2 sayısını ε dan daha az bir hata ile yakla¸sık hesaplayınız

Soru: Bir ε > 0 verilsin. √

2 sayısını ε dan daha az bir hata ile yakla¸sık hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um: f (x) =√

x fonksiyonu (0, +∞) a¸cık aralı˘gında, istendi˘gi kadar (sonsuz kez) t¨urevlenebilirdir.

Dolayısıyla Kalanlı Taylor Teoreminden, her n∈ N i¸cin, (a = 1, b = 2 alınarak) (n ye ba˘glı bir c ∈ (1, 2) i¸cin)

√2 = f (2) = P_n(2) + f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n + 1)!(2− 1)ⁿ⁺¹ = P_n(2) + R_n olur. n≥ 2 i¸cin f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ−1 1·3·5···(2n−3)

2ⁿ x¹²⁻ⁿ bulunur. Dolayısıyla (n≥ 1 i¸cin) Rn = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n + 1)!(2− 1)ⁿ⁺¹= (−1)ⁿ1· 3 · 5 · · · (2n − 1) (n + 1)!2ⁿ⁺¹cⁿ⁺¹²

olur. 2ⁿ⁺¹(n + 1)! = 2· 4 · · · (2n + 2) ve 1 < c < 2 oldu˘gundan 1 < cⁿ⁺¹² < 2ⁿ⁺¹² nin sonucu olarak

|Rn| < 1· 3 · 5 · · · (2n − 1) (n + 1)!2ⁿ⁺¹ = 1

2 3

4· · ·(2n− 1) 2n

1

2n + 2 ≤ 1 4n + 4

olur. Dolayısıyla _4n+4¹ ≤ ε (e¸sde˘ger olarak n ≥ _4ε¹ − 1) ko¸sulunu sa˘glayan herhangi bir n ∈ N i¸cin (√

2≈ Pn(2) yakla¸sık e¸sitli˘ginde) Hata=|Rn| < ε olur.

Orne˘¨ gin ε = 10⁻² i¸cin n≥ 24 (ilk e¸sitsizli˘ge daha dikkatli bakılırsa n ≥ 9) almak yeterli olacaktır.

P9(x) = 1 + ^(x−1)₂ −^(x−1)₈ ² +^(x−1)₁₆ ³ − ^5(x₁₂₈⁻¹⁾⁴ +^7(x₂₅₆⁻¹⁾⁵ −^21(x₁₀₂₄⁻¹⁾⁶ + ^33(x₂₀₄₈⁻¹⁾⁷ − ^429(x₃₂₇₆₈⁻¹⁾⁸ +^715(x₆₅₅₃₆⁻¹⁾⁹ oldu˘gundan, 10⁻² den az bir hata ile

√2≈ 1 + ¹₂ −¹₈ +₁₆¹ − ₁₂₈⁵ +₂₅₆⁷ − ₁₀₂₄²¹ + ₂₀₄₈³³ − ₃₂₇₆₈⁴²⁹ + ₆₅₅₃₆⁷¹⁵

1