(12.23) x ∈ [−L, L] i¸cin f L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlansın. f L ∈ L(R) ve L → ∞ i¸cin R |f L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 5’nin ¸ c¨ oz¨ ueri Problem 5.1 f : R → C, L ¹ (R) nın bir elemanı olsun.

(12.23) x ∈ [−L, L] i¸cin f _L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlansın. f L ∈ L(R) ve L → ∞ i¸cin R |f L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C¨ oz¨ um: [−L, L]’nın karakteristik fonksiyonunu χ _L ile g¨ osterelim. Bu du- rumda f L = f χ L . f n , h.h. f ’ye yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplanabilir bir serisi ise, R |f n χ _L | ≤ R |f n | oldu˘ gundan ve f _n χ _L dizisi f _L ye h.h.y yakınsadı˘ gından, f _n χ _L mutlak toplanabilirdir, dolayısıyla f _L ∈ L ¹ (R) dır. Her x ∈ R i¸cin, L → ∞ iken |f ^L (x) − f (x)| → 0 ve |f L (x) − f (x)| ≤

|f _L (x)| + |f (x)| ≤ 2 |f (x)|. Dolayısıyla, Lebesgue (Dominated) yakınsamadan, R |f − f _L | → 0 elde edilir.

Problem 5.2 f : R → R fonksiyonu yerel integrallenebilir, yani, her L ∈ N i¸cin,

(12.14) x ∈ [−L, L] i¸cin g _L (x) = f (x) ve di˘ ger durumda 0 olarak tanımlanan fonksiyon Lebesgue integrallenebilir, olsun.

(1) Sabit L i¸cin

g _L (x) ∈ [−N, N ] ise g ^{(N )} _L (x) = g _L (x) (12.25)

g _L (x) > N ise g ^{(N )} _L (x) = N, g _L (x) < N ise g _L ^{(N )} (x) = −N

olarak tanımlanan g ^{(N )} _L fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(2) N → ∞ i¸cin R  

 g _L ^{(N )} − g _L  

 → 0 oldu˘ gunu kanıtlayınız.

(3) A¸sa˘ gıdaki ¨ ozellikte basamak fonksiyonların bir dizisi vardır:

(12.26) h _n (x) → f (x) h.h. in R .

(4) h ^{(N )} _n,L fonksiyonu a¸sa˘ gıdaki gibi tanımlansın:

x 6∈ [−L, L] ise h ^{(N )} _n,L = 0, h _n (x) ∈ [−N, N ], x ∈ [−L, L] ise h ^{(N )} _n,L = h _n (x)

(12.27)

x ∈ [−L, L], h _n (x) > N ise h ^{(N )} _n,L = N, h _n (x) < −N, x ∈ [−L, L] ise h ^{(N )} _n,L = −N.

n → 0 i¸cin R  

 h ^{(N )} _n,L − g ^{(N )} _L  

 → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um:

(1) χ _L , [−L, L]’nın karakteristik fonksiyonu olmak ¨ uzere tanım gere˘ gi g _L ^{(N )} = maks(−N χ _L , min(N χ _L , g _L )) oldu˘ gundan, bu fonksiyon L ¹ (R) i¸cindedir.

(2) Her x ∈ R i¸cin g L ^{(N )} (x) → g L (x) ve    g ^{(N )} _L

 ≤ |g L (x)| oldu˘ gundan Lebesgue Dominated Yakınsama’dan dolayı, dizi noktasal olarak 0 a yakınsadı˘ gından ve

¨

ustten 2 |g(x)| ile sınırlı oldu˘ gundan, L ¹ de g _L ^{(N )} → g _L , yani N → ∞ i¸cin R  g ^N _L − g _L 

 → 0.

(3) S _L,n dizisi h.h. g _L fonksiyonuna yakınsayan basamak fonksiyonların bir dizisi olsun. ¨ Orne˘ gin g _L ’ye yakınsayan basamak fonksiyonların mutlak toplan- abilir serilerin kısmı toplamalar dizisi-integrallenebilme varsayımından dolayı b¨ oyle bir dizi vardır. S _L,n dizisini S _L,n χ _L ile de˘ gi¸stirerek [−N, N ] dı¸sında sıfır oldu˘ gunu varsayabiliriz, bu durumda dizi yine g _L ’ye h.h. yakınsar. A¸sa˘ gıda h _n dizisini tanımlayalım:

1 ≤ k ≤ n, x ∈ [k, −k] \ [k − 1, −(k − 1)] i¸cin h _n (x) = S _k,n−k (x) (12.28)

x ∈ R \ [−n.n] i¸cin h n (x) = 0

olarak tanımlansın. Her n i¸cin h _n basamak fonksiyonların bir toplamı oldu˘ gundan bu dizi kesinlikle basamak fonksiyonların bir dizisidir- ve yeterince b¨ uy¨ uk L i¸cin [L, −L] \ [−(L − 1), (L − 1)] de S L,n−L → g L . Buradan da, ¨ ol¸c¨ umleri sıfır olan sayılabilir k¨ umelerin birle¸simleri dı¸sında h _n (x) → f (x) oldu˘ gu ve b¨ oylece yakınsamanın h.h. yakınsama oldu˘ gu g¨ or¨ ul¨ ur.

(4) Bu ilk problemin tekrarıdır, h ^{(N )} _n,L → g _L ^{(N )} hemen heryerde ve    h ^{(N )} _n,L 

  ≤ N χ _L , dolayısıyla g _L ^{(N )} ∈ L ¹ (R) ve n → ∞ i¸cin R 

 h ^{(N )} _n,L − g ⁽ⁿ⁾ _L    → 0.

Problem 5.3 L ² (R)’nın bir Hilbert uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz-bu konunun ¨oz¨u oldu¨ gu i¸cin detayların dikkatlice yapılması yararlı olur.

L ² (R) k¨umesinin elemanları f : R → R yerel integrallenebilir ve |f | ² inte- grallenebilir olan fonksiyonlar olarak tanımlayalım.

(1) f fonksiyonu i¸cin h _n se¸celim ve g _L , g _L ^{(N )} ve h ^{(N )} n yi (12.24), (12.25) ve

(12.27) deki gibi tanımlayalım.

(2) Sabit n ve L i¸cin h ^{(N )} _n,L ’yi kullanarak g _L ^{(N )} ve (g ^{(N )} _L ) ² fonksiyonlarının L ¹ (R) da oldu˘ gunu ve N → ∞ i¸cin R 

 (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g _L ^{(N )} ) ²  

 → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(3) (g _L ^{(N )} ) ² ∈ L ¹ (R) ve N → ∞ i¸cin R  

 (g _L ^{(N )} ) ² − (g _L ) ²  

 → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(4) L → ∞ i¸cin R |(g _L ) ² − f ² | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(5) f, g ∈ L ² (R) ise f g ∈ L ² (R) ve (12.29)

    Z

f g    

≤ Z

|f g| ≤ kf k _L

kgk _L

, kgk ² _L

= Z

|f | ² oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(6) Bu sonu¸cları kullanarak L ¹ (R) nın bir do˘grusal uzay oldu˘gunu g¨osteriniz.

(7) N sıfırımsı fonksiyonlar olmak ¨ uzere L ² (R) = L ² (R)/N b¨ol¨um uzayının bir Hilbert uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(8) Tartı¸smaları kompleks de˘ gerli fonksiyonlar i¸cin geni¸sletiniz.

C ¸ ¨ oz¨ um:

(1) Yapıldı. Sanırım h ^{(N )} _n,L olmalı.

(2) g ^{(N )} _L ∈ L ¹ (R) oldu˘gu kontrol edildi. Aynı fikir g L ^{(N )} ’ye uygulanır, yani (h ^{(N )} _n,L ) ² → g _L ^{(N )} hemen heryerde ve herikisi de N ² χ _L ile sınırlı dolayısıyla yakınsama

(h ^{(N )} _n,L ) ² → (g _L ^{(N )} ) ² ≤ N ² χ _L h.h.y ⇒ (g _L ^{(N )} ) ² ∈ L(R) ve (12.30)

 (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g _L ^{(N )} ) ²  

 → 0 h.h.y 

 (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g _L ^{(N )} ) ²  

 ≤ N ² χ _L ⇒ Z 

 (h ^{(N )} _n,L ) ² − (g ^{(N )} _L ) ²    → 0 verir.

(3) N → ∞ i¸cin (g _L ^{(N )} ) ² → (g _L ) ² h.h. ve (g _L ^{(N )} ) ² → (g _L ) ² ≤ f ² dolayısıyla dominated yakınsama ile (g L ) ² ∈ L ¹ ve N → ∞ i¸cin R 

 (g _L ^{(N )} − (g L ) ²    → 0.

(4) Sınırlı yakınsamanın aynı fikri, f ² ∈ L ¹ (R) sınırı kullanılarak, g L ² → f ² oldu˘ gunu g¨ osterir.

(5) B¨ ut¨ un bunlar f, F = G ∈ L ² (R) i¸cin f g ∈ L ¹ (R) i¸cindir. Yukarıda

oldu˘ gu gibi f i¸cin h ^{(N )} _n,L ve g i¸cin H _n,L ^{(N )} basamak fonksiyonlar dizileri ile yakla¸sılmı¸stır.

Bu durumda L ¹ de ¸ arpım dizisi-basamak fonksiyonların bir dizisi- hemen hery- erde

(12.31) h ^{(N )} _n,L (x)H _n,L ^{(N )} (x) → g _L ^{(N )} (x)G ^{(N )} _L (x)

ve N ² χ _L ile mutlak sınırlıdır. Yakınsamadan dolayı g _L ^{(N )} G ^{(N )} _L ∈ L ¹ (R). N →

∞ i¸cin bu dizi g _L (x)G _L (x)’ye hemen heryerde yakınsaktır ve a¸sa˘ gıdaki sınırlama vardır:

(12.32) |g L (x)G L (x)| ≤ |f (x)F (x)| 1

2 (f ² + F ² )

ve yakınsamadan limit g _L G _L ∈ L ¹ dir. Son olarak L → ∞ i¸cin aynı fikir f F ∈ L ¹ (R) oldu˘gunu g¨osterir. ¨ Ustelik |f F | ∈ L ¹ (R) ve

(12.33)     Z

f F    

≤ Z

|f F | ≤ kf k _L

kF k _L

,

burada ge¸cen son e¸sitsizlik Cauchy e¸sitsizli˘ ginden elde edilir-arzu edilirse ¨ once ilk yakla¸sım dizisi i¸cin ve sonra limitin alımasıyla elde edilir.

(6) Dolayısıyla f, g ∈ L ² (R) ger¸cel de˘gerli ise f + g yerel integrallenebilirdir ve yukarıdaki tartı¸smadan

(12.34) (f + g) ² = f ² + 2f g + g ² ∈ L ¹ (R).

Sabit c ve f ∈ L ² (R) i¸cin cf ∈ L ² (R) oldu˘gu a¸cıktır.

(7) Yukarıdaki L ¹ i¸cin verilen fikir L ¹ i¸cin de aynıdır. Yani, R f ² = 0 ise hemen hemen heryerde f ² = 0 ve bu f = 0 h.h.y olmasına denktir. Bu du- rumda, h lar sıfırımsı fonksiyonlar olmak ¨ uzere, f h ve h ² fonksiyonları sıfırımsı ve (f + h) ² = f ² + 2f g + g ² oldu˘ gundan, f + h fonksiyonların normları f ’nin normu ile aynıdır. Aynı ¸sey i¸c ¸carpım i¸cin do˘ grudur ve buradan sıfırımsı fonksiyonlara b¨ ol¨ unmesiyle elde edilen b¨ ol¨ um uzayının

(12.35) L ² (R) = L ² (R)/N bir ¨ onHilbert uzayı oldu˘ gu elde edilir.

Geriye tamlı˘ gı g¨ ostermek kalıyor. ([f _n ] dizisi L ² (R) de P

n kf _n k _L

< ∞ anlamında mutlak toplanabilir seri oldu˘ gunu varsayalım. Bu durumda kesme serisi f _n χ _L , L ¹ de Cauchy e¸sitsizli˘ ginden dolayı

(12.36) Z

|f n χ L | ≤ L

( Z

f _n ² )

anlamında mutlak toplanabilirdir. Buradan F _n = P n

k=1 f _k alınırsa her L i¸cin F _n (x)χ _L dizisi hemen hemen heryerde yakınsaktır dolayısıyla

(12.37) F _n (x) → f (x) hemen heryerde.

L ¹ ’nın tamlı˘ gından dolayı yerel integrallenebilir olan f fonksiyonunun f ∈ L ² (R) oldu˘gunu g¨ostermek istiyoruz. A¸sa˘gıdaki seriyi ele alalım.

(12.38) g ₁ = F ₁ ² , g _n = F _n ² − F _n−1 ² . Bu elemanlar L ¹ (R) dedir ve n > 1 i¸cin Cauchy e¸sitsizli˘ginden (12.39)

Z

|g n | = Z

 F _n ² − F _n−1 ² 

 ≤ kF n − F n−1 k _L

kF n + F n−1 k _L

≤ kf n k _L

2 X

k

kf k k _L

,

burada ¨ u¸cgen e¸sitsizli˘ gi kullanıldı. Bu aslında g _n serisinin L ¹ de mutlak toplan- abilir oldu˘ gunu g¨ osterir ve

(12.40) X

n

Z

|g _n | ≤ 2( X

n

kf _n k _L

) ² .

Ger¸cekte kısmı toplamlar dizisi F _n ² , f ² ∈ L ¹ (R) ye yakınsar. Bu f ∈ L ² oldu˘ gunu g¨ osterir, ¨ ustelik

(12.41) n → 0 i¸cin Z

(F _n − f ) ² = Z

F _n ² + Z

f ² − 2 Z

F _n f → 0.

Ger¸cekten ilk terim R f ² ye yakınsar ve, Cauchy e¸sitsizli˘ ginden, ¸carpımların serisi f _n f , L ¹ de mutlak toplanabilir ve limiti f ² dır dolayısıyla ¨ u¸c¨ unc¨ u terim

−2 R f ² ye yakınsar. Bu L ² (R) de [F n ] → [f ] oldu˘ gunu g¨ osterir ve b¨ oylece tamlı˘ gı g¨ ostermi¸s oluruz.

(8) Kompleks durum i¸cin do˘ grusallı˘ gı kontrol etmeliyiz. f yerel integral- lenebilir ve |f | ² ∈ L ¹ (R) olsun. f ’nın ger¸cel kısmı yerel integralenebilir ve yukarıda tartı¸smadan F _L ^{(N )} yakla¸sımı (F _L ^{(N )} ) ² ≤ |f | ² e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan kare integrallenebilirdir ve dominated yakınsamadan ¨ once N → ∞ ve sonra L → ∞ alınarak ger¸cel kısmın L ² (R) de oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. S¸imdi do˘grusallık ve tamlık ger¸cel durumdan g¨ or¨ ul¨ ur.

Problem 5.4

A¸sa˘ gıdaki diziyi ele alalım.

(12.42) h ^2,1 = {c : N → C, X

j

(1 + j ² )|c _j | ² < ∞}.

(1) A¸sa˘ gıda tanımlanan

(12.43) h ^2,1 × h ^2,1 → C, (c, d) →< c, d >= X

j

(1 + j ² )c j d j

fonksiyonun ve bir i¸c Hermitian oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve b¨ oylece h ^2,1 bir Hilbert uzayıdır.

(2) Bu uzaydaki norm k.k _2,1 ile g¨ osterilsin ve l ² deki norm k.k ₂ olmak ¨ uzere (12.44) h ^2,1 ⊂ l ² , kck ₂ ≤ kck _2,1 ∀c ∈ h ^2,1

oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

C ¸ ¨ oz¨ um:

A¸sa˘ gıdaki Cauchy e¸sitsizli˘ ginden

< c, d >= X

j

(1 + j ² )

c j (1 + j ² )

)d j

(12.45) X

j

 (1 + j ² )

c _j (1 + j ² )

)d _j  

 ≤ ( X

j

(1 + j ² )|c _j | ² )

( X

j

(1 + j ² )|d _j | ² )

dolayı tanımlanan seri mutlak yakınsak oldu˘ gundan i¸c ¸carpım iyi tanımlıdır.

Bu,

(12.46) kck _2,1 = ( X

j

(1 + j ² )|c _j | ² )

ifadesi sadece b¨ ut¨ un c _j lerin sıfır olması durumunda sıfır oldu˘ gundan, sesquilin- ear ve pozitif tanımlıdır. Tamlık l ² i¸cin oldu˘ gu gibi elde edilir-c ⁽ⁿ⁾ bir Cauchy dizisi ise (1 + j)

Cauchy oldu˘ gundan, her komponent c ⁽ⁿ⁾ _j yakınsaktır. c j

limitleri, dizi sınırlı ve A normların bir sınırı olmak ¨ uzere, (12.47)

N

X

j=1

(1 + j ² )

|c _j | ² = lim

n→∞

N

X

j=1

(1 + j ² )

 c ⁿ _j 

2 ≤ A

oldu˘ gundan, h ^2,1 nın elemanlarıdır.

c ⁽ⁿ⁾ − c ^(m)

≤  ¨ uzerinden m → ∞ i¸cin h ^2,1 de Cauchy ko¸sulundan c ⁽ⁿ⁾ → c elde edilir.

(2) Her sonlu N i¸cin (12.48)

N

X

j=1

|c _j | ²

N

X

j=1

(1 + j) ² |c _j | ² ≤ kck ² _2,1

oldu˘ gundan h ^2,2 ⊂ l ² oldu˘ gu a¸cıktır ve N → ∞ i¸cin (12.49) kck _l

≤ kck _2,1 .

Problem 5.5 Ayrılabilir durum i¸cin Riesz Temsil Teoremi’mini do˘ grudan kanıtlayınız.

Ayrılabilir Hilbert uzayından bir (e _i ) ortonormal tabanı se¸cilsin. T : H → C sınırlı bir do˘ grusal fonksiyonel olsun. A¸sa˘ gıdaki diziyi tanımlayalım.

(12.50) w _i = T (e _i ), i ∈ N

(1) Bazı sabit C ler i¸cin |T u| ≤ Ckuk _H oldu˘ gunu hatırlayalım. Her sonlu N i¸cin

(12.51)

N

X

j=1

|e _i | ² ≤ C ² . (2) (e _i ) ∈ l ² ve

(12.52) w = X

i

w i e i ∈ H oldu˘ guna karar veriniz.

(3) A¸sa˘ gıdaki ifadenin do˘ gru oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(12.53) T (u) =< u, w > _H ∀u ∈ H ve kT k = kwk _H .

C ¸ ¨ oz¨ um:

(1) Sonlu toplam w _N = P N

i=1 w _i e _i Hilbert uzayının bir elemanıdır ve normu Bessel ¨ ozde¸sli˘ ginden dolayı kw _N k ² _N = P N

i=1 |w _i | ² . Bunu geni¸sleterek (12.54) T (w _N ) = T (

N

X

i=1

w _i e _i ) =

N

X

i=1

w _i T (e _i ) =

N

X

i=1

|w _i | ²

ve T ’nın s¨ ureklili˘ ginden

(12.55) |T (w _N )| ≤ Ckw _N k _H ⇒ kw _N k ² _H ≤ Ckw _N k _H ⇒ kw _N k ² _H ≤ C ² , elde edilir, istenilen de budur.

(2) N → ∞ alınmasıyla sonsuz toplamın yakınsak oldu˘ gu ve kw _N − wk ≤ P

j>N |w ² _i | sıfıra gitti˘ ginden X

i

|w i | ² ≤ C ² ⇒ w = X

i

w i e i ∈ H

dır.

(3) Her u ∈ H i¸cin, (e i ) lerin tamlı˘ gından dolayı u N = P N

i=1 < u, e i > e i , dolayısıyla T ’nin s¨ ureklili˘ ginden

T (u) = lim

N →∞ T (u N ) = lim

N →∞

N

X

i=1

< u, e i > T (e i )

(12.57)

= lim

N →∞

N

X

i=1

< u, w _i e _i >= lim

N →∞ < u, w _N >=< u, w >

elde edilir, burada i¸c ¸carpımın s¨ ureklili˘ gi kullanıldı. Buradan ve Cauchy e¸sitsizli˘ ginden kT k = sup _kuk

H

=1 |T (u)| ≤ kwk elde edilir. Tersi ise T (w) = kwk ² _H e¸sitsizli˘ ginden

¸cıkar.