• Sonuç bulunamadı

(12.23) x ∈ [−L, L] i¸cin f L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlansın. f L ∈ L(R) ve L → ∞ i¸cin R |f L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(12.23) x ∈ [−L, L] i¸cin f L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlansın. f L ∈ L(R) ve L → ∞ i¸cin R |f L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz."

Copied!
8
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Problem 5’nin ¸ c¨ oz¨ ueri Problem 5.1 f : R → C, L 1 (R) nın bir elemanı olsun.

(12.23) x ∈ [−L, L] i¸cin f L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlansın. f L ∈ L(R) ve L → ∞ i¸cin R |f L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C¨ oz¨ um: [−L, L]’nın karakteristik fonksiyonunu χ L ile g¨ osterelim. Bu du- rumda f L = f χ L . f n , h.h. f ’ye yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir bir serisi ise, R |f n χ L | ≤ R |f n | oldu˘ gundan ve f n χ L dizisi f L ye h.h.y yakınsadı˘ gından, f n χ L mutlak toplanabilirdir, dolayısıyla f L ∈ L 1 (R) dır. Her x ∈ R i¸cin, L → ∞ iken |f L (x) − f (x)| → 0 ve |f L (x) − f (x)| ≤

|f L (x)| + |f (x)| ≤ 2 |f (x)|. Dolayısıyla, Lebesgue (Dominated) yakınsamadan, R |f − f L | → 0 elde edilir.

Problem 5.2 f : R → R fonksiyonu yerel integrallenebilir, yani, her L ∈ N i¸cin,

(12.14) x ∈ [−L, L] i¸cin g L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlanan fonksiyon Lebesgue integrallenebilir, olsun.

(1) Sabit L i¸cin

g L (x) ∈ [−N, N ] ise g (N ) L (x) = g L (x) (12.25)

g L (x) > N ise g (N ) L (x) = N, g L (x) < N ise g L (N ) (x) = −N

olarak tanımlanan g (N ) L fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) N → ∞ i¸cin R

g L (N ) − g L

→ 0 oldu˘ gunu kanıtlayınız.

(3) A¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikte basamak fonksiyonların bir dizisi vardır:

(12.26) h n (x) → f (x) h.h. in R .

(4) h (N ) n,L fonksiyonu a¸sa˘ gıdaki gibi tanımlansın:

x 6∈ [−L, L] ise h (N ) n,L = 0, h n (x) ∈ [−N, N ], x ∈ [−L, L] ise h (N ) n,L = h n (x)

(2)

(12.27)

x ∈ [−L, L], h n (x) > N ise h (N ) n,L = N, h n (x) < −N, x ∈ [−L, L] ise h (N ) n,L = −N.

n → 0 i¸cin R

h (N ) n,L − g (N ) L

→ 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um:

(1) χ L , [−L, L]’nın karakteristik fonksiyonu olmak ¨ uzere tanım gere˘ gi g L (N ) = maks(−N χ L , min(N χ L , g L )) oldu˘ gundan, bu fonksiyon L 1 (R) i¸cindedir.

(2) Her x ∈ R i¸cin g L (N ) (x) → g L (x) ve g (N ) L

≤ |g L (x)| oldu˘ gundan Lebesgue Dominated Yakınsama’dan dolayı, dizi noktasal olarak 0 a yakınsadı˘ gından ve

¨

ustten 2 |g(x)| ile sınırlı oldu˘ gundan, L 1 de g L (N ) → g L , yani N → ∞ i¸cin R g N L − g L

→ 0.

(3) S L,n dizisi h.h. g L fonksiyonuna yakınsayan basamak fonksiyonların bir dizisi olsun. ¨ Orne˘ gin g L ’ye yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplan- abilir serilerin kısmı toplamalar dizisi-integrallenebilme varsayımından dolayı b¨ oyle bir dizi vardır. S L,n dizisini S L,n χ L ile de˘ gi¸stirerek [−N, N ] dı¸sında sıfır oldu˘ gunu varsayabiliriz, bu durumda dizi yine g L ’ye h.h. yakınsar. A¸sa˘ gıda h n dizisini tanımlayalım:

1 ≤ k ≤ n, x ∈ [k, −k] \ [k − 1, −(k − 1)] i¸cin h n (x) = S k,n−k (x) (12.28)

x ∈ R \ [−n.n] i¸cin h n (x) = 0

olarak tanımlansın. Her n i¸cin h n basamak fonksiyonların bir toplamı oldu˘ gundan bu dizi kesinlikle basamak fonksiyonların bir dizisidir- ve yeterince b¨ uy¨ uk L i¸cin [L, −L] \ [−(L − 1), (L − 1)] de S L,n−L → g L . Buradan da, ¨ ol¸c¨ umleri sıfır olan sayılabilir k¨ umelerin birle¸simleri dı¸sında h n (x) → f (x) oldu˘ gu ve b¨ oylece yakınsamanın h.h. yakınsama oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur.

(4) Bu ilk problemin tekrarıdır, h (N ) n,L → g L (N ) hemen heryerde ve h (N ) n,L

≤ N χ L , dolayısıyla g L (N ) ∈ L 1 (R) ve n → ∞ i¸cin R

h (N ) n,L − g (n) L → 0.

Problem 5.3 L 2 (R)’nın bir Hilbert uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz-bu konunun ¨oz¨u oldu¨ gu i¸cin detayların dikkatlice yapılması yararlı olur.

L 2 (R) k¨umesinin elemanları f : R → R yerel integrallenebilir ve |f | 2 inte- grallenebilir olan fonksiyonlar olarak tanımlayalım.

(1) f fonksiyonu i¸cin h n se¸celim ve g L , g L (N ) ve h (N ) n yi (12.24), (12.25) ve

(12.27) deki gibi tanımlayalım.

(3)

(2) Sabit n ve L i¸cin h (N ) n,L ’yi kullanarak g L (N ) ve (g (N ) L ) 2 fonksiyonlarının L 1 (R) da oldu˘ gunu ve N → ∞ i¸cin R

(h (N ) n,L ) 2 − (g L (N ) ) 2

→ 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) (g L (N ) ) 2 ∈ L 1 (R) ve N → ∞ i¸cin R

(g L (N ) ) 2 − (g L ) 2

→ 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4) L → ∞ i¸cin R |(g L ) 2 − f 2 | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) f, g ∈ L 2 (R) ise f g ∈ L 2 (R) ve (12.29)

Z

f g

≤ Z

|f g| ≤ kf k L

2

kgk L

2

, kgk 2 L

2

= Z

|f | 2 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(6) Bu sonu¸cları kullanarak L 1 (R) nın bir do˘grusal uzay oldu˘gunu g¨osteriniz.

(7) N sıfırımsı fonksiyonlar olmak ¨ uzere L 2 (R) = L 2 (R)/N b¨ol¨um uzayının bir Hilbert uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(8) Tartı¸smaları kompleks de˘ gerli fonksiyonlar i¸cin geni¸sletiniz.

C ¸ ¨ oz¨ um:

(1) Yapıldı. Sanırım h (N ) n,L olmalı.

(2) g (N ) L ∈ L 1 (R) oldu˘gu kontrol edildi. Aynı fikir g L (N ) ’ye uygulanır, yani (h (N ) n,L ) 2 → g L (N ) hemen heryerde ve herikisi de N 2 χ L ile sınırlı dolayısıyla yakınsama

(h (N ) n,L ) 2 → (g L (N ) ) 2 ≤ N 2 χ L h.h.y ⇒ (g L (N ) ) 2 ∈ L(R) ve (12.30)

(h (N ) n,L ) 2 − (g L (N ) ) 2

→ 0 h.h.y

(h (N ) n,L ) 2 − (g L (N ) ) 2

≤ N 2 χ L ⇒ Z

(h (N ) n,L ) 2 − (g (N ) L ) 2 → 0 verir.

(3) N → ∞ i¸cin (g L (N ) ) 2 → (g L ) 2 h.h. ve (g L (N ) ) 2 → (g L ) 2 ≤ f 2 dolayısıyla dominated yakınsama ile (g L ) 2 ∈ L 1 ve N → ∞ i¸cin R

(g L (N ) − (g L ) 2 → 0.

(4) Sınırlı yakınsamanın aynı fikri, f 2 ∈ L 1 (R) sınırı kullanılarak, g L 2 → f 2 oldu˘ gunu g¨ osterir.

(5) B¨ ut¨ un bunlar f, F = G ∈ L 2 (R) i¸cin f g ∈ L 1 (R) i¸cindir. Yukarıda

oldu˘ gu gibi f i¸cin h (N ) n,L ve g i¸cin H n,L (N ) basamak fonksiyonlar dizileri ile yakla¸sılmı¸stır.

(4)

Bu durumda L 1 de ¸ arpım dizisi-basamak fonksiyonların bir dizisi- hemen hery- erde

(12.31) h (N ) n,L (x)H n,L (N ) (x) → g L (N ) (x)G (N ) L (x)

ve N 2 χ L ile mutlak sınırlıdır. Yakınsamadan dolayı g L (N ) G (N ) L ∈ L 1 (R). N →

∞ i¸cin bu dizi g L (x)G L (x)’ye hemen heryerde yakınsaktır ve a¸sa˘ gıdaki sınırlama vardır:

(12.32) |g L (x)G L (x)| ≤ |f (x)F (x)| 1

2 (f 2 + F 2 )

ve yakınsamadan limit g L G L ∈ L 1 dir. Son olarak L → ∞ i¸cin aynı fikir f F ∈ L 1 (R) oldu˘gunu g¨osterir. ¨ Ustelik |f F | ∈ L 1 (R) ve

(12.33) Z

f F

≤ Z

|f F | ≤ kf k L

2

kF k L

2

,

burada ge¸cen son e¸sitsizlik Cauchy e¸sitsizli˘ ginden elde edilir-arzu edilirse ¨ once ilk yakla¸sım dizisi i¸cin ve sonra limitin alımasıyla elde edilir.

(6) Dolayısıyla f, g ∈ L 2 (R) ger¸cel de˘gerli ise f + g yerel integrallenebilirdir ve yukarıdaki tartı¸smadan

(12.34) (f + g) 2 = f 2 + 2f g + g 2 ∈ L 1 (R).

Sabit c ve f ∈ L 2 (R) i¸cin cf ∈ L 2 (R) oldu˘gu a¸cıktır.

(7) Yukarıdaki L 1 i¸cin verilen fikir L 1 i¸cin de aynıdır. Yani, R f 2 = 0 ise hemen hemen heryerde f 2 = 0 ve bu f = 0 h.h.y olmasına denktir. Bu du- rumda, h lar sıfırımsı fonksiyonlar olmak ¨ uzere, f h ve h 2 fonksiyonları sıfırımsı ve (f + h) 2 = f 2 + 2f g + g 2 oldu˘ gundan, f + h fonksiyonların normları f ’nin normu ile aynıdır. Aynı ¸sey i¸c ¸carpım i¸cin do˘ grudur ve buradan sıfırımsı fonksiyonlara b¨ ol¨ unmesiyle elde edilen b¨ ol¨ um uzayının

(12.35) L 2 (R) = L 2 (R)/N bir ¨ onHilbert uzayı oldu˘ gu elde edilir.

Geriye tamlı˘ gı g¨ ostermek kalıyor. ([f n ] dizisi L 2 (R) de P

n kf n k L

2

< ∞ anlamında mutlak toplanabilir seri oldu˘ gunu varsayalım. Bu durumda kesme serisi f n χ L , L 1 de Cauchy e¸sitsizli˘ ginden dolayı

(12.36) Z

|f n χ L | ≤ L

12

( Z

f n 2 )

12

(5)

anlamında mutlak toplanabilirdir. Buradan F n = P n

k=1 f k alınırsa her L i¸cin F n (x)χ L dizisi hemen hemen heryerde yakınsaktır dolayısıyla

(12.37) F n (x) → f (x) hemen heryerde.

L 1 ’nın tamlı˘ gından dolayı yerel integrallenebilir olan f fonksiyonunun f ∈ L 2 (R) oldu˘gunu g¨ostermek istiyoruz. A¸sa˘gıdaki seriyi ele alalım.

(12.38) g 1 = F 1 2 , g n = F n 2 − F n−1 2 . Bu elemanlar L 1 (R) dedir ve n > 1 i¸cin Cauchy e¸sitsizli˘ginden (12.39)

Z

|g n | = Z

F n 2 − F n−1 2

≤ kF n − F n−1 k L

2

kF n + F n−1 k L

2

≤ kf n k L

2

2 X

k

kf k k L

2

,

burada ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi kullanıldı. Bu aslında g n serisinin L 1 de mutlak toplan- abilir oldu˘ gunu g¨ osterir ve

(12.40) X

n

Z

|g n | ≤ 2( X

n

kf n k L

2

) 2 .

Ger¸cekte kısmı toplamlar dizisi F n 2 , f 2 ∈ L 1 (R) ye yakınsar. Bu f ∈ L 2 oldu˘ gunu g¨ osterir, ¨ ustelik

(12.41) n → 0 i¸cin Z

(F n − f ) 2 = Z

F n 2 + Z

f 2 − 2 Z

F n f → 0.

Ger¸cekten ilk terim R f 2 ye yakınsar ve, Cauchy e¸sitsizli˘ ginden, ¸carpımların serisi f n f , L 1 de mutlak toplanabilir ve limiti f 2 dır dolayısıyla ¨ u¸c¨ unc¨ u terim

−2 R f 2 ye yakınsar. Bu L 2 (R) de [F n ] → [f ] oldu˘ gunu g¨ osterir ve b¨ oylece tamlı˘ gı g¨ ostermi¸s oluruz.

(8) Kompleks durum i¸cin do˘ grusallı˘ gı kontrol etmeliyiz. f yerel integral- lenebilir ve |f | 2 ∈ L 1 (R) olsun. f ’nın ger¸cel kısmı yerel integralenebilir ve yukarıda tartı¸smadan F L (N ) yakla¸sımı (F L (N ) ) 2 ≤ |f | 2 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan kare integrallenebilirdir ve dominated yakınsamadan ¨ once N → ∞ ve sonra L → ∞ alınarak ger¸cel kısmın L 2 (R) de oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. S¸imdi do˘grusallık ve tamlık ger¸cel durumdan g¨ or¨ ul¨ ur.

Problem 5.4

(6)

A¸sa˘ gıdaki diziyi ele alalım.

(12.42) h 2,1 = {c : N → C, X

j

(1 + j 2 )|c j | 2 < ∞}.

(1) A¸sa˘ gıda tanımlanan

(12.43) h 2,1 × h 2,1 → C, (c, d) →< c, d >= X

j

(1 + j 2 )c j d j

fonksiyonun ve bir i¸c Hermitian oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve b¨ oylece h 2,1 bir Hilbert uzayıdır.

(2) Bu uzaydaki norm k.k 2,1 ile g¨ osterilsin ve l 2 deki norm k.k 2 olmak ¨ uzere (12.44) h 2,1 ⊂ l 2 , kck 2 ≤ kck 2,1 ∀c ∈ h 2,1

oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um:

A¸sa˘ gıdaki Cauchy e¸sitsizli˘ ginden

< c, d >= X

j

(1 + j 2 )

12

c j (1 + j 2 )

12

)d j

(12.45) X

j

(1 + j 2 )

12

c j (1 + j 2 )

12

)d j

≤ ( X

j

(1 + j 2 )|c j | 2 )

12

( X

j

(1 + j 2 )|d j | 2 )

12

dolayı tanımlanan seri mutlak yakınsak oldu˘ gundan i¸c ¸carpım iyi tanımlıdır.

Bu,

(12.46) kck 2,1 = ( X

j

(1 + j 2 )|c j | 2 )

12

ifadesi sadece b¨ ut¨ un c j lerin sıfır olması durumunda sıfır oldu˘ gundan, sesquilin- ear ve pozitif tanımlıdır. Tamlık l 2 i¸cin oldu˘ gu gibi elde edilir-c (n) bir Cauchy dizisi ise (1 + j)

12

Cauchy oldu˘ gundan, her komponent c (n) j yakınsaktır. c j

limitleri, dizi sınırlı ve A normların bir sınırı olmak ¨ uzere, (12.47)

N

X

j=1

(1 + j 2 )

12

|c j | 2 = lim

n→∞

N

X

j=1

(1 + j 2 )

12

c n j

2 ≤ A

(7)

oldu˘ gundan, h 2,1 nın elemanlarıdır.

c (n) − c (m)

≤  ¨ uzerinden m → ∞ i¸cin h 2,1 de Cauchy ko¸sulundan c (n) → c elde edilir.

(2) Her sonlu N i¸cin (12.48)

N

X

j=1

|c j | 2

N

X

j=1

(1 + j) 2 |c j | 2 ≤ kck 2 2,1

oldu˘ gundan h 2,2 ⊂ l 2 oldu˘ gu a¸cıktır ve N → ∞ i¸cin (12.49) kck l

2

≤ kck 2,1 .

Problem 5.5 Ayrılabilir durum i¸cin Riesz Temsil Teoremi’mini do˘ grudan kanıtlayınız.

Ayrılabilir Hilbert uzayından bir (e i ) ortonormal tabanı se¸cilsin. T : H → C sınırlı bir do˘ grusal fonksiyonel olsun. A¸sa˘ gıdaki diziyi tanımlayalım.

(12.50) w i = T (e i ), i ∈ N

(1) Bazı sabit C ler i¸cin |T u| ≤ Ckuk H oldu˘ gunu hatırlayalım. Her sonlu N i¸cin

(12.51)

N

X

j=1

|e i | 2 ≤ C 2 . (2) (e i ) ∈ l 2 ve

(12.52) w = X

i

w i e i ∈ H oldu˘ guna karar veriniz.

(3) A¸sa˘ gıdaki ifadenin do˘ gru oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(12.53) T (u) =< u, w > H ∀u ∈ H ve kT k = kwk H .

C ¸ ¨ oz¨ um:

(1) Sonlu toplam w N = P N

i=1 w i e i Hilbert uzayının bir elemanıdır ve normu Bessel ¨ ozde¸sli˘ ginden dolayı kw N k 2 N = P N

i=1 |w i | 2 . Bunu geni¸sleterek (12.54) T (w N ) = T (

N

X

i=1

w i e i ) =

N

X

i=1

w i T (e i ) =

N

X

i=1

|w i | 2

(8)

ve T ’nın s¨ ureklili˘ ginden

(12.55) |T (w N )| ≤ Ckw N k H ⇒ kw N k 2 H ≤ Ckw N k H ⇒ kw N k 2 H ≤ C 2 , elde edilir, istenilen de budur.

(2) N → ∞ alınmasıyla sonsuz toplamın yakınsak oldu˘ gu ve kw N − wk ≤ P

j>N |w 2 i | sıfıra gitti˘ ginden X

i

|w i | 2 ≤ C 2 ⇒ w = X

i

w i e i ∈ H

dır.

(3) Her u ∈ H i¸cin, (e i ) lerin tamlı˘ gından dolayı u N = P N

i=1 < u, e i > e i , dolayısıyla T ’nin s¨ ureklili˘ ginden

T (u) = lim

N →∞ T (u N ) = lim

N →∞

N

X

i=1

< u, e i > T (e i )

(12.57)

= lim

N →∞

N

X

i=1

< u, w i e i >= lim

N →∞ < u, w N >=< u, w >

elde edilir, burada i¸c ¸carpımın s¨ ureklili˘ gi kullanıldı. Buradan ve Cauchy e¸sitsizli˘ ginden kT k = sup kuk

H

=1 |T (u)| ≤ kwk elde edilir. Tersi ise T (w) = kwk 2 H e¸sitsizli˘ ginden

¸cıkar.

Referanslar

Benzer Belgeler

ABSTRACT This book review presents a summary of “Fault Lines: How Hidden Fractures Still Threaten the World Economy” by Raghuram Rajan, who puts forward a clear and cogent account

[r]

Mimar Uğur Gündeş ortak projesinde, Şam şehrinin gelişmekte olan bir bölgesinde, önemli dairesel bir kavşak alanı üzerinde yer ala- cak olan kütüphane binasının

Senem el ýuwulýany (nämäni?) alyp, eýwanyň öňüni syryp gidýän kiçijik salmajykdan akyp ýatan suwuň üstüne egildi („O. 3.Işlikler semantik taýdan zadyň hereketini höküm

[r]

[r]

[r]

yenlerin yaşantıları, babasının m ko- casınm.vali olarak bulunduğu vflayet- Terdeîa olaylara da değinen besteci Leyla Hanım, genç yaşta’ boşandığı ünlü