3x4 2x3+ x2 4x + 2 fonksiyonu için f(5)(x

3.9 Yüksek Mertebeden Türevler

y = f (x) fonksiyonu verildi¼ginde y⁰= dy

dx = f⁰(x)

ifadesine f fonksiyonunun türevi veya birinci türevi denir. E¼ger f⁰ fonksiyonu da türevlenebiliyor ise

(y⁰)⁰ = y⁰⁰= d dx(dy

dx) = d²y

dx² = f⁰⁰(x)

türevine f nin ikinci (basamktan veya mertebeden) türevi denir. Yine f⁰⁰ fonksiyonunun da türevlenebilir olmas¬halinde

(y⁰⁰)⁰= y⁰⁰⁰= d³y

dx³ = f⁰⁰⁰(x)

ifadesine de f nin üçüncü türevi denir. Türevlenebilirlik var oldu¼gu sürece daha yüksek mertebeden türevler bulunabilir. n > 3 için türevin mertebesi parantez içinde do¼gal say¬olarak gösterilir. Buna göre n: türev

y⁽ⁿ⁾= dⁿy

dxⁿ = f⁽ⁿ⁾(x) biçiminde gösterilir.

Örnek 144 f (x) = 3x⁴ 2x³+ x² 4x + 2 fonksiyonu için f⁽⁵⁾(x) =?

Örnek 145 f (x) = ¹_x için f⁽ⁿ⁾(x) =?, f⁽ⁿ⁾(1) =?

Örnek 146 f (x) = sin x için f⁽ⁿ⁾(x) =?

Örnek 147 f (x) = cos 3x için f⁽ⁿ⁾(x) =?

Örnek 148 f (x) = sin²x için f⁽ⁿ⁾(x) =?

Örnek 149 A¸sa¼g¬daki fonksiyonlar için f⁰⁰(0) var m¬d¬r? Varsa bu türevi hesaplay¬n¬z.

1. f (x) = 8<

:

sin_x¹ ; x 6= 0 0 ; x = 0

2. f (x) = 8<

:

x sin_x¹ ; x 6= 0

0 ; x = 0

3. f (x) = 8<

:

x²sin_x¹ ; x 6= 0

0 ; x = 0

Örnek 150 x³+ y³+ 3xy + 3y²+ 6x + 6y = 0 ile tan¬ml¬y = f (x) fonksiyonu için y⁰⁰(1) =?

Örnek 151 f (x) = xⁿ; n 2 N; fonksiyonu için

f (1) +f⁰(1)

1! +f⁰⁰(1)

2! + +f⁽ⁿ⁾(1) n! = 2ⁿ e¸sitli¼ginin do¼grulu¼gunu gösteriniz.

4 TÜREV·IN UYGULAMALARI

Bu kesimde türevin uygulamalar¬ndan baz¬lar¬n¬ (maksimum-minimum prob- lemleri, gra…k çizimleri, limit hesaplamalar¬v.b.) görece¼giz.

Noktasal olarak gra…k çizimi gra…¼gin genel ¸seklini belirlemede yararl¬ ol- mas¬na ra¼gmen sadece gra…k ile ilgili bir yakla¸s¬m belirtmektedir. Kaç noktay¬

çizersek çizelim iki nokta aras¬ndaki ¸sekli sadece tahmin ederiz. Bu k¬s¬mda bu belirsizli¼gi gidermek için türevi nas¬l kullanaca¼g¬m¬z¬görece¼giz.

4.1 Maksimum-Minimum

Bir fonksiyonun gra…¼gi üzerinde soldan sa¼ga hareket ederken fonksiyonun davran¬¸s¬n¬

aç¬klamada artanl¬k ve azalanl¬k kavramlar¬n¬ kullanaca¼g¬z. Bilindi¼gi gibi, f fonksiyonu reel say¬lar¬n bir I alt aral¬¼g¬nda tan¬ml¬olmak üzere e¼ger I aral¬¼g¬n- daki her x1< x2için f (x1) < f (x2) ise f fonksiyonu I aral¬¼g¬nda artand¬r. E¼ger I aral¬¼g¬ndaki her x1< x2için f (x1) > f (x2) ise f fonksiyonu I aral¬¼g¬nda aza- land¬r. Örne¼gin, gra…¼gi a¸sa¼g¬daki ¸sekilde verilen fonksiyon ( 1; 0) aral¬¼g¬nda artan (0; 2) aral¬¼g¬nda azalan ve (2; 1) aral¬¼g¬nda yine artand¬r.

-4 -2 2 4

-4 -2 2 4

x y

Geometrik olarak e¼ger bir fonksiyonun gra…¼gi bir aral¬kta pozitif e¼gimli te¼get do¼grulara sahipse bu fonksiyon o aral¬kta artand¬r. Benzer ¸sekilde bir aral¬kta

fonksiyonun te¼get do¼grular¬negatif e¼gimli ise fonksiyo o aral¬kta azaland¬r.

-1 1 2 3 4 5

-1 1 2

x y

-1 1 2 3 4 5

-1 1 2

x y

Te¼getin e¼gimi daima pozitif Te¼getin e¼gimi daima negatif Bu dü¸sünce ile a¸sa¼g¬daki teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 152 f fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬n¬n her noktas¬nda türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Bu aral¬¼g¬n her x noktas¬nda f⁰(x) > 0 ise f bu aral¬kta artand¬r. (a; b) aral¬¼g¬ndaki her x için f⁰(x) < 0 ise f bu aral¬kta azaland¬r.

Örnek 153 f (x) = x² 4x + 3 fonksiyonunun artan ve azalan oldu¼gu aral¬klar¬

bulunuz.

Örnek 154 f (x) = x³ 3x²+ 1 fonksiyonu hangi aral¬kta artan, hangi aral¬kta azaland¬r?

Örnek 155 f (x) = x³+ 3x fonksiyonunun artan ve azalan oldu¼gu aral¬klar¬

bulunuz.

A R olmak üzere f : A ! R fonksiyonu verilsin. E¼ger her x 2 A için f (x) f (x0) olacak biçimde bir x0 2 A varsa f fonksiyonu A kümesi üz- erinde mutlak minimuma sahiptir denir. f (x0) say¬s¬na da f fonksiyonunun A kümesi üzerinde mutlak minimum de¼geri denir. Benzer ¸sekilde her x 2 A için f (x) f (x₀) olacak biçimde bir x₀2 A varsa f fonksiyonu A kümesi üzerinde mutlak maksimuma sahiptir denir. f (x₀) say¬s¬na da f fonksiyonunun A kümesi üzerinde mutlak maksimum de¼geri denir.

Tan¬m 156 x₀noktas¬n¬içeren bir aç¬k aral¬ktaki tüm x noktalar¬için f (x) f (x₀) oluyorsa f fonksiyonu x₀ noktas¬nda bir yerel minimuma sahiptir denir.

Yine x₀ noktas¬n¬ içeren bir aç¬k aral¬ktaki tüm x noktalar¬ için f (x) f (x₀) oluyorsa f fonksiyonu x0 noktas¬nda bir yerel maxsimuma sahiptir denir. E¼ger f fonksiyonu x0noktas¬nda yerel minimum veya maksimuma sahipse bu noktada yerel ekstremuma sahiptir denir.

Uyar¬157 Yerel ekstremum de¼ger ile mutlak ektremum de¼ger kavramlar¬ bir- birinden ay¬rt edilmelidir. Mutlak ektremum de¼geri fonksiyonun tan¬m kümesi üzerinde veya belirtilen bir küme üzerindeki en büyük veya en küçük de¼geridir.

Ancak yerel ekstremum de¼geri ise fonksiyonun lokal bir aral¬k (veya bölge) üz- erinde ald¬¼g¬ en büyük veya en küçük de¼geridir.

Örnek 158 Sekideki gra…¼ge sahip f : [ 2; 5] ! R fonksiyonu 0 ve 4 nokta-¸ lar¬nda yerel maksimuma 2 noktas¬nda ise bir yerel minimuma sahiptir. Yine bu fonksiyon 2 de mutlak minimuma ve 4 noktas¬nda mutlak maksimuma sahiptir.

-4 -2 2 4

-10 10

x y

Uyar¬159 Bu aç¬klamalara göre x0 noktas¬nda sürekli olan f fonksiyonu bu noktan¬n solunda artan, sa¼g¬nda azalansa x0 noktas¬ bir yerel maksimum nok- tad¬r. Yine f fonksiyonu x₀ noktas¬n¬n solunda azalan, sa¼g¬nda artansa x₀ noktas¬ bir yerel minimum noktad¬r. Dolay¬s¬yla f fonksiyonunun yatay te¼gete sahip oldu¼gu noktalar yerel ekstremum noktalar¬d¬r. Bununla birlikte fonksiy- onun türevlenemedi¼gi noktalarda da yerel ekstremum olabilir. Buna göre a¸sa¼g¬- daki teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 160 E¼ger f fonksiyonu x0 noktas¬nda yerel ekstremuma sahipse ya f⁰(x0) = 0 ya da f bu noktada türevlenemezdir.

Örnek 161 f (x) = 3 (x 1)² ile verilen fonksiyon için x₀ = 1 noktas¬ bir yerel maksimum noktad¬r ve f⁰(1) = 0 d¬r.

-1 1 2 3

-2 2

x y

Örnek 162 f (x) = jx 1j 1 ile verilen fonksiyon için x⁰= 1 noktas¬bir yerel minimum noktad¬r ve f bu noktada türevlenemez

-1 1 2 3

-2 2

x y

Örnek 163 f (x) = x²³ + 1 fonksiyonu için x₀= 0 bir yerel minimum noktad¬r ve f bu noktada türevlenemez.

Tan¬m 164 f⁰(x) = 0 olan x noktalar¬na f nin duraklama noktalar¬ denir. f fonksiyonunun duraklama noktalar¬na veya tan¬m kümesine ait türevlenemedi¼gi noktalara f nin kritik noktalar¬ denir.

Yukar¬daki tan¬m ve teorem birlikte dü¸sünülürse bir fonksiyonun ekstremum noktalar¬n¬n kritik noktalarda oldu¼gu söylenebilir. Ancak her kritik nokta fonksiy- onun bir ekstremum noktas¬de¼gildir.

Örnek 165 f (x) = x³ fonksiyonu için f⁰(x) = 3x² olup x₀ = 0 bir kritik noktad¬r. Ancak bu nokta bir yerel ekstremum nokta de¼gildir. Yine

g(x) = 8<

:

x²+ 1 ; x > 0

0 x = 0

x² 1 ; x < 0

fonksiyonu x0 = 0 noktas¬nda türevlenebilir de¼gildir. Dolay¬s¬yla bu nokta bir kritik noktad¬r ancak bir yerel ekstremum nokta de¼gildir.

Örnek 166 f (x) = 3x⁵ 20x³fonksiyonunun kritik noktalar¬n¬bulunuz. Bun- lardan hangileri yerel ektsremum noktad¬r.

Örnek 167 f (x) = x sin x + cos x fonksiyonunun [0; 2 ] de yerel ekstremum noktalar¬n¬ bulunuz.

Yukar¬daki gözlemler ¬¸s¬¼g¬nda ¸su teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 168 (Birinci Tütev Testi) x0 noktas¬ f nin bir kritik noktas¬ ve f bu noktada sürekli olsun.

1. E¼ger x₀ noktas¬n¬n solundaki bir aç¬k aral¬kta f⁰(x) > 0 ve sa¼g¬ndaki bir aç¬k aral¬kta f⁰(x) < 0 ise x₀noktas¬f nin bir yerel maksimum noktas¬d¬r.

2. E¼ger x₀ noktas¬n¬n solundaki bir aç¬k aral¬kta f⁰(x) < 0 ve sa¼g¬ndaki bir aç¬k aral¬kta f⁰(x) > 0 ise x₀ noktas¬f nin bir yerel minimum noktas¬d¬r.

Buna göre sürekli f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalar¬f⁰ nün i¸saret de¼gi¸stirdi¼gi noktalard¬r.

Örnek 169 f (x) = x³ 3x² 1 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalar¬n¬

bulunuz.

Örnek 170 f (x) = 3x⁵³ 15x²³ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalar¬n¬

bulunuz. x₀= 0 yerel maksimum x₁= 2 yerel minimum noktad¬r. Fonksiyonun x0 da türevlenemedi¼gine dikkat ediniz.

-2 2 4 6

-15 -10

-5 x

y

Teorem 171 (·Ikinci Türev Testi) x0 noktas¬ f nin bir kritik noktas¬ ve f bu noktada sürekli olsun.

1. E¼ger f⁰⁰(x0) > 0 ise x0 noktas¬ f nin bir yerel minimum noktas¬d¬r.

2. E¼ger f⁰⁰(x₀) < 0 ise x₀ noktas¬ f nin bir yerel maksimum noktas¬d¬r.

Örnek 172 f (x) = x +¹_x fonksiyonunun yerel ekstremum noktalar¬n¬bulunuz.

Sürekli fonksiyonlar¬n baz¬ özelliklerini daha önce inceledik. Bunlardan en önemlisi kapal¬bir aral¬k üzerinde tan¬ml¬sürekli bir fonksiyonun bu aral¬k üz- erinde mutlak ekstremum de¼gerlerini ald¬¼g¬d¬r. Ancak bu bilgi bu ekstremum de¼gerlerin ne oldu¼gunu ve hangi noktalarda bulundu¼gunu vermemektedir. Örne¼gin, f (x) = 3x⁴ 4x³+ 12 ¸seklinde tan¬ml¬ f fonksiyonu [ 2; 2] aral¬¼g¬ üzerinde sürekli bir fonksiyondur. Dolay¬s¬yla bu aral¬k üzerinde mutlak ekstremum de¼gerlerini al¬r. Ekstremum de¼gerlerin ne oldu¼gu sorusu da önemlidir. Bununla ilgili a¸sa¼g¬daki teoremi ifede edebiliriz.

Teorem 173 f : [a; b] ! R sürekli bir fonksiyon olsun. O zaman f bu aral¬k üz- erindeki mutlak ekstremum de¼gerleini ya (a; b) aç¬k aral¬¼g¬ndaki kritik notalarda ya da a (veya b) uç noktas¬nda al¬r.

Buna göre f : [a; b] ! R sürekli fonksiyonu verildi¼ginde mutlak ekstremum de¼gerleri bulmak için a¸sa¼g¬daki yol izlenebilir. ·Ilk olarak (a; b) aral¬¼g¬ndaki kritik noktalar bulunur, yani türevin s¬f¬r yapt¬¼g¬noktalar ile türevlenemedi¼gi noktalar bulunur. Daha sonra fonksiyonun bu kritik noktalardaki de¼gerlei ile f (a) ve f (b) de¼gereleri hesaplan¬r. Bunlar¬n en büyü¼gü mutlak maksimum, en küçü¼gü mutlak minimum de¼gerdir.

Örnek 174 f (x) = 2x³ 15x²+ 36x biçiminde tan¬ml¬ fonksiyonun [ 1; 5]

aral¬¼g¬ndaki mutlak ektremum de¼gerelerini bulunuz.

Örnek 175 f (x) = 6x⁴³ 3x¹³ biçiminde tan¬ml¬ fonksiyonun [ 1; 1] aral¬¼g¬n- daki mutlak ektremum de¼gerelerini bulunuz.

Uyar¬176 Teorem 173, sürekli olmayan fonksiyonlar için geçerli de¼gildir. Örne¼gin f : [ 1; 1] ! R

f (x) = 8<

:

1

x ; x 6= 0 0 ; x = 0

biçiminde tan¬ml¬fonksiyonu göz önüne ala¬m. f nin ( 1; 1) aral¬¼g¬ndaki kritik noktas¬ sadece 0 d¬r. Çünkü f bu noktada türevli de¼gildir. Böylece f (0) = 0; f ( 1) = 1 ve f (1) = 1 olup bunlar¬n hiç biri f nin mutlak ekstremum de¼geri de¼gildir.

Aç¬k aral¬kta veya sonsuz aral¬kta tan¬ml¬sürekli fonksiyonlar¬n mutlak ek- stremum de¼gerelrini bulma problemi zordur. Öncelikle böyle bir fonksiyonunu mutlak ekstremum de¼geri olmayabilir. Olsa bile bu de¼gerin bulunmas¬için kesin bir yöntem yoktur.

Örnek 177 f (x) = 3x⁴+ 4x³ biçiminde tan¬ml¬ fonksiyonun R de mutlak ek- tremumu var m¬d¬r?

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

x y

Verilen fonksiyounun gra…¼gini göz önüne al¬n¬rsa mutlak minimuma sahip oldu¼gu fakat maksimuma sahip olmad¬¼g¬görülmektedir. Yine mutlak mininmum de¼gerinin bir kritik noktada oldu¼gu da görülmektedir.

A¸sa¼g¬daki teorem, fonksiyonunu gra…¼gini çizmeden mutlak ekstremum de¼gerini bulmada kullan¬labilir.

Teorem 178 f fonksiyonu I aç¬k aral¬¼g¬nda tan¬ml¬sürekli bir fonksiyon ve x0

bu fonksiyonunu I aral¬¼g¬ndaki tek yerel ekstremum noktas¬olsun. O zaman x₀ bir yerel minimum (maksimum) nokta ise f (x₀) mutlak minimum (maksimum) de¼gerdir.

Örnek 179 f (x) = x +_x¹ fonksiyonunun (0; 1) üzerindeki mutlak ekstremum de¼gerelerini (varsa) bulunuz.

Örnek 180 f (x) = x ln x x fonksiyonunun (0; 1) üzerindeki mutlak ekstremum de¼gerelerini (varsa) bulunuz.

4.2

4.3 Maksimum-Minimum Problemleri

Bu kesimde daha önce geli¸stirdi¼gimiz yöntemleri baz¬ optimizasyon peoblem- lerinde nas¬l kullanaca¼g¬m¬z¬görece¼giz. Optimizasyon problemleri çözülürken ¸su yolu izlemede yarar vard¬r. ·Ilk olarak verilenler de¼gi¸skenlerle gösterilir, maksi- mumu veya minimumu istenen çokluk bu de¼gi¸skenlerle ifade edilir, verilenler kul- lan¬larak tek de¼gi¸skenli bir fonksiyon bulunur, fonksiyondaki ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenin s¬n¬rar¬tespit edilir, son olarak yukar¬da verilen yöntemler kullan¬larak fonksiy- onun mutlak ektremum de¼geri hesaplan¬r.

Örnek 181 P (⁵₂; 0) noktas¬n¬n y =p

x e¼grisine olan uzakl¬¼g¬n¬ bulunuz.

Çözüm 182 ·Istenen uzakl¬k, P noktas¬ ile verilen e¼grinin noktalar¬aras¬ndaki uzakl¬klar¬n¬n en küçü¼güdür. A(x;p

x) verilen e¼gri üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere

jAP j = r

(x 5 2)²+ x olur. Ozaman d(x) =

q

(x ⁵₂)²+ x fonksiyounun [0; 1) üzerindeki en küçük de¼geri sorulmaktad¬r. Bunun için

f (x) = (x 5 2)²+ x

fonksiyounun [0; 1) üzerindeki en küçük de¼gerini bulmak yeterlidir. Çünkü f yi en küçük yapan de¼ger d yi de en küçük yapar.

f⁰(x) = 2x 4

olup f nin (0; 1) aral¬¼g¬ndaki tek yerel ekstremum noktas¬x = 2 dir ki bu nokta bir yerel minimum noktad¬r. Ozaman f nin (0; 1) üzerindeki en küçük de¼geri f (2) = ⁹₄ dür. Ayr¬ca f (0) = ²⁵₄ oldu¼gundan f nin [0; 1) üzerindeki en küçük de¼geri ⁹₄ olur. Sonuç olarak istenen en küçük uzakl¬k d(2) = ³₂ olur.

Örnek 183 Toplamlar¬40 olan iki pozitif tam say¬n¬n kareleri toplam¬en fazla kaç olur.

Çözüm 184 Bu tam say¬lar x ve y olsun. Verilenlere göre x+y = 40 olmal¬d¬r.

x²+ y² ifadesinin en büyük de¼geri sorulmaktad¬r. y = 40 x oldu¼gundan f (x) = x²+ (40 x)² fonksiyonunun [1; 39] aral¬¼g¬ndaki en büyük de¼geri bulunacakt¬r.

f⁰(x) = 4x 80

oldu¼gundan x = 20 kritik noktad¬r. O zaman f (20) = 400; f (1) = f (39) = 1521 oldu¼gundan istenen en büyük de¼ger 1521 dir.

Örnek 185 16 cm eninde 30 cm boyunda bir kartonun kö¸selerinden e¸sit kareler kesilip üstü aç¬k bir kutu yap¬l¬yor. Karelerin kenar¬ ne olmal¬d¬r ki, kutunun hacmi maksimum olsun?

Çözüm 186 Karenin bir kenar¬ x olsun. O zaman yap¬lacak kutunun hacmi V (x) = x(16 2x)(30 2x)

= 480x 92x²+ 4x³

olur. Burada x uzunlu¼gu temsil etti¼ginden ne¼gatif olamaz. Ayr¬ca dikdörtgenin eni 16 cm oldu¼gundan x en fazla 8 cm olabilir. Dulay¬s¬yla V nin [0; 8] üzerindeki en büyük de¼geri sorulmaktad¬r.

V⁰(x) = 480 182x + 12x²= 0

480 184x + 12x² = 0 ise x = ¹⁰₃ veya x = 12 olur. x = 12 noktas¬ [0; 8]

aral¬¼g¬n¬n d¬¸s¬ndad¬r. O zaman V nin en büyük de¼geri ya uç noktalarda ya da kritik nokta olan ¹⁰₃ tedir. V (0) = V (8) = 0 oldu¼gundan hacim en fazla

V (10

3 ) =19600 27 cm³ olur.

Örnek 187 1 litre s¬v¬n¬n konulaca¼g¬silindirik ¸sekilde bir kapal¬kutu yap¬lmak isteniyor. En az malzemenin kullan¬ld¬¼g¬ kutunun boyutlar¬ ne olmal¬d¬r?

Çözüm 188 Silindirik kutunun taban yar¬çap¬ r ve yüksekli¼gi h olsun. Hacim V = r²h = 1000 ml dir. Malzemenin en az kullan¬lmas¬ için yüzey alan¬n en küçük olmas¬ gerekir. O zaman kapal¬ silindirin yüzey alan¬ 2 r²+ 2 rh oldu¼gundan

S(r) = 2 r²+2000 r

fonksiyonunun (0; 1) üzerindeki en küçük de¼geri sorulmaktad¬r. S⁰(r) = 4 r

1000

r² = 0 ise r = ³

q500 tek kritik noktad¬r. Üstelik bu nokta bir yerel minimum

noktad¬r. Dolay¬s¬yla S fonksiyonu en küçük de¼gerini r = ³

q500 noktas¬nda al¬r.

Buna kar¸s¬l¬k

h = 1000

r^r = 1000 (⁵⁰⁰)²³ = 2³

r500

= 2r olur.

Örnek 189 Taban yar¬çap¬ 6 cm yüksekli¼gi 10 cm olan bir koninin içine yer- le¸stirilebilen maksimum hacimli silindirin hacmi ne olur?

Örnek 190 Hipotenüsü p

3 birim olan bir dik üçgen dik kenarlar¬ndan biri etraf¬nda döndürülüyor. Olu¸san koninin hacmi en fazla ne olur?

Örnek 191 Yar¬çap¬6 cm olan küre içine yerle¸stirilebilen bir dik koninin hacmi en fazla ne olur?

Örnek 192 Taban yar¬çap¬ 6 cm yüksekli¼gi 12 cm olan bir koninin içine bir ba¸ska koni ters ve tabanlar¬ paralel olacak ¸sekilde yerle¸stiriliyor. Yerle¸stirilen koninin taban yar¬çap¬ ve yüksekli¼gi ne olmal¬d¬r ki hacmi en fazla olsun.

Örnek 193 Yar¬çap¬2 cm olan bir yar¬çemberin içine bir diktörtgen yerle¸stir- ilecektir. Bu dikdörtgenin alan¬ en fazla ne olur.

4.4 Türevle ·Ilgili Teoremler

Bu kesimde kapal¬bir aral¬k üzerinde sürekli, iç k¬s¬mda türevlenebilir fonksiy- onlar¬n özellikleri ile ilgili baz¬ teoremler inceleyece¼giz. Bunlar¬n en önemlileri Rolle Teoremi ve Ortalama De¼ger Teoremidir.

Teorem 194 (Rolle Teoremi) f fonksiyounu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir olsun. E¼ger f (a) = f (b) ise (a; b) aral¬¼g¬nda f⁰(c) = 0 olacak ¸sekilde en az bir c noktas¬ vard¬r.

Ispat. f fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli oldu¼gundan bu aral¬k üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum de¼gerlerini al¬r. Bunlar s¬ras¬ile M ve m olsun. E¼ger M = m ise f sabit fonksiyon olur ki bu durumda her c 2 (a; b) için f⁰(c) = 0 olur. ¸Simdi m < M olsun. f (a) = f (b) oldu¼gundan f fonksiyonu M ve m de¼gerlerini uç noktalarda almaz. Kabul edelim ki m de¼gerini (a; b) aral¬¼g¬ndaki c noktas¬nda als¬n. O zaman c bir yerel minimum nokta olup bir kritik nokta olur. f fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir oldu¼gundan c de de türevlenebilirdir. Böylece bu kritik nokta sadece türevin s¬f¬r yapt¬¼g¬ yer olmal¬d¬r. Yani f⁰(c) = 0 d¬r.

Sonuç 195 f fonksiyounu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir olsun. E¼ger f (a) = f (b) ise y = f (x) e¼grisinin en az bir noktas¬ndaki te¼geti yatayd¬r.

-2 2 4

-2 2 4

x y

Sonuç 196 Kapal¬aral¬kta sürekli ve iç k¬s¬mda türevlenebilir olan bir fonksiy- onun iki s¬f¬r yeri aras¬nda türevin s¬f¬r oldu¼gu en az bir nokta vard¬r.

-2 2 4

-2 2

x y

Örnek 197 Rolle teoreminden yararlanarak 5x⁴ 4x+1 = 0 denkleminin (0; 1) de en az bir köke sahip oldu¼gunu gösteriniz. f (x) = x⁵ 2x²+ x denirse f fonksiyonu [0; 1] de sürekli ve (0; 1) de türevlenebilirdir. Üstelik f (0) = f (1) = 0 d¬r. O zaman Rolle teoreminden f⁰(c) = 0 olacak ¸sekilde en az bir c 2 (0; 1) vard¬r. f⁰(x) = 5x⁴ 4x + 1 oldu¼gundan 5x⁴ 4x + 1 = 0 denkleminin (0; 1) de en az bir kökü vard¬r.

Örnek 198 Simetrik bir kapal¬aral¬k üzerinde sürekli ve iç k¬s¬mda türevlenebilir çift fonksiyonlar¬n en az bir yatay te¼gete sahip oldu¼gunu gösteriniz.

Örnek 199 f : [ 1; 1] ! R, f(x) = ^{1 x}_1+x²² fonksiyonu Rolle teoreminin ¸sart- lar¬n¬ sa¼glar m¬? Sa¼glarsa teoremde ad¬ geçen c say¬s¬n¬ bulunuz.

Örnek 200 f : [ 1; 1] ! R, f(x) = x⁴ln(1 + x²) fonksiyonu Rolle teoreminin

¸

sartlar¬n¬ sa¼glar m¬? Sa¼glarsa teoremde ad¬ geçen c say¬s¬n¬ bulunuz.

Örnek 201 f : [ 1; 1] ! R, f(x) = x²³ + 1 fonksiyonu [ 1; 1] de sürekli ve f ( 1) = f (1) dir. ( 1; 1) de f⁰(c) = 0 olacak ¸sekilde bir c say¬s¬var m¬d¬r? Bu sonuç Rolle teoremiile çeli¸sir mi? Neden?

¸

Simdiki verece¼gimiz teorem Ortalama De¼ger Teoremi olarak bilinir ve geometrik olarak, teoremdeki ¸sartlar¬sa¼glayan bir y = f (x) e¼grisinin A(a; f (a)) ve B(b; f (b)) noktalar¬ndan geçen kiri¸s do¼grusuna paralel en az bir te¼get do¼grusunun var oldu¼gunu söyler. Dikkat edelim ki A ve B noktalar¬ndan geçen kiri¸s do¼grusu- nun e¼gimi

mAB= f (b) f (a) b a

d¬r. Asl¬nda bu teorem Rolle teoreminin bir genel halidir. Çünkü A ve B noktalar¬ndan geçen kiri¸s do¼grusunun yatay olmas¬halinda f (a) = f (b) olur ki bu durum Rolle teoreminde incelenmi¸stir.

-2 2 4

-2 2 4 6

x y

Teorem 202 (Ortalama De¼ger Teoremi) f fonksiyounu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir olsun. O zaman (a; b) aral¬¼g¬nda

f⁰(c) = f (b) f (a) b a olacak ¸sekilde en az bir c noktas¬ vard¬r.

Ispat. G : [a; b] ! R fonksiyonu G(x) = f(x) f (b) f (a)

b a x ¸seklinde tan¬mlans¬n.

O zaman G fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilirdir.

Üstelik

G(a) = G(b) = bf (a) af (b) b a

olur. O zaman Rolle teoreminden G⁰(c) = 0 olacak ¸sekilde bir c 2 (a; b) vard¬r.

Bu durumda

f⁰(c) = f (b) f (a) b a oldu¼gu aç¬kt¬r.

Örnek 203 f (x) = x³+ 1 fonksiyonu veriliyor. [1; 2] aral¬¼g¬nda f nin Orta- lama De¼ger Teoreminin ¸sartlar¬n¬sa¼glad¬¼g¬n¬gösteriniz ve teoremde ad¬geçen c say¬s¬n¬ bulunuz.

Örnek 204 f fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli ve (a; b) aral¬¼g¬n¬n her x nok- tas¬ için f⁰(x) = 0 ise f sabit fonksiyondur. Gerçekten, x 2 (a; b] olmak üzere [a; x] aral¬¼g¬nda ye Ortalama De¼ger Teoremini uygularsak

f (x) f (a)

x a = f⁰(c)

olacak ¸sekilde bir c 2 (a; x) vard¬r. O zaman f(x) f (a) = (x a)f⁰(c) olup f⁰(c) = 0 oldu¼gundan f (x) = f (a) olur. Yani her x 2 (a; b] için f(x) = f(a) oldu¼gundan her x 2 [a; b] için f(x) = f(a) olur. O halde f sabit fonksiyondur.

Örnek 205 f ve g fonksiyonlar¬[a; b] aral¬¼g¬nda sürekli ve (a; b) aral¬¼g¬n¬n her x noktas¬ için f⁰(x) = g⁰(x) olsun. O zaman her x 2 [a; b] için f(x) ile g(x) aras¬ndaki fark sabittir. Gerçekten her x 2 [a; b] için h(x) = f(x) g(x) dersek (a; b) aral¬¼g¬n¬n her x noktas¬ için h⁰(x) = f⁰(x) g⁰(x) = 0 olur. O zaman h sabit fonksiyondur. Yani her x 2 [a; b] için f(x) g(x) = K (K sabit) olur.

4.5 Belirsiz ¸Sekiller

Bir fonksiyonun x = a noktas¬ndaki limiti ara¸st¬r¬l¬rken belirsiz ¸sekiller denilen 0

0, 1

1, 1 1, 0:1, 0⁰, 1⁰, 1¹

ifadelerinden biri ile kar¸s¬la¸s¬labilir. Bu tip limitler türev yard¬m¬yla hesaplan- abilmektedir. Bu tip limitlerin hesaplanmas¬nda kullan¬lacak olan ve L’Hopital Kural¬ ad¬ verilen teoremi ispatlamadan önce genelle¸stirilmi¸s ortalama de¼ger teoremini vermek gerekmektedir.

Teorem 206 (Genelle¸stirilmi¸s Ortalama De¼ger Teoremi) f ve g fonksiy- onlar¬[a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir ve (a; b) deki her x için g⁰(x) 6= 0 olsun. Bu durumda (a; b) aral¬¼g¬nda

f⁰(c)

g⁰(c) = f (b) f (a) g(b) g(a) olacak ¸sekilde bir c say¬s¬ vard¬r.

Ispat. Öncelikle g fonksiyonunun [a; b] aral¬¼g¬nda Ortalama De¼ger Teoreminin

¸sartlar¬n¬sa¼glad¬¼g¬dikkate al¬n¬rsa

g(b) g(a) = g⁰(x₀)(b a)

e¸sitli¼gini sa¼glayan bir x₀2 (a; b) noktas¬n¬n var oldu¼gunu söyleyebiliriz. g⁰(x₀) 6=

0 oldu¼gundan bu durum g(b) g(a) 6= 0 oldu¼gunu göserir. ¸Simdi F (x) = f (x) f (a) f (b) f (a)

g(b) g(a)[g(x) g(a)]

ile tan¬ml¬F fonksiyonunu göz önüne ala¬m. F fonksiyonunun [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli ve (a; b) de türevlenebilir oldu¼gu aç¬kt¬r. Ayr¬ca F (b) = F (a) d¬r. O zaman Rolle Teoremi gere¼gi F⁰(c) = 0 olacak ¸sekilde bir c 2 (a; b) noktas¬

vard¬r. Buradan

0 = F⁰(c) = f⁰(c) f (b) f (a) g(b) g(a)[g⁰(c)]

olup

f⁰(c)

g⁰(c) = f (b) f (a) g(b) g(a) bulunur.

Örnek 207 f (x) = x³+x ve g(x) = x²fonksiyonlar¬na [0; 1] aral¬¼g¬nda Genelle¸stir- ilmi¸s Ortalama De¼ger Teoremi uygulanabilir mi? Uygulanabiilir ise teoremde bilirtilen c say¬s¬n¬ bulunuz.

1-) ⁰₀ Belirsizlik Hali: Bu belirsizlik hali a¸sa¼g¬daki teorem yrd¬m¬yla hesa- planabilmektedir.

Teorem 208 (L’Hopital Kural¬) f ve g fonksiyonlar¬ a noktas¬nda sürekli, a y¬ içeren bir aç¬k aral¬kta türevlenebilir ve bu aral¬ktaki her x için g⁰(x) 6= 0 olsun. E¼ger

xlim!af (x) = lim

x!ag(x) = 0 (8)

ise

xlim!a

f (x) g(x) = lim

x!a

f⁰(x) g⁰(x) dir.

Ispat. f ve g fonksiyonlar¬a noktas¬nda sürekli olduklar¬ndan (8) den f (a) = g(a) = 0 d¬r. ¸Simdi x > a olmak üzere [a; x] aral¬¼g¬nda f ve g fonksiy- onlar¬na Genelle¸stirilmi¸s Ortalama De¼ger Teoremini uygulayal¬m. O zaman f (a) = g(a) = 0 oldu¼guda dikkate al¬narak

f⁰(c)

g⁰(c) = f (x) f (a)

g(x) g(a) = f (x) g(x)

e¸sitli¼gini sa¼glayan bir c 2 (a; x) noktas¬vard¬r. x, a ya yakla¸s¬rken c de a ya yakla¸sacakt¬r, çünkü daima a ile x aras¬ndad¬r. Dolay¬s¬yla

lim

x!a⁺

f (x) g(x) = lim

c!a⁺

f⁰(c) g⁰(c) = lim

x!a⁺

f⁰(x) g⁰(x) olur. Benzer ispat x < a için de yap¬labillir.

Uyar¬209 E¼ger limx!af⁰(x)

g⁰(x) limitinde de ⁰₀ belirsizlik durumu varsa L’Hopital kural¬ bir kez daha uygulan¬r. Bu belirsizlik durumundan kurtuluncaya kadar kural tekrarlanabilir.

Uyar¬210 Teoremin ispay¬ndan da anla¸s¬laca¼g¬ gibi L’Hopital Kural¬ sa¼g ve sol tara‡¬ limitler için de geçerlidir. Ayr¬ca L’Hopital kural¬

xlim!1

f (x) g(x)

tipindeki limitlerin de ⁰₀ belirsizli¼gine sahip olmalar¬durmunda da kullan¬labilir.

Çünkü bu durumda x =¹_t yazarak x ! 1 için t ! 0⁺ olaca¼g¬ndan

xlim!1

f (x) g(x) = lim

t!0⁺

f (¹_t) g(¹_t) = lim

t!0⁺

f⁰(¹_t)( _t¹2) g⁰(¹_t)( _t¹2) = lim

t!0⁺

f⁰(¹_t) g⁰(¹_t) = lim

x!1

f⁰(x) g⁰(x) olur. x ! 1 içinde benzer durum göz önüne al¬nabillir.

Örnek 211 L’Hopital Kural¬n¬da dikkate alarak a¸sa¼g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z.

1. limx!1 ln x 2x²+3x+1 = 0 2. lim_x!0^{x sin x}_x3 = ¹₆ 3. limx!1 ² arctan x

1 x

= 1 4. lim_x!0sin x tan x

x³ = ¹₂ 5. limx!0sin(1 cos x)

x² =¹₂ 6. limx!0cos³3x cos³2x

x² = ¹⁵₂

2-) ¹₁ Belirsizlik Hali: ^u_v = ^1=v_1=u dü¸süncesi ile ¹₁ belirsizlik halindeki limitler ⁰₀ belirsizlik haline dönü¸stürülebildi¼ginden ¹

1 belirsizlik durumunda da L’Hopital kural¬geçerlidir.

Örnek 212 L’Hopital Kural¬n¬da dikkate alarak a¸sa¼g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z.

1. lim_x!0+ ln(sin x) ln(tan x) = 1 2. lim_x!

2

sec x 1+tan x = 1

3. lim_x!0⁺ ln(1 cos x) ln x = 2

3-) 0:1 Belirsizlik Hali: u:v = 1=v^u dü¸süncesi ile 0:1 belirsizli¼gi ⁰₀ veya

11 beirsizli¼gine dönü¸stürülerek L’Hopital kural¬kullan¬labilir.

Örnek 213 L’Hopital Kural¬n¬da dikkate alarak a¸sa¼g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z.

1. lim_x!0(1 cos x) cot x = 0 2. limx!1x sin(¹_x) = 1 3. lim_x!0⁺p

x ln x = 0

4-) 1 1 Belirsizlik Hali: Bu belirsizlik halide ⁰0 veya ¹₁ beirsizli¼gine dönü¸stürülebilir. En az¬ndan u v =(1=v) (1=u)

1=uv dü¸süncesi bunu sa¼glar.

Örnek 214 L’Hopital Kural¬n¬da dikkate alarak a¸sa¼g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z.

1. lim_x!0⁺(cot x _x¹) = 0 2. lim_x!0⁺(^3x+1_{sin x} ¹_x) = 3 3. limx!0 csc²x x ² = ¹₃

5-) 0⁰, 1⁰ ve 1¹ Belirsizlik Halleri: y = u^v tipindeki fonksiyonlar¬n, x sonlu bir say¬ya yakla¸st¬¼g¬nda veya 1 a gitti¼ginde limitleri bu tür belirsizlik durumlar¬n¬olu¸sturabilir. Bu durumda logaritma alma i¸slemi ile

ln y = v ln u

e¸sitli¼gi elde edilir. O zaman ln y fonksiyonunu limiti 0:1 belirsizli¼gine döner.

Bu limit bilinen yolla hesapland¬ktan sonra y fonksiyonunu limiti için do¼galüstel fonksiyon kullan¬l¬r.

Örnek 215 L’Hopital Kural¬n¬da dikkate alarak a¸sa¼g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z.

1. lim_x!0 (1 e^x)^{sin x}= 1 2. lim_x!0+(cot x)^{ln x1} = e ¹ 3. limx!0(1 + 3x)^x1 = e³ 4. lim_x!0⁺(sin x)^x= 1 5. lim_x!0⁺(sin x)^{tan x}= 1

4.6 Ek Sorular

Örnek 216 A¸sa¼g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z.

1. lim_x!1^{+ (x}

2 1)p

kxk sin(x 1) = 2 2. limx!0lim

x!0

p1+sin x p 1+tan x

x³ = ¹₄

3. limx!ysin ¹x sin ¹y

x y =p¹

1 y²

4. lim_x!0sin²x sin x²

x⁴ = ¹₃

5. limx!1e^x+ln x e^x+x = 1 6. lim_x!

2 (sin x)^{sec x}= 1 7. lim_x!0⁺(cot x csc x) = 0 8. lim_x!0^(1+x)

1 x e x = ¹₂e 9. lim_x!0(^{sin x}_x )^{1 cos x1} = e ¹³ 10. lim_x!0(^{arcsin x}_x )^x21 = e¹⁶

4.7 Gra…k Çizimi

Bir fonksiyonun gra…gi sonsuz çoklukta nokta içerebilece¼ginden, bu noktalar¬

koordinat düzleminde i¸saretlemek mümkün olmayabilir. Ayr¬ca e¼gri üzerindeki bir kaç noktan¬n belirlenerek gra…¼gin çizilmesi de sa¼gl¬kl¬olmaz. Çünkü böyle bir durumda iki nokta aras¬nda kalan parçan¬n davran¬¸s¬ hakk¬nda kesin bir bilgi bulunmaz. Bu nedenle fonksiyonun baz¬ özelliklerini kullanarak gra…¼gini düzgün bir ¸sekilde çizebiliriz. Bu özelliklerin ba¸s¬nda fonksiyonun kritik nokta- lar¬ile artanl¬k ve azalanl¬k kavramlar¬gelmektedir. Yine fonksiyonun konvek- slik ve konkavl¬k durumu ile varsa asimtotlar¬n¬n belirlenmesi gra…¼gin daha net çizilmesinde yarar sa¼glar. Gra…k çizimine geçmeden fonksiyonun konvekslik ve konkavl¬k durumu ile asimtotlar¬n¬n nas¬l belirlenece¼gini inceleyelim.

Düzlemde bir kümenin herhangi iki noktas¬n¬birle¸stiren do¼gru parças¬yine bu küme içinde kal¬yorsa bu kümeye konveks küme ad¬ verilir. Örne¼gin üç- genlerin, karelerin ve çemberlerin iç bölgeleri birer konveks kümedir. Ancak düzlemde y¬ld¬z ¸seklinde bir küme konveks de¼gildir.

Bu dü¸sünce ile [a; b] üzerinde tan¬ml¬ sürekli bir f fonksiyonu verildi¼ginde e¼ger fonksiyonun gra…¼ginin üst taraf¬nda kalan bölge konveks ise f fonksiyonu konvekstirveya yukar¬bükümlüdür denir. E¼ger fonksiyonun gra…¼ginin alt taraf¬nda kalan bölge konveks ise f fonksiyonu konkavd¬r veya a¸sa¼g¬büküm- lüdür denir. Örne¼gin y = x² fonksiyonu konveks, y = 1 x² fonksiyonu

konkavd¬r. Yine y = x³fonksiyonu ( 1; 0] aral¬¼g¬nda konkav, [0; 1) aral¬¼g¬nda konvekstir.

Buradan da anla¸s¬laca¼g¬ üzere x, (a; b) aral¬¼g¬nda artarken f nin gra…¼gine te¼get olan do¼grular¬n e¼gimleri artarsa fonksiyon bu aral¬kta konvekstir. E¼ger te¼get olan do¼grular¬n e¼gimleri azal¬rsa fonksiyon bu aral¬kta konkavd¬r. Buna göre a¸sa¼g¬daki tan¬m¬verebiliriz.

Tan¬m 217 f fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda türevlenebilir olsun.

1. E¼ger f⁰ fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda artan ise f nin gra…¼gi bu aral¬kta konvekstir.

2. E¼ger f⁰ fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda azalan ise f nin gra…¼gi bu aral¬kta konkavd¬r.

Bir fonksiyonun artan ve azalan oldu¼gu bölgeleri onun türevinini i¸sareti yard¬m¬yla belirlenebilmektedir. E¼ger (a; b) aral¬¼g¬nda f⁰fonksiyonu türevlenebilir ve bu aral¬ktaki her x için (f⁰)⁰(x) = f⁰⁰(x) > 0 ise f⁰ fonksiyonu artan, dolay¬s¬yla f fonksiyonu konvekstir. E¼ger (a; b) aral¬¼g¬ndaki x için (f⁰)⁰(x) = f⁰⁰(x) < 0 ise f⁰ fonksiyonu azalan, dolay¬s¬yla f fonksiyonu konkavd¬r. Buna göre f fonksiyonunu ikinci türevinin i¸sareti yard¬m¬yla konveks ve konkav oldu¼gu aral¬klar¬belirleyebiliriz.

Örnek 218 f (x) = x³+⁹₂x²fonksiyonunun konveks ve konkav oldu¼gu aral¬klar¬

bulunuz.

Örnek 219 f (x) = 3x⁵ 10x³ fonksiyonunun konveks ve konkav oldu¼gu aral¬k- lar¬ bulunuz.

Tan¬m 220 Bir fonksiyonun gra…¼ginin te¼get d¼grusuna sahip oldu¼gu ve bükeyli¼ginin de¼gi¸sti¼gi (konvekslikten konkavl¬¼ga veya konkavl¬ktan konveksli¼ge geçti¼gi) nok- taya büküm (dönüm) noktas¬ denir.

Yukar¬da verilen örneklerdeki fonksiyonlar¬n büküm noktalar¬n¬ belirleye- biliriz. Bu büküm noktalar¬nda fonksiyonun ikinci türevinin 0 oldu¼gu dikkati çekmi¸stir. Bununla birlikte f (x) = x⁵³ fonksiyonu için (0; 0) noktas¬bir büküm noktas¬d¬r. Ancak f⁰⁰(0) mevcut de¼gildir. Bu örnekler dikkate al¬nd¬¼g¬nda a¸sa¼g¬- daki uyar¬ya dikkat etmek gerekir.

Uyar¬221 (c; f (c)) noktas¬f fonksiyonunun bir büküm noktas¬ise ya f⁰⁰(c) = 0 ya da f⁰⁰(c) mevcut de¼gildir.

Uyar¬222 f⁰⁰(c) = 0 olmas¬(veya f⁰⁰(c) nin var olmamas¬) (c; f (c)) noktas¬n¬n büküm noktas¬ oldu¼gu anlam¬na gelmez. Örne¼gin f (x) = x⁴ gonksiyonu için f⁰⁰(0) = 0 d¬r ancak (0; 0) noktas¬ bir büküm noktas¬ de¼gildir.

Örnek 223 f (x) = x³ 3x² 4x + 12 fonksiyonunun artan, azalan, konveks ve konkav oldu¼gu aral¬klar¬ belirleyiniz. Vasa yerel extremum noktalar¬ ile büküm noktalar¬n¬ bulunuz.

¸

Simdi de gra…k çiziminde kullan¬lacak bir ba¸ska kavran olan asiptot ile ilgili baz¬temel bilgiler verelim. Asimtot kavram¬n¬n daha bilimsel bir tan¬m¬n¬n ol- mas¬na ra¼gmen kabaca fonksiyonun gra…¼ginin sonsuzda te¼get oldu¼gu e¼gri veya do¼gru olarak tan¬mlayabiliriz. Asiptotlar, Yatay-E¼gik-E¼grisel Asiptotlar ve Dü¸sey Asimtotlar olmak üzere iki guruba ayr¬l¬r.

1-) Yatay-E¼gik-E¼grisel Asiptotlar: y = f (x) fonksiyonu x ! 1 için g(x) ! 0 olmak üzere

f (x) = (x) + g(x)

biçiminde yaz¬labiliyorsa (x) fonksiyonu f fonksiyonunu gra…¼ginin bir asim- totu olur. E¼ger (x) = a (sabit) biçiminde ise yatay asimtot, (x) = ax + b biçiminde ise e¼gik asimtot ve derecesi birden büyük bir polinom ise e¼grisel asim- tot olur. Yatay, e¼gik ve e¼grisel asimtotlardan bir tanesi var ise di¼gerleri var olmaz. Fonksiyonun gra…¼gi sonsuzda asimtota te¼get oldu¼gundan fonksiyonun gra…¼gi baz¬hallerde bu tip asimtotlar¬sonlu x de¼gerlerine kar¸s¬l¬k gelen nokta- larda kesebilir.

Örnek 224 f (x) = ^{2x 1}_x fonksiyonu f (x) = 2 ¹_xbiçiminde yaz¬labilir. Burada (x) = 2 ve g(x) = _x¹ olarak dü¸sünüldü¼günde (x) = 2 nin bir yatay asim- tot oldu¼gu görülebilir. Dikkat edilirse lim_{x! 1}f (x) = 2 dir. Bu fonksiyonun gra…¼gi a¸sa¼g¬da verilmi¸stir.

-4 -2 2 4

1 2 3 4

x y

Uyar¬225 E¼ger y = f (x) fonksiyonu bir rasyonel fonksiyon ise bir polinom bölmesi i¸slemi ile yatay, e¼gik veya e¼gri asimtot bulunabilir.

Örnek 226 f (x) = ^{2x2+3x 1}_x fonksiyonu f (x) = 2x+3 ¹_xbiçiminde yaz¬labilir.

Buradan (x) = 2x + 3 bu fonksiyonun bir e¼gik asimtotu olur.

-4 -2 2 4

10

x y

Örnek 227 f (x) = ^x3_x+1^+x+1 fonksiyonu ise f (x) = x² x + 2 _x+1¹ biçiminde yaz¬labilece¼ginden (x) = x² x + 2 e¼grisi f nin bir e¼grisel asimtotu olur.

-4 -2 2 4 10

20 30

x y

Uyar¬228 Rasyonel fonksiyonlar¬n bu tip asimtotlar¬n¬bulmak kolay olmas¬na ra¼gmen bu durum her hangi bir fonksiyon için bu kadar kolay olmayabilir. Ancak e¼ger lim_{x! 1}f (x) = a oluyorsa (x) = a sabiti f nin yatay asimtotu olur.

Örnek 229 f (x) = ^{ln x}_x fonksiyonu için lim_x!1^{ln x}_x = 0 oldu¼gundan (x) = 0 yatay asimtottur.

10 20 30 40 50

-1 0 1

x y

Uyar¬230 a > 0 olmak üzere f (x) = p

ax²+ bx + c tipindeki fonksiyonlar için (x) =p

a x +_2a^b fonksiyonu e¼gik asimtottur. x ! 1 için nin pozitif parças¬, x ! 1 için negatif parças¬ kullanul¬r. a < 0 için f nin asimtotu yoktur.

Örnek 231 f (x) =p

x² x egrisi için ₁(x) = x ¹₂ ve ₂(x) = x +¹₂ e¼gik asimtotlard¬r.

-3 -2 -1 0 1 2 3

2 4

x y

2-) Dü¸sey Asiptotlar: a bir reel say¬olmak üzere

xlim!a⁺f (x) = 1, lim

x!a f (x) = 1, lim

x!a⁺f (x) = 1, lim

x!a f (x) = 1 e¸sitliklerinden biri sa¼glan¬yorsa x = a do¼grusuna y = f (x) fonksiyonunu gra…¼gi için bir dü¸sey asimtottur denir. Fonksiyonlar¬n gra…kleri dü¸sey asimtotlar¬

kesmez.Bir fonksiyounu birden fazla dü¸sey asimtotu olabilir