TOPLAM SEMBOLÜ
A. Tanım Z n ,
r ve rn olmak üzere f:ZR , ak ) k (
f
fonksiyonu tanımlanmış olsun.
Bu düşünce ile oluşturulan
an ,..., 2 ar 1, ar r,
a
terimlerinin toplamını,
n
r k ak an
2 ...
ar 1 ar
ar biçiminde
gösteririz.
Bu gösterimde kullandığımız (sigma) sembolüne toplam sembolü denir.
Örnek:
15
6 k ak a15
8 ...
7 a 6 a a
Örnek:
18
3 k
k 18 ...
2 1 0 1 2 3
Örnek:
72 ...
21 18 15
12
) 24 . 3 ( )...
7 . 3 ( ) 6 . 3 ( ) 5 . 3 ( ) 4 . 3
(
24 4 k
) k . 3 (
Örnek:
51
1
k k 1
k 52
... 51 5 4 4 3 3 2 2 1
Örnek:
1 267 1 ...
2 6 1 2 7 1 2 8 67
8 a
1 2a
29 28 27 ...266
Örnek:
50 37 26 17 10
5
) 2 1 5 ( ) 2 1 4 ( ) 2 1 3 ( ) 2 1 2
(
5 2 m
) 2 1 m (
Örnek:
47 . 46 ...
25 . 24 24 . 23 23 . 22 22 . 21
A olduğuna
göre A’yı sembolünü kullanarak ifade edelim.
Çözüm:
47 . 46 ...
25 . 24 24 . 23 23 . 22 22 . 21
A
46 21 k
) 1 k .(
k
Örnek:
5 x 2 ) x (
f olduğuna göre
1
2 k
) k (
f ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
) 1 ( f ) 0 ( f ) 1 ( f ) 2 ( 1 f
2 k
) k (
f
2.(2)52.(1)52.052.15 135716
Örnek:
4
3 k
k5
ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
45 35 25 15 05 )5 1 5 ( ) 2 5 ( ) 3 4 (
3 k
k5
5 1024 4
Örnek:
n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonları sayısı )
r , n (
C ile gösterilmek üzere,
4 3 k
) k C(7,
toplamının sonucunu bulalım.
Çözüm:
) 5 , 7 ( C ) 4 , 7 ( C ) 3 , 7 ( 5 C
3 k
) k C(7,
5.4.3.2.1
3 . 4 . 5 . 6 . 7 1 . 2 . 3 . 4
4 . 5 . 6 . 7 1 . 2 . 3
5 . 6 .
7
35352191
B. Bazı Toplama Kuralları
Toplam sembolüyle ifade edilen değerin hesaplanması için aşağıdaki kuralların bilinmesi gerekir.
1. 2
) 1 n ( n n ...
3 2 n 1
1 k
k
2. n 2 4 6 ... 2n n(n 1) 1
k 2k
3. 2
) 1 n ( n n ...
3 2 n 1
1 k
k
4. 6
) 1 n 2 )(
1 n ( 2 n n 2 ...
2 3 2 2 n 1
1 k
k2
5.
2 2
) 1 n ( 3 n n 3 ...
3 3 3 2 n 1
1 k
k3
6. 1 r
rn 1 1 rn 3 ...
2 r r r n 1
1 k
1 - rk
7. n 1
n ) 1 n .(
n ... 1 3 . 2
1 2 . 1 n 1
1
k k(k 1)
1
8. n 1.!1 2.2! 3.3! ... n.n! (n 1)! 1 1
k k.k!
Örnek:
14 1 k
k
ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
14 ...
3 2 14 1
1 k
k
7.15 105
2 ) 1 14 .(
14
Örnek:
8 1 k
k2
ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
82 2 ...
2 3 2 2 8 1
1 k
k2
204
6 ) 1 8 . 2 )(
1 8 .(
8
Örnek:
19 1
a a.(a 1)
1 ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
) 1 19 .(
19 ... 1 3 . 2
1 2 . 1 19 1
1
a a(a 1)
1
20 19 1 19
19
C. Toplam Sembolünün Özellikleri Özellik
1. bR olmak üzere n n.b 1 k b
dir.
2. bR olmak üzere n (n m 1).b m
k b
dir.
Örnek:
70 1 k
5
toplamının değerini hesaplayalım.
Çözüm:
350 5 . 70 defa
70
5 ...
5 5 70 5
1 k
5
bulunur.
Örnek:
32
5 k
(-3)
toplamının değerini hesaplayalım.
Çözüm:
84 ) 3 .(
28 1
5 32
) 3 ( ...
) 3 ( ) 3 ( ) 3 32 (
5 k
(-3)
Özellik
n
1 k bk n
1 k ak n
1 k
k) k b
(a dir.
Örnek:
6 1 k
2k) 3- (k
toplamının değerini bulalım.
Çözüm:
6
1 k
k 6 2
1 k
k3 6
1 k
) k 3 2 (k
(1323...63)(24...12)
6.7
2 2
) 1 6 .(
6
44142399
Özellik
n 1 k ak . n b
1 k
k)
(b.a dir.
Örnek:
12 1 a
2) 1).(a (a
toplamının değerini hesaplayalım.
Çözüm:
12
1 a
) 2 a 2 3 a 12 (
1 a
2) 1).(a (a
12
1 a 12 2
1 a
a 12 3
1 a
a2
12
1 a 12 2
1 a
a . 12 3
1 a
a2
2 . 2 12
13 . .12 6 3
25 . 13 .
12
908 24 234
650
Örnek:
x 3 2 x 3 ) x (
f olduğuna göre
20 1 k
) k (
f ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
20 1 k
20 1 k
20 1 k
k . 3 2 k . 3 ) k 3 2 k 3 20 (
1 k
) k ( f
420 132300 2
21 . .20 2 2 2
21 . . 20
3
131880
Özellik
n 1 p
k ak
p 1 k ak n
1
k ak dir.
Örnek:
41
12 k
5k
toplamının değerini bulalım.
Çözüm:
41 1 k 5k 41
12 k 5k 11
1 k 5k
11 1 k
5k 41
1 k
k 41 5
12 k
k
5
11
1 k
k . 41 5
1 k
k . 5
4305 830 3975
2 12 . .11 2 5
42 . .41
5
Örnek:
32 5 k
k 376 a
ve
32 11 k
k 284 2a
olduğuna göre
10 5
k ak toplamının değeri kaçtır?
Çözüm:
32 11 k
32 5 k ak ak
10 5
k ak olup,
234 142 10 376
5 k ak 376
10 142 5
k ak
Örnek:
3 1 n n 2
1
k ak
olduğuna göre
a10 değeri kaçtır?
Özellik
r n
r p
k ak r
n p
k ak dir.
r n
r p
k ak r
n p
k ak dir.
Örnek:
21 2 k
5) (2k
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
21 3
3 2 k
) 5 ) 3 k .(
2 21 (
2 k
5) (2k
24
1 k
1 24
1 k
k . 24 2
1 k
) 1 k 2 (
24.1 576
2 25 . .24
2
Örnek:
28
9 k
k2
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
20 1 k
) 64 k 2 16 k 8 (
28 8 9 k
)2 8 k 28 (
9 k
k2
20
1 k
64 20
1 k
k . 20 16
1 k
k2
64 . 2 20
21 . .20 6 16
41 . 21 .
20
7510 1280 3360
2870
Örnek:
n
5 k
7) -
(k ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
6 n
6 5 k
) 7 ) 6 k n ((
5 k
7) - (k
n 6
1 k
13 6
n 1 k
k 6
n 1 k
) 13 k (
(n 6).13
2 ) 7 n ).(
6 n
(
2
156 n 26 42 n 2 13
n
2
114 n 2 13
n
Özellik
m
1 i
n 1 k aik n
1 k
m 1
i aki dır.
Örnek:
5 1 a
6 1 b
6 1 b
b a 5
1 a
6 1 b
) b a (
5
1 a
) 21 a 6 5 (
1 a
2 ) 7 . a 6 6 (
5
1 a
21 5
1 a
a . 6
5.21 90 105 195
2 6 . .5
6
Örnek:
63 12 k
3 27
3 2 m
6 63
12 k
27 2 m
6
63
12 k
) 6 . 30 63 (
12 k
30 1
m 6
52 9360
1 k 11 180 63
11 12 k
180
Örnek:
4 2 a
5 3 b
b) a 2 3
( ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
4
2 a
5) a 2 3 ( 4) a 2 3 4 (
3 a
5 4 b
b) a 2 3 (
4 2 a
) a 48 3 . 2 (
) 4 48 3 . 2 ( ) 3 48 3 . 2
(
120 48 162 48
54
Örnek:
10 1 b
20 1 a
) 1 a 2 1.(
(-1)a .
b ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm:
10 1 b
20 1 a
) 1 a 2 1.(
(-1)a . b
10 1 b
39 37 ...
7 5 3 1 .(
b
10 1 b
2 ...
2 2 2 .(
b
10
1 b
b . 10 20
1 b
b 20
2 1100 11 . .10
20
Örnek:
19 2 k
k 1
m m.(m 1)
1
log ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
19 2 k
k 1
m m.(m 1)
1 log
19 2
k k.(k 1)
... 1 4 . 3
1 3 . 2
1 2 . 1 log 1
19
2
k 20
log 19 4 ...
log 3 3 log 2 1 k log k
10 1 log 1 20 log 2 20 ...19 5 .4 4 .3 3
log 2
Çözümlü Sorular
1. 156
1 132
1 110
1 90
1 72
1 56
1 toplamını toplam
sembolünü kullanarak ifade ediniz.
Çözüm:
156 1 132
1 110
1 90
1 72
1 56
1
13 . 12
1 12 . 11
1 11 . 10
1 10 . 9
1 9 . 8
1 8 . 7
1
12 7 k k.(k 1)
1
2. 20 120
5 k
m
k
olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm:
20 4 120
4 5 k
m 4 20 k
5 k
m
k
16 120
1
k 4 m
16 1 k k 16
1
k k 4 m
120 m 16 64 136 120 ) m 4 .(
2 16 17 .
16
5 m 80 m
16
bulunur.
3.
84 5 k
1 k 2 1 k
2 toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
84 5 k
1 k 2 1 k 2
10 13 3 169 9
) 167 169 ( ...
) 11 13 ( ) 9 11 (
4. n 46 2n
1 k
k 2
a
ve n 0
1
k 2bk
ak
3
olduğuna göre
n 1
k bk toplamı kaçtır?
Çözüm:
n 46 2n
1 k
n 1 k 2 ak
n 2 n 46
1
k 2
ak
n 46 1 k ak n
2 n 46
1
k 2n
ak
olur.
n
1 k
n 1 k
k 0 b . k 2 a . 3 n 0
1
k 2bk
ak 3
n 138 1
k bk
. 2 n 0
1
k bk
. 2 46 .
3
n 69 1 k bk
olur.
5. 6
d 2 cx 3 bx 1 ax
x 1 k
k2
olduğuna göre
a+b+c+d toplamı kaçtır?
Çözüm:
1
x alınırsa,
6 d 2 cx 3 bx 1 ax
x 1 k
k2
ise,
22 12 6
d c b 2 a
1 k
k2
30 d c b a 6 5
d c b
a
olur.
6.
29
12 k
! k k.
toplamının sonucunu bulunuz.
Çözüm:
1 )!
1 n n (
1 k
! k k.
29 1 k
! k k.
29 12 k
! k k.
11 1 k
! k k.
1 )!
1 29 29 (
12 k k.k! 1
)!
1 11
(
1 ! 29 30
12 k
! k k.
1 !
12
! 12
! 29 30
12 k
! k k.
bulunur.
7. 2
2 2 x
2 k
toplamının sonucunu bulunuz.
Çözüm:
2 1 2 k
2 x
2 k
2. ) 1 1 x 2. (1 2
2 k 2
2 2 x
2 k
.( 2 1 0 1 2) 5.1 5
2
1
8.
27 3 b
42 2 a
) b a 42 (
2 a
27 3 b
) b a
( ifadesinin
sonucu kaçtır?
