) = (0.5 − 1)²− (0.5 − 1)³

2 = 0.3125

olarak elde edilir. “imdi bu yakla³mda olu³an hata için bir snr belirleyelim. ξ(0.5) says x = 0.5 ile x₀ = 1 arasnda olmak üzere

|f (0.5) − P₃(0.5)| = |R₃(0.5)| =    

 2

ξ(0.5)³ + 6 ξ(0.5)⁴

 (0.5 − 1)⁴ 24

    yazlabilir. “imdi

h(x) = 2 x³ + 6

x⁴

fonksiyonunun [0.5, 1] aral§ndaki maksimum de§erini bulmak için h⁰(x) = −6x + 24

x⁵

türev fonksiyonun göz önüne alalm. Fonksiyonun türevini sfr yapan x = −4 de§eri [0.5, 1] aral§nda yer almad§ndan ve her x ∈ [0.5, 1] için h⁰(x) < 0 oldu§undan fonksiyon verilen aralkta monoton azalandr. Dolaysyla maksimum ve minimum de§erlerini snrlarda alr.

|h(0.5)| = 2

0.5³ + 6

0.5⁴ = 112 > |h(1)| = 8

oldu§undan mutlak de§eri ile verilen ifade maksimum de§erini x = 0.5 noktasnda alr. Buna göre

|R₃(0.5)| ≤ (0.5 − 1)⁴

24 max

0.5≤ξ≤1

 2

ξ(0.5)³ + 6 ξ(0.5)⁴

   

= (0.5 − 1)⁴

24 · 112 = 0.29167 elde edilir.

2